O eletromagnetismo e a energia

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1 O eletromagnetismo e a energia Nesta aula veremos finalmente o que levou a unificação dos campos de estudos elétricos e magnéticos, o que foi uma das maiores revoluções científicas do século XIX A lei de Lenz. Princípios elementares da indutância. A energia eletromagnética. Com este conteúdo seremos plenamente capazes de tratar as equações de Maxwell. Estes temas correspondem aos conteúdos de 24 à 26.

2 ε= C E d l = d ϕ C A lei de Lenz Percebemos pela lei da indução que uma variação do fluxo magnético gera um campo elétrico. Mas, qual a razão do sinal negativo? Para entendermos este fenômeno olhemos a figura abaixo. O sentido da corrente parece criar um campo magnético que compensa a variação do fluxo que passa pela espira. Esta é a ideia da lei de Lenz, que nada mais é do que uma aplicação do princípio da conservação da energia. Antes de avançarmos iremos pensar sobre o nome força eletromotriz para o potencial que surge devido a indução. A ideia é que com esta variação de energia causamos movimento dos elétrons.

3 Geradores e motores Na figura 1 temos a ilustração de um gerador de corrente alternada. Na figura 2, o quadro de área A é rotacionado dentro de um campo magnético B. O quadro possui velocidade angular de modo que o ângulo formado entre o campo e a normal do quadro é dado por: θ=ωt Figura 1: Ilustração de um gerador elétrico Se tivermos N espiras no formato do quadro A, o fluxo através das espeiras é Φ=N B A=N B A cos(θ)=n B A cos(ωt) A força eletromotriz induzida nos anéis coletores será: Figura 2: Imagem simplificada

4 ε= d Φ =ω N B A sin (ωt) Se a resistência externa é R, a corrente que passa pelo sistema será: i= ε R = ω N B A sin (ωt) R E como sabemos, uma espira percorrida por uma corrente se comportará como um dipolo magnético de momento m=ian n E ficará sujeito a um torque de magnitude: τ = m B =iabn sin(ω t) Para que o quadro permaneça girando com velocidade angular ω, é preciso fornecer-lhe uma potência mecânica. d W =ω τ=i ω A N B sin(ω t) E então: d W =εi

5 Princípios elementares da indutância Imagine que você tenha dois fios, um percorrido por corrente elétricas estacionária e assim gerando um campo magnético B1. Assim: B 1 = μ I 1 4 π d l 1 ^r r 2 Vamos calcular o fluxo que passa dentro da espira 2. Φ 2 =M 21 I 1 Φ 2 = B 1 d A 2 Onde M21 é uma constante de proporcionalidade, puramente geométrica, denominada de indutância mútua.

6 Indutância Podemos escrever uma expressão geral da indutância mútua e fazer um exemplo clássico. M 21 = μ 0 4 π d l 1 d l 2 r É fácil chegar a conclusão que: M 21 =M 12 A força eletromotriz tomará um novo formato, a saber: Exemplo ε 1 = L 12 d i 2 Calcule a auto-indutância de um cabo coaxial com fio condutor interno de raio a envolvido por uma capa cilíndrica também condutora de raio b.

7 Energia magnética Vimos que a força eletromotriz induzida ε num circuito por um campo magnético variável tende a se opor à variação do fluxo: ε= d Φ Se a corrente no instante considerado é i, a potência que precisa ser fornecida para isso é: d W = εi= d Φ i=+li di Neste sentido L será a autoindutância do circuito. Ignorando perdas por efeito Joule poderemos escrever a energia total necessária para passar a corrente no circuito do valor nulo no instante inicial até o valor I no instante t como sendo: U = 0 t d W = 0 t Li di =L I I 2 0 i di=l 2

8 Energia magnética Para dois circuitos, usando o princípio que a indutância sempre será dependente da corrente que passa no outro circuito, teremos a expressão para a energia total. U =U 1 +U 2 = L I L I L I I 1,2 1 2 Densidade de energia magnética 2 2 Como vimos, para um solenoide muito longo de comprimento l e área A, com N espiras, a auto-indução será: A energia será U = L I 2 L=μ 0 N 2 A l 2 =1 2 μ 0 (N I )2 A l = 1 2μ 0 (μ 0 N l I) 2 Sl= B2 2μ 0 V

9 Densidade de energia magnética Então podemos pensar em uma densidade de energia por volume dada por: u m = U V = 1 2μ 0 B 2 Existe o análogo no campo elétrico dado por: u e = ϵ 0 2 E2 Se tivermos ao mesmo tempo, numa dada região do espaço (no vácuo) um campo elétrico e um magnético, a densidade de energia eletromagnética será: u=u e +u m = ϵ 0 2 E μ 0 B 2 Finalmente terminamos nosso objetivo por hoje.

10 Antes da provinha Podemos falar.