Redução de Subsistemas Múltiplos

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1 CAPÍTULO CINCO Redução de Subsistemas Múltiplos SOLUÇÕES DE DESAFIOS DOS ESTUDOS DE CASO Controle de Antena: Projetando uma Resposta a Malha Fechada a. Desenhando o diagrama de blocos do sistema: b. Desenhando o diagrama de fluxo de sinal de cada um dos subsistemas e, em seguida, interconectando-os: Em notação matricial vetorial

2 Malhas disjuntas: d. A função de transferência equivalente do percurso à frente é Gs () Portanto, ,. ss () 1 1, 32 Os pólos estão localizados em 0,66 j1,454. n %UP e 1 2 x100 24%; T s , s; T p 066, n 2, 55 1, 597 rad/s; 2 n 1,32, portanto, 0,413. n 216, s. Usando a Fig , 1486, 4.16, o tempo de subida normalizado é 1,486. Dividindo pela freqüência natural, T r 093, s. 255, e.

3 f. Como G(s) 15%, ω n 051, K, T(s) ss ( 132, ) 051, K. Além disso, para uma ultrapassagem de 2 s 132, s 051, K % UP ln ( ) 100 0, 517; n 051, K; 2 n 1,32. Por conseguinte, % UP 2 2 ln , 1,32 = = = 1, 277 = 0, 51K. Resolvendo para K, K 3,2. 2 2(0, 5147) Veículo UFSS: Representação do Controle do Ângulo de Arfagem a. Use a forma canônica do observador para a dinâmica do veículo de modo que a velocidade de arfagem de saída seja uma variável de estado. b. Usando o diagrama de fluxo de sinal para escrever as equações de estado: Na forma matricial vetorial:

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5 RESPOSTAS DAS PERGUNTAS DE REVISÃO 1. Sinais, sistemas, junções de soma, pontos de distribuição de sinal. 2. Cascata, paralela, com retroação. 3. Produto de funções de transferência individuais, soma de funções de transferência individuais, ganho do percurso direto dividido por um mais o produto do ganho do percurso direto pelo ganho de retroação. 4. Formas equivalentes para deslocar blocos em relação a junções de soma e a pontos de distribuição de sinal. 5. À medida que K varia de 0 a, o sistema vai de superamortecido a amortecido criticamente e a subamortecido. Quando o sistema for subamortecido, o tempo de assentamento permanece constante. 6. Como a parte real permanece constante e a parte imaginária aumenta, a distância radial da origem aumenta. Portanto, o ângulo aumenta. Como cos, a relação de amortecimento é decrescente. 7. Nós (sinais), ramos (sistemas). 8. Os sinais que chegam a um nó são adicionados. Os sinais que saem do nó são iguais às somas dos sinais que chegam ao nó. 9. Um. 10. Forma em variáveis de fase, forma em cascata, forma paralela, forma canônica de Jordan, forma canônica observável. 11. A forma canônica de Jordan e a forma paralela resultam da expansão em frações parciais. 12. Forma paralela. 13. Os pólos ou autovalores do sistema. 14. Os pólos do sistema incluindo a repetição das raízes múltiplas.

6 15. A solução das variáveis de estado são obtidas através de equações desacopladas, isto é, as equações são solucionadas individualmente e não simultaneamente. 16. As variáveis de estado podem ser identificadas com grandezas físicas; facilidade de solução de algumas representações. 17. Sistemas com zeros. 18. Transformações do vetor de estado são transformações de uma base em outra, isto é, um mesmo vetor representado em outra base. 19. Vetor cuja transformação matricial produz um outro vetor colinear com o original. Em outras palavras, o comprimento é alterado, mas não o ângulo. 20. Um autovalor é o fator que multiplica o vetor original para produzir o vetor transformado. 21. A matriz de sistema resultante é diagonal. SOLUÇÕES DE PROBLEMAS 1. a. Combinar a retroação interna com os dois sistemas em paralelo. Multiplicar os blocos do percurso direto e aplicar a expressão da retroação para obter,

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8 2. Deslocar G 1 (s) para a esquerda da junção somadora. Deslocar G 1 (s) H 1 (s) para a esquerda do ponto de distribuição de sinal.

9 Reunir as junções de soma em uma única. Formar G 1 (s) 1 e deslocá-la para a direita da junção somadora. Simplificar as junções somadoras e somar os percursos de retroação.

10 Usando a expressão da retroação, 4. Deslocar G 2 (s) para a esquerda da junção somadora. Simplificar as junções somadoras e adicionar as funções de transferência em paralelo.

11 Deslocar G 1 (s) G 2 (s) G 5 (s) para a direita da junção somadora. Simplificar as junções somadoras e adicionar os percursos de retroação. Aplicando a expressão da retroação, 6.

12 Combinar G 6 e G 7 obtendo G 6 G 7. Adicionar G 4 e obter o seguinte diagrama: Combinar, em seguida, G 3 e G 4 G 6 G 7. Deslocar G 5 para a esquerda do ponto de distribuição de sinal.

13 Observar que a retroação está na forma paralela. Assim, a retroação equivalente é H eq (s) G2 G(G 3 4 GG) 6 7 G8 Como a função de transferência do percurso direto é G(s) G eq (s) G5 G 1 G 5, a função de transferência a malha fechada é Portanto, 8. Deslocar G 3 para a esquerda do ponto de distribuição de sinal.

14 Por conseguinte, Assim, a função de transferência é o produto das funções, ou seja 9. Combinar a retroação com G 6 e combinar o paralelo de G 2 e G 3. Mover G 2 G 3 para a esquerda do ponto de distribuição de sinal.

15 Combinar a retroação e o paralelo no percurso direto obtendo a função de transferência equivalente do percurso direto Mas, Ts () Ge() s. Em conseqüência, G () s G () s 1 e Ts (). Portanto, 2 2 n 12 e n 15. Portanto, 0,4. s 12s

16 13. Deslocar 2s para a esquerda do ponto de distribuição de sinal e combinar o paralelo de 2 e 1/s. Deslocar (2s 1)/s para a direita da junção somadora e combinar as junções somadoras.

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18 19. Ei() s Para o gerador, E g (s) K f I f (s). Mas I f (s). Por conseguinte, E s g() Rf Lfs Ei() s 2 Para o motor, s 1 considere R a 2, a soma dos dois resistores. Além disso, J e J a J L (1/2) 2 0,75 1/4 1; D e D L (1/2) 2 1. Por conseguinte, Mas, o() s 1. () s 2 Por conseguinte, o() s E () s 025, s( s 15, ). E, para finalizar, m g Para o sistema mecânico, J N s s T N s 2(). Para o potenciômetro, Ei( s) 10 2() N1 N1 2 ou R s 2() s Ei() s. Para o circuito, Eo() s Ei() s Ei() s 5 1 1, ou R s Cs RC s 1 1 s E s E s RC i() o(). Em conseqüência, 2() s E () s RC o. Substituindo na equação s 5 s mecânica, obtém-se 22. a.

19 b.

20 c.

21 23. a. b. c.

22 25. a. Como Gs () s 14s 67s 126s 72 Cs () Rs (), Sejam, Portanto,

23 b. Mas, Gs () ( )( 1 s )( 1 s )( 1 10 s )( s 6 ). Assim, De onde, 26.

24 Ganhos de malha fechada: s ; ; ; s s s 1 Ganhos de percursos à frente: T1 s; T2 2 s Malhas disjuntas: não há

25 Escrevendo as equações de estado e de saída, Na forma matricial vetorial, Escrevendo as equações de estado e de saída, Na forma matricial vetorial,

26 c. Escrevendo as equações de estado e de saída, Na forma matricial vetorial,

27 32. a. Forma canônica do controlador: Com base na forma em variáveis de fase do Problema 5.31(a), inverte-se a ordem das variáveis de estado e obtém-se, Ordenando as equações, Em forma matricial vetorial, Forma canônica do observador: Multiplicando em cruz,

28 Portanto, Desenhando o diagrama de fluxo de sinal, Escrevendo as equações de estado e de saída, Em forma matricial vetorial, b. Forma canônica do controlador: Com base na forma em variáveis de fase do Problema 5.31(b), inverte-se a ordem das variáveis de estado e obtém-se,

29 Ordenando as equações, Em forma matricial vetorial, Forma canônica do observador: Multiplicando em cruz, Portanto, Desenhando o diagrama de fluxo de sinal,

30 Escrevendo as equações de estado e de saída, Em forma matricial vetorial, c. Forma canônica do controlador: Com base na forma em variáveis de fase do Problema 5.31(c), inverte-se a ordem das variáveis de estado e obtém-se,

31 Ordenando as equações, Em forma matricial vetorial, Forma canônica do observador: Multiplicando em cruz, Portanto, Desenhando o diagrama de fluxo de sinal,

32 Escrevendo as equações de estado e de saída, Em forma matricial vetorial, 34. a. Forma em variáveis de fase:

33 Escrevendo as equações de estado, Em forma matricial vetorial, b. Forma paralela:

34 Escrevendo as equações de estado, Em forma matricial vetorial, 35. Desenhando o diagrama de fluxo de sinal,

35 Escrevendo as equações de estado e de saída, Em forma matricial vetorial, Desenhando o diagrama de fluxo de sinal e incluindo o canal de retroação unitária,

36 Escrevendo as equações de estado e de saída, Em forma matricial vetorial,

37 36.

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40 40. Substituindo a Eq. (2) na Eq. (3), Em notação matricial vetorial, 41. Em forma matricial vetorial,

41 Os autovalores são 1, 2 e 3, uma vez que Calculando os autovetores, Ax x ou,

42 Para 1, x 1 x 2 x 3 /2. Para 2, x 1 2x 3, x 2 3x 3. Para 3, x 1 x 3, x 2 2x 3. Assim, a. Combinar G 1 (s) e G 2 (s). Em seguida, deslocar K 1 para a direita da junção somadora:

43 Deslocar K 1 K 2 para a direita da junção somadora: b. Arrumando o diagrama de blocos para mostrar a velocidade de arfagem comandada como entrada e a velocidade de arfagem real como saída:

44 Deslocando K 2 para a direita da junção somadora e deslocando s para a esquerda do ponto de distribuição de sinal, resulta

45 Determinando a função de transferência a malha fechada: c. Arrumando o diagrama de blocos para mostrar a aceleração de arfagem comandada como entrada e a aceleração de arfagem real como saída: Deslocando s 2 para a esquerda do ponto de distribuição de sinal resulta Determinando a função de transferência a malha fechada: 51.

46 a. A função de transferência do percurso direto equivalente é b. Desenhe o diagrama de fluxo de sinal: Escrevendo as equações de estado e de saída a partir do diagrama de fluxo de sinal: Em forma matricial vetorial:

47 Resposta do computador: 53. Desenhando o diagrama de fluxo de sinal:

48 Escrevendo as equações de estado e de saída: Em forma matricial vetorial: Desenhando o diagrama de fluxo de sinal:

49 Escrevendo as equações de estado e de saída: Em forma matricial vetorial: c. Forma canônica do observador: Dividir pela maior potência de s e obter Multiplicando em cruz, Rearranjando os termos,

50 Desenhando o diagrama de fluxo de sinal, onde r u e y c: d. Desenhar o diagrama de fluxo de sinal, ignorando o polinômio do numerador: Escrever as equações de estado: A equação de saída é

51 Mas, e Substituindo as Eqs. (2) e (3) em (1) resulta, Em forma matricial vetorial: e. Expandir em frações parciais: Desenhar o diagrama de fluxo de sinal: Escrever as equações de estado e de saída:

52 55. Em forma matricial vetorial:

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54 56.

55 SOLUÇÕES DE PROBLEMAS DE PROJETO 58. Portanto, a função de transferência do percurso direto é 59. a. T(s) 25 ; de onde, 2 n 1 e n 5. Em conseqüência, 0,1. Portanto, s s 25 b. T(s) 25K1 ; de onde, 2 n 1 25K2 e n 5 K1. s 2 (1 25K 2 )s 25K1 2

56 e n 49,5. Assim, K 1 98, K A função de transferência equivalente do percurso direto é Ge( s). Assim, s( 1 ( 1 K2)) Ge s K Ts () () G () s. Antes da compensação com o tacômetro (K 1 2 s ( 1 K ) s 2 0), K e 2 K Ts (). Portanto, K 2 n Assim, após a compensação tacométrica, s s K 100 Ts (). Em conseqüência, 2 n 10; 2 n 1 K 2. Por conseguinte, K 2 s ( 1 K2) s n 1 2(0,5)(10) No eixo N 2, com rotação L (s) Portanto, Mas, X(s) r L (s). Assim, onde Portanto, a inércia e o amortecimento viscoso de carga total é Referindo J L e D L ao eixo do motor, vem

57 Assim, a função de transferência do motor é A relação de transmissão com engrenagens é (10/20)(1) 1/2. Portanto, a função de transferência do percurso direto é Determinando a função de transferência a malha fechada, resulta, 62. a.

58 c. Para G(s) (y h y cat )/F cima Representação em variáveis de fase Usando este resultado para desenhar o diagrama de fluxo de sinal,

59 Escrevendo as equações de estado e de saída Mas, Substituindo f saída nas equações de estado resulta Colocando as equações de estado e de saída na forma matricial vetorial,