AUTO INDUTÂNCIA, INDUTÂNCIA MÚTUA E TRANSFORMADOR IDEAL

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1 AUTO INDUTÂNCIA, INDUTÂNCIA MÚTUA E TRANSFORMADOR IDEAL 19.1 Indutância No capítulo 1 apresentamos a definição de indutância como sendo a relação entre fluxo magnético concatenado e corrente, não nos preocupando com o fato de ser esta corrente contínua ou alternada no domínio do tempo. Da maneira como fizemos, a indutância era tratada como uma grandeza escalar, função apenas dos dados geométricos e características magnéticas do meio. Vamos agora abordar novamente esse assunto, a partir do fenômeno da indução eletromagnética, visto no capítulo anterior. Vimos pela equação (1.16) e pela aplicação reta da lei circuital de Ampère, que a indutância de um solenóide longo ou de um toróide enrolado por N espiras é dada por: onde: = permeabilidade magnética do meio. (H/m). N = número de espiras do enrolamento A = área da seção transversal de cada espira no enrolamento (m ) = comprimento sposto para o solenóide ou toróide (m). N A L ( H) (19.1) Da definição de indutância, vimos que o fluxo magnético total = N m concatenado com a corrente i em N espiras é expresso como: N m L i (19.) Substituindo a corrente elétrica contínua I por outra i = i(t), variando no tempo, com a aplicação imeata da lei de Faraday, podemos determinar a tensão e(t) produzida pela variação temporal do fluxo magnético N m produzido em conseqüência da corrente alternada onde: dm dl e( t) N NL Ni (19.3) A derivada do fluxo em relação ao tempo no caso mais geral produz dois termos; um devido á variação alternada da corrente e outro pela variação da indutância em relação tempo. Se a geometria permanece imutável no tempo, o segundo termo resulta nulo. Pela lei da indução eletromagnética de Faraday, a tensão induzida e(t) que aparece entre os terminais de um enrolamento solenoidal com N espiras de área A constante é determinada por: Onde para o solenóide longo ou o toróide d db e N m NA (V) (19.4) B Ni. Assim:

2 180 N A e ( V) (19.5) Podemos observar que o termo que multiplica a derivada temporal da corrente i (t) na equação acima é a expressão para a indutância do solenóide, aqui considerada fixa. Então: e L (V) (19.6) 19. Indutância Mútua Considere agora dois enrolamentos, montados sobre um mesmo núcleo que os acopla magneticamente, como mostrado na figura 19.1 abaixo. Como os enrolamentos são atravessados pelo mesmo fluxo magnético m, imagine então que esse fluxo seja produzido por uma corrente i 1 no enrolamento 1 (primário) e que o enrolamento (secundário) esteja em circuito aberto. Segundo a lei de Faraday-Lenz, sobre ele aparecerá uma tensão induzida dada por: i 1 m N 1 N e Figura Núcleo com dois enrolamentos d e N m (19.7) ou N1A N (19.8) 1 e Agrupando o fator que multiplica a derivada, esta expressão pode ainda ser escrita como: M1 (V) (19.9) e 1 Reciprocamente, caso seja agora o enrolamento percorrido por uma corrente i e o enrolamento 1 posto em circuito aberto, teremos: d e N m 1 1 (19.10) Ou ainda

3 181 NA e1 N1 ( V) (19.11) de modo que: 1 M1 (V) (19.1) e Pelas equações (19.8) e (19.11) M é a indutância mútua entre os enrolamentos onde: N1N M1 M A (H) (19.13) M1 Considerando as equações (19.9) e (19.1), observamos que uma tensão e (t) aparece no enrolamento (secundário) em virtude da variação temporal da corrente i 1 (t) no enrolamento 1 (primário) e vice-versa. Tal situação pode ser representada eletricamente pelo circuito dado na figura 19., onde a indutância mútua M pode ainda ser expressa como: e M 1 e 1 (19.14) e 1 N 1 N e Figura Circuito elétrico equivalente ao magnético da figura 19.1 Admitindo agora uma variação harmônica (senoidal) das correntes no tempo, pela fórmula de Euler, podemos escrever que: jt i 1 I 1 e ; jt i I e (19.15) Derivando as expressões acima em relação ao tempo vem: 1 jt j I1 e ji1 jt j I e ji (19.16) Assim pela equação (19.14) temos: e1 e M (19.17) ji ji1 ou ainda e 1 e j M ( ) (19.18) i i1

4 18 O termo jm é a impedância mútua (complexa) entre os dois enrolamentos. Exemplo 19.1 Uma espira retangular de 4 m x1 m está no mesmo plano de um condutor retilíneo longo, com o lado maior paralelo ao fio, a uma stância de m, como mostra a figura Se a corrente no condutor é i = 10 sen (1000t) A, encontre: a) - A indutância mútua entre a espira e o condutor. b) - O valor rms da tensão induzida na espira. Solução: m i drdz r i z B 4 m m 0i 3 dr r 0 i 3 m ln ( Wb) Aqui r = m r = 3 m m Mi Figura Espira paralela a um condutor retilíneo b) - M ln 0.34 H a) da aplicação imeata da lei de Faraday temos: d e m e M 1000 t3,4sen t mv 6 e0, cos 1000 O valor rms de e fica então: onde m ds s B 3,4 E,9 mv Exemplo 19. Repetir o exemplo anterior, porém com o lado menor paralelo ao condutor. Solução: d e m 1 6 i m 0 drdz 0 r 0i m ln 3 ( Wb) 4.10 M 6 7 ln 3 0, H e0, cos1000t,cos 1000tmV E1, 56 mv

5 183 Exemplo 19.3 Um condutor longo de raio a é percorrido por uma corrente i = Isen(t). Uma luva de ferro, de raio interno b, raio externo c, comprimento e permeabilidade envolve o condutor. N espiras são enroladas sobre a luva no sentido longitunal (axial), conforme mostra a figura a) - Deduza uma expressão para a indutância mútua entre o condutor e o enrolamento. b) - Idem para a tensão induzida no enrolamento. Solução: i = Isen(t) Figura 19.4 Luva de aço envolvida por N espiras, axial a um condutor. d e N m m I B sen r ds s B t aˆ ; ds drdzaˆ c I m sent dr dz 0 b r c m ln Isent b d c e N N ln b d Isent O termo que está multiplicando a derivada da corrente em relação ao tempo é a indutância mútua entre o enrolamento e o condutor, ou seja: c M N ln ( H) b Para a tensão induzida temos: N I c e M ln cos b t ( V) O Transformador Ideal O transformador é um spositivo eletromagnético que mofica tensões e correntes de um nível maior para um nível menor, e vice-versa. Tais spositivos são constituídos de um circuito magnético que favorece o caminho ao fluxo, sobre o qual são montados os enrolamentos. Como os processos baseados nas leis de interação magnética estão sujeitos a perdas, o transformador ideal pode ser definido e seu funcionamento entendo, desde que essas perdas sejam desconsideradas. Sobre a estrutura ferromagnética da figura 19.5 são montados dois enrolamentos; o enrolamento primário e o enrolamento secundário. Se uma tensão v 1 for aplicada no enrolamento primário, sobre o secundário aparecerá uma tensão induzida dada por: d v N m (19.19)

6 184 i 1 (t) m i (t) v 1 (t) 1 v (t) figura Transformador ideal Considerando que este mesmo fluxo m enlaça a bobina 1, desprezando-se as perdas, a tensão na bobina 1 será: d v N m 1 1 (19.0) Assim, estabelecendo a relação entre as equações (19.19) e (19.0) vem: v N (19.1) v1 N1 Vemos que a relação entre as tensões nos enrolamentos está na proporção reta da relação entre o número de suas espiras. Razão pela qual esta relação entre os números de espiras é também conhecida por relação de transformação. Exemplo 19.4 Qual é a indutância, e a impedância mútuas de um transformador ideal se uma corrente de A (rms), em 60 Hz, induz uma tensão de 6 V (rms) no enrolamento secundário? Solução: Da expressão M tem-se v M 1 v 1 Mas v i Daí 1 6 e e jt j t j A V 1 t e j Comentários suplementares j t 6 e Então M j e j t 3 j A indutância mútua, M é então igual a: 3 M 8 mh 60 E a impedância mútua é j M 3 Ao estudarmos este capítulo pudemos notar que um transformador mofica valores de tensões e correntes baseado na relação entre o número de espiras em cada enrolamento. Assim temos um transformador abaixador quando a sua tensão no secundário é menor do que no primário, ou seja o

7 185 terminal secundário de saída possui menos espiras do que o terminal primário de entrada. Pela mesma razão um transformador elevador tem mais espiras no secundário do que no primário Em ambos os casos a energia e a potência se conservam e relação entre as correntes se dá no modo inverso. Concluindo, podemos zer que a denominação de elevador ou abaixador depende do terminal definido como secundário, ou de saída do transformador, se este tem a sua tensão maior ou menor do que a do primário. Outra questão que chamamos atenção é para o transformador que possui uma relação de transformação 1:1, ou seja, o número de espiras no primário e no secundário é o mesmo. Neste caso, o transformador é conhecido como de isolação ou de isolação galvânica onde não há variação de tensão nem de corrente. Este tipo de transformador permite que os potenciais de referência no lado do primário e no do secundário sejam desvinculados.

8 186 EXERCÍCIOS 1) A figura abaixo mostra dois solenóides de comprimento, e áreas S 1 (solenóide 1) e S (solenóide ) coaxiais. Mostre que a indutância mútua entre eles pode ser expressa por: M K L 1 L, onde L 1 é a indutância própria do solenóide 1, e L a indutância própria do solenóide S, onde K é chamado de coeficiente de acoplamento, cujo valor máximo é unitário. S1 S 1 S Figura 19.6 Figura para o problema 1 ) Em um a sujeito a tempestades, uma nuvem típica pode desenvolver uma carga negativa de 100 C, induzindo uma carga de igual magnitude, porém de sinal contrário, no solo. Se as cargas são neutralizadas por uma descarga de ms de duração, encontre a corrente méa da descarga. Tipicamente, descargas atmosféricas possuem um crescimento rápido, e um decaimento gradual. Se o tempo de subida é s, para uma corrente de 10 4 A em um condutor que recebe a descarga, encontre a tensão desenvolvida no condutor. A indutância própria do condutor é 10-3 H, e sua resistência ) Qual é a indutância, e a impedância mútuas de um transformador ideal se uma tensão de 1 V (rms), em 60 Hz, induz uma corrente de 3 A (rms) no enrolamento secundário?