Sistemas de Controle 2

Transcrição

1 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Sistemas de Controle 2 Cap.9 Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

2 Sistemas de Controle 2 Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro Cap.9 Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes 9. Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes 9.1 Introdução 9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação 9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação 9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória 9.5 Compensação por Retroação 9.6 Realização Física da Compensação Bibliografia principal: Engenharia de Sistemas de Controle Norman S. Nise

3 Aula anterior 9. Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes 9.1 Introdução Compensadores Mudança no local geométrico das raízes Adição de pólos e zeros no sistema Circuitos eletrônicos ativos e passivos de compensação 9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação Compensação Integral Ideal (PI) - Inserção de um pólo exatamente na origem - Inserção de um zero próximo do pólo na origem Compensação por Atraso de Fase (passivo) - Inserção de um pólo próximo da origem - Inserção de um zero próximo deste pólo

4 Objetivo: Projetar uma resposta que tenha uma ultrapassagem percentual desejada e um tempo de acomodação menor que o sistema sem compensação. Técnicas: Controlador proporcional e derivativo (PD) Compensação derivativa ideal (derivador puro) Um derivador puro é adicionado ao caminho à frente do sistema de controle com realimentação Acréscimo de um zero Compensador de avanço de fase (passivo) Adiciona à função de transferência do caminho à frente um zero e um polo mais distante.

5 Compensação Derivativa Ideal (Controlador PD) Projetar uma resposta que tenha uma ultrapassagem percentual desejada e um tempo de acomodação menor que o sistema sem compensação. Acelera a resposta do sistema Realizado através da soma de um derivador e de um ganho puro. Adição de um único zero

6 Sistema sem compensação Adição de um zero movimenta o ponto de operação Zero em -2

7 Comparando 3 zeros em posições diferentes Zero em -2 Zero em -3 Zero em -4 Em todos os sistemas compensados os pólos dominantes estão mais distantes ao longo da reta de amortecimento do que o sistema sem compensação

8 Comparando distâncias Sistema sem compensação Zero em -2

9 Comparando distâncias Sistema sem compensação Zero em -3

10 Comparando distâncias Sistema sem compensação Zero em -4

11 Comparando 3 zeros em posições diferentes: Mesma ultrapassagem percentual Zero em -2 Zero em -3 Zero em -4 Todos os sistemas, compensados ou não, operam sobre a mesma reta de amortecimento. Portanto todos terão a mesma ultrapassagem percentual.

12 Tempo de assentamento menor nos 3 sistemas compensados Zero em -2 Zero em -3 Zero em -4 Todos os sistemas compensados operam em pólos com parte real mais negativa do que do sistema não compensado. Todos possuem tempo de assentamento menor (atingem o equilíbrio mais rápido)

13 Tempo de pico menor nos 3 sistemas compensados Zero em -2 Zero em -3 Zero em -4 Todos os sistemas compensados operam em pólos com parte imaginária mais negativa do que do sistema não compensado.

14 Tempo de pico menor nos 3 sistemas compensados Zero em -2 Zero em -3 Zero em -4 A medida que os zeros se distanciam dos pólos dominantes, o ponto de operação (pólos dominantes em malha fechada) se aproxima da origem.

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16 Tempo de acomodamento reduziu mais de 2x em todos os sistemas compensados

17 Tempo de pico reduziu mais de 2x em todos os sistemas compensados

18 Compensação também reduziu o erro de regime permanente

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20 Desvantagens do controlador PD Requer um circuito ativo para realizar a derivação A derivação é um processo ruidoso O nível de ruído é baixo Frequência do ruído é alta comparada com o sinal Pode gerar grandes sinais indesejados Pode saturar amplificadores e outros componentes

21 Realização física de um compensador PD

22 Laboratório 1 do capítulo 9

23 Compensação de Avanço de Fase (passivo) Estrutura passiva que se aproxima do controlador PD Como é passivo um único zero não pode ser gerado gera-se um polo e um zero Se o polo produzido estiver distante do eixo imaginário do que o zero produzido sua ação ainda é positiva. A contribuição angular do polo compensador é subtraída da contribuição angular do zero, portanto é preciso haver um saldo positivo. Vantagens em relação ao controlador PD Fontes de alimentação adicionais não são requeridas O ruído produzido é menor Desvantagens em relação ao controlador PD O polo adicional não reduz o número de ramos do lugar geométrico das raízes que cruzam o eixo imaginário para o semiplano da direita, enquanto que o controlador PD tende a reduzir esses ramos.

24 Contribuição do polo e zero adicional 1) Para projetar esse controlador é preciso escolher a posição do polo desejado no plano s (em cima de uma determinada reta de amortecimento ou não).

25 Contribuição do polo e zero adicional 1) Para projetar esse controlador é preciso escolher a posição do polo desejado no plano s (em cima de uma determinada reta de amortecimento ou não). 2) A soma dos ângulos a partir dos polos e zeros do sistema sem compensação até o ponto escolhido menos 180 graus fornece a contribuição angular do compensador Exemplo: Polos possuem ângulos negativos Zeros possuem ângulos positivos Contribuição angular do polo e zero adicionais:

26 Contribuição do polo e zero adicional θ c : Contribuição angular ângulo do feixe que parte do ponto de projeto e intercepta o eixo real nos valores do polo e do zero compensador.

27 Contribuição do polo e zero adicional Como a contribuição angular é sempre o ângulo desse feixe, se ele deslocar, a contribuição angular matematicamente continua sendo a mesma. Portanto o número de soluções é infinita. A diferença entre as soluções está: - na constante de erro estático - no ganho - na dificuldade de se justificar a aproximação de segunda ordem - na resposta transitória.

28 Projeto - Escolher arbitrariamente o polo ou zero do compensador de avanço de fase - Somar ângulos de todos os polos e zeros em relação ao ponto escolhido. Exemplo: - A diferença entre 180 graus e essa soma será a contribuição angular necessária para compensar o sistema. - Encontrar o segundo ponto (polo ou zero) de acordo com o ponto arbitrariamente escolhido. - Verificar cada projeto através de simulação

29 Exemplo É preciso simular para selecionar qual compensação é capaz de fornecer a resposta desejada.

30 Comparando sistemas: Nenhum zero Observar a posição do zero arbitrário para verificar possíveis cancelamentos de polos e se a aproximação se segunda ordem esta OK Zero em -5 Nenhum zero Zero em -2

31 Comparando sistemas: Erro de regime permanente 0.38 Observar melhora no erro de regime permanente

32 Comparando sistemas: Ganho Observar ganho necessário

33 Realização física de um compensador por avanço de fase Função de transferência

34 Laboratório 2 do capítulo 9

35 9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta Transitória Combinação das técnicas anteriores para melhorar o erro de regime permanente e a resposta transitória de forma independente. Método 1) Primeiro, melhorar a resposta transitória com as técnicas de - Controle PD - Compensação por avanço de fase 2) Depois, melhorar erro de regime permanente com as técnicas de: - Controle PI - Compensação por atraso de fase Desvantagem Pequena redução na velocidade da resposta quando o erro de regime permanente é melhorado

36 9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta Transitória É possível seguir outra sequência de projeto, corrigindo primeiro o erro e depois a resposta transitória, as consequências podem ser: - Correção da resposta transitória pode degradar a correção do erro. - Melhoria na resposta transitória resulta em melhoria adicional na correção do erro provocando superdimensionamento do sistema de controle (projeto em excesso) Normalmente não é um problema para o funcionamento Pode afetar o custo ou gerar outros problemas de projeto.

37 9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta Transitória Projeto do Controlador PID Função de transferência

38 9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta Transitória Projeto do Controlador PID - Possui 2 zeros e um polo na origem - 1 zero e 1 polo na origem Podem ser projetados como controlador PI - Outro zero Pode ser projetado como controlador PD

39 9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta Transitória Projeto do Controlador PID 8 Passos da Técnica de Projeto 1. Avalie o desempenho do sistema sem compensação para determinar quanta melhoria na resposta transitória é requerida. 2. Projete o controlador PD para atender às especificações de resposta transitória. O projeto inclui a posição do zero e o ganho de malha. 3. Simule o sistema para ter certeza de que todos os requisitos foram atendidos. 4. Projete novamente se a simulação mostrar que os requisitos não foram atendidos. 5. Projete o controlador PI para resultar no erro em regime permanente desejado 6. Determine os ganhos K1, K2 e K3. 7. Simule o sistema para ter certeza de que todos os requisitos foram atendidos. 8. Projete novamente se a simulação mostrar que os requisitos não foram atendidos.

40 Exemplo Projeto do Controlador PID

41 Projeto do Controlador PID Passo 1 Avaliar o sistema sem compensação operando com 20% de ultrapassagem. %UP=20% ζ = Polos dominantes em ± j10.57 com ganho de Terceiro polo em

42 Previsão de resultados Projeto do Controlador PID Passo 1 Avaliar o sistema sem compensação operando com 20% de ultrapassagem. Curva simulada OK Reduzir para 2/3 deste valor Reduzir para zero

43 Previsão de resultados Projeto do Controlador PID Passo 2 Determinar a posição dos polos dominantes para o sistema compensado para reduzir Tp para 2/3 do tempo sem compensação Parte imaginária do polo dominante: Parte real do polo dominante: Reduzir para 2/3 deste valor

44 x j15,87 Projeto do Controlador PID Passo 2 Determinar a posição dos polos dominantes para o sistema compensado para reduzir Tp para 2/3 do tempo sem compensação Parte imaginária do polo dominante: Parte real do polo dominante:

45 x j15,87 Projeto do Controlador PID Passo 2 Determinar a posição dos polos dominantes para o sistema compensado para reduzir Tp para 2/3 do tempo sem compensação. Projetar o compensador calculando a posição do zero de compensação. θ 3 θ 1 θ 2 θ 4 = Contribuição requerida: = θ 4 θ 3 θ 2 θ 1

46 Projeto do Controlador PID Passo 2 Projetar o compensador calculando a x j15,87 posição do zero de compensação. Contribuição requerida: = θ c = Controlador PD:

47 Projeto do Controlador PID Novo local das raízes com o controlador PD

48 Previsão de resultados OK Passos 3 e 4 Projeto do Controlador PID Simulamos o sistema compensado com PD e observamos a redução do instante de pico e a melhoria no erro em regime permanente em relação ao sistema sem compensação. Reduzir para 2/3 deste valor: OK Reduzir para zero (mas já reduziu bastante)

49 Projeto do Controlador PID Passos 5 Projetar o controlador PI para reduzir o erro em regime permanente para zero quando a entrada é um degrau. Posicionar o zero próximo da origem: - Esboçar o lugar geométrico das raízes para o sistema compensado com PID - Procurar na reta de fator de amortecimento de os polos dominantes e seu ganho associdado.

50 Projeto do Controlador PID Passos 5 Projetar o controlador PI para reduzir o erro em regime permanente para zero quando a entrada é um degrau. Polos: 7,516 ± j14.67 Ganho: 4.6

51 Previsão de resultados OK Previsão de resultados, é preciso simular a curva Reduzir para 2/3 deste valor: degradou um pouco Reduziu para zero

52 Projeto do Controlador PID Passos 6 Agora determinamos os ganhos K1, K2 e K3 Controlador PD Controlador PI Controlador PID

53 Projeto do Controlador PID Passos 7 e 8 Simulando a curva e verificando resultados no tempo A compensação PD melhorou a resposta transitória, reduzindo o tempo necessário para alcançar o primeiro pico e também resultou em alguma melhoria no erro em regime permanente. O controlador PID completo melhorou ainda mais o erro em regime permanente sem alterar significativamente a resposta transitória projetada com o controlador PD. Controlador PID apresenta uma resposta mais lenta. Caso isso seja indesejável, a velocidade do sistema deve ser aumentada projetando-se novamente o compensador derivativo ideal ou movendose o zero do controlador PI para mais longe da origem.

54 Projeto do Controlador PID Passos 7 e 8 Simulando a curva e verificando resultados no tempo A compensação PD melhorou a resposta transitória, reduzindo o tempo necessário para alcançar o primeiro pico e também resultou em alguma melhoria no erro em regime permanente. O controlador PID completo melhorou ainda mais o erro em regime permanente sem alterar significativamente a resposta transitória projetada com o controlador PD. Controlador PID apresenta uma resposta mais lenta. Caso isso seja indesejável, a velocidade do sistema deve ser aumentada projetando-se novamente o compensador derivativo ideal ou movendose o zero do controlador PI para mais longe da origem.

55 9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta Transitória Realização física do compensador PID Função de transferência