DESCRIÇÃO MATEMÁTICA DE SISTEMAS PARTE 1

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1 DESRIÇÃO MATEMÁTIA DE SISTEMAS PARTE 1 Prof. Iury V. de Bessa Departamento de Eletricidade Faculdade de Tecnologia Universidade Federal do Amazonas

2 Agenda Modelagem de sistemas dinâmicos Descrição Entrada-Saída Integral de onvolução onsequências da linearidade e da invariância temporal Funções de transferência

3 Modelagem de sistemas dinâmicos Modelagem Física: baseada nas leis da física relativas à natureza do sistema Leis de Newton (sistemas mecânicos) Leis de Kirchhoff (circuitos elétricos) Leis da conservação de massa e energia Leis da Termodinâmica Entre outras...

4 Modelagem de sistemas dinâmicos Modelagem Experimental: obtida a partir de dados experimentais por meio de técnicas de identificação ou estimação de parâmetros e modelos Modelagem caixa-cinza Modelagem caixa-preta

5 Modelo de um circuito RL i(t) ~ Output u(t) ~ R L ~ Input Entrada: u(t) Saída: y(t) Estados: tensão no capacitor (v no indutor (i(t)) t ) e corrente

6 Modelo de um circuito RL i(t) ~ Output u(t) ~ R L ~ Input

7 Modelo de um circuito RL u(t) ~ Input ~ R L i(t) ~ Output om o uso da Lei de Kirchhoff das tensões um equação diferencial pode ser obtida para descrever o comportamento da saída em relação a entrada

8 Modelo de um circuito RL u(t) ~ Input ~ R L i(t) ~ Output om o uso da Lei de Kirchhoff das tensões um equação diferencial pode ser obtida para descrever o comportamento da saída em relação a entrada L d2 dt 2 i t + R d dt i t + 1 i t = d dt u(t)

9 Modelo de um circuito RL i(t) ~ Output u(t) ~ R L ~ Input

10 Modelo de um circuito RL u(t) ~ Input ~ R L i(t) ~ Output A transformada de Laplace pode ser utilizada (considerando condições iniciais nulas) para a obtenção de uma função de transferência

11 Modelo de um circuito RL u(t) ~ Input ~ R G s L = i(t) ~ Output A transformada de Laplace pode ser utilizada (considerando condições iniciais nulas) para a obtenção de uma função de transferência I s U s = s Ls 2 + Rs + 1

12 Modelo de um circuito RL i(t) ~ Output u(t) ~ R L ~ Input

13 Modelo de um circuito RL u(t) ~ Input ~ R L i(t) ~ Output De forma diferente, podemos escrever equações diferenciais de primeira ordem para cada variável de estado

14 Modelo de um circuito RL u(t) ~ Input ~ R L i(t) ~ Output De forma diferente, podemos escrever equações diferenciais de primeira ordem para cada variável de estado d v t dt = 1 i t d dt i t = R L i t 1 L v t + 1 L u(t)

15 Modelo de um circuito RL u(t) ~ Input ~ R v i = L i(t) 0 1 L ~ Output De forma diferente, podemos escrever equações diferenciais de primeira ordem para cada variável de estado 1 R L v i L u y = 0 1 v i + 0 u

16 Descrição Entrada-Saída Sistemas dinâmicos contínuos podem ser descritos por equações diferenciais que relacionam suas entradas u e suas saídas y. Para sistemas lineares, por exemplo: u(t) Sistema y(t) d n d n 1 d n 2 dt n y t + a 1 dt n 1 y t + a 2 y t + + y t dtn 2 d m = b 0 dt m u t + b d m 1 1 dt m 1 u t + b d m 2 2 u t + + u t dtm 2

17 onsequência da Linearidade Sistema Relaxado: um sistema é dito relaxado em t 0 sse a saída (a partir de t 0 ) é excitada unicamente pela entrada a partir de t 0. Neste caso, podemos descrever a saída como: y t = H u t Onde H é um operador que permita calcular apenas y t em função de u t Um sistema relaxado é dito linear sse ele satisfaz ao princípio da superposição para qualquer constantes reais α 1 e α 2, ou seja: H α 1 u 1 + α 2 u 2 = α 1 H u 1 + α 2 H u 2, u 1, u 2

18 onsequência da Linearidade Um sistema é dito invariante no tempo se para todo e qualquer deslocamento τ: y 1 t H u 1 t y 2 t H u 1 t τ = y 1 (t τ) onsidere o pulso estreito p Δ t definido por: 1 p Δ t = Δ, 0 t Δ 0, caso contrário onsidere que a resposta do sistema para p Δ (t) seja definida como h Δ (t). Desta forma, supondo linearidade, a resposta a Δu kδ p Δ kδ é Δu kδ h Δ t Δk

19 onsequência da Linearidade Portanto, a resposta total a uma série de pulsos estreitos (deslocados) no instante t, é: y t = Δu kδ h Δ t Δk k=0

20 onsequência da Linearidade Quando Δ 0, o pulso se torna mais estreito e alto mantendo a mesma área, e é denominado p impulso unitário (delta de Dirac) δ t, com as seguintes propriedades δ t = 0, t 0 δ t dt = 1 Sendo assim, se o sistema é LIT, a sua resposta pode ser calculada por: y t = u τ h t τ dτ

21 Funções de Transferência onsidere que Y(s) seja a transformada de Laplace de y(t): Y s = L y t = y t e st dt 0 Y s = u τ h t τ dτ 0 Y s = u τ h t τ e s t τ dt e st dt Y s = h ν e sν dν u(τ)e sτ dτ 0 0 Y s = H s Y s u τ e sτ dτ

22 Teoremas da Transformada de Laplace

23 Transformada Inversa Frações Parciais (consulta a tabela) Teoria dos Resíduos f t = 1 σ+j F s e st ds 2πj σ j = Res F s e st polos de F(s) onsidere o conjunto de polos de F s, onde o iésimo polo p i apresenta multiplicidade m i : 1 f t = (m i 1)! lim d n 1 m s p i ds n 1 s p i i F s e st p i

24 Exemplo: modelo de suspensão

25 Exemplo: modelo de suspensão