Sistemas Dinâmicos Lineares

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1 Sumário Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de 2016 () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 Apresentação da disciplina Objetivos e importância da disciplina 1 Objetivos do curso 2 Livro texto 3 Aulas e avaliação 4 Pacotes de simulação 5 Bibliografia 1 Curso básico para diversas áreas Engenharia e sistemas: automação, controle, robótica, sistemas de potência, eletrônica de potência, telecomunicações, biomédica, etc. 2 Objetivos Estudar aspectos quantitativos e qualitativos de sistemas físicos descritos (ou aproximados) por modelos matemáticos lineares. Em particular: Representação de estados Relação entrada-saída Estabilidade, controlabilidade e observabilidade Vantagens das diferentes representações Estudo da solução da equação de estados () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29

2 Objetivos e importância da disciplina Livro texto C.T.Chen - Linear System Theory and Design (3 rd Edition) - Oxford University Press, 1999 Graduação. Nível de domínio do conteúdo. Mestrado. Espera-se o conteúdo dominado. Avalia-se: 1 Raciocínio na condução da solução. 2 Capacidade de justificar e fundamentar o que sabe. Esta disciplina contribui com: 1 Desenvolvimento do raciocínio lógico. 2 Raciocínio de demonstrações e justificações. 3 Capacidade de abstração. () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 Livro texto Aulas e Avaliação C.T.Chen - Linear System Theory and Design (3 rd Edition) - Oxford University Press, 1999 Capítulos Tópico 1 Introdução 2 *Descrição matemática de sistemas 3 *Álgebra Linear 4 *Soluções no espaço de estados e realizações 5 *Estabilidade 6 *Controlabilidade e observabilidade 7 Realizações irredutíveis 8 Realimentação de estados e estimadores 9 Posicionamento de pólos e model matching Total de 23 encontros e2 semanas de aulas Horário: segundas e quartas,às 13h30 Informações: romeu (Ensino - Sistemas Lineares) (Sugere-se a leitura do capítulo correspondente antes de cada aula.) () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29

3 Aulas e Avaliação Pacotes de simulação 1 Exercícios 2 Provas: total de 2 (sem consulta e sem calculadora) P 1, P 2 MP = 0.4P P 2 1 Matlab + Simulink 2 Scilab 3 Conceitos A : [90,100] B : [80,90) C : [70,80) D : [0,70) () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 Bibliografia Bibliografia Básica C.T.Chen - Linear System Theory and Design (3 rd Edition) - Holt, Rinehalt and Wilson, 1999 (Livro Texto) P. Kundur, Power Systems Stability and Control, MacGraw-Hill, USA, Análise Modal Bibliografia Suplementar C.T.Chen - Linear System Theory and Design - Holt, Rinehalt and Wilson, 1984 J. C. Geromel, A. G. B. Palhares, Análise Linear de Sistemas Dinâmicos, Edgar Blücher, São Paulo, S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM Studies in Applied Mathematics, Vol. 15, SIAM, 1994, Philadelphia, USA. J. J. Slotine, W. Li, Applied Nonlinear Control, Prentica-Hall, 1991, USA. () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 Bibliografia - Álgebra Linear S. Lipschutz, Álgebra Linear, 3 a ed., Pearson, São Paulo, SP, J. Hefferon, Linear Álgebra, disponível em ftp://joshua.smcvt.edu/pub/hefferon/book/book.pdf. F. R. Gantmacher - The Theory of Matrices, Vols. 1 e 2, New York, Chelsea, 1959 B. Noble, J. W. Daniel - Applied Linear Algebra (third edition), Prentice-Hall, 1988 () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29

4 Bibliografia Introdução Bibliografia de Revisão K. Ogata - Engenharia de Controle Moderno, Prentice Hall do Brasil, 1993 ou posterior D Azzo & Houpis - Análise e Projeto de Sistemas de Controle Lineares, Guanabara, 1988 Franklin & Powell - Feedback Control of Dynamic Systems, Addison - Wesley, 1990 Sistemas Dinâmicos Lineares é, entre outras coisas: Teoria Área de Pesquisa Disciplina Problemas tipicamente estudados/pesquisados nesta área: Modelagem Descrição matemática Análise Projeto () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 Introdução Sistemas de controle Esquema genérico de um sistema de controle Perturbação Sistemas Dinâmicos Lineares: Para quê? Representação matemática de um sistema físico real Prever o comportamento do sistema físico real Analisar as propriedades do sistema físico Realizar simulações em computador Possibilitar o projeto de componentes adicionais ao sistema físico Entrada Atuador Planta Sensor Sistema: Físico, biológico, químico, econômico, etc Circuito elétrico, robô, forno industrial, etc.; Colônia de bactérias, processo de fermentação; Tratamento de água, produção de fertilizantes; Economia de uma empresa, de um país, etc. Saída () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29

5 Introdução aos sistemas de controle Sistemas de controle Saída: Variável a ser controlada Tensão, corrente, posicionamento do efetuador final de um robô, temperatura; Número de bactérias, temperatura; Ph, grau de pureza; Lucro. Sinal de referência: Valor desejado para a resposta do sistema Controlador: Dispositivo que atua sobre o sistema visando controlar a variável de saída. Os sistemas de controle fazem parte do dia a dia da sociedade moderna e estão relacionados à automação. CDs, videos, máquinas de lavar, sistemas de aquecimento e de refrigeração Automação industrial: robôs, sistemas integrados de manufatura; Operação de usinas hidroelétricas e termoelétricas; Aviões, satélites de comunicação e observação; () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 Sistema físico Modelagem Sistemas físicos: Objetos ou dispositivos que, agrupados por alguma interação, provocam relações de causa e efeito. Exemplos: circuitos elétricos, um veículo, os planetas e seus satélites, robô manipulador, etc. u Tipicamente determinados sinais agem sobre o sistema (entradas/perturbações). Algumas variáveis são de interesse para estudo (saídas). S y Modelos: Aproximação do comportamento do sistema físico a partir de equações matemáticas, por exemplo. Ex. Resistor linear com resistência constante (modelo válido dentro de certos limites de potência) Equação matemática i 0 v = Ri v i + v () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29

6 Classes básicas de modelos/sistemas físicos Dependendo da variável independente: Sistemas de tempo contínuo u(t) S y(t) Classes básicas de modelos/sistemas físicos Dependendo do número de entradas e saídas: 1 entrada e 1 saída: sistema monovariável ou SISO (Single input - single output) u S y u = u(t) ; y = y(t) : Sistemas de tempo discreto u[k] u = u[k] ; y = y[k] : funções do tempo t (, ) y[k] S sequências k Z Várias entradas ou várias saídas: sistema multivariável ou MIMO (Multiple input - multiple output) u 1 y 1 u 2 y 2 u p u = [ u 1 u 2 u p ] ; y = [ y 1 y 2 y q ] y q () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 Considere o sistema massa-mola com atrito viscoso: Descrição Matemática Uma vez definido um modelo para um sistema físico (denominado simplesmente de sistema), aplicam-se as leis da física para se obter uma descrição matemática do sistema u x k b m 2 z Modelagem Física: baseada nas Leis de Newton (sistemas mecânicos), Leis de Kirchhoff (tensão e corrente em circuitos elétricos), leis da Termodinâmica, etc. Modelagem Experimental: baseada em relações entrada-saída Um mesmo sistema pode ter diferentes descrições matemáticas As equações do movimento podem ser obtidas pela Lei de Newton: F = ma F: forças que agem sobre o corpo a: aceleração relativa a uma referência inercial m: massa do corpo () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29

7 Sistema de equações diferenciais Descrição por Variáveis de Estado Sejam x 1 = x, x 2 = ẋ, z 1 = z e z 2 = ż e saídas y 1 = x e y 2 = z, tem-se: ẍ + b (ẋ ż)+ k (x z) = u z + b m 2 (ż ẋ)+ k m 2 (z x) = 0 As molas e amortecedores foram modelados como elementos lineares. Com as equações, pode-se determinar o comportamento do sistema (isto é, as posições x, z e as velocidades ẋ, ż) para qualquer força externa u aplicada. ẋ 1 ẋ 2 ż 1 ż 2 [ y1 y 2 = k b k k m 2 b ] [ = b m 2 k m 2 b m 2 ] x 1 x 2 z 1 z 2 x 1 x 2 z 1 z u () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 Descrição por Função de Transferência Aplicando a Transformada de Laplace (com condições iniciais nulas) tem-se s 2 X(s)+ b s(x(s) Z(s))+ k (X(s) Z(s)) = 1 s 2 Z(s)+ b m 2 s(z(s) X(s))+ k m 2 (Z(s) X(s)) = 0 Busca-se obter as relações: X(s) ; Z(s) [ s 2 + b s + k b s k b m 2 s k m 2 s 2 + b m 2 s + k m 2 As relações X(s) e Z(s) são dadas por: ] [ ] [ X(s) 1 = Z(s) 0 [ ] [ ] X(s) = 1 1 m1 (s2 + b s + k ) m2 m2 Z(s) 1 det ( b m 2 s + k m 2 ) ] det = (s 2 + b s + k )(s 2 + b m 2 s + k m 2 ) ( b s k )( b m 2 s k m 2 ) () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29 () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29

8 O objetivo é colocar na forma: G(s) X(s) Z(s) [ ] X(s) Y(s) = = G(s) Z(s) [ ] G(s) = 1 1 m1 (s2 + b s + k ) m2 m2 1 det ( b m 2 s + k m 2 ) () Sistemas Dinâmicos Lineares 4 de julho de / 29