Controle de Sistemas Dinâmicos. Informações básicas

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1 Controle de Sistemas Dinâmicos Informações básicas

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3 Ementa Modelagem de Sistemas de Controle; Sistemas em Malha Aberta e em Malha Fechada; Simplificação de Diagrama de Blocos; Diagramas de Fluxo de Sinal; Análise da Resposta Transitória; Análise do Erro em Regime Estacionário; Estabilidade; Análise pelo Método do Lugar das Raízes; Análise da Resposta em Frequência; Projeto de Controladores Industriais PID; Projeto pelo Método do Lugar das Raízes; Projeto pelo Método da Resposta em Frequência.

4 Conteúdo programático INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE: definições e conceitos básicos de sistemas de controle; controle em malha aberta; controle em malha fechada; exemplos de sistemas de controle. INTRODUÇÃO A CONCEITOS MATEMÁTICOS: números complexos; funções singulares; Transformada de Laplace (plano s). MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS: modelagem no domínio a frequência (função de transferência; não linearidades e linearização); modelagem no domínio do tempo (definições; forma do espaço de estados; modelos no espaço de estados de sistemas elétricos, mecânicos e fluídicos; linearização; relação entre função de transferência e representação no espaço de estados).

5 Conteúdo programático ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA: conceitos básicos e excitação de sistemas de controle (entradas de teste); análise de resposta transitória de sistemas de primeira ordem; análise de resposta transitória de sistemas de segunda ordem; análise de resposta transitória de sistemas com pólos adicionais e zeros adicionais; erros em regime permanente; estabilidade e critério de Routh- Hurwitz. AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS E CONTROLADORES AUTOMÁTICOS INDUSTRIAIS: ação do tipo on-off; ação do tipo Proporcional; ação do tipo Integral; ação do tipo Derivativo; implementação de controladores. ANÁLISE UTILIZANDO O LUGAR DAS RAÍZES: elaboração do diagrama do lugar das raízes; análise de sistemas dinâmicos através do lugar das raízes; diagramas de contorno das raízes. ANÁLISE PELO MÉTODO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: diagrama de Bode e constantes de erro estático; gráficos polares; diagrama de Nyquist; margem de ganho e de fase; estabilidade relativa e critério de estabilidade de Nyquist.

6 Bibliografia Engenharia de sistemas de controle, Norman Nise, 6ª edição, Sistemas de Controle Modernos, Richard Dorf e Robert Bishop, 12ª edição, Engenharia de Controle Moderno, Katsuhiko Ogata, 5ª edição, 2011

7 Datas importantes ETAPA REFERÊNCIA DATA VALOR Lista exercícios (APS) 19 / Abril 05 pontos Primeira Trabalho simulação 19 / Abril 10 pontos Avaliação 19 / Abril 15 pontos Lista de exercícios (APS) 29 / Junho 05 pontos Segunda Trabalho simulação 29 / Junho 05 pontos Avaliação 29 / Junho 20 pontos Especial Avaliação 11 / Julho 100 pontos

8 Controle Introdução Definições básicas

9 Introdução Engenharia é a ciência que busca resolver problemas de forma aproximada. Quando fazemos medições de grandezas de Engenharia, os dados obtidos sempre apresentam erros. Por mais esforços que venhamos a empregar, quer com cuidados especiais ou com instrumental sofisticado, a medição perfeita (exata) nunca será realizada. Apesar de não haver exatidão, mesmo assim a Engenharia consegue resolver, de forma aproximada, problemas e com isso atender às necessidades da sociedade. Por meio da aplicação de técnicas e procedimentos, o engenheiro executa projeto e construção de tudo o que o ser humano usa, como carros, tratores, aviões, foguetes, edifícios, estradas, computadores, robôs, aparelhos para medicina, odontologia, de comunicação, etc.

10 Introdução É nesse contexto de soluções aproximadas que encontramos o significado de Modelagem, pois Engenharia é um conjunto de modelos. Modelos podem ser empíricos (físicos) ou analíticos (matemáticos e/ou computacionais). Em controle estamos interessados em como utilizar esses modelos para conseguirmos respostas desejadas de sistemas.

11 Modelagem matemática Modelagem matemática é a área de conhecimento que estuda maneiras de desenvolver e implementar modelos matemáticos de sistemas reais. Modelagem caixa branca (modelagem pela física ou natureza do processo ou ainda modelagem fenomenológica ou modelagem conceitual). Modelagem empírica

12 Modelagem matemática

13 Considerações importantes LINEARIDADE: validade do princípio da superposição (aula à parte). INVARIÂNCIA NO TEMPO: verificação da variação da dinâmica do sistema com a evolução temporal. CONCENTRAÇÃO DE PARÂMETROS: verificação da variação das variáveis de interesse apenas com o tempo e não com o espaço.

14 Algumas definições SISTEMA Combinação de componentes que atuam em conjunto de forma a realizar certo objetivo. Um sistema pode ser físico, biológico, econômico, etc. De forma genérica, representaremos um sistema como uma caixa que pode ter entradas (u) e saídas (y).

15 Algumas definições ESTADO Conjunto de valores necessários e suficientes que permitem saber, a cada instante, a configuração e a situação atual do sistema. O estado de um sistema é caracterizado, portanto, pelas suas variáveis de estado.

16 Algumas definições SISTEMAS DINÂMICOS Sistemas cujas variáveis de estado variam no tempo, segundo leis físicas que podem ser modeladas matematicamente.

17 Algumas definições SERVO SISTEMA Controladores de posição, velocidade ou de aceleração. Um servo sistema é composto por um elemento sensor, pela lógica de controle e pelo atuador (de posição, velocidade ou aceleração).

18 Algumas definições ENTRADA Qualquer grandeza que pode modificar, de forma significativa ou não, o estado do sistema. O comportamento de uma entrada é considerado independente do sistema, ou seja, ele não sofre influência do sistema.

19 Algumas definições SAÍDA Qualquer grandeza do sistema que caracteriza seu estado. Não significa fluxo que sai do sistema e sim alguma informação do mesmo. Podem corresponder às mudanças de valores de variáveis físicas do sistema ou mesmo às variações de parâmetros utilizados para descrevê-lo.

20 Algumas definições VARIÁVEL CONTROLADA: Quantidade ou condição que é medida e controlada. SINAL DE CONTROLE OU VARIÁVEL MANIPULADA: Quantidade ou condição que é variada (ou manipulada) para provocar a variação da variável controlada. Normalmente, a variável controlada é a saída do sistema. CONTROLAR significa medir o valor da variável controlada e aplicar o sinal de controle para corrigir ou limitar o desvio do valor medido com relação ao valor desejado.

21 Algumas definições DISTÚRBIO: Sinal que tende a afetar de forma adversa o valor da variável controlada (saída do sistema). Um sinal de distúrbio pode ser interno (gerado dentro do próprio sistema) ou externo (gerado fora do sistema). Esforço ou sinal que afeta a resposta do sistema.

22 Algumas definições SISTEMA DE CONTROLE: Interconexão de componentes formando uma configuração de sistema que produzirá uma resposta desejada do sistema. Conjunto de componentes organizados de forma a conseguir a resposta desejada de um sistema.

23 Algumas definições SISTEMA DE CONTROLE: Engenharia de sistemas de controle se preocupa com compreensão e controle de segmentos do seu ambiente, geralmente, chamados de sistemas, para prover produtos econômicos para a sociedade (Dorf). A isso podemos acrescentar: produtos econômicos, estáveis, robustos e sustentáveis.

24 Algumas definições SISTEMA DE CONTROLE DE MALHA ABERTA: Utiliza um dispositivo de atuação para controlar diretamente o processo sem usar retroação. Este tipo de sistema de controle não pode compensar efeitos de perturbações e atuam unicamente com base na entrada. Um exemplo seria uma torradeira que atua com base em um timer e não possui nenhuma indicação da condição (cor) da torrada para interromper o processo.

25 Sistema de controle malha aberta

26 Algumas definições SISTEMA DE CONTROLE A MALHA FECHADA: Utiliza uma medida da saída e a retroação (realimentação) deste sinal para compará-la com a saída desejada (referência ou comando). Como vantagens, temos uma menor sensibilidade à ruídos e/ou perturbações e alterações de ambiente (menor sensibilidade a mudança de parâmetros; melhor rejeição de perturbações; melhor atenuação do ruído; melhor redução de erro em estado permanente e controle e ajuste de estado transitório). Como principal desvantagem, temos um aumento de complexidade (e custo) do sistema.

27 Sistema de controle malha fechada

28 SISTEMA DE CONTROLE A MALHA FECHADA:

29 Motivação e contexto Dado um modelo do sistema a ser controlado e um conjunto de especificações, temos que encontrar um controlador adequado.

30 Especificações de desempenho: resposta adequada aos sinais de controle; atenuação de perturbações; limitação de sinais críticos. Especificações de controlador: Linear, simples e eficiente. metodologia de projeto? Motivação e contexto

31 Estabilidade (resposta de transiente, resposta de estado estacionário, resposta natural, resposta forçada) Sistemas de controle devem ser estáveis. Custo (Qual o impacto econômico?) Motivação e contexto Robustez (O quão seu sistema é sensível a mudanças de parâmetros?)

32 Considerações Para compreender e controlar sistemas complexos, existe a necessidade de definição de modelos matemáticos quantitativos para os mesmos. Como estes sistemas são dinâmicos, as equações que os descrevem são usualmente equações diferenciais. A adoção de hipóteses e/ou simplificações pode permitir um conjunto de equações mais facilmente manipuláveis.

33 Considerações Em resumo, na abordagem de problemas com sistemas dinâmicos, têm-se as operações seguintes: a) Definição do sistema e de seus componentes. b) Formulação do modelo matemático e hipóteses adotadas. c) Definição das equações do modelo. d) Resolução das equações em função das variáveis de saída desejáveis. e) Exame das soluções e hipóteses obtidas. f) Se necessário, reanálise do sistema e/ou modelo.

34 Exemplo 1 A figura ao lado mostra um sistema mecânico simples massa-mola-amortecedor que pode ser descrito pela Segunda Lei de Newton. Consideramos que o atrito entre a massa e a parede pode ser modelado como amortecimento viscoso, ou seja, a força de atrito é linearmente proporcional à velocidade da massa. Essa constante é indicada pela letra b. Na figura, temos duas posições: x indica a posição da extremidade da mola se a massa M não está conectada; y indica a nova posição, quando a massa está conectada (assim, temos um deslocamento δ qualquer a partir da referência x sem a massa, ou seja, y = x + δ).

35 Exemplo 1 As forças existentes são, portanto: a) A força de atração gravitacional (peso): f M = mg; b) A força elástica da mola: f k ; c) A força de atrito entre a massa e a parede: f b ; d) A força externa aplicada: f;

36 Exemplo 1 Assim, pela segunda Lei de Newton, devemos ter (desprezando a massa da mola): f f f M f b f Ma ( t) mg bv( t) ky( t) Ma( t) De forma simplificada: k f mg bv ky Ma

37 Exemplo 1 f mg bv ky Ma Pelas definições feitas, y = x + δ logo: f mg bv kx k Ma

38 Exemplo 1 f mg bv kx k Ma Antes de aplicarmos a força f(t), o sistema estará deslocado de δ e o conjunto estará em equilíbrio (velocidade nula). Isto quer dizer que a força da mola deverá equilibrar o peso, ou seja: Assim, temos: mg = kδ f bv kx Ma

39 Exemplo 1 f bv kx Ma f 2 d ( t) M 2 dt x( t) bv( t) kx( t) Como d v( t) x( t) dt Podemos reescrever a equação como: d f ( t) M v( t) bv( t) k v( t) dt dt

40 Exemplo 1 Assim, a equação d f ( t) M v( t) bv( t) k v( t) dt dt nos permite obter toda e qualquer informação do sistema e podemos definir a força f(t) (entrada) de forma a obter um resultado (saída) esperado. Além disso, a equação (modelo) nos permite entender (prever) o comportamento do sistema para determinado tipo de entrada (força externa aplicada).

41 Exemplo 2 Raciocínio semelhante ocorre quando analisamos um circuito elétrico, como o RLC da figura. Sua análise resulta em uma equação com a forma apresentada.

42 Considerações

43 Analogia entre sistemas elétricos e mecânicos As equações diferenciais que governam as tensões e correntes em um sistema elétrico são semelhantes as equações diferenciais que modelam o movimento de um sistema mecânico. Um sistema mecânico possui um circuito elétrico análogo e vice versa. Na Tabela, são apresentados os componentes elétricos e os componentes mecânicos que estão associados. Existem duas analogias possíveis de serem realizadas.