Circuitos Magneticamente Acoplados. Prof. André E. Lazzaretti

Transcrição

1 Circuitos Magneticamente Acoplados Prof. André E. Lazzaretti

2 Ementa Função de excitação senoidal Conceitos de fasor Análise de circuitos em CA Potência em circuitos CA Circuitos trifásicos Acoplamento e Circuitos magnéticos Prova!

3 Introdução Os circuitos que estudamos até o momento são considerados condutivamente acoplados. Um laço afeta o laço vizinho através da condução de corrente elétrica. Quando dois laços com ou sem contato se afetam através do campo magnético gerado por um deles, são chamados de magneticamente acoplados. Exemplo: Transformador bobinas magneticamente acopladas para transferir energia de um circuito para outro.

4 Indutância Mútua Quando dois indutores (ou bobinas) estão próximos, o fluxo magnético causado pela corrente em uma bobina induz tensão na outra bobina. Este fenômeno é chamado de indutância mútua. Para um indutor simples de N espiras, quando uma corrente i flui através dele, um fluxo magnético φ é produzido ao redor dele: De acordo com a lei de Faraday, a tensão induzida no indutor é:

5 Indutância Mútua Mas o fluxo φ é produzido pela corrente i, portanto qualquer mudança em φ é causada por uma variação na corrente: A indutância L do indutor é dada por: Esta indutância é chamada de auto-indutância, pois relaciona a tensão induzida em uma bobina por uma corrente variante no tempo na mesma bobina.

6 Indutância Mútua Considerando agora duas bobinas com auto-indutâncias L 1 e L 2 que estão próximas. A bobina 1 tem N 1 voltas e a bobina 2 tem N 2 voltas. Assumimos que a bobina 2 não transporta corrente. O fluxo magnético φ 1 originário na bobina 1 tem dois componentes: o componente φ 11 percorre somente a bobina 1 e o componente φ 12 percorre ambas as bobinas. Portanto:

7 Indutância Mútua Apesar das duas bobinas estarem fisicamente separadas, elas estão magneticamente acopladas. Como o fluxo total φ 1 percorre a bobina 1, a tensão induzida na bobina 1: Somente o fluxo φ 12 percorre a bobina 2, logo a tensão induzida na bobina 2:

8 Indutância Mútua Novamente, como os fluxos são causados pela corrente i 1 fluindo na bobina 1: Onde L 1 =N 1 dφ 1 /di 1 é a auto-indutância da bobina 1. Da mesma maneira: M 21 é a indutância mútua da bobina 2 com respeito a bobina 1. O índice 21 indica que a indutância relaciona a tensão induzida na bobina 2 à corrente na bobina 1. Assim, a tensão mútua em circuito aberto (ou tensão induzida) sobre a bobina 2 é:

9 Indutância Mútua Supondo agora que a corrente i 2 flui na bobina 2, enquanto a bobina 1 não transporta corrente: Como o fluxo total φ 2 percorre a bobina 2, a tensão induzida na bobina 2: onde L 2 =N 2 dφ 2 /di 2 é a auto-indutância da bobina 2.

10 De forma similar: Indutância Mútua M 12 é a indutância mútua da bobina 1 com respeito a bobina 2. O índice 12 indica que a indutância relaciona a tensão induzida na bobina 1 à corrente na bobina 2. Assim, a tensão mútua em circuito aberto (ou tensão induzida) sobre a bobina 1 é:

11 Veremos que: M 12 = M 21 = M Indutância Mútua M é a indutância mútua entre duas bobinas. É medida em henrys (H). Note que o acoplamento mútuo existe somente se as bobinas estiverem próximas e os circuitos forem alimentados por fontes variantes no tempo. Indutância Mútua é a capacidade de um indutor induzir uma tensão sobre um indutor vizinho, medida em Henrys (H).

12 Indutância Mútua Convenção do ponto para a análise de circuitos: A polaridade da indutância mútua depende dos aspectos construtivos. A convenção de pontos elimina a necessidade de descrever os aspectos construtivos em circuitos Um ponto é colocado no circuito em um dos terminais de cada um dos indutores acoplados magneticamente. Indica o sentido do fluxo magnético corrente entra pelo terminal marcado com o ponto.

13 Indutância Mútua A convenção dos pontos diz o seguinte: Ou: Se uma corrente entra pelo terminal com o ponto de uma bobina, a polaridade de referência da tensão mútua na segunda bobina é positiva no terminal com o ponto da segunda bobina. Se uma corrente sai pelo terminal com o ponto de uma bobina, a polaridade de referência da tensão mútua na segunda bobina é negativa no terminal com o ponto da segunda bobina. Assim, a polaridade de referência de um tensão mútua depende da direção de referência da corrente induzida e os pontos nas bobinas acopladas.

14 Indutância Mútua Se uma corrente entra pelo terminal com o ponto de uma bobina, a polaridade de referência da tensão mútua na segunda bobina é positiva no terminal com o ponto da segunda bobina. Indutância Mútua Negativa! Se uma corrente sai pelo terminal com o ponto de uma bobina, a polaridade de referência da tensão mútua na segunda bobina é negativa no terminal com o ponto da segunda bobina.

15 Indutância Mútua A convenção de pontos, para indutores conectados em série, pontos se somando, a indutância total será: Para indutores conectados em série, com pontos opostos, a indutância total será:

16 Ex 1: Circuitos com Indutância Mútua

17 Circuitos com Indutância Mútua Ex 2: As equações acima podem ser resolvidas da maneira usual para encontrar as correntes. Assumiremos sempre que a indutância mútua e a posição dos pontos são fornecidas.

18 Circuitos com Indutância Mútua 1º) Determina os valores 2º) Determina as polaridades

19 Exemplo 1 Calcular as correntes no circuito a seguir:

20 Exemplo 2 Calcular as correntes no circuito a seguir:

21 Energia em Circuitos Acoplados A energia armazenada em um indutor: A energia armazenada em dois indutores acoplados magneticamente, assumindo que a corrente entra nos terminais com ponto em ambos indutores: Se uma corrente entra pelo terminal com o ponto em um indutor e sai pelo terminal com ponto no outro indutor:

22 Energia em Circuitos Acoplados O limite superior para a indutância mútua: Ou seja, a média geométrica das auto-indutâncias dos indutores. O coeficiente de acoplamento, mostra o quanto a indutância mútua se aproxima de seu limite superior: Onde 0 k 1. O coeficiente de acoplamento é a fração do fluxo total emanando de um indutor que conecta ao outro indutor:

23 Energia em Circuitos Acoplados Se todo o fluxo produzido por um indutor atinge outro, então k=1 e temos uma acoplamento 100% ou perfeitamente acoplados. Para k < 0,5 temos indutores livremente acoplados. Para k > 0,5 temos indutores firmemente acoplados. O coeficiente de acoplamento é uma medida do acoplamento magnético entre dois indutores; livremente firmemente

24 Exemplo 3 Determine o coeficiente de acoplamento e calcule a energia armazenada nos indutores acoplados no instante t=1s se v=60cos(4t+30 ).

25 Transformador Transformador de Potência Transformador de Distribuição Eletrodomésticos Placa de Circuito Impresso

26 Transformador Linear É um dispositivo magnético que utiliza o fenômeno da indutância mútua. Um transformador é geralmente um dispositivo de quatro terminais compreendendo duas ou mais bobinas acopladas magneticamente. A bobina conectada diretamente a uma fonte de tensão é chamado de enrolamento primário. A bobina conectada a carga é chamada de enrolamento secundário. As resistências representam as perdas nas bobinas.

27 Transformador Linear Um transformador é considerado linear se as bobinas são enroladas em um material magnético linear (permeabilidade magnética constante), como baquelite, ar, plástico e madeira. Para obtermos a impedância de entrada, aplicamos a LKT nas duas malhas, e temos: O primeiro termo (R 1 +jωl 1 ) é a impedância primária. O segundo termo é devido ao acoplamento entre os enrolamentos primário e secundário e é chamada de impedância refletida ao primário:

28 Transformador Linear Para simplificar a análise é possível substituir o acoplamento magnético por um circuito equivalente T (ou Y) ou Π (ou Δ) que não contém a indutância mútua: Circuito equivalente T (magneticamente desacoplado): Circuito equivalente Π (magneticamente desacoplado):

29 Exemplo 4 Calcule a impedância de entrada e a corrente de malha 1.

30 Transformador Ideal Um transformador ideal é aquele com acoplamento perfeito (k=1). Consiste em duas bobinas com um número grande de voltas em um núcleo comum de alta permeabilidade. Devido a esta alta permeabilidade do núcleo, o fluxo liga todas as voltas de ambas as bobinas, resultando portanto em um acoplamento perfeito. Um transformador é dito ser ideal se: As bobinas tiveram reatâncias bastante elevadas (L 1, L 2, M ); O coeficiente de acoplamento é unitário (k=1); Os enrolamentos primário e secundário não possuem perdas (R 1 =R 2 =0).

31 Transformador Ideal

32 Transformador Ideal Relacionado com o número de espiras do primário e secundário

33 Transformador Ideal e d v N d e2 v2 N 2 dt v dt 1 N1 v N

34 Transformador Ideal Pelo princípio da conservação da energia, temos: Então: Com isso: Quando n=1, chamamos o transformador de transformador de isolamento. Se n>1 temos um transformador elevador, pois a tensão aumenta do primário para o secundário (V 2 >V 1 ). Se n<1 temos um transformador abaixador, pois a tensão decresce do primário para o secundário (V 2 <V 1 ).

35 Transformador Ideal Quanto a polaridade das tensões e direção das correntes, temos: 1. Se V 1 e V 2 são ambas positivas ou ambas negativas nos terminais com ponto, use +n. Caso contrário use n. 2. Se tanto I 1 quanto I 2 entram ou ambas saem dos terminais com ponto, use n. Caso contrário use +n.

36 Transformador Ideal A potência complexa no enrolamento primário é: Não há perda de potência. O transformador ideal não absorve potência. A impedância de entrada vista pela fonte: Mas como: Então:

37 Transformador Ideal Uma prática comum na análise de circuitos é eliminar o transformador, refletindo as impedâncias e fontes de um lado do transformador para o outro. Refletindo o lado secundário para o primário: Obtemos o equivalente de Thévenin do circuito à direita dos terminais ab. Obtemos V Th como a tensão de circuito aberto nos terminais a-b. Obtemos Z Th removendo a fonte tensão no enrolamento secundário e inserindo uma fonte unitária nos terminais a-b. Tendo V Th e Z Th adicionamos o equivalente de Thevenin à esquerda de a-b.

38 Transformador Ideal

39 Transformador Ideal A regra geral para eliminar o transformador e refletir o circuito secundário para o lado do primário é: dividir a impedância secundária por n 2, dividir a tensão secundária por n e multiplicar a corrente secundária por n. Para refletir o lado primário do circuito para o lado secundário: A regra para eliminar o transformador e refletir o circuito primário para o lado secundário é: multiplicar a impedância primária por n 2, multiplicar a tensão primária por n e dividir a corrente primária por n.

40 Exemplo 5 Para o transformador a seguir determine a corrente da fonte 1, a tensão na carga de 20 ohms e a potência complexa fornecida pela fonte.

41 Exemplo 6 Calcule a potência fornecida ao resistor de 10ohms no transformador a seguir:

42 Autotransformador

43 Referências Principalmente: Notas de Aula do Prof. Dr. Alessandro Koerich (PUCPR): Charles K. Alexander; Matthew N. O. Sadiku; Fundamentos de Circuitos Elétricos; 5ª Edição J. David Irwin; Análise Básica de Circuitos Para Engenharia; 10ª Ed. Jack E. Kemmerly, Steven M. Durbin, William H. Hayt; Análise de Circuitos de Engenharia; 8ª Ed Robert Boylestad; Introdução À Análise de Circuitos; 12ª edição