Universidade Federal do Rio de Janeiro. Princípios de Instrumentação Biomédica. Módulo 5. Heaviside Dirac Newton

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Princípios de Instrumentação Biomédica Módulo 5 Heaviside Dirac Newton

2 Conteúdo 5 - Circuitos de primeira ordem Circuito linear invariante de primeira ordem resposta a excitação zero O circuito RC (resistor-capacitor) O circuito RL (resistor-indutor) Circuito linear invariante de primeira ordem resposta ao estado zero Linearidade da resposta ao estado zero Invariância com o tempo Circuito linear invariante de primeira ordem resposta completa Generalização Resposta a excitação zero Resposta ao estado zero Exercícios...12

3 5 Circuitos de primeira ordem 5.1 Circuito linear invariante de primeira ordem resposta a excitação zero O circuito RC (resistor-capacitor) O circuito abaixo mostra um capacitor sendo carregado por uma fonte de tensão constante. Em t=0 a chave S1 abre e a chave S2 fecha. Para t 0, i C t i R t =0 C d dt = v R R e 0 =v 0 Como =v R =v dv {C dt v R =0 v 0 =v 0 {dv dt = 1 R C v v 0 =v 0 Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral é Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 1

4 v t =K e S 0 t u t onde S 0 = 1 R C e K =v 0 =v 0 i C t =C dv dt = v 0 R e 1 R C t u t Esta resposta é chamada de resposta a excitação zero (sem excitação) e apresenta solução que depende das características do circuito ( S 0 só depende da topologia) e das condições iniciais do circuito (K depende das condições iniciais). A solução da equação diferencial de primeira ordem linear é uma função linear do estado inicial do problema. A curva exponencial que corresponde a resposta deste problema é apresentada na figura abaixo. Nesta figura v 0 =1 e R C =1. Observa-se que a reta que passa pelas coordenadas t=0 e v=v(0) e apresenta inclinação igual a derivada da função no ponto t=0 cruza o eixo do tempo em um valor igual ao do produto R C. Este produto é chamado constante de tempo τ e corresponde a S 1 0. Toda exponencial unitária apresenta 37% de seu valor inicial em 1, 14% para 2, 5% para 3, 2% para 4 e 0,5% para 5. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 2

5 A constante de tempo tem unidade de tempo (segundos) e corresponde a freqüência natural do circuito. Um circuito RC com apenas um capacitor equivalente e um resistor equivalente sempre apresenta constante de tempo da forma de um produto RC O circuito RL (resistor-indutor) O circuito abaixo mostra um indutor sendo carregado por uma fonte de corrente constante. Em t=0 a chave S1 troca de posição e a chave S2 fecha. Para t 0 v L v R =0 L di L dt R i L =0 e i L 0 =I 0 {di dt = R L i i L 0 = I 0 Esta é uma equação diferencial de primeira ordem, homogênea, linear de parâmetros constantes cuja solução, de forma semelhante ao problema do circuito RC, é R L i L t =I 0 e t u t Esta solução também depende das condições iniciais do problema ( I 0 ) e da topologia do circuito (constante de tempo). Neste caso a constante de tempo é definida como = L R Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 3

6 que também apresenta unidade de tempo (segundos). 5.2 Circuito linear invariante de primeira ordem resposta ao estado zero Para o circuito abaixo a chave S1 abre em t=0 Para t 0 i C i R =i S C dv dt v R =i S t e v 0 =0 Esta é uma equação diferencial de primeira ordem, linear, não homogênea (com excitação) e condição inicial nula (estado zero). circuito: A equação diferencial em questão deve satisfazer outras duas condições impostas pelo para t=0 + dv dt = i S C (condição imposta pela topologia do circuito) para t= v= R i S t (condição imposta pela fonte) A solução para a equação diferencial linear não homogênea pode ser obtida pela soma da solução homogênea e de uma solução particular que apresenta o mesmo formato da excitação, assim v completa =v h v p. A solução homogênea depende das condições iniciais do Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 4

7 problema e da sua topologia e a solução particular depende da excitação. Algumas vezes a resposta particular é chamada de resposta forçada pois é imposta pela excitação. Para o exemplo em questão 1 R C v t =K 1 e t R i S t, para t 0. sendo que K 1 pode ser calculado pela condição inicial do problema v 0 = K 1 R i S t =0 K 1 = R i S t, logo v t =R i S t 1 e 1 R C t Se a excitação fosse senoidal a resposta forçada seria senoidal, se a excitação fosse uma exponencial a resposta forçada seria uma exponencial e assim por diante. Exemplo: Se i S t =A 1 cos t 1 =A ' 1 cos t A ' ' 1 sen t então v p t = A 2 cos t 2 =A ' 2 cos t A' ' 2 sen t C dv dt v R =A ' 1 cos t A ' ' 1 sen t 1 R C v t =K 1 e t A' 2 cos t A' ' 2 sen t, para t 0 v 0 = K 1 A' 2 cos 0 =K 1 A' 2 =0 K 1 = A' 2 Após o fim do transitório (a exponencial decrescente), o problema restringe-se a Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 5

8 C dv p dt v p R =A ' 1 cos t A ' ' 1 sen t como v p t = A' 2 cos t A ' ' 2 sen t então C [ A ' 2 sen t A' ' 2 cos t ] [ A' cos t A' ' sen t ] 2 2 =A ' R 1 cos t A ' ' 1 sen t agrupando os termos em seno e os termos em cosseno podemos montar duas equações: para senos: C A' 2 A' ' 2 R = A' ' 1 para cossenos: C A' ' 2 A ' 2 R =A ' 1 A figura abaixo foi produzida com R=1, C=1F, A 1 =0 e 1 = A resposta completa é a soma da exponencial (resposta homogênea) com o cosseno defasado (resposta particular). A influência da exponencial desaparece depois de 5 constantes de tempo por isso a resposta homogênea é chamada de resposta transitória ao passo que a resposta particular é chamada de resposta em regime permanente. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 6

9 5.3 Linearidade da resposta ao estado zero É uma propriedade de qualquer circuito linear que a resposta ao estado zero é uma função linear da excitação, isto é, a dependência da resposta ao estado zero com a forma de onda da excitação é expressa por uma função linear. Se o símbolo Z t0 for utilizado para representar uma rede no estado zero então a linearidade é obtida se forem satisfeitas as seguintes condições. Z t0 i 1 i 2 =Z t0 i 1 Z t0 i 2 Z t0 k i 1 =k Z t0 i 1 Para uma determinada rede, v 1 é a resposta a excitação com uma fonte i 1 t tal que C dv 1 dt v 1 R =i 1 t com v 1 0 =0 e v 2 é a resposta para uma excitação i 2 t de tal forma que C dv 2 dt v 2 R =i 2 t com v 2 0 =0. A soma das duas equações resulta em C dv 1 dt C dv 2 dt v 1 R v 2 R =i 1 t i 2 t ou seja C d v v dt R v v =i t i t com v v 2 0 =0 o que satisfaz a primeira condição para linearidade. Caso a fonte i 1 t seja multiplicada por por um determinado valor k então Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 7

10 C d k v 1 k v 1 dt R =k i t com k v =0 Assim as duas condições para linearidade são satisfeitas se a rede estiver no estado zero mesmo que R e C forem variantes com o tempo. 5.4 Invariância com o tempo Seja uma rede linear invariante excitada por uma corrente i 1 e cuja resposta ao estado zero seja v 1 tal que dv 1 dt v 1 =i 1. Agora, supondo que a excitação mude para i 1 t T1, então a resposta ao problema é v 1 t T1 tal que dv 1 t T1 dt v t T1 1 =i 1 t T1 cuja solução é idêntica a da equação dy dt y =x onde y=v 1 t T1 e x=i 1 t T1 com v 1 0 T1 =0. Isto significa que em uma rede invariante a resposta ao estado zero é deslocada T1 segundos se a entrada estiver deslocada T1 segundos. 5.5 Circuito linear invariante de primeira ordem resposta completa Para os casos onde haja condição inicial não nula e excitação diferente de zero a resposta da equação diferencial corresponde a soma da resposta a excitação zero mais a resposta ao estado zero. Isto pode ser demonstrado se as equações para o caso de excitação Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 8

11 zero e estado zero forem analisadas separadamente e em conjunto. Separadamente estas equações são C dv I dt v I =0 (equação para o circuito RC com excitação zero) R C dv O dt v O R =i S t (equação para o circuito RC com estado zero) onde v I e v O são as respostas a excitação zero e ao estado zero respectivamente. Somando as equações temos C dv I dt v I R C dv O dt v O R =i S t que pode ser reescrita como C d v I v 0 dt v v I 0 =i R S t. completo. Por esta razão a soma das respostas separadas corresponde a solução para o problema t =v I t v O t, para t 0. 1 R C t =v 0 e t 1 R i S 1 e R C t. Esta resposta completa também pode ser obtida pela soma da resposta transitória e da resposta em regime permanente. t =v transitoria t v permanente t 1 R C t = v 0 R i S e t R i S t, para t 0. Se a excitação é um degrau ou um impulso a resposta sempre terá o formato Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 9

12 t sol t =sol [sol sol 0 ] e onde sol corresponde a solução do problema (corrente ou tensão) e é a constante de tempo do circuito, seja ele RC ou RL. Exemplo: Determinar a equação da tensão sobre o capacitor da figura abaixo. A chave S1 abre para t=0 e a chave S2 fecha para t=r1 C. para t 0 =0 para 0 t R1 C 0 =0 =R1 I =R1 I 1 e t R1 C para t=r1 C=T1 T1 =R1 I1 1 1 e = I R1 R2 R1 R2 2 =C R1 R2 R1 R2 Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 10

13 t = T1 e t T1 2 t T1 1 e 2 =v excitação zero v estado zero t T1 t = [ T1 ] e 2 =v permanente v transitória 5.6 Generalização Resposta a excitação zero A resposta a excitação zero é a resposta do circuito quando a excitação é nula. Assim a equação diferencial que descreve o sistema é d n y dt n a 1 d n 1 y dt n 1... a n y=0 O polinômio característico desta equação é s n a 1 s n 1... a n 1 s a n =0 e as raízes deste polinômio são as chamadas freqüências naturais da variável de rede y. Se todas as raízes forem distintas então n y t = k i e s i t i =1 onde as constantes k i são determinadas pelas condições iniciais. Se alguma das raízes coincidirem então a resposta deve ser reescrita levando-se em conta os termos com potência de t adequadas Resposta ao estado zero A resposta ao estado zero é da forma n y t = k i e si t y p t i =1 Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 11

14 onde y p é uma solução particular que depende da excitação w e, por conveniência, podem ser escolhidas de acordo com a tabela abaixo. As constantes k i são obtidas pelas condições iniciais. Função forçada K K t K t 2 K sen t K e a t Solução assumida A A t B A t 2 B t C A sen t B cos t A e a t 5.7 Exercícios 1) Um circuito RC série no qual entra uma onda quadrada está representado na figura a seguir. A entrada é formada por um trem periódico de pulsos com uma amplitude de 10V e uma largura de 1ms, sendo cada pulso gerado a cada 2ms. A constante de tempo do circuito é de 0,1ms. Calcule a tensão sobre o capacitor e o resistor v R. Quando a fonte V é considerada entrada e a saída corresponde a o circuito é chamado de passa baixas e quando a saída é v R o circuito é chamado passa altas. Qual seria a razão para estes nomes? problema Transformando o circuito Thévenin em um equivalente Norton e resolvendo o v R R C d dt Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 12

15 d dt R C = v R C onde R C =constante de tempo= =0,1ms =k 1 e 1 t k 2 Para os 0,1ms onde v=10v =10V t =[ 0 10] e 1 t 10 a tensão chega a 10V em 0,5ms (5 constante de tempo) Para os 0,1ms onde v=0v =0V t =10 e 1 t a tensão chega a 0V em 1,5ms. Do segundo pulso em diante t = 10 e 1 t 10 (considerando que t=0 quando a fonte muda para 10V) t =10 e 1 t (considerando que t=0 quando a fonte muda para 0V) Fazendo o gráfico destas funções observa-se que o desenho se parece com a onda quadrada da entrada porém apresenta as bordas arredondadas. As bordas são mudanças rápidas associadas a altas frequências. Os patamares, que não mudam, estão associados as baixas frequências. Por esta razão este circuito é chamado de passa baixas (passa baixas frequências). Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 13

16 v R t =v t v R t =10 e 1 t (considerando que t=0 quando a fonte muda para 10V) v R t =10 10 e 1 t (considerando que t=0 quando a fonte muda para 0V) Fazendo o gráfico destas funções percebe-se que o desenho mantém as bordas da onda quadrada mas zera as partes constantes. Por esta razão este circuito é chamado de passa altas (passa altas frequências). V(V1,C1) tensão sobre o resistor 2) Considere o circuito linear invariante mostrado na figura abaixo. Seja 0 =1V e V =30 cos t u t V. Calcular a corrente do circuito para t 0. Determinar se há alguma condição inicial para o capacitor e/ou fase para o sinal V tal que a resposta transitória seja nula. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 14

17 C dv dt v R =[ A' cos t A ' ' 1 1 sen t ] R onde =2 1000, A ' 1 =30 e A ' ' 1 =0 1 R C v t =K 1 e t A' 2 cos t A' ' 2 sen t, para t 0 v 0 = K 1 A' 2 cos 0 =K 1 A' 2 =1 se v 0 = A' 2 então K 1 =0 e não há transitório Após o fim do transitório (a exponencial decrescente), o problema restringe-se a C dv p dt v p R =[ A ' 1 cos t ] R como v p t = A' 2 cos t A ' ' 2 sen t então C [ A ' 2 sen t A' ' 2 cos t ] [ A' cos t A' ' sen t ] 2 2 = [ A' 1 cos t ] R R agrupando os termos em seno e os termos em cosseno podemos montar duas equações: para senos: C A' 2 A' ' 2 R =0 para cossenos: C A' ' 2 A ' 2 R =30 Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 15

18 3) No circuito abaixo o indutor está descarregado quando a chave S1 abre e a chave S2 fecha. a) Calcule a energia armazenada no indutor no instante t=4s; b) Em t=4s a chave S1 fecha e a S2 abre. Calcule a corrente que passa pelo resistor de 4Ω para t>4. Indique o sentido correto desta corrente; c) Calcule a energia total dissipada no resistor de 4Ω no intervalo 4 t. a) Transformando o Norton (I=10A e R=2Ω) em Thévenin di L dt R L i L = R L I S di L dt 1 4 i L = =2,5 i L 0 =0A, i L =10A t 4 i L t =10 10 e para t>0 i L 4 =10 10 e 1 =6,32 A w L 4 = 1 2 L i 2 L 4 = ,322 =159,8 J b) i L 4 =6,32 A e i L =0 e = L R = 8 4 =2 t 4 2 i L t =6,32 e para t>4 Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 16

19 c) w R = 0 R I 2 t dt 2 t 4 w R =4 6, e dt=4 6, e t 4 4 =159,8 J 4 4) Para os problemas abaixo, cujas condições iniciais foram calculadas no módulo anterior calcule tensão e corrente sobre o capacitor ou indutor. a) Considere I S1 t uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado. I S1 i R1 i C =0 e i R1 =I S1 i C R 1 i R1 1 C i C t dt R 1 i C =0 considerando 0 =0 derivando esta equação R 1 di C dt 1 C i C R 1 di C dt =0 di C dt 1 C R 1 R 1 i C =0 i C t =k e t C R 1 R 1 i C 0 + = R 1 I S1 R 1 R 1 =k Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 17

20 i t = R 1 I S1 e R 1 R 1 t C R 1 R 1 para t>0 b) Considere I 1 t uma fonte constante e independente. i L1 0 - =i L1 0 + = I1 G G 1 G 2 2 i L1 =I1 Com o modelo Norton (I1, R1) transformado em um modelo Thévenin o problema I1 R 1 =L di L1 dt R 1 I1 = L 1 R 1 i L1 t =k 1 e 1 t k 2, para t>0. I1 i L1 =k 2 = I1, i L1 0 =k 1 k 2 = G G 1 G 2 2 k 2 = I1, k 1 = I1 G 1 G 1 G 2 v L1 t =L di L1 t dt, para t>0. c) Considere V 1 t uma fonte constante e independente Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 18

21 V TH = 40 9 V, R TH =R N = 20 9, I N = 2A V TH =V TH, 1 = R R TH R 2 =3,48V 2 Considerando o equivalente Norton, teremos um circuito formado por C 1, R 2, R N e I N em paralelo. Este circuito já foi calculado. R EQ = R 2 R N R 2 R N I N =C d1 1 dt R EQ =R EQ C 1 1 t =k 1 e 1 t k 2, para t>0. 1 =k 2 =3, =k 1 k 2 = 4,44 k 1 = 7,92 d) I 1 t é um degrau unitário de corrente. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 19

22 Observe que neste circuito R 1 esta em paralelo com L 1. Este conjunto está em série com o paralelo de C 2 com R 2. Desta forma este circuito é equivalente a dois circuitos paralelo independentes: a) I 1, R 1 e L 1 ; b) I 1, R 2 e C 2. i L1 t =k 1 e R 1 t L 1 k2 2 t =k 3 e t R 2 C 2 k4 1 de 4mA. e) I 1 t é um degrau de corrente de 10mA e I 2 t é uma fonte de corrente constante Solução: Calculando o equivalente Norton nos terminais do capacitor R EQ =R TH =12k // 20k 16k =9k i EQ =[10 u t 4]mA V C1 0 = 4 ma [ 20k 12k // 16k] 12k = 16V 20k 12k Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 20

23 i C 0 + =6mA 16V =7,77 ma 9k i C =0 d dt R EQ C =i EQ C t i C t =i C 0 + C R e EQ u t ma f) V 1 t é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 0,5s. v R2 =V1 logo i R2 = V1 R 2 (a mesma corrente que flui pelo paralelo de C 1 com R 1 ) 1 =v R1 =Vo Para 0<t<0, =0V, 1 = V1 R 2 R 1 =R 1 C 1 1 t =k 1 e 1 t k 2 1 =k 2 = 5 Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 21

24 1 0 =k 1 k 2 =0 k 1 =5 Para t>0,5 1 0,5 =5 e 1 0,1 0,5 5 4,9V, 1 =0V 1 t =k 3 e 1 t 0,5 k 4 k 4 =0 1 0,5 =k 3 = 4,9 g) V 1 t é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 6 R C segundos. Transformando o Thévenin (V1, R1) em um modelo Norton V1 =C d1 1 R 1 dt R 1 Para 0 t 6 R 1 C =0V, 1 =V1 =R 1 C 1 Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 22

25 1 t =k 1 e 1 t k 2 1 t = V1 e 1 t V1 Para t 6 R 1 C R 1 C 1 = V1 e 6 R R 1 C 1 C 1 1 V1 V1, 1 =0V 1 t =V1 e 1 t 6 R 1 C 1 h) V 1 t é uma fonte constante e independente. Solução: i L 0 = V 1 R 1, i L = V 1 R 1, i L 0 + =i L 0-0 =V 1, 0 + =V 1, =0V C d dt R =0 t =6 e t R C V para t>0. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 23