Circuitos Elétricos I EEL420 16/04/2015

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1 Circuitos Elétricos I EE420 16/04/2015 Nome: 1) COOQUE SEU NOME E NUMERE AS FOHAS DOS CADERNOS DE RESPOSTA 2) RESPONDA AS QUESTÕES EM ORDEM UTIIZANDO ATÉ 2 PÁGINAS POR QUESTÃO (NO MÁXIMO 3) 3) REDESENHE O CIRCUITO E INDIQUE AS CORRENTES E TENSÕES (NOMES E SENTIDOS) 4) ESCREVA AS EQUAÇÕES ITERAIS, E SÓ DEPOIS SUBSTITUA VAORES. 5) O EQUACIONAMENTO DO PROBEMA É MAIS IMPORTANTE QUE A SOUÇÃO FINA! 1) Calcule o valor de R4 para que o circuito se transforme numa fonte de corrente aplicada sobre R. Para este caso, qual o valor e o sentido da corrente sobre R? Substitua U1 pelo seu modelo ideal antes de resolver o problema. Sugestão: Calcule o equivalente Thevenin do circuito a direita de R. 2) Calcule ir. Por malhas ou nós escreva um máximo de 3 equações (além das auxiliares). 3) Determine o valor de R16 e V7 para que o equivalente Thevenin do circuito entre os pontos A e B, seja igual ao do gráfico. Por malhas ou nós escreva um máximo de 2 equações (além das auxiliares).

2 Solução 1) Aplicando uma fonte de corrente (i) no circuito a direita de R e calculando seu equivalente Thevenin (v(i)). i+ (v vo) R 3 =0 v + (v vo) =0 R 1 R 2 Substituindo valores (R 1 =R 2 =R 3 =R) e isolando v, temos v= R i o que equivale a um resistor (Req) de valor -R. Transformando v 1 e R 4 em um equivalente Norton teremos um fonte de corrente I=v 1 / R 4 e uma resistência equivalente igual a R 4. Para que o equivalente Norton de todo o circuito sem R seja uma fonte de corrente é necessário que R 4 //Req=, ou seja, R 4 =R. Neste caso a corrente que flui sobre R, de cima para baixo, é iqual a I. 2) Redesenhando o circuito com R 8 ao lado de R 7 podemos colocar o nó terra na parte de baixo do circuito e equacionar os nós A (entre R 10, I 4, R 11 e F 1 ), B (entre R 11, B 1, F 1 e R 7 ) e C (entre R 6, F 2, R 9 e R 8 ). Equacionando os nós temos: Nó A: v A R 10 +I 4 + (v A v B ) R 11 +I F 1 =0 Nó B: (v B v A ) + (v B 3 Vy) I R 11 R F1 + (v B v C ) 12 (R 7 +R 8 ) =0 Nó C: (v C v B ) (R 7 +R 8 ) + v C R 9 I F 2 + (v C V 2 ) R 6 =0 Eq. auxiliar para I F1 : I F 1 = 1,5 v A R 10 Eq. auxiliar para Vy: Vy=v B v C Eq. auxiliar para I F2 : I F 2 = V 2 R 5 I B2 = V 2 R 5 v C Eq. auxiliar para ir: ir= (v b v C ) R 7 +R 8 3) Simplificando o circuito observamos que: R 13 e I 1 estão em curto. R 14 está em paralelo com V 3. R 18 está em paralelo com V 6, R 20 e R 21 estão em paralelo com V 7 que está em paralelo com o circuito

3 formado por R 19, I 2, I 3 e R 22. Assim, o circuito equivalente é formado por F 3, R 17, R 15, R 16 e uma fonte de tensão equivalente Veq=V 3 V 4 +V 6 +V 7 =10+ E com o negativo ligado em B. Devemos anotar ix=v 7 /R 21. e podemos transformar o circuito formado por F 3 e R 17 no seu equivalente Thevenin (Fonte de valor 12 E com positivo no ponto A e resistor de valor R 17 ). Para circuito aberto: V =V AB =20= 12 E R 16 (R 15 +R 16 +R 17 ) +(10+E). Para curto circuito: I= 10= ( 12 E) (10+E) + 0 (10+E) R 15 +R 17 R 16 Encontrar a equação da reta e o Thevenin correspondente.

4 Circuitos Elétricos I EE420 11/06/2015 Nome: PARA ESTA PROVA OBEDEÇA AS SEGUINTES REGRAS 1) COOQUE SEU NOME E NUMERE AS PÁGINAS DOS CADERNOS DE RESPOSTA (COMO UM CADERNO) 2) RESPONDA AS QUESTÕES EM ORDEM UTIIZANDO ATÉ 2 PÁGINAS POR QUESTÃO (NO MÁXIMO 3) 3) REDESENHE O CIRCUITO E INDIQUE AS CORRENTES E TENSÕES (NOMES E SENTIDOS) 3) ESCREVA AS EQUAÇÕES ITERAIS, E SÓ DEPOIS SUBSTITUA VAORES (NÃO É NECESSÁRIO ESPERAR A EQUAÇÃO FINA PARA SUBSTITUIR VAORES). 4) SEJA ORGANIZADO. FAÇA A PROVA COM CAPRICHO! 1) O circuito estava em regime permanente quando, em t=0, a chave S1 abre. Determine Vc(t) para t>0. Considere V 1=8 e 5t u(t). 2) O circuito está em regime permanente quanto, em t=0, a chave S1 abre. Determine I(t) para t>0. Resolva equacionando as variáveis de estado. 3) O circuito abaixo está ligado a muito tempo. Calcule I(t) para t>0.

5 Solução 1) Fazendo o Thevenin de R1 e F1, observamos que ix é a corrente que passa por R1 quando a tensão sobre seus terminais é v. Quando a fonte F1 esta sob a mesma tensão v, por ela passa 2ix. Isto significa que a fonte F1 é um resistor de valor 0,5 R1. ogo o equivalente Thevenin destes dois componentes é Rx=4Ω. Para t<0 v C (0)= V 2 Rx R 2+Rx Para t>0 Rx C dv C +v C =V 1 dv C + 1 Rx C v = 1 C V 1 (1) Rx C v C (t )=k 1 e t / RxC +k 2 e 5t (2) Para determinar k1 e k2 v C (0 - )=v C (0 + ) da equação (1): dk 2 e 5t + k2 e 5t Rx C = 1 Rx C 8 e 5t da equação (2): v C (0)=k 1+k 2 2) Para t<0 (considerando positiva as correntes de cima para baixo e da esquerda para a direita) i (0 - V 3 (R 3 // R 5) )= (R 3 // R 5)+R 4 1 R3 v C (0 - V 3 R 4 )= (R 3 // R 5)+R 4 R 4 di (0 - ) = v C(0) i (0) R 4 Para t>0 (1) dv C = V 3 v C R 3 C i C (equação do nó entre capacitor e indutor) (2) di = v i R 4 C Isolando v C na equação (2) e substituindo em (1).

6 C d2 i + ( C R 4+ 2 R 3) di + ( R 4 R3 +1 ) i =V 3 R 3 As raízes do polinômio característico são: s 1,2 ={ 25; 10} i (t)=k 1 e 25 t +k 2 e 10 t +k 3 i (0 - )=i (0 + ), di (0 - ) = di (0 + ), i ( )= V 3 R 3+R 4 Para determinar k1, k2 e k3 i (0)=k 1+k 2+k 3 di (0) = 25 k 1 10 k 2 i ( )=k 3 3) Resumidamente, por equações de estado dv C = I 1 i C (1) di = v I 1 R i R C (2) Isolando v C na equação (2) e substituindo em (1) C d2 i +R C di 2 +i 1 =I 1+C R di As raízes do polinômio característico são: s 1,2 ={ 0,25± j 1,39 } i (t)=e 0,25 t [k 1 cos(1,39 t)+k 2 sen(1,39 t )]+k 3 Para determinar k1, k2 e k3 i (0)=0 di (0) = I 1 R 6 i ( )=4

7 Circuitos Elétricos I EE420 02/07/2015 Nome: POR FAVOR 1) COOQUE SEU NOME E NUMERE AS PÁGINAS DOS CADERNOS DE RESPOSTA (COMO UM CADERNO) 2) RESPONDA AS QUESTÕES EM ORDEM UTIIZANDO ATÉ 2 PÁGINAS POR QUESTÃO (NO MÁXIMO 3) 3) REDESENHE O CIRCUITO E INDIQUE AS CORRENTES E TENSÕES (NOMES E SENTIDOS) 4) ESCREVA AS EQUAÇÕES ITERAIS, E SÓ DEPOIS SUBSTITUA VAORES (NÃO É NECESSÁRIO ESPERAR A EQUAÇÃO FINA PARA SUBSTITUIR VAORES). 5) NÃO EQUACIONE SISTEMAS COM MAIS DE TRÊS MAHAS OU NÓS. 6) NÃO É NECESSÁRIO RESOVER SISTEMAS DE EQUAÇÕES AGÉBRICAS 1) Sabendo que V1 tem 120 Vrms e oscila a 60 Hz, Z1 dissipa 360 W com fator de potência unitário e Z2 dissipa 1400 W com fator de potência 0,8 em atraso, calcule C1 para que o fator de potência do circuito seja unitário. Nesta condição, qual a potência média da fonte? 2) Determine a potência média em R2. V2 é senoidal com frequência de 60 Hz. 3) O circuito abaixo é chamado de ponte de Wien. Devido a realimentação positiva ele oscila quando as entradas do operacional são iguais. Determine possíveis valores de R e C para que o circuito oscile em 10 khz. Determine possíveis valores de R7 e R8 para que o circuito oscile. A saída do circuito é a saída do operacional. Resolva usando aplace.

8 1) Sabendo que p=vrms Irms cos( V I) Z1 é puramente resistivo. Solução O módulo da corrente em Z2: 1400=120 Irms 0,8, logo I=14,58 A O ângulo de Z2 corresponde ao arcos(0,8) com a corrente atrasada, ou seja, +36,87º I Z 2rms =14,58 36,87=11,664+ j8,748 Para que a fonte enxergue uma carga resistiva a corrente no capacitor tem que cancelar a corrente reativa de Z2. I C 1rms =Vrms j ω C j 8,748=120 j 2 π 60 C C=193μ F 2) No transformador da esquerda, enrolamento da esquerda a tensão vale V1 e a corrente entrando no ponto vale 2 I2. No secundário a tensão vale 2 V1 e a corrente entrando no ponto vale I2. No transformador da direita, enrolamento da esquerda a tensão vale V3 e a corrente entrando no ponto vale I2. No secundário a tensão vale 3 V3 e a corrente entrando no ponto vale I2/3. Nó entre R4, R3 e o transformador da esquerda: V 1 Vs R 4 + V 1 3 V 3 +( 2 I 2)=0 R 3 Nó sobre o primário do transformador da direita V 3 2 V 2 +I 2=0 R 1 Nó entre R3, R2 e o secundário do transformador da direita V 3 R 2 3 V 1 +V + R 3 ( I 2 3 ) =0 Resolver o sistema de equações para V1, V3 e I2. (3 V 3)2 P R2 = R 2 3) Calculando as impedâncias equivalentes R 5 1 C 2 S R 5 Z 1= R5+ 1 = R5 C 2 S+1 C 2 S

9 Z 2=R 6+ 1 R 6 C 3 S+1 = C 3 S C 3 S e igualando as tensões nas entradas do operacional vo R 7 R 7+R 8 = vo Z 1 Z 1+Z 2 R 7 R 7+R 8 = R C S (R C S) 2 +3 R C S+1 R 7 (R C S) 2 +3 R C S+1=R 7+R 8 R C S igualando os termos em S R 7+R 8=R 7 igualando os termos S 2 e S 0 a zero (R C) 2 S 2 +1=0 S 2 = 1 (R C ) 2 substituindo S por j ω ω= 1 R C

10 Circuitos Elétricos I EE420 09/07/2015 Nome: POR FAVOR 1) COOQUE SEU NOME E NUMERE AS PÁGINAS DOS CADERNOS DE RESPOSTA (COMO UM CADERNO) 2) RESPONDA AS QUESTÕES EM ORDEM UTIIZANDO ATÉ 2 PÁGINAS POR QUESTÃO (NO MÁXIMO 3) 3) REDESENHE O CIRCUITO E INDIQUE AS CORRENTES E TENSÕES (NOMES E SENTIDOS) 4) ESCREVA AS EQUAÇÕES ITERAIS, E SÓ DEPOIS SUBSTITUA VAORES (NÃO É NECESSÁRIO ESPERAR A EQUAÇÃO FINA PARA SUBSTITUIR VAORES). 5) NÃO EQUACIONE SISTEMAS COM MAIS DE TRÊS MAHAS OU NÓS. Segunda chamada da P2: Questões 1, 2 e 3 Segunda chamada da P3: Questões 3, 4 e 5 PF: Das questões 2, 3, 4 e 5 escolher três. Resolver 1 pelo tempo, uma por fasores e 1 por aplace. 1) O circuito estava em regime permanente quando em t=0 S1 abre. Calcule I(t) para t>0. 2) O circuito estava em regime permanente quando, em t=0, S1 troca de posição. Calcule vo(t) para t>0. 3) Calcule io(t) para t>0

11 4) Determine C3 para maximizar a potência absorvida por R11. 5) Mostre que vo(s)/vi(s) tem forma de filtro passa altas (ganho maior nas frequências altas).

12 1) Para t>0 a resistência vista pelo capacitor vale Req=R 2//(R 1+R 3)=4 kω τ=req C I=k 1+k 2 e t / τ v C (0 + )= V 1 R 3 R 2+R 3 =6V I(0 + )= V 1 v C(0 + ) =0,5 ma R 1+R 3 Para determinar k1 e k2 I(0)=k 1+k 2 I( )=k 1 2) Calculando o Thevenin de R6, R7, R8 e I1 R TH =(R 7+R 8)// R 6=4 kω Solução R 6 V TH =(I 1 R 8) R 6+R 7+R 8 =4 V Para t>0 o circuito é um RC série com resistência de 10kΩ di +R i + 1 C i =V TH d 2 i + R 2 di + 1 C i = 1 dv TH A equação característica é s s =0 cujas raízes são s 1,2 ={ ; } vo=r 5 i i =k 1 e t +k 2 e t +k3 i (0 + )=i (0 - )=0 di (0 + ) = V TH i (0 + ) R TH v C (0 + ) i ( )=0 e v C (0 + )=v C (0 - )= 12V (mesmo sentido de vo) 3) ANÁISE PEO DOMÍNIO DO TEMPO: Equacionando por variáveis de estado di = 0,5 i R 17+v i C R 17 V 4 V 3 (0,5 i R 17+v C ) dv i C = R 16 C substituindo valores

13 (1) di = 0,5 i +v C V 4 (2) dv C = 1,25 i 0,5 v C +0,5 V 3 isolando v C em (1) e substituindo em (2) ( d2 i + 0,5 di l 2 +dv 4 ) +1,25 i + 0,5 di +0,25 i +0,5 V 4 0,5 V 3=0 d 2 i 2 + di +1,5 i = 0,5 V 4 dv 4 +0,5 V 3 As raízes da equação característica são: s 1,2 = 1± 5 2 t /2 i =i o =e [ k 1 cos ( 5 2 t ) +k 2 sen ( 5 Para calcular k1, k2 e k3 i l (0 + )=(0 - )= V 4 R 17+R 16 di (0 + ) 2 t )] +k 3 = 0,5 i (0 + )+v C (0 + ) 0 e v C (0 + )=v C (0 - V 4 R 16 )= R 16+R 17 0,5 R 17 i (0 + ) ANÁISE POR APACE Condições iniciais do capacitor e do indutor (calculadas apenas com a fonte V4, capacitor em aberto e indutor como curto circuito) V 4 R 16 VC(0)= R 16+R 17 0,5 ( R 17 V 4 (positivo para cima) R 16+R 17) I(0)= V 4 (da direita para a esquerda) R 16+R17 As condições iniciais são adicionadas ao circuito como fonte de tensão em série com o capacitor e fonte de corrente em paralelo com o indutor. Estas duas fontes são degraus. Para t>0 V 3(S )= 5 S+2, V 4(S)=0, X 4(S)= 4 S, XC 6(S)= 1 C 6 S, VB1(S)=0,5 Vo(S)=0,5 I O (S) R 17, VC 0 (S)= VC(0) S Malha da esquerda: V 3(S)+I 1 R 16+(I 1 I O ) XC 6(S)+VC 0 (S)+VB 1(S)=0, I 0 (S)= I(0) S Malha da direita: VB 1(S) VC 0 (S)+(I O I 1) XC 6(S)+I O R17+[ I O I 0 (S)] X 4 (S )=0 Resolver o sistema e com um pouco de paciência calcular a antitransformada usando frações parciais. 4) Transformando I2 e R9 no seu equivalente Thevenin e associando os componentes em série:

14 ω=5000 rad /s Zeq=Req+ j Xeq Req=R 9+R 10=800Ω Xeq= j ω 2+ j ω 3 j 2 ω M= j1600ω Z 1=R 11 // XC 3 Z 1= Z 1=Zeq * R j R C ω 1 j R C ω+1 1 j R C ω R Como 800= (R C ω) 2 +1 e 1600= R2 C ω (R C ω) R (R C ω) 2 +1 = R2 C ω (R C ω) 2 +1 C= 2 R R 2 ω =10 7 F 5) Nó da entrada negativa: (1) v - vo R = R+( A 1) R = vo A Nó da entrada positiva: v + =v - = vo A (2) vo A R +C S ( vo A VA ) =0 Nó VA (entre C4, C5 e R15) (3) C S (VA vi)+c S ( VA vo A ) + 1 (VA vo )=0 R com um pouco de paciência vo vi = K S 2 S 2 + ω Q S+ω2