Teorema da superposição

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1 Teorema da superposição Esse teorema é mais uma ferramenta para encontrar solução de problemas que envolvam mais de uma fonte que não estejam em paralelo ou em série. A maior vantagem desse método é a simplificação matemática, pois não envolve matrizes. O teorema da superposição é enunciado como: a corrente que atravessa, ou a tensão entre os terminais de um elemento de um circuito linear bilateral é igual à soma algébrica das correntes ou tensões produzidas independentemente por cada uma das fontes. Para levar em conta separadamente os efeitos de cada fonte é necessário que essas sejam colocadas em repouso, ou seja, removidas e substituídas sem alterar o resultado final. Uma fonte de tensão quando está em repouso deve ser substituída por uma tensão zero, ou seja, um curto-circuito. Analogamente, uma fonte de corrente quando em repouso deve ser substituída por uma corrente zero, ou seja, um circuito aberto. Qualquer resistência interna das fontes excluídas durante a aplicação do teorema deve ser mantida, tanto em série, para fontes de tensão, quanto em paralelo para fontes de corrente. O princípio da superposição não pode ser usado para cálculo da potência dissipada em um circuito, pois a dissipação de potência em um resistor varia com o quadrado da corrente ou da tensão, tendo portanto, uma relação não-linear. Exemplo: calcule a corrente I 3 que atravessa o resistor de 4 Ω. 1- Tornando a fonte de 48 V um curto-circuito: R T = R 1 + R 2 //R 3 = //4 = = 27 Ω I = E 1 /R T = 54/27 = 2 A Por divisor de corrente: I' 3 = [R 2 /(R 2 + R 3 )] I = 24/16 = 1,5 A (da direita para a esquerda)

2 2- Tornando a fonte de 54 V um curto-circuito: R T = R 3 + R 1 //R 2 = //24 = = 12 Ω I = E 2 /R T = 48/12 = 4 A = I'' 3 (da esquerda para a direita) Como as correntes tem sentidos contrários, a corrente total será I 3 = I'' 3 I' 3 = 4 1,5 = 2,5 A Exemplo: Determine a corrente I 2 no resistor de 6 Ω do circuito abaixo. Teorema de Thévenin Qualquer circuito de corrente contínua linear bilateral de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente constituído por uma fonte de tensão e um resistor em série. Por exemplo, na figura abaixo, o circuito a esquerda possui dois terminais a e b. Utilizando o Teorema de Thévenin, é possível substituir todo o circuito, mantendo os dois terminais, pelo circuito a direita. Esse teorema possui duas grandes vantagens. A primeira é poder calcular qualquer tensão ou corrente em um circuito linear com uma ou mais fontes. A segunda é poder concentrar a análise em

3 uma parte específica do circuito e substituir o restante por um circuito equivalente de Thévenin. Os passos para determinação do circuito equivalente de Thévenin são simples. Deseja-se reduzir o circuito, ou parte dele, em uma fonte de tensão em série com uma resistência, como na figura abaixo: Portanto, deve-se calcular os valores de R Th e E Th. Para isso, os passos são: 1- Isole a parte do circuito o qual deseja-se calcular o equivalente de Thévenin; 2- Assinale claramente os dois terminais do circuito remanescente (isso ajuda em circuitos mais complexos); 3- Para calcular R Th, elimine todas as fontes, substituindo as fontes de tensão por curto-circuitos e as fontes de corrente por circuitos abertos. Em seguida, determine a resistência equivalente entre os dois terminais escolhidos. Se o circuito original incluir resistências internas das fontes, essas devem ser mantidas; 4- Para calcular E Th, introduza todas as fontes de volta no circuito e determine a diferença de potencial entre os dois terminais escolhidos. É importante lembrar que esse cálculo é feito com os terminais escolhidos em aberto. Exemplo: Determine o circuito equivalente de Thévenin entre os terminais a e b, mantendo somente o resistor R 4 de 3 Ω.

4 O circuito a ser substituindo pelo equivalente de Thévenin é ilustrado na figura abaixo: Substituindo a fonte de tensão por um curto-circuito, a resistência R Th = 2,4 Ω O circuito acima pode ser redesenhado na forma: onde a tensão a ser encontrada é a tensão sobre o resistor de 6 Ω. Por divisão de tensão E Th = 4,8 V. Logo, o circuito equivalente será: Exemplo: Determine o circuito equivalente de Thévenin do circuito abaixo, mantendo somente o resistor R C.

5 Para colocar as fontes em repouso, e calcular a resistência equivalente, é preciso primeiro redesenhar o circuito: Logo, = (0,8 kω//4 kω//6 kω) + 1,4 kω = 2 kω. Aplicando o Teorema da superposição, primeiramente coloca-se a fonte E 2 em repouso. Como a corrente em R4 é nula (devido ao circuito aberto a-b), E' Th = (R' T / R' T + R 1 )E 1, onde R' T = 6 kω//4 kω = 2,4 kω. Logo, E' Th = 4,5 V. Colocando a fonte E 1 em repouso, R'' T = 6 kω//0,8 kω = 0,706 kω e E'' Th = (R'' T / R'' T + R 1 )E 2, logo, E'' Th = 1,5 V. Como as duas tensões tem polaridades opostas, E Th = E' Th E'' Th = 3,0 V. O circuito equivalente, portanto, fica:

6 Teorema de Norton Qualquer circuito de corrente contínua linear bilateral de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente formado por uma fonte de corrente e um resistor em paralelo, como na figura abaixo. Os passos para cálculo da corrente I N e da resistência R N são semelhantes aos passos utilizados no Teorema de Thévenin, com apenas uma diferença. Os passos são: 1- Isole a parte do circuito o qual se deseja calcular o circuito equivalente de Norton; 2- Assinale claramente os terminais do circuito remanescente; 3- Para calcular RN, coloque todas as fontes em repouso e em seguida determine a resistência equivalente entre os terminais escolhidos; 4- Para calcular IN, introduza de volta todas as fontes e calcule a corrente de curto-circuito que atravessaria os pontos escolhidos, não levando em consideração a carga conectada aos pontos no circuito original. Essa é a principal diferença entre os dois Teoremas. Observando os dois Teoremas, é fácil concluir que o circuito equivalente de Thévenin e o de Norton

7 são equivalentes, e podem ser obtidos um a partir do outro, utilizando os conhecimentos de conversão de fontes, abordado anteriormente. Exemplo: Encontre o circuito equivalente de Norton para a porção à esquerda dos ponto a e b do circuito abaixo. Colocando as fontes em repouso, R N = R 1 //R 2 = 4//6 = 2,4 Ω Usando o princípio da superposição, primeiro coloca-se a fonte de corrente em repouso e calcula-se a corrente de curto-circuito entre a e b. Portanto, I' N = 7/4 = 1,75 A. Colocando a fonte de tensão em repouso: Portanto, I'' N = 8 A. Como as duas correntes tem sentidos opostos, IN = I'' N I' N = 6,25 A. O

8 circuito resultante fica: