2. Modelos Lineares de Espaço de Estados. e resposta ao impulso. Método para o cálculo das soluções: através do uso de transformadas de Laplace

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1 2.3 - Solução das equações de espaço de estados, função de transferência e resposta ao impulso Método para o cálculo das soluções: através do uso de transformadas de Laplace

2 Transformadas de Laplace f : [, + [ R, f E α, para algum α R, isto é: f é seccionalmente contínua no intervalo [, + [ f é de ordem de crescimento α-exponencial, i.e., M > t f(t) Me αt t t Transformada de Laplace de f: L{f}(s) ou F (s) L{f} : D f C s L{f}(s) = + e st f(t)dt onde D f = {s C : o integral + e st f(t)dt converge}

3 Exemplo: f(t) = e at L{f} = F (s) =? F (s) = eat e st dt = e (s a)t dt = 1 s a e (s a)t ] + = 1 s a

4 O domínio de convergência do integral + e st f(t)dt contém um semi-plano direito, no plano complexo. Mais concretamente: Proposição: Usando a notação anteriormente introduzida, se f E α então C α := {s C : Re(s) > α} D f.

5 Propriedades das transformadas de Laplace 1. Sejam f 1 E α1, f 2 E α2, a 1, a 2 R, então a 1 f 1 + a 2 f 2 E α, α = max{α 1, α 2 }; L{a 1 f 1 + a 2 f 2 } = a 1 L{f 1 } + a 2 L{f 2 } 2. Se f E α e a R então (1) L{e at f(t)} = F (s a), para todo s C tal que Re(s a) > α

6 3. Se f E α e n N então L{t n f(t)} = ( 1) n dn [F (s)], d sn 4. Sejam f, f E α, sendo f contínua para t, então L{f } = sf (s) f() 5. Se f E α, então { t L } f(τ ) dτ = 1 s F (s)

7 f(t) 1 Tabela L{f} 1 s t n n! s n+1 e at 1 sin at cos at s a a s 2 +a 2 s s 2 +a 2 e at f(t) F (s a) f(t a)u a (t) t n f(t) e as F (s) ( 1) n d n F (s) ds n n N, a R, u a (t) - degrau unitário (= 1 t a)

8 Transformada inversa Uma transformada inversa de Laplace de uma função F (s), L 1 {F (s)}, é outra função f que goza da propriedade L{f} = F (s). Teorema: Se L{f} L{g} e se f e g so contínuas em [, + [, então f g. Teorema: Se as transformadas inversas de Laplace de duas funções F 1 (s) e F 2 (s) existem, então para quaisquer constantes c 1 e c 2 L 1 {c 1 F 1 (s) + c 2 F 2 (s)} = c 1 L 1 {F 1 (s)} + c 2 L 1 {F 2 (s)}.

9 Exemplo: F (s) = 1 (s 2)(s+3) 2 f(t) =? 1 = A (s 2)(s+3) 2 s 2 + B + C (s+3) 2 s+3 A = 1 25 ;B = 1 5 ; C = 1 25 [ ] ( ) ( ) ( ) L 1 1 (s 2)(s+3) 2 = 1 25 L 1 1 s L 1 1 s L 1 1 (s+3) 2 ( = 1 25 e2t 1 d - 25 e 3t L 1 ds ( 1 s + 3 )) }{{} ( L 1 d ( )) 1 ds s + 3 }{{} ( tl 1 1 s+3 ) =te 3t = 1 25 e2t e 3t te 3t

10 Transformada de Laplace e derivação L{ f(t)} = s L{f(t)} f() L{f(t)} = f(t) e st dt =integrando por partes = [ f(t)( 1 s e st ) ] s d dt (f(t)) e st dt = f() s + 1 s L{ d dt (f(t))} L{ f(t)} = s L{f(t)}- f()

11 Generalizando: L{f (k) } =s k L{f} - k 1 l= sk 1 l f (l) () =s k L{f} - s k 1 f() s k 2 f (1) () f (k 1) ()

12 Convolução e a transformada de Laplace P1: Sejam f, g : [, + [ R, seccionalmente contínuas O produto de convolução ou convolução de f e g dado por (f g) (t) = t f(t τ ) g(τ ) dτ. Elemento neutro do produto de convolução δ tal que: (δ f) (t) := t δ(t τ ) f(τ ) dτ = f(t) δ função δ de Dirac não é uma função!!!

13 Teorema: Sejam f e g satisfazendo P 1, e de ordem exponencial. Então: L{f g} = L{f} L{g} = F (s) G(s) Corolário: L{δ} = 1 Demonstração do teorema

14 L{f g} = [ t f(t τ ) g(τ ) dτ ] e st dt = = lim b b [ t f(t τ ) g(τ ) dτ ] e st dt = = lim b b b τ f(θ) g(τ ) e s(θ+τ ) dθ dτ = = lim b b [ b τ f(θ) e sθ dθ ] g(τ ) e sτ dτ = = =F (s) [ ] f(θ) e sθ dθ } {{ } F (s) g(τ ) e sτ dτ } {{ } G(s) g(τ ) e sτ dτ = = F (s) G(s)

15 t τ θ = t τ τ dθ = dt τ : b t : τ b τ : b θ : b τ

16 Aplicação da transformada de Laplace aos sistemas EE ẋ(t) = y(t) = A x(t) + Bu(t) C x(t) + Du(t) L sx(s) x() = A X(s) + BU(s) Y (s) = C X(s) + DU(s) (si n A)X(s) = x() + BU(s) Y (s) = C X(s) + DU(s) X(s) = (si n A) 1 x() + (si n A) 1 BU(s) Y (s) = C (si n A) 1 x() + [C(sI n A) 1 B + D]U(s)

17 Quando o sistema está livre da influência da entrada, isto é, quando u(t) = e portanto U(s) = : X(s) = (si n A) 1 x() =: X l (s) evolução livre do estado Y (S) = C(sI n A) 1 x() =: Y l (s) evolução livre da saída / do sistema Quando os sistema tem condição inicial nula, isto é, x() =, e é apenas forçado pela entrada: X(s) = (si n A) 1 BU(s) =: X f (s) evolução forçada do estado Y (s) = [C(sI n A) 1 B + D]U(s) =: Y f (s) evolução forçada da saída / do sistema

18 Y f (s) = [C(sI n A) 1 B + D] }{{} Função de transferência do sistema função (matricial) racional própria U(s) As suas entradas são funções racionais (i.e., quocientes de dois polinómios) próprias (i.e., o grau do denominador não excede o do numerador).

19 As soluções como funções do tempo X(s) = (si n A) 1 x() + (si n A) 1 BU(s) Y (s) = C (si n A) 1 x() + [C(sI n A) 1 B + D]U(s) L 1 x(t) = L 1 {(si n A) 1 } x() + L 1 {(si n A) 1 }B u(t) y(t) = C L 1 {(si n A) 1 } x() + [CL 1 {(si n A) 1 }B + Dδ] u(t) L 1 {(si n A) 1 } =? (si n A) 1 é uma função (matricial) racional (estritamente) própria cuja transformada de Laplace inversa é fácil de calcular componente a componente.

20 Exemplo: Calcule L 1 {(si n A) 1 } para A = (si A) 1 = s 1 (s 1) (s 1) (s 1) 2 +4 s 1 (s 1) 2 +4 L 1 {(si A) 1 } = e t cos 2t sin 2t sin 2t cos 2t (verifique!)

21 Expressão geral para L 1 {(si n A) 1 } (si A) 1 = s 1 I + k=1 L 1 {(si n A) 1 } = L 1 {s 1 }I + = I + = k= k=1 A k t k k! A k s k 1 k=1 A k L 1 {s k 1 } ( ) A k L 1 { dk 1 ( 1) k s } ds k k! =: e At notação escolhida por analogia com o caso escalar L 1 { 1 s a } = eat = k= a k t k k!

22 Expressão geral para as soluções no domínio do tempo x(t) = L 1 {(si n A) 1 } x() + L 1 {(si n A) 1 }B u(t) y(t) = C L 1 {(si n A) 1 } x() + [CL 1 {(si n A) 1 }B + Dδ] u(t) x(t) = e At x() + e At B u(t) y(t) = C e At x() + [Ce At B + Dδ] u(t) x(t) = e At x() }{{} x l (t) + t e A(t τ ) B u(τ )dτ } {{ } x f (t) y(t) = Ce At x() }{{} y l (t) + t Ce A(t τ ) B u(τ )dτ + Du(t) } {{ } y f (t) evolução livre evolução forçada

23 Para t, as soluções também podem ser escritas na seguinte forma: x(t) = e A(t t ) x(t ) + t t e A(t τ ) B u(τ )dτ y(t) = Ce A(t t ) x(t ) + t t Ce A(t τ ) B u(τ )dτ + Du(t) Pois x(t) = e At x() + t ea(t τ ) B u(τ )dτ ( = e A(t t ) e At x() + + ) t ea(t τ ) B u(τ )dτ ( = e A(t t ) e At x() + + ) t e A(t τ ) B u(τ )dτ ( ) + e A(t t ) t e A(t τ ) B u(τ )dτ t = e A(t t ) x(t ) + t t e A(t τ ) B u(τ )dτ

24 Y f (s) = [C(sI n A) 1 B + D] }{{} Função de transferência U(s) L 1 L y f (t) = Resposta ao impulso {}}{ [Ce At B + Dδ] u(t) y f (t) = t CeA(t τ ) B u(τ )dτ + Du(t) Impulso = função δ de Dirac; u = δ y f = Ce At B + Dδ.