Teoria de Sistemas Lineares

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1 Teoria de Sistemas Lineares Prof. Contato: Sala 2605 (BLOCO 1) mailto: palhares/teoriasistemaslineares.html Segundas-Feiras 07h30 a 09h10 09h25 a 11h05

2 Aspectos Burocráticos Bibliografia Básica Chi-Tsong Chen, Linear System Theory and Design, 3rd ed., Oxford University Press, Extras William L. Brogan, Modern Control Theory, 3rd ed., Prentice Hall, Stephen P. Boyd and Craig H. Barrat, Linear Controller Design Limits of Performance, Prentice Hall, Gene F. Franklin, J. David Powell and Michael Workman, Digital Control of Dynamic Systems, 3rd ed., Addison Wesley Longman, Allan D. Kraus, Matrices for Engineers, Oxford University Press, Artigos em periódicos, material didático de outros cursos na Web semelhantes. p.2 Teoria de Sistemas Lineares Aula 0

3 Aspectos Burocráticos Avaliações Três provas de 32 pontos cada Datas? Exercícios em Sala 4 pontos (Pré-)Requisitos Desejáveis Noções de controle clássico e moderno (+ para moderno) Conceitos iniciais de Sinais e Sistemas p.3 Teoria de Sistemas Lineares Aula 0

4 Sistema: é um ajuntamento ou conjunto de elementos combinados, pela natureza ou pelo homem, de modo a formar um todo integrado e complexo. É uma definição que acontece em várias disciplinas como: engenharia, biologia, medicina, direito, sociologia, antropologia, história, ciências poĺıticas, informática, administração, economia & finanças; na natureza como um todo, etc. Teoria de Sistemas: é o estudo das interações e comportamento de tal conjunto de elementos quando sujeito a certas condições ou entradas. A natureza abstrata da teoria de sistemas é devido ao fato que está relacionado com propriedades matemáticas mais do que com a forma física ou conceitual das partes que o compõem p.4 Teoria de Sistemas Lineares Aula 0

5 Estudo de sistemas físicos descritos por modelos lineares Muitos sistemas físicos são lineares em determinadas faixas de operação O estudo pode ser sistematizado (álgebra linear) Computacionalmente bastante eficientes Extensões para sistemas físicos não lineares? Aspectos qualitativos e quantitativos p.5 Teoria de Sistemas Lineares Aula 0

6 Especificamente... Dado um modelo linear do sistema a ser avaliado e um conjunto de especificações, encontrar uma ação adequada para alterar o desempenho do mesmo de forma satisfatória Aplicações Engenharias de Sistemas, Mecânica e Civil; Comunicações, Processamento de Sinais, Economia e Finanças, Aeronáutica, Sistemas de Controle Automático, Análise, Simulação e Projeto de Circuitos, Navegação p.6 Teoria de Sistemas Lineares Aula 0

7 Métodos Empíricos Aplicação de várias entradas e observação das saídas experiência do projetista sistemas grandes ou complexos? p.7 Teoria de Sistemas Lineares Aula 0

8 Estudo Anaĺıtico Modelagem Descrição Matemática Análise do Modelo Projeto p.8 Teoria de Sistemas Lineares Aula 0

9 Modelagem Distinção entre sistemas físicos e modelos Resistor linear com resistência constante (modelo válido dentro de certos limites de potência); indutor com indutância constante é um modelo (a indutância pode variar com a corrente) Um sistema físico pode ter modelos diferentes (dependendo do contexto) Um mesmo sistema físico pode ser modelado diferentemente (um satélite pode ser tratado como um corpo rígido ou corpo flexível) p.9 Teoria de Sistemas Lineares Aula 0

10 Descrição Matemática Uma vez definido um modelo para um sistema físico, aplicam-se as leis da física para se obter uma descrição matemática do sistema Modelagem Física: baseada nas Leis de Newton (sistemas mecânicos), Leis de Kirchhoff (tensão e corrente em cirtuitos elétricos), leis da Termodinâmica, etc. Modelagem Experimental: baseada em relações entrada-saída (modelos por séries temporais: modelos autoregressivos, média móvel, ARMA...) p.10 Teoria de Sistemas Lineares Aula 0

11 Considere o sistema massa-mola com atrito viscoso: x k z u m 1 b m 2 As equações do movimento podem ser obtidas pela Lei de Newton: F = ma F: resultante das forças que agem sobre o corpo; a: aceleração relativa a uma referência inercial ; m i : massa dos corpos p.11 Teoria de Sistemas Lineares Aula 0

12 Sistema de equações diferenciais: ẍ + b m 1 (ẋ ż) + k m 1 (x z) = u m 1 z + b m 2 (ż ẋ) + k m 2 (z x) = 0 Molas e amortecedores modelados como elementos lineares Com as equações, pode-se determinar o comportamento do sistema (isto é, as posições x, z e as velocidades ẋ, ż) para qualquer força externa u aplicada p.12 Teoria de Sistemas Lineares Aula 0

13 Descrição por Variáveis de Estado: Definem-se: x 1 = x, x 2 = ẋ, z 1 = z e z 2 = ż, obtendo-se as equações lineares vetoriais de primeira ordem: ẋ 1 ẋ 2 ż 1 ż 2 }{{} ẋ(t) = k m 1 b m 1 k m 1 b m k m 2 b m 2 k m 2 b m 2 } {{ } A x 1 x 2 z 1 z 2 }{{} x(t) 0 1 m + 1 u 0 } 0 {{ } B p.13 Teoria de Sistemas Lineares Aula 0

14 Descrição por Função de Transferência Aplicando a Transformada de Laplace (com condições iniciais nulas) tem-se: s 2 X(s) + b m 1 s(x(s) Z(s)) + k m 1 (X(s) Z(s)) = 1 m 1 U(s) s 2 Z(s) + b m 2 s(z(s) X(s)) + k m 2 (Z(s) X(s)) = 0 e obtêm-se as relações X(s) U(s) e Z(s) U(s) p.14 Teoria de Sistemas Lineares Aula 0

15 Análise do Modelo Quantitativo: cálculo das respostas para determinadas entradas; verificação da acuidade do modelo Qualitativo: propriedades gerais do sistema como estabilidade, controlabilidade e observabilidade; permite o desenvolvimento de técnicas de projeto p.15 Teoria de Sistemas Lineares Aula 0

16 Projeto Se o comportamento do sistema, embora fiel ao modelo descrito, é insatisfatório tendo em vista certas especificações de desempenho desejadas, é necessário projetar uma ação que leve o sistema a apresentar as características desejadas. p.16 Teoria de Sistemas Lineares Aula 0

17 Tópicos Principais Álgebra linear Sistemas lineares com entradas e saídas; espaço de estado Estabilidade, controlabilidade e observabilidade Controle e Estimação p.17 Teoria de Sistemas Lineares Aula 0

18 Ferramentas Computacionais Control System Toolbox p.18 Teoria de Sistemas Lineares Aula 0