Indução Magnética. E=N d Φ dt

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1 Indução Magnética Se uma bobina de N espiras é colocada em uma região onde o fluxo magnético está variando, existirá uma tensão elétrica induzida na bobina, e que pode ser calculada com o auxílio da Lei de Faraday: E=N d Φ dt A polaridade dessa tensão, é tal que ela tende a estabelecer uma corrente nessa bobina, que produz um fluxo no sentido contrário ao da variação do fluxo original. Em outras palavras, se o fluxo magnético variante aumenta, existirá uma tensão induzida que criará uma corrente que irá diminuir esse fluxo. Se o fluxo variante está diminuindo, a tensão induzida será tal que a respectiva corrente irá aumentar o fluxo original. Esse característica de oposição da variação do fluxo magnético é conhecido como Lei de Lenz. Indutância A propriedade de um bobina de se opor à variação de corrente é medida pela sua auto-indutância (ou somente indutância), representada pela letra L. A unidade de medida no SI é o henry [H], em homenagem ao físico americano Joseph Henry. Os indutores, são bobinas de várias dimensões projetadas para introduzir quantidades específicas de indutância em um circuito elétrico. A indutância das bobinas pode ser calculada, com aproximação, pela equação: L= N 2 μ A l [H] onde N é o número de espiras, μ é a permeabilidade magnética do núcleo, A a área de sua seção transversal e l seu comprimento. É comum enrolar bobinas em torno de materiais ferromagnéticos, pois possuem permeabilidades muito maiores que o ar, alcançando valores maiores de indutância.

2 Como são elementos passivos comuns em circuitos elétricos, possuem simbologia própria para representação em diagramas de circuito. A indutância de um indutor também pode medida/calculada a partir da taxa de variação do fluxo magnético em seu núcleo e a corrente aplicada: L=N dφ di [H] onde N é o número de espiras, Φ é o fluxo de campo magnético e i é a corrente aplicada no indutor. Mantendo N constante, podemos reescrever a equação da tensão induzida em uma bobina: V =N d Φ dt = ( N d Φ di )( di dt ) V =L di dt o que mostra que a tensão entre os terminais de um indutor é diretamente proporcional à sua indutância e a taxa de variação instantânea de variação da corrente. Comparando essa equação, com aquela que relaciona tensão e corrente em um capacitor: =L di dt i C =C dv dt

3 Dada a semelhança estrutural das duas equações, trocando as grandezas i por v e L por C, dizemos que o capacitor e o indutor possuem características duais. Exemplo: Encontre a forma de onda da tensão média entre os terminais de um indutor de 4 mh, sabendo que a corrente no indutor varia com o tempo de acordo com o gráfico abaixo. Trace o gráfico dessa tensão pelo tempo. solução: Analisando o gráfico resultante, é possível perceber que a área sob o pulso positivo (integral da tensão), de 2 a 4 ms, é numericamente igual à integral da tensão entre 4 e 9 ms. Conforme será mostrado posteriormente, a área dessas curvas representam, respectivamente, a energia armazenada e fornecida pelo indutor. Durante todo o período de 0 a 10 ms, toda energia é armazenada e devolvida ao circuito, sem haver dissipação, como nos resistores. Durante um ciclo completo o capacitor e o indutor ideais não consomem energia, se limitam a armazená-la durante parte do ciclo e cedê-la durante a parte restante.

4 Circuitos indutivos Analisando o circuito abaixo, no instante em que a chave é fechada (t = 0), a indutância do indutor não permite que o ocorra uma variação instantânea da corrente (descontinuidade na função i(t)). Portanto, a corrente no instante inicial é zero e, assim, a tensão nos terminais do indutor é E. A partir da tensão, a corrente no indutor parte de zero e passa a aumentar, reduzindo o valor de até tal tensão seja nula. Durante esse período, o indutor está armazenando energia em campo magnético. Note que os comportamentos da tensão e da corrente no indutor durante a fase de armazenamento são exatamente os opostos do que acontece com o capacitor na fase de carregamento. A equação da corrente no indutor durante essa fase de armazenamento é dada por: = E R (1 e R L t ) Observando as variáveis dessa equação, percebe-se que o valor máximo da corrente é E/R e que ela cresce rápido inicialmente, mantendo um crescimento menor a medida que aumenta o tempo. Se escrevermos o expoente na forma de uma constante de tempo, como no capacitor: τ= L R [s] Assim como os circuitos capacitivos, em termos práticos, a fase de armazenamento termina e o circuito R-L entra em estado estacionário depois de um período equivalente a cinco constantes de tempo. Nesse caso, como a corrente passa a ser constante, a tensão nos terminais do indutor é nula, portanto, o indutor pode ser substituído por um curto-circuito.

5 Outra análise permite observar que quanto maior a indutância do indutor, mais o circuito irá se opor a uma rápida variação da corrente. A partir da análise da corrente no indutor, é fácil mostrar a expressão para a tensão com relação ao tempo. Como a corrente é nula em t = 0, a tensão nos terminais do indutor é E, e diminui a medida que a corrente aumenta, pois o divisor de tensão com o resistor em série fará com que a tensão caia pra zero quando a corrente for para E/R. =E e t τ que, em termos práticos, é nula após 5 constantes de tempo. Na análise de circuito RC observamos que o capacitor pode armazenar energia em seu campo elétrico por um período limitado somente à corrente de fuga. Em circuitos RL, entretanto, a energia é armazenada no campo magnético estabelecido pela corrente do indutor. Em circuitos abertos não há corrente e, portanto, não há energia armazenada. Imaginando que a chave do circuito RL mostrado anteriormente fosse aberta, a corrente iria varia do valor máximo E/R para zero quase que instantaneamente. Como a tensão nos terminais do indutor é proporcional à variação dessa corrente, o valor da tensão seria altíssimo, gerando uma alta tensão nos terminais da chave e causando uma centelha elétrica. Esse é o princípio de funcionamento de sistemas de ignição de automóveis que pode gerar até V a partir uma bateria de 12 V. Outro exemplo são os starters de lâmpadas fluorescentes (que foram substituídos pelo reator eletrônico). Assim, para analisar a fase de decaimento de um indutor, usaremos o circuito abaixo, onde o resistor R 2 oferece um caminho para a corrente sem que haja centelha na abertura da chave.

6 Quando a chave é fechada a tensão em R 2 é E e o circuito tem um comportamento idêntico ao descrito anteriormente (basta analisar o circuito equivalente de Thévenin de E em paralelo com R 2 ). Ao final da fase de armazenamento, a corrente no indutor é E/R no sentido horário da malha do indutor, e a tensão com sentido contrário. Ao abrir a chave, a corrente tem como valor inicial E/R, mas devido à nova configuração do circuito, a tensão muda de sentido (ela pode variar instantaneamente). Nesse caso, a tensão inicial do indutor, na fase de decaimento (no momento que a chave é aberta): =v R1 +v R2 =i 1 +i 2 R 2 = ( +R 2 )= E ( +R 2 ) =( 1+ R 2 ) E que é necessariamente maior que E. Em outras palavras, ao abrir a chave, a tensão no indutor troca de polaridade, mudando instantaneamente de E para -[1 + R 2 / ]E. Durante a fase que o indutor libera sua energia armazenada, a tensão em seus terminais diminui de acordo com: =V i e t τ' onde: v i =( 1+ R 2 ) E e τ'= L = L R T +R 2

7 A queda de corrente é descrita por: =I m e t τ' onde: I m = E e τ '= L R T = L +R 2 Exemplo: Encontre as expressões matemáticas para il, vl e vr1 em função do tempo se a chave for aberta depois do tempo de armazenamento. Esboce as formas de onda das tensões e correntes nas fases de armazenamento e decaimento. Solução: τ '= L +R 2 =0,8ms v i =( 1+ R 2 ) E= ( 1+3 k 2 k ) 50=125 V = 125 e 0,8x 10 3 [V] t =(25 x 10 3 )e 0,8x 10 3 [A] t v R1 = v R1 =I m e t τ' E = e t τ' v R1 =E e t τ' =50e 0,8x 10 3 [V] t

8 De forma análoga ao capacitor, onde o seu carregamento poderia começar a partir de um valor inicial de tensão, no indutor, seu armazenamento pode iniciar a partir de um valor inicial de corrente. Nesse caso: =I i +(I f I i )(1 e t τ ) =I i +(I f I i )(1 e t τ ) Associação de indutores Assim como resistores e capacitores, a associação de indutores em série e paralelo resultam em uma indutância equivalente. Conforme foi observado em toda análise de circuitos RL, o indutor tem um comportamento dual com relação ao capacitor.

9 No caso da associação de mais de um componente, esse comportamento se mantém, sendo portanto o inverso do observado no capacitor, e portanto, idêntico ao dos resistores. A indutância de indutores em série e a soma das indutâncias: L eq =L 1 +L 2 + +L n Para indutores em paralelo, o inverso da indutância equivalente é a soma dos inversos de cada indutância: 1 L eq = 1 L L L n Energia armazenada no indutores Assim como o capacitor ideal, o indutor ideal armazena energia em seu campo magnético. A partir da definição de potência elétrica e das expressões de tensão e corrente no indutor, temos a expressão da energia armazenada pelo indutor: W= 1 2 L I 2 m