EES-20: Sistemas de Controle II. 31 Julho 2017

Transcrição

1 EES-20: Sistemas de Controle II 31 Julho / 41

2 Folha de informações sobre o curso 2 / 41

3 O que é Controle? Controlar: Atuar sobre um sistema físico de modo a obter um comportamento desejado. 3 / 41

4 O que é Sistema? Sistema: Parte do universo sobre a qual se foca a atenção. Também denominado Processo ou Planta, no contexto de Controle. 4 / 41

5 Planta: Entradas e Saídas Variáveis não manipuladas: Perturbações / Distúrbios. Variáveis manipuladas: Controles. 5 / 41

6 Comportamento desejado Tipicamente, deseja-se conduzir as saídas até valores de referência (preferencialmente, com resposta rápida e bem amortecida). Dificuldade: Como compensar o efeito das perturbações? 6 / 41

7 Controle em malha fechada Uso de realimentação (controle em malha fechada). 7 / 41

8 Para projetar o controlador, é conveniente dispor de um modelo matemático para a relação entre as entradas e as saídas da planta. 8 / 41

9 Modelo matemático da planta Exemplo 1: Motor elétrico 9 / 41

10 Produção de força em um fio F l B i F = Bil 10 / 41

11 Produção de torque em uma espira r r F l i B B F i m τ m = 2rF = (2rBl) i }{{} K m Como manter a força ortogonal ao plano da espira? 11 / 41

12 Produção de torque em uma espira Como manter a força ortogonal ao plano da espira? F B B F 12 / 41

13 Tensão induzida em um fio l V B + - e ind e ind = BVl 13 / 41

14 Tensão induzida em uma espira r r e V ind - + l B B + V - e ind + - v g v g = 2e ind = 2BVl 14 / 41

15 Tensão induzida em uma espira v g = 2BVl (1) Relação entre velocidade angular ω e linear V : V = rω (2) De (1) e (2), tem-se v g = (2rBl) ω }{{} K g 15 / 41

16 Relações de acoplamento eletromecânico τ m = (2rBl) }{{} i v g = (2rBl) ω }{{} K m K g Coincidência? 16 / 41

17 Relações de acoplamento eletromecânico i t m t t g t Conservação de energia: v g (t) i(t) = τ m (t) ω(t) }{{}}{{} K g ω(t) K mi(t) Portanto, tem-se K g = K m 17 / 41

18 Acionamento empregando fonte de tensão R L i t m t t v t g t J, b Entrada da planta: Tensão aplicada v(t) Saída da planta: Velocidade de rotação ω(t) Empregando a notação usual (EES-10): u(t) = v(t), y(t) = ω(t) Problema de controle típico: Manipular a entrada u(t) de modo que a saída y(t) acompanhe um dado sinal de referência r(t). 18 / 41

19 Malha de controle R L i t y t = t m t u t = v t g t J, b r t u t y t (Assumindo a disponibilidade de um sensor de velocidade) Para projetar o controlador, convém obter um modelo matemático para a relação entre u(t) e y(t). 19 / 41

20 Modelo matemático: Equações diferenciais R L i t m t y t = t u t = v t g t J, b Dinâmica mecânica: J dω dt = τ m bω 20 / 41

21 Modelo matemático: Equações diferenciais R L i t m t y t = t u t = v t g t J, b Dinâmica elétrica: L di dt + Ri + v g = v 21 / 41

22 Modelo matemático: Equações diferenciais Dinâmica mecânica: Dinâmica elétrica: J dω dt = τ m bω L di dt + Ri + v g = v Acoplamento eletromecânico: τ m = K m i v g = K g ω 22 / 41

23 Modelo matemático: Equações diferenciais Duas equações diferenciais de 1a ordem acopladas entre si: ( ) dω b dt = ω + J ( ) di dt = Kg ω L ( Km J ) i ( ) R i + L ( ) 1 v L Pode-se reescrever o modelo na forma de uma equação diferencial de 2a ordem relacionando as variáveis de entrada e saída: Entrada: u = v Saída: y = ω 23 / 41

24 Modelo matemático: Equações diferenciais Escrevendo u, y em lugar de v, ω, as equações tornam-se ( ) ( ) dy b dt = Km y + i (3) J J ( ) di dt = Kg y L ( ) R i + L ( ) 1 u (4) L Diferenciando ambos os lados de (3) com respeito ao tempo, obtém-se d 2 ( ) ( ) y b dy dt 2 = J dt + Km di J dt De (4) e (5), chega-se a d 2 ( y b dt 2 = J ) dy dt ( Km K g JL ) y ( ) Km R i + JL (5) ( ) Km u (6) JL 24 / 41

25 Modelo matemático: Equações diferenciais d 2 y dt 2 = dy dt = ( ) b dy J dt ( ) b y + J ( Km K g JL ) y ( Km J ( Km R JL ) i (3) ) i + ( ) Km u (6) JL De (3), tem-se ( J i = K m ) ( ) dy b dt + y (7) K m De (6) e (7), chega-se a d 2 ( ) y b dy dt 2 = J dt ou ainda: ( Km K g JL ) ( Km R y JL J K m ) ( dy dt Km R JL b K m (JL) d 2 y dy + (JR + bl) dt2 dt + (br + K mk g ) y = K m u ) ( ) Km y + u JL 25 / 41

26 Modelo matemático: Equações diferenciais Empregando a notação de Newton para as derivadas, pode-se também escrever (JL)ÿ + (JR + bl) ẏ + (br + K m K g ) y = K m u Trata-se de equação diferencial linear com coeficientes constantes (EES-10: Modelo linear e invariante no tempo). 26 / 41

27 Modelo matemático: Função de transferência (JL)ÿ + (JR + bl) ẏ + (br + K m K g ) y = K m u A função de transferência G(s) entre a entrada e a saída da planta pode ser obtida aplicando-se a Transformada de Laplace aos dois lados da equação e assumindo condições iniciais nulas (y(0) = ẏ(0) = 0): (JL)s 2 Y (s) + (JR + bl) sy (s) + (br + K m K g ) Y (s) = K m U(s) G(s) = Y (s) U(s) = K m (JL)s 2 + (JR + bl) s + (br + K m K g ) 27 / 41

28 Modelo matemático: Função de transferência G(s) = Y (s) U(s) = K m (JL)s 2 + (JR + bl) s + (br + K m K g ) Empregando este modelo matemático, podem-se usar as técnicas estudadas em EES-10 para projetar uma função de transferência C(s) a ser usada no controlador. R s + - E s C s U s G s Y s Configuração típica: Realimentação unitária da saída 28 / 41

29 Motivação para EES-20 Seria possível projetar um controlador que usasse medidas da velocidade de rotação ω e também da corrente i (supondo disponibilidade de sensores)? r t u t i t t y t Sim, e de forma mais simples (ou ao menos mais sistemática ) do que em EES-10! 29 / 41

30 Motivação para EES-20 r t u t i t t y t Para esse propósito, convém empregar um modelo matemático que descreva a relação entre a entrada u(t) e as variáveis ω(t), i(t). Alternativa 1: Matriz de transferência Alternativa 2 (mais simples...): Modelo no espaço de estados 30 / 41

31 Modelo no espaço de estados Ideia: Retomar a modelagem no domínio do tempo (equações diferenciais) ( ) ( ) dω b dt = Km ω + i J J ( ) di dt = Kg ω L ( ) R i + L ( ) 1 u L Em forma matricial (mais compacta ): dω dt = b K m J J di dt K g L R L ω i L u 31 / 41

32 Modelo no espaço de estados dω dt di dt = b J K g L K m J R L ω i L u Notação padronizada: Variáveis de estado (ou simplesmente estados ): x 1 = ω, x 2 = i ] Vetor de estado (ou simplesmente estado ): x = [ x1 x 2 32 / 41

33 Modelo no espaço de estados Usando notação de Newton para as derivadas: [ ] ẋ1 b K m [ ] 0 = J J x1 ẋ 2 }{{} K g R + x 2 1 u }{{} L L L ẋ }{{} x }{{} A B Forma padrão ( equação de estado ): ẋ = Ax + Bu 33 / 41

34 Modelo no espaço de estados A relação entre os estados e a(s) saída(s) é explicitada por meio de uma equação de saída da forma y = Cx + Du No exemplo do motor elétrico, tem-se simplesmente y = ω = x 1. Nesse caso: C = [ 1 0 ], D = 0 34 / 41

35 Modelo no espaço de estados Resumindo: Equação de estado: ẋ = Ax + Bu Equação de saída: y = Cx + Du De maneira geral (sistemas com p entradas, n estados e q saídas): u 1 x 1 y 1 u 2 u =., x = x 2., y = y 2. u p x n y q A R n n, B R n p, C R q n, D R q p Em sistemas SISO (Single Input, Single Output), tem-se p = q = 1. Usualmente (como no exemplo do motor elétrico), D = 0 (ausência de transmissão direta entre a entrada e a saída). 35 / 41

36 Modelo no espaço de estados Exemplo 2: Sistema massa-mola-amortecedor 36 / 41

37 Sistema massa-mola-amortecedor v t f t m k b z t Entrada u(t) = Força f (t) Saída y(t) = Deslocamento z(t) Obter modelo no espaço de estados (equações de estado e de saída) 37 / 41

38 Sistema massa-mola-amortecedor v t f t m k b ż = v z t m v = kz bv + f Entrada: u = f Saída: y = z Variáveis de estado: x 1 = z, x 2 = v 38 / 41

39 Sistema massa-mola-amortecedor ż = v m v = kz bv + f x 1 = z, x 2 = v, u = f ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = ( ) ( ) ( ) k b 1 x 1 x 2 + u m m m Equação de estado em forma matricial: [ ẋ1 ẋ 2 ] }{{} ẋ = 0 1 k m b }{{ m } A [ x1 x 2 }{{} x ] u m }{{} B 39 / 41

40 Sistema massa-mola-amortecedor Equação de saída: y = z = x 1 Em forma matricial: y = [ 1 0 ] [ x1 }{{} x 2 C ] + }{{} 0 u D 40 / 41

41 Tópicos do 1o Bimestre Linearização de modelos não lineares Relação entre modelo no espaço de estados e função de transferência ( Problema de realização ) Solução da equação de estado Análise de estabilidade Projeto de controladores empregando realimentação de estado: (1) Alocação de polos e (2) controle ótimo ( Regulador Linear-Quadrático ) Projeto de observador de estados: (1) Alocação de polos e (2) estimação ótima ( Filtro de Kalman ) 41 / 41