Controle e Sistemas Não lineares

Transcrição

1 Controle e Sistemas Não lineares Prof. Marcus V. Americano da Costa F o Departamento de Engenharia Química Universidade Federal da Bahia Salvador-BA, 01 de dezembro de 2016.

2 Sumário

3 Objetivos Introduzir os conceitos básicos dos sistemas não lineares. Apresentar as principais técnicas de análise e projeto de controladores para sistemas não lineares. Colocar ao aluno frente à problemática de controle considerando as não linearidades presentes nas aplicações práticas. Introduzir os princípios básicos relacionados com o controle Não Linear de processos assim como as principais ferramentas de análise e projeto.

4 Análise de sistemas não-lineares 1 Sistemas dinâmicos não-lineares. Modelagem matemática e principais não linearidades em sistemas de controle (saturação, zona morta, histerese, etc). Representação por variáveis de estado. Espaço de estados (plano de fases). 2 Análise qualitativa de sistemas dinâmicos. Atratores: equilíbrios, ciclos limites e comportamento aperiódico. Teorema da linearização. Noção de Bifurcações. 3 Sistemas lineares com restrições na ação de controle. Anti-windup. Métodos aproximados de análise: método da função descritiva. 4 Métodos de síntese de controladores de sistemas não-lineares: linearização por realimentação, estrutura variável.

5 As avaliações - 2 PROVAS ESCRITAS: 1 a PROVA: 17 de janeiro de a PROVA: 21 de fevereiro de TRABALHO NA FORMA DE SEMINÁRIO: Definição dos trabalhos: 10 de janeiro de Entrega da parte escrita e apresentação: 14 e 16 de março de a CHAMADA: 21 de março de Cálculo da Média Final: MF = P1+P2+T 3 T = Escrita+Apresentação 2

6 Bibliografia sugerida L.H.A Monteiro. Sistemas Dinâmicos. Ed. Livraria da Física. 2da Edição. 2006; Khalil. Nonlinear Systems, Prentice-Hall, 3rd edition. 2002; Katsuhiko Ogata. Engenharia de Controle Moderno, Pearson Education-Br, Cap. 15, 4 a edição, 2011.

7 Sumário

8 Princípio da Superposição Princípio da Superposição Um sistema relaxado em t 0, representado pelo operador H, é linear se: H[α 1 u 1 (t)+α 2 u 2 (t)] = α 1 H[u 1 (t)]+α 2 H[u 2 (t)] Provar pelo Princípio da Superposição que a função du dt é linear.

9 Integral de Convolução Integral de Convolução Sistemas lineares, causais, invariantes no tempo e relaxado em t = 0. Conhecendo-se g(t), a resposta do sistema linear à função impulso, é possível determinar a saída y(t) qualquer que seja a entrada u(t) contínua por partes: g(t) u(t) = t 0 g(t τ)u(τ)dτ = t 0 g(τ)u(t τ)dτ

10 Integral de Convolução Observação Seja r(t) a resposta do sistema ao degrau unitário 1(t). Como d1(t) = δt e o sistema é linear, então se pode demonstrar que dt dr(t) dt = g(t), ou seja, a resposta ao impulso é a derivada da resposta ao degrau.

11 Função de Transferência Função de Transferência A Função de Transferência de um sistema linear, da entrada u(t) para a saída y(t), é definida como a transformada de laplace da resposta g(t) ao impulso.

12 Função de Transferência Sistemas Multivariáveis Pelo Princípio da Superposição o efeito total das entradas em cada saída é igual à soma dos efeitos individuais de cada entrada. Neste caso, G ij = Y i(s) U j (s), em que G ij (s) é a função de transferência da entrada u j (t) para a saída y i (t), considerando-se todas as outras entradas nulas. Ou seja, Y i (s) = G i1 (s) U 1 (s)+g i2 (s)u 2 (s)+...+g im U m (s) Forma matricial: Y(s) = G(s)U(s).

13 Estabilidade Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz Seja G(s) = B(s) A(s) = b ms m + b m 1 s m b 1 s + b 0 a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 Os pólos de G(s) são as raízes da equação característica A(s) = 0. Deseja-se verificar a existência de raízes de A(s) com parte real não negativa.

14 Estabilidade Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz A partir das leis básicas da álgebra, uma condição necessária para que todas as raízes de A(S) tenham parte real negativa é que todos os seus coeficientes tenham mesmo sinal. Uma condição suficiente é dada pelo critério de Routh-Hurwitz: o número de raízes de A(s) com parte real positiva é igual ao número de mudanças do sinal dos elementos da 1 a coluna da tabela. Ex.: determinar o número de raízes com parte real positiva do polinômio A(s) = s 6 + 4s 5 + 3s 4 + 2s 3 + s 2 + 4s + 4. Casos especiais: (i) o 1 o elemento de uma linha da tabela é nulo, mas há pelo menos um elemento que não é; (ii) todos os elementos de uma linha da tabela são nulos.

15 Estabilidade Estabilidade Relativa A estabilidade do sistema não é suficiente para garantir uma resposta satisfatória. Em geral, deseja-se que a parte real dos pólos seja menor ou igual a um dado valor σ, com σ > 0. Ex.: determinar o número de raízes com parte real maior que 1 do polinômio A(s) = 2s 3 + 8s 2 + 8s + 1.

16 Estabilidade Mais exemplos Calcule o(s) valor(es) de K para que o sistema K G(s) = (s+1)(s+3)(s+5) seja estável com realimentação unitária. Calcule também a frequência crítica, isto é, com que frequência o sistema oscila no limite da estabilidade.

17 Estabilidade Estabilidade Externa de Sistemas Representados por Variáveis de Estado Todo pólo de G(s) é um autovalor de A. Se todos os autovalores de A tiverem parte real negativas, o sistema é externamente estável. Porém, como nem todo autovalor é pólo de G(s), então A pode ter autovalores com parte real não negativa e mesmo assim o sistema ser externamente estável. Ex: considere as matrizes de uma equação de estados abaixo. [ ] [ ] A = B = C = [ 0 1 ] (1) 0 2 2

18 Estabilidade Estabilidade Interna A estabilidade interna é definida em relação à resposta livre do sistema (u(t) = 0, t t 0 ), isto é, em relação à ẋ(t) = Ax(t). DEF.1: um sistema linear é marginalmente estável se x(t) for limitado t 0, qualquer que seja o estado inicial finito. DEF.2: um sistema linear é assintoticamente estável se x(t) for limitado t 0 e, além disso, x(t) 0 quando t, x(0) finito.