Universidade Federal do Rio de Janeiro. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781. Módulo 2

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 Módulo 2 Thévenin Norton Helmholtz Mayer Ohm Galvani

2 Conteúdo 2 - Elementos básicos de circuito e suas associações Resistores lineares e invariantes Curto circuito Circuito aberto Resistor linear e variante Resistores não lineares e invariantes Interruptor Diodo Diodo túnel Associação de resistores Associação série Associação paralela Fonte de tensão independente Associação de fontes de tensão Fonte de corrente independente Associações de fontes de corrente Modelo de Thévenin e Norton Associação de fontes e resistores Divisor de tensão Divisor de corrente Fontes controladas Exercícios...17

3 2 Elementos básicos de circuito e suas associações Resistor, diodo, transistor, válvula, capacitor, indutor e transformador, entre outros elementos de circuito, são elementos reais que podem ser representados por modelos ou associação de modelos, cada qual apresentando apenas 1 propriedade física. 2.1 Resistores lineares e invariantes Os resistores são os elementos de circuito mais comuns e concentram a característica de resistência elétrica, ou seja de oposição a passagem da corrente elétrica. Existem diversos símbolos para o resistor: na Europa se utiliza um retângulo (como os elementos apresentados no capítulo anterior), nos Estados Unidos e no Brasil o símbolo mais comum é apresentado na figura abaixo. O resistor é caracterizado pelas seguintes relações: v t =R i t, onde R é resistência (Ohm Ω). i t =G v t, onde G é condutância (Siemens S) R=G 1 Normalmente R e G são lineares (como no gráfico da figura abaixo) e invariantes com o tempo, mas isto não é uma exigência. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 1

4 OBS.: São condições essenciais para a linearidade: f x = f x f x 1 x 2 = f x 1 f x Curto circuito R=0. Isto significa que a diferença de tensão entre dois terminais de um curto circuito é zero, independente da corrente que circula por este elemento. Idealmente o curto circuito é representado por um fio. Num gráfico v x i o curto circuito se caracteriza por ser uma reta paralela ao eixo da corrente e que passa pela origem Circuito aberto R=. Isto significa que não há circulação de corrente pelo circuito aberto, independente da tensão aplicada a seus terminais. Idealmente o curto circuito é representado por dois nós não conectados. Num gráfico v x i o curto circuito se caracteriza por ser uma reta paralela ao eixo da tensão e que passa pela origem. 2.2 Resistores não lineares e invariantes Aqueles que apresentam uma relação não linear entre tensão e corrente porém são invariantes com o tempo (não são funções do tempo). Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 2

5 2.2.1 Interruptor Uma chave ideal pode ser modelada por por um curto circuito ou por circuito aberto dependendo de estar fechada ou aberta respectivamente. Um modelo mais realístico pode representar as resistência de contatos elétricos (R1) quando a chave está fechada e uma resistência de isolação (R2) de quando a chave esta aberta. Outros modelos para a chave podem ser utilizados, como na figura abaixo Diodo Um elemento com comportamento muito semelhante ao de uma chave comutada por tensão é o diodo eletrônico, cujo símbolo e curva v x i são apresentados na figura abaixo. Observe que a curva v x i não é simétrica o que significa que este elemento apresenta polaridade, ou seja, dependendo de como ele for ligado ao circuito este terá um comportamento diferente. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 3

6 Tradicionalmente o diodo é modelado pela equação q v t i t =I S e 1 K T onde K T q 26mV para a temperatura ambiente. É muito comum, na prática, simplificar os cálculos de circuitos que utilizam diodos substituindo seu comportamento real (descrito pela exponencial acima) por uma chave controlada (um curto circuito ou circuito aberto). Eventualmente este modelo pode estar associada com outros elementos como fontes e resistores. 2.3 Associação de resistores Associação série A associação série de resistores é aquela onde um terminal de um resistor se conecta a um terminal do próximo formando uma seqüência de resistores. Esta associação, ilustrada na figura abaixo pelos resistores e R 2, tem um comportamento elétrico semelhante ao de uma resistência equivalente R EQ entre os nós A e C da associação. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 4

7 O valor da resistência equivalente pode ser calculada da seguinte maneira: v=v R1 v R2 v=i I R 2 v= I R 2 v=i R EQ R EQ = R 2 Genericamente R EQ = R n (a resistência equivalente é maior que todas as resistências individuais da associação). Cabe ressaltar que a resistência equivalente da associação é equivalente apenas do ponto de vista da tensão e da corrente nós A e C (na figura acima) pois a potência dissipada por cada resistor será diferente da potência dissipada pelo equivalente assim como a tensão sobre cada resistor será diferente da tensão sobre o resistor equivalente. A figura acima também apresenta um símbolo não utilizado anteriormente. Um triângulo interligado ao nó C. Este símbolo marca o nó como se fosse um nome e costuma ser utilizado para representar uma referência de tensão (também chamado de terra, massa, chassi, retorno...). Quando ele está presente no circuito as medidas de diferença de tensão são dadas com relação a este ponto. Abaixo vemos curvas de tensão em função da corrente para a associação série apresentada anteriormente. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 5

8 A tensão V a equivale a diferença de tensão V A V C, a tensão V b equivale a diferença de tensão V B V C, por outro lado a tensão V A, B ou V AB equivale a diferença de tensão V A V B. Estas representações de diferenças de potencial são comuns em circuitos e sempre que se deseja expressar uma diferença de tensão entre a referência e um nó qualquer do circuito basta indicar o nome deste nó. Quando a diferença de potencial se refere a uma medida que não inclua o nó de referência então se indicam os dois nós para os quais a diferença de tensão esta sendo fornecida ou solicitada Associação paralela A associação paralela de resistores é aquela onde um terminal de cada resistor se conecta a um determinado nó e todos os demais terminais se conectam a um outro nó. Esta associação, ilustrada na figura abaixo pelos resistores e R 2, tem um comportamento elétrico semelhante ao de uma resistência equivalente R EQ entre os nós A e C da associação. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 6

9 O valor da condutância equivalente pode ser calculado da seguinte maneira. i TOTAL =i R1 i R2 i TOTAL =v G 1 v G 2 i TOTAL =v G 1 G2 i TOTAL =v G EQ G EQ =G 1 G 2 Genericamente G EQ = G n (a condutância equivalente é maior que todas as condutâncias individuais da associação, ou seja a resistência equivalente é menor que todas as resistências da associação). Novamente aqui, assim como em todas as associações realizadas nesta disciplina, o conceito de equivalente está diretamente relacionado com o comportamento da tensão e da corrente entre dois nós, ou seja, para que dois circuitos sejam equivalentes a equação de tensão em função de corrente para quaisquer dois nós deve ser igual em ambos os circuitos. A figura abaixo mostra o gráfico das condutâncias formadas por, R 2 e R EQ Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 7

10 2.4 Fonte de tensão independente As fontes de tensão são elementos capazes de absorver ou fornecer energia a circuitos mantendo constante a diferença de potencial entre seus terminais, independentemente da corrente que circule pela fonte. Existem diversos símbolos para a fonte mas o mais comum está representado na figura abaixo. Observe na figura abaixo que a curva v x i da fonte de tensão é uma reta paralela ao eixo da corrente, como se fosse um curto circuito (a resistência de uma fonte de tensão ideal é zero) porém esta curva não passa pela origem, ou seja não tem um comportamento linear. Correntes positivas estão associadas ao sentido de referência mostrado na figura acima e nesta região a fonte absorve energia (p>0) ou seja, esta sendo carregada. Quando a corrente é negativa (sentido contrario ao de referência) a fonte fornece energia (p<0). Fontes de tensão reais apresentam uma diminuição da tensão em seus terminais que é proporcional a corrente fornecida para a carga. A figura abaixo apresenta um modelo para Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 8

11 fonte de tensão real formado por uma fonte de tensão ideal vo em série com uma resistência R S,. Esta fonte está sendo utilizada para alimentar uma carga R L. v i =Rs i vo ou i v = v Rs vo Rs O comportamento v x i da fonte de tensão real é semelhante ao mostrado na figura abaixo. Neste exemplo, vo=10v e R S =10. Observe que com estes valores a curva de tensão nos terminais da fonte está longe de ser considerada constante, mas a medida que Rs for diminuído a curva torna-se mais parecida com a da fonte ideal Associação de fontes de tensão Fontes de tensão podem ser associadas em série e em paralelo. Se forem conectadas em série a fonte de tensão equivalente será dada pela soma algébrica das tensões de cada fonte. Por outro lado, se as fontes forem conectadas em paralelo todas devem ter o mesmo Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 9

12 valor e a mesma polaridade. Isto deve ocorrer para que o somatório das tensões em cada caminho fechado seja nulo, obedecendo a LTK. 2.5 Fonte de corrente independente As fontes de corrente são elementos capazes de absorver ou fornecer energia a circuitos mantendo constante corrente que atravessa seus terminais, independentemente da diferença de tensão entre seus terminais. Existem diversos símbolos para a fonte mas o mais comum está representado na figura abaixo. Observe na figura abaixo que a curva v x i da fonte de corrente é uma reta paralela ao eixo da tensão, como se fosse um circuito aberto (a resistência de uma fonte de corrente ideal é infinita) porém esta curva não passa pela origem, ou seja não tem um comportamento linear. Tensões positivas estão associadas ao sentido de referência mostrado na figura acima e nesta região a fonte absorve energia (p>0) ou seja, esta sendo carregada. Quando a tensão é negativa (sentido contrario ao de referência) a fonte fornece energia (p<0). Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 10

13 Fontes de corrente reais apresentam uma diminuição da corrente de saída a medida que a tensão nos terminais da fonte aumenta. A figura abaixo apresenta um modelo de uma fonte de corrente real, representada por uma fonte de corrente ideal io e uma resistência R S. Esta fonte está sendo utilizada para alimentar a carga R L. Desenhe o gráfico de v com relação a i. v i =Rs i Rs io ou i v = v Rs io O comportamento v x i da fonte de corrente real é semelhante ao mostrado na figura abaixo. Neste exemplo, io=1a e R S =10. Observe que a curva abaixo é idêntica aquela obtida para o exemplo de fonte de tensão real com vo=10v e R S =10. Se estes dois circuitos apresentam a mesma característica v x i então os dois circuitos são equivalentes do ponto de vista dos seus terminais. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 11

14 2.5.1 Associações de fontes de corrente Fontes de corrente podem ser associadas em série ou em paralelo. Se forem ligadas em série todas as fontes devem ter a mesma intensidade e o mesmo sentido para que seja respeitada a LCK. Se ligadas em paralelo podem ter qualquer valor e sentido e, neste caso, a fonte equivalente corresponde a uma fonte cuja intensidade e sentido é dada pela soma algébrica das correntes das fontes individuais. 2.6 Modelo de Thévenin e Norton Como foi mostrado os modelos de fontes de tensão e corrente reais apresentam a mesma equação para a curva v x i e portanto podem ser equivalentes. Estes equivalentes recebem nomes especiais (Thévenin e Norton respectivamente) e podem ser vistos na figura abaixo. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 12

15 Para substituir um equivalente Thévenin por um Norton e vice versa basta comparara as equação de cada equivalente. Comparando as equações de tensão v i =Rs i Rs io, v i =Rs i vo observa-se que vo=rs io, a inclinação do gráfico v(i) é Rs e seu intersepto é vo. Comparando-se as equações de tensão i v = v Rs io, i v = v Rs vo Rs observa-se que io= vo Rs, a inclinação do gráfico i(v) é 1 Rs e seu intersepto é io. 2.7 Associação de fontes e resistores Divisor de tensão Um problema muito comum em circuitos é o cálculo da tensão sobre um resistor numa ligação série de fonte de tensão e resistores conforme indicado na figura a seguir. A tensão v pode ser obtida da seguinte maneira: Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 13

16 vs i TOT = R 2 R 3 v=i TOT R 2 vs v= R R 2 R 2 3 Genericamente v i = vs R i R n Divisor de corrente Outro problema muito comum é o cálculo de uma determinada corrente num circuito paralelo entre uma fonte de corrente e resistores, como ilustrado na figura abaixo. A corrente i1 pode ser obtida da seguinte maneira is v TOT = G 1 G 2 G 3 i 1 =v TOT G 1 is i 1 = G G 1 G 2 G 1 3 Genericamente i i = is G i G n 2.8 Fontes controladas Uma fonte controlada é um elemento de circuito com 2 braços onde o primeiro é Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 14

17 formado por um curto circuito ou circuito aberto e o segundo por uma fonte de tensão ou corrente. A forma de onda na fonte do segundo braço é uma função na tensão de circuito aberto ou da corrente de curto circuito do primeiro braço ou seja a fonte do segundo braço é controlada pela tensão ou corrente no primeiro braço. Assim, existem quatro combinações possíveis de fontes controladas que estão representadas na figura abaixo. Fonte de corrente controlada por corrente: i 2 =α i 1 Fonte de corrente controlada por tensão: i 2 =gm v 1 Fonte de tensão controlada por tensão: v 2 = μ v 1 Fonte de tensão controlada por corrente: v 2 =rm i 1 Estas fontes são muito comuns em eletrônica e representam o funcionamento de circuitos ou elementos como transistores, amplificadores operacionais e válvulas. Os símbolos utilizados diferem um pouco na literatura e nos simuladores. Via de regra o símbolo da fonte continua o mesmo utilizado para fontes independentes ou assume um formato de losângulo. A dependência com a corrente ou a tensão do primeiro braço é explicitada pela equação que governa o funcionamento da fonte. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 15

18 Diferente das fontes independentes, fontes controladas representadas por α, gm, µ e rm constantes são fontes lineares e invariantes com o tempo mas também podem existir fontes controladas não lineares e variantes. As fontes independentes representam fornecimento de energia ou seja a ação do mundo externo e são componentes não lineares por natureza. As fontes controladas representam comportamento de elementos eletrônicos (resistores, por exemplo) acoplados ou seja podem ser elementos lineares. Nos exemplos mostrados acima, com coeficientes constantes, a impedância de uma fonte de corrente controlada não é infinita e a impedância de uma fonte de tensão controlada não é zero. De resto as fontes controladas podem ser consideradas fontes de tensão ou corrente e assim são consideradas na análise de circuitos. 2.9 Exercícios polaridade? 1) Observando a curva v x i de um elemento é possível determinar se ele apresenta Sim. Simetria impar indicam elementos sem polaridade. 2) Calcule a resistência equivalente para os circuitos da figura abaixo Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 16

19 Circuito da esquerda: Req=R1 R2 R3 R2 R3 R4 R2 R3 Circuito da direita: Req=R1 R4 R2 R3 3) Apresente as curvas v x i para as figuras abaixo (considerar o diodo como uma chave ideal controlada por corrente). Com base nestes resultados determinar como seria possível modelar a curva do diodo real apresentada na secção sobre resistores não lineares e invariantes. No LTSpice insira a diretiva spice:.model D d(n=0.001) para obter um diodo próximo do ideal. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 17

20 4) Para os circuitos da figura abaixo calcule as tensões e as correntes sobre os elementos. Considere =1, =2 e =3. Determine quem absorve e quem fornece energia. Circuito de cima a esquerda =1, v R1 =v 1, i R1 =2 A, i V1 = 1 A, p V1 = 2W, p R1 =4 W, p I1 = 2W =2, v R1 =v 1, i R1 =1 A, i V1 =0 A, p V1 =0W, p R1 =2 W, p I1 = 2 W =3, v R1 =v 1, i R1 =2/3 A, i V1 =1/3 A, p V1 =2/3W, p R1 =4/3 W, p I1 = 2W Circuito de cima a direita =1, v R1 =1V, i R1 =i I1, i V1 =i I1, p V1 =2W, p R1 =1W, p I1 = 3W =2, v R1 =2 V, i R1 =i I1, i V1 =i I1, p V1 =2W, p R1 =2 W, p I1 = 4W =3, v R1 =3 V, i R1 =i I1, i V1 =i I1, p V1 =2W, p R1 =3W, p I1 = 5W Circuito de baixo, v R2 =3 V, p R2 =3W =1, i R1 =2 A, i V1 = 1 A, p V1 = 2 W, p R1 =4 W, p I1 = 5W Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 18

21 =2, i R1 =1 A, i V1 =0 A, p V1 =0W, p R1 =2 W, p I1 = 5W =3, i R1 =2/3 A, i V1 =1/3 A, p V1 =2/3W, p R1 =4/3W, p I1 = 5W 5) Determine a tensão, a corrente e a potência sobre cada elemento do circuito abaixo. Os resultados estão apresentados na tabela abaixo. As células pintadas correspondem as fontes que fornecem energia. I R1 =3A, V R1 =6V, P R1 =18W I R6 =4A, V R6 =16V, P R6 =64W I R5 =2A, V R5 =10V, P R5 =20W V I1 =V 7 +V R1 =26V, P I1 =78W I V10 = 4A, P V10 = 200W V I2 =V V8 +V R5 =25V, P=50W I R7 =V 9 / R 7 = 4A, V R7 = 40V, P R7 = 160W V I3 =V V10 +V R6 V V9 =26V, P=104W V R4 =15V, I R4 =2A, P R4 =30W V R2 =20V, I R2 =5A, P R2 =100W V R3 =V V9 V R2 V R4 =5V, I R3 =2A, P R3 = 10W I V7 =I R1 +I R3 I R2 =0A, P V7 =0W I V8 =I R3 +I R5 I R4 =2A, P V8 =30W I V9 =I R4 +I V8 +I I3 +I R7 -I I2 =10A, P V9 =400W Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 19

22 6) Para a figura abaixo calcule as tensões V 1 e V 2. v 2 =25V, v 1 = 1V 7) Determine o modelo equivalente para os dois circuitos abaixo. Circuito da esquerda igual a uma fonte de tensão de valor V1. Circuito da direita igual a uma fonte de corrente de valor I1. 8) Abaixo são apresentadas duas redes resistivas: uma rede chamada T ou Y e outra rede chamada Π ou. Dependendo dos valores dos resistores estas redes podem ser equivalentes do ponto de vista dos terminais A, B e C. a) Determine os valores de RA, RB e RC para que a rede Y seja equivalente a uma dada rede. b) Determine os valores de R1, R2 e R3 para que a rede seja equivalente a uma dada rede Y. a) R AC = RA RC, R AB = RA RB, R BC =RB RC Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 20

23 R AC = R1 // R2 R3 = R1 R2 R3 R1 R2 R3 = R1 R2 R1 R3 R1 R2 R3 R AB = R2 // R1 R3 = R2 R1 R3 R1 R2 R3 = R1 R2 R2 R3 R1 R2 R3 R3 R1 R2 R BC =R3 // R1 R2 = R1 R2 R3 = R1 R3 R2 R3 R1 R2 R3 RA RC= R1 R2 R1 R3 R1 R2 R3 (1) RA RB= R1 R2 R2 R3 R1 R2 R3 (2) RB RC = R1 R3 R2 R3 R1 R2 R3 (3) =2 RA, =2 RB, =2 RC RA= R1 R2 R1 R2 R3, RB= R2 R3 R1 R2 R3, RC= R1 R3 R1 R2 R3 b) considerando que R T =R1 R2 R3 então RA= R1 R2 RT, RB= R2 R3 RT, RC= R1 R3 RT RA RB= R1 R22 R3 RT 2, RA RC= R12 R2 R3 RT 2, RB RC = R1 R2 R33 RT 2 RA RB RA RC RB RC= R1 R22 R3 R1 2 R2 R3 R1 R2 R3 2 RT RA RB RA RC RB RC= RA RA R1 R2 R3 R1 2 R2 R3 R1 R2 R3 2 RT 2 1 RA RB RA RC RB RC= RT RA R3 R1 2 R2 R3 R1 R2 R3 2 R1 R2 R1 R22 RT 2 Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 21

24 RA RB RA RC RB RC = R2 R3 R1 R3 R3 2 RA RT RA RB RA RC RB RC R3 R2 R1 R3 = RA R1 R2 R3 R3= RA RB RA RC RB RC RA, RA RB RA RC RB RC R2= RC R1= RA RB RA RC RB RC RB 9) Utilizando apenas associação de resistores e transformação de modelos Thévenin- Norton determine o valor da tensão v. R 4 e R 6 não influenciam a tensão v e podem ser desconsiderados V 12 =V 1 V 2 =10 4 =6V O modelo Thevènin formado por V 12 e pode ser transformado em um Norton I 12 =V 12 / =6/2=3 A e =2. R eq = R 3 R 5 R 2 =1,14, e I eq =I 12 I 1 =3 10=13 A. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 22

25 Assim, v= I eq R eq =14,85V 10) Para a figura abaixo calcule a tensão sobre a carga (resistor R L ) v RL = R L gm v 1 e v 1 = v s R 2 v RL = R L gm v s R 2 com polaridade positiva para baixo. 11) Para o circuito abaixo, calcular v L (tensão sobre o resistor R L ). Solução: v µ v v = R = R 2 1 L L L R2 + RL R2 + RL v 1 = v S R S μ v v L = S R L R L R 2 R S Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 23

26 12) Para o circuito abaixo calcular a impedância vista pela fonte de corrente Solução: R E = V L = 1 a I L = 1 a R I L S I S Observe que dependendo do valor de a a impedância equivalente conectada em paralelo com a fonte de corrente varia. Se a=1 a impedância é nula e o circuito se comporta como um curto circuito. Se 0 a 1 a impedância será uma parcela da impedância da carga. Se a 1 a impedância é negativa. 13) Para os circuitos abaixo calcular o valor de v o considerando que o ganho A do amplificador operacional não é infinito. Determine o limite de v o quando o ganho A tende a infinito. Refaça as contas considerando que a fonte controlada da saída é uma fonte de tensão independente de valor v o e que a diferença de tensão entre as duas entradas do operacional é nula. Compare os resultados e explique o que aconteceu. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 24

27 Solução para o primeiro circuito. Redesenhando o circuito para facilitar o equacionamento i 1 = v i v o R 2 v _ =i 1 R 2 v o = v i v o R 2 R 2 v o v _ = v i R 2 v o R 2 v o = A v + v _ como v + =0, v o = A v _ v _ = v o A = v i R 2 v o R 2 R 2 v o = R 2 R 2 A v i se lim v o = R 2 v A R i 1 Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 25

28 Observe que se A tende a infinito e a saída v o é finita então a diferença de tensão entre as duas entradas do amplificador operacional obrigatoriamente deve ser ser nula. Considerando antecipadamente as duas entradas do operacional com o mesmo potencial podemos resolver o problema da seguinte forma: v + =v _ =0 logo i 1 = v i = v o R 2, então v o = R 2 v i. v + =v _ =0 i 1 = v 0 i = 0 v o R 2 v o = R 2 v i Para o segundo circuito, resolvendo da forma simplificada: v R1 =v i i R1 =i R2 = v v 0 i = v i R 2 = v R 2 o 1 v i Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 26