Física III Escola Politécnica GABARITO DA PS 2 de julho de 2014

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1 Física III Escola Politécnica GABAITO DA PS 2 de julho de 214 Questão 1 Um anel circular de raio a possui carga elétrica positiva uniformemente distribuída com densidade linear λ >. z P a y x (a) (1, ponto) Determine o vetor campo elétrico no ponto P = (,,z) sobre o eixo z. (b) (1, ponto) Determine o potencial elétrico no ponto P = (,,z) sobre o eixo z. Adote potencial elétrico nulo no infinito. (c) (,5 ponto) Uma partícula puntiforme de massa m e carga elétrica negativa q < passa pela origem (,,) com velocidade v = v k com v >. Determine o valor mínimo de v para que a partícula se afaste para o infinito. 1

2 Solução da questão 1 (a) Campo elétrico Da figura, no ponto P E = 1 r 4πǫ r 3dq. r = acosθî asinθĵ+z k, r = a 2 +z 2 e dq = λdl = λadθ. z P r x d dq y Logo E = 1 2π acosθî asinθĵ+z k λadθ = λa z 4πǫ (a 2 +z 2 ) 3/2 2ǫ (a 2 +z 2 ) 3/2 k (b) Escolhendo-se potencial nulo no infinito P V = E d l = λa z 2ǫ (c) Por conservação de energia devemos ter mv 2 zdz λa 1 = (a 2 +z 2 ) 3/2 2ǫ a2 +z 2 2 +( q)v( ) = mv2 2 qλ 2ǫ > ( q)v( ) =. Logo v > v min = λq mǫ 2

3 Questão 2 Considere uma esfera isolante de raio a, com densidade volumétrica de carga que varia com o raio na forma αr para r a, ρ(r) = para r > a, onde α é uma constante. (a) (,5 pontos) Determine a carga total da esfera. (b) (1, ponto) Determine o vetor campo elétrico em todo o espaço. (c) (1, ponto) Determine o potencial elétrico em todo o espaço. Adote como referência do pontencial nulo um ponto infinitamente distante da esfera. 3

4 Solução da questão 2 (a) Carga total Q = ρdv = ρ(r)(4πr 2 dr) = 4πα a r 3 dr = παa 4. (b) Devidoàsimetriaesférica E = E(r) r. Tomando-seumasuperfíciegaussianaesférica de raio r S E d A = E(r)(4πr 2 ) = Q int ǫ. Logo E = 1 4πǫ Q int r 2 r. Agora Logo, Q int = r παr 4 para r < a, ρ(r )(4πr 2 dr ) = Q = παa 4 para r a. α r 2 r para r < a, E = 4ǫ α a 4 4ǫ r2 r para r a. (c) Potencial elétrico para r a Potencial elétrico para r < a V = V(a) r V = E(r)dr = 1 Q 4πǫ r = α a 4 4ǫ r r a E(r)dr = α a 3 α r r 2 dr = α ( 4a 3 r 3) 4ǫ 4ǫ a 12ǫ 4

5 Questão 3 Um gerador consiste de uma haste condutora de comprimento H que desliza sem atrito sobre um trilho em forma de U. O gerador está numa região com campo magnético uniforme B = B k. Uma força externa faz com que a haste realize um movimento harmônico simples em torno do ponto x = descrito por x(t) = Csinωt. B B k y H x L x( t) Csen t (a) (1,5 pontos) Determine a corrente induzida. A resistência da haste é e a do trilho em U pode ser desprezada. Adote o sentido horário como o sentido positivo para a corrente (Com esta convenção a normal à area do circuito aponta para dentro da página.). (b) (1, ponto) Determine o vetor força magnética agindo na haste. 5

6 Solução da questão 3 (a) Fluxo magnético através do circuito. Pela regra da mão direita, se o sentido da corrente é horário a normal à superfície aponta para dentro da página. Φ B = B da = ( B k) ( A k) = B A. S Área do circuito A = H(L+x) = HL+HCsinωt. Força eletromotriz induzida E = dφ B dt = B da dt = B HCωcosωt. Corrente elétrica I = E = B HCωcosωt (b) Força magnética na haste é F = IL B = I( Hĵ) ( B k) = IHB î = (B H) 2 Cωcosωt î. 6

7 Questão 4 Um solenóide longo tem n espiras por unidade de comprimento com área seccional A. Enrolado em torno do solenóide há uma bobina com N voltas de fio. Na figura abaixo por simplicidade não desenhamos as espiras do solenóide. solenoide bobina A bobina está longe das extremidades do solenoide e forma um circuito fechado com resistência. Uma fonte externa fornece corrente elétrica ao solenóide que varia no tempo na forma para t, I(t) = I (1 cosωt) para t π/ω, 2I para t π/ω, onde I e ω são constantes. (a) (,5 pontos) Demonstre que o módulo do campo magnético dentro de um solenóide infinito, quando percorrido por uma corrente I, é dado por B = µ ni, onde n é o número de espiras por unidade de comprimento. (b) (1, ponto) Determine a indutância mútua e a corrente induzida na bobina como função do tempo devido à variação da corrente no solenóide. Despreze a autoindutância da bobina. (c) (1, ponto) Calcule a energia total fornecida à bobina pela fonte externa. Despreze a auto-indutância da bobina. 7

8 Solução da questão 4 (a) O campo magnético é paralelo ao solenoide no seu interior e nulo fora. Escolhemos um circuito amperiano retangular com apenas um dos lados de comprimento L no interior e paralelo ao solenóide. Aplicando a lei de Ampère obtemos B d l = BL = µ (nl)i. Logo B = µ ni. (b) Fluxo magnético através da bobina devido a uma corrente I no solenóide Φ = NBA = N (µ ni)a = nnµ AI. Indutância mútua Corrente induzida na bobina i = E = M di dt = M = Φ I = nnµ A nnµ AI ω sinωt se t π/ω, caso contrário. (c) Potência instantânea fornecida à bobina pela fonte externa no intervalo t π/ω Energia total fornecida P(t) = i 2 = Imsin 2 2 ωt, onde I m = nnµ AI ω. W = π/ω P(t)dt = I 2 m ( π ) = π(nnµ AI ) 2 ω 2ω 2 8

9 Formulário F = qq ( r r ) 4πǫ r r 3, F = qe, E q( r r ) = 4πǫ r r 3, E 1 dq = 4πǫ r 2ˆr, V = q B 4πǫ r r, V B V A = V = 1 q i, 4πǫ r i i V = I, P = VI = I 2 = V 2 d B = µ I 4π d l ˆr r 2, A E d A = q int ǫ, U = 1 4πǫ E d l, V = 1 dq 4πǫ r, E = V, i<j, F = q E+q v B, B d l = µ I int, E = dφ m dt, q i q j r ij, C = Q/V, u = ǫ 2 E2, B d A =, d F = Id l B, E d l = d dt B d A, Φ total = Nφ espira = LI, Φ total 21 = N 2 φ espira = M 21 I 1, u = B2, U = LI2 2µ 2, u = B2 xdx (x 2 +a 2 ) = 1 3/2 x2 +a 2, sen 2 (ax)dx = x 2 sen(2ax). 4a 2µ, 9