Universidade Federal do Rio de Janeiro. Circuitos Elétricos I - EEL420. Módulo 5

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos Elétricos I - EEL420 Módulo 5 Faraday Lenz Henry Weber Maxwell Oersted

2 Conteúdo 5 Capacitores e Indutores Capacitores Capacitor linear e invariante com o tempo Modelo Thévenin e Norton Capacitor linear variável com o tempo Capacitor não linear Energia acumulada no capacitor Associação de capacitores Associação série Associação paralela Redistribuição de cargas Indutores Indutor linear e invariante Modelo de Thévenin e Norton Indutor variável com o tempo Indutor não linear Energia armazenada no indutor Associação de indutores Associação série Associação paralela Redistribuição de fluxo Componentes reais Lei dos nós e das malhas para equacionar circuitos RLC Considerações sobre condições iniciais Exercícios Soluções...32

3 5 Capacitores e Indutores Capacitores e indutores são elementos passivos, como os resistores, porém em vez de dissipar energia estes elementos são capazes de absorver e fornecer energia. Isto ocorre porque a energia absorvida fica armazenada na forma de campo elétrico ou magnético. Capacitores e indutores podem ser lineares ou não lineares, variantes ou invariantes e também podem ser associados como as resistências. A eles também se estendem todos os conceitos de análise considerados anteriormente. 5.1 Capacitores Capacitores são elementos capazes de armazenar energia sob a forma de campo elétrico. O símbolo do capacitor pode ser visto na figura abaixo. Alguns capacitores, por motivos meramente construtivos, podem ser polarizados e, nestes casos, utiliza-se um símbolo ligeiramente diferente onde uma das barras aparece curva ou na forma de um retângulo que pode estar pintado. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 1

4 Os capacitores são formados por duas superfícies condutoras separadas por um isolante de tal forma que não há contato elétrico entre os dois terminais do capacitor. Estas superfícies, entretanto ficam muito próximas uma da outra de forma que cargas elétricas que se deslocam para uma das superfícies repelem cargas da outra superfície permitindo a circulação de corrente. Observe que a resistência entre os dois terminais do capacitor é infinita, porém há circulação de corrente e ela respeita a lei das correntes de Kirchhoff, mesmo assim há uma diferença líquida de cargas entre os dois terminais do capacitor de forma que surge sobre seus terminais uma diferença de potencial que permanece no capacitor depois que ele é desconectado do circuito. Esta característica definida pela razão entre cargas no capacitor e tensão sobre seus terminais chama-se capacitância: C= q t, onde C é a capacitância (Farad F) v t 5.2 Capacitor linear e invariante com o tempo Um capacitor linear e invariante no tempo é definido como q t =c v t de tal forma que dq t =C dv t dt dt ou seja i=c dv dt, (uma relação linear) ou v= 1 t C i t ' dt ' v 0, (uma relação linear apenas se v 0 =0 ) 0 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 2

5 Observa-se que a equação de v só pode ser obtida se for conhecido o valor de v 0, ou seja, a condição inicial da integral e do capacitor. Por esta razão todas as equações que envolvam capacitor só podem ser resolvidas se, tanto o valor de C como de v 0 forem conhecidos (mesmo que se utilize a equação com diferencial, como veremos mais a frente). Além disto, para que os circuitos envolvendo capacitores sejam lineares é necessário que v 0 seja nulo, ou seja, as condições iniciais sejam nulas. Esta situação é chamada de estado zero. Se v 0 não for nulo podemos representar o capacitor não linear por um modelo que emprega um capacitor descarregado em série com uma fonte de tensão conforme indicado na figura abaixo. Observe que esta associação (capacitor-fonte) é um equivalente ao capacitor carregado. Adicionalmente observa-se que a corrente no capacitor depende de uma derivada ao passo que a tensão depende de uma integral. Isto significa que a corrente no capacitor pode variar instantaneamente. Já a tensão sobre o capacitor só pode variar instantaneamente se i(t) for infinita como uma função impulso. Alguns autores utilizam o termo inércia de tensão para indicar que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente. Destas observações decorre que, em circuitos de corrente contínua (CC) e chaveados (com ondas de tensão ou corrente pulsadas), o capacitor irá se comportar como um curto circuito para transições rápidas (como degraus e impulsos) e como circuito aberto para corrente contínua. Entre o chaveamento e o estabelecimento de uma corrente contínua constante há um período transitório onde o capacitor se carrega e não pode ser considerado como nenhuma das duas situações acima. As mesmas conclusões podem ser obtidas se considerarmos que v C (t)=a cos(ω t ). Neste caso i C (t)= A ω sen(ω t). Destas expressões é possível observar que para corrente contínua ( ω=0 ) não há corrente pelo capacitor (o capacitor é equivalente a um circuito Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 3

6 aberto), mas se a frequência for infinita ( ω= ) a corrente será infinita (o capacitor é equivalente a um curto circuito). Estas analogias servem apenas para os capacitores descarregados. Exemplo: No circuito abaixo a chave ch1 fecha em t=0. Calcular a corrente e a tensão no capacitor para t=0 + e t=. t=0 +, (capacitor é um curto circuito) =0V i C1 = v1 R1 =10A t=, (capacitor é um circuito aberto) i C1 =0A = v1 R1 R2 R2=7,5V Modelo Thévenin e Norton Conforme apresentado na secção anterior um modelo para capacitor carregado é obtido pela associação série de um capacitor descarregado com uma fonte de tensão formando um equivalente Thévenin. Naturalmente este modelo Thévenin pode ser transformado em um modelo Norton equivalente como apresentado na próxima figura. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 4

7 Para o equivalente Thévenin v= 1 C i dt vs i=c d v vs =C dv dt dt C dvs dt Para o equivalente Norton v= 1 C i is dt= 1 C i dt 1 C is dt i=c dv dt is Desta forma, para que as equações de v e i sejam iguais nos dois modelos temos que vs t = 1 t C is t ' dt e 0 is t =C dvs dt Desta forma, caso estejamos fazendo a transformação de uma fonte que representa a condição inicial do capacitor, vs deve ser representado como uma função degrau (caso contrário is seria zero) e is por uma função impulso. Por outro lado, é importante notar que na maioria das vezes que estivermos resolvendo circuitos com capacitores esta transformação e estes equivalentes ficarão apenas na nossa mente. Circuitos com capacitores resultam em equações diferenciais cuja solução naturalmente depende das condições inicias do problema. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 5

8 Então, na maioria das vezes a condição inicial do capacitor (vs ou is) pode ser calculada separadamente e usada apenas para a determinação da solução do problema e não para o seu completo equacionamento. 5.3 Capacitor linear variável com o tempo Se um capacitor é linear então sua característica a qualquer instante de tempo é uma reta que passa pela origem. Se este capacitor, por outro lado, é variante, então a inclinação desta reta varia com o tempo. Consequentemente a carga no instante de tempo t pode ser expressa em termos da tensão neste instante tal que q t =C t v t. A equação com corrente envolve a derivada da equação anterior i t = dq dt. Esta derivada deve ser realizada pela regra do produto tal que i t =C t dv v t dc dt dt Assim sendo um capacitor variante com o tempo pode resultar em um equacionamento ainda mais complicado que para os resistores variantes. Exemplo: Seja um capacitor C t =C 0 C 1 cos 3 t alimentado por uma fonte de tensão v t =A cos t, calcular a corrente que circula pelo capacitor. i t =C t dv v t dc dt dt i t =[C 0 C 1 cos 3 t ] [ A sen t ] [ C 1 sen 3 t 3 ] [ A cos t ] Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 6

9 5.4 Capacitor não linear Capacitores não lineares têm sua carga como uma função não linear da tensão. Alguns exemplos práticos de capacitores não lineares encontram-se nas junções semicondutoras de diodos e transistores. Nestes elementos dois semicondutores são unidos formando uma barreira de potencial e uma capacitância parasita (não desejada) Cj. Algumas componentes, entretanto, tentam aumentar esta capacitância, como é o caso do diodo de sintonia ou varactor. Este diodo apresenta capacitância de junção, polarizada reversamente como sendo aproximadamente C j0 C j = 2 V 1 Transistores e alguns tipos de sensores também apresentam capacitâncias não lineares cujas funções costumam ser bastante complexas. Para facilitar o trabalho de análise e projeto muitas vezes estas funções são linearizadas em torno de um ponto de operação do elemento. Este procedimento pressupõe um capacitor operando com tensão v 1, correspondente a uma carga q 1, e mais uma pequena variação em torno deste ponto de polarização. Isto corresponde a uma variação de tensão de ±v 2 tal que a carga varie de ± q conforme mostrado na figura abaixo. Esta situação é muito comum em circuitos que misturam tensões de polarização com pequenas tensões de sinais externos e que devem ser processados. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 7

10 Então q q 1 dq v v dv 2 v1 i t = dq dt i t = dq v dv 2 dv v1 dt i t =C v 1 dv 2 dt, ou seja o capacitor pode ser considerado linear para pequenos sinais. O procedimento apresentado aqui pode ser utilizado para qualquer outro elemento não linear. 5.5 Energia acumulada no capacitor A energia pode ser obtida pela integral da potência ao longo do tempo. Num capacitor a energia não é dissipada, mas armazenada na forma de campo elétrico. Assim sendo, a energia armazenada em um capacitor é igual a energia fornecida a ele por uma fonte. t w t 0, t = v t ' i t ' dt ' t 0 q t w t 0, t = v q 1 dq 1 (área entre o eixo q e a curva) q t 0 q t w t = v q 1 dq 1. 0 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 8

11 Para um capacitor linear invariante q t w t = q 1 C dq 1 0 w t = 1 2 q2 t C w t = 1 2 C v2 Um capacitor passivo é aquele que apresenta energia armazenada maior ou igual a zero. Assim um capacitor linear invariante é passivo se sua capacitância é não negativa e ativo se sua capacitância é negativa. 5.6 Associação de capacitores Capacitores ligados em série ou paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente tal que a relação entre v e i nos terminais da associação seja igual à relação entre v e i no equivalente. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 9

12 5.6.1 Associação série Capacitores associados em série são percorridos pela mesma corrente e dividem a tensão total da associação. Pela LTK e LCK v= v C2 v= 1 C 1 i t dt 1 C 2 i t dt v= 1 C 1 1 C 2 i t dt v= 1 C EQ i t dt onde 1 C EQ = 1 1 C 1 C 2. Genericamente 1 = C EQ 1 C n Associação paralela Na associação paralela de capacitores todos estão sujeitos a mesma tensão e dividem a corrente da associação. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 10

13 Utilizando a LTK e a LCK i=i C1 i C2 i=c 1 dv dt C dv 2 dt i= C 1 C 2 dv dt i=c EQ dv dt onde C EQ = C 1 C 2 Genericamente C EQ = C n Redistribuição de cargas Suponha que dois capacitores C 1 e C 2 de 1F carregados com 10 e 5V respectivamente sejam conectados em paralelo. Qual a tensão resultante sobre o capacitor equivalente? Este é um problema interessante que merece ser analisado em separado. Neste caso, não é possível utilizar a conservação da energia antes e depois da ligação para prever a tensão final sobre os capacitores! Isto ocorre porque uma corrente impulsiva recarrega os capacitores e esta função apresenta todas as frequências. Sendo assim, as leis de Kirchhoff não se aplicam, pois o circuito deixa de ter parâmetros concentrados. Apesar disto, a conservação de carga ocorre e é possível utilizá-la para resolver o problema. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 11

14 Q TOT =Q 1 Q 2 Q TOT =C 1 V 1 C 2 V 2 Q TOT =C EQ V FINAL C EQ =C 1 C 2 (capacitores em paralelo) V FINAL = C 1 V 1 C 2 V 2 C 1 C 2 Calcule a carga total armazenada no problema acima. Confira se as tensões nos dois capacitores ficou igual após a redistribuição de cargas. Calcule a energia total antes e depois da redistribuição. Para onde foi o resto da energia? Uma outra abordagem emprega apenas o equacionamento das correntes e das tensões em cada capacitor. Esta abordagem pode ser utilizada sempre, mesmo se a malha apresenta mais do que dois capacitores ou apresenta fontes de tensão. No nosso exemplo a equação da malha seria v C 1 (0 )+ 1 C 1 i dt +v C 2 (0 )+ 1 C 2 i dt=0 i dt= v C 1 (0 ) v C 2 (0 ) u(t ) C 1 C 2 derivando a equação anterior temos que i(t)= C 1 C 2 C 1 +C 2 [v C 1 (0 ) v C 2 (0 )] δ(t) Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 12

15 Desta forma a tensão em cada capacitor será v C 1 (0 + )= 1 C 1 i dt+v C 1 (0 )= C 2 C 1 +C 2 [v C 1 (0 ) v C 2 (0 )] u(t)+v C 1 (0 ) e v C 2 (0 + )= 1 C 2 i dt+v C 2 (0 )= C 1 C 1 +C 2 [v C 1 (0 ) v C 2 (0 )] u(t)+v C 2 (0 ). 5.7 Indutores Indutores são elementos armazenadores de energia na forma de campo magnético. O símbolo do indutor é apresentado na figura abaixo. Algumas vezes o símbolo do indutor apresenta alguma marcação como um círculo próximo a um de seus terminais ou vem acompanhado de outro indutor. Estes símbolos representam indutores acoplados que serão estudados separadamente em outros capítulos. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 13

16 O indutor é formado por um fio enrolado de tal forma a concentrar o campo magnético produzido quando o condutor é percorrido por corrente elétrica. O resultado é que a corrente que percorre o indutor torna-se dependente do fluxo magnético gerado. A característica de indutância é dada pela razão entre o enlace de fluxo magnético e a corrente L= t i t onde é o enlace de fluxo magnético (Weber Wb), L é indutância (Henry H). O enlace de fluxo é determinado pelo produto entre o fluxo magnético (Weber) e o número de espiras da bobina que forma o indutor. 5.8 Indutor linear e invariante O indutor linear e invariante apresenta a seguinte característica t =L i t. Pela lei da indução de Faraday temos que v t = d dt. Esta lei, associada aos sentidos estabelecidos para corrente e tensão estão em acordo com a lei de Lenz que estabelece que a força eletromotriz induzida por uma variação de fluxo tem polaridade tal que se opõe à causa desta variação. Supondo que a derivada da corrente aumente, então a derivada do fluxo e a tensão sobre o indutor também aumentarão. Neste caso a polaridade da tensão é tal que tende a impedir novos aumentos da corrente. Utilizando as duas relações acima é possível determinar uma forma mais útil para caracterizar o indutor em termos de tensão e corrente em seus terminais. di t v t =L dt (uma relação linear) Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 14

17 ou i t = 1 t L v t ' dt ' i 0 (uma relação linear apenas se i 0 =0 ) 0 Assim como ocorre com o capacitor o indutor também só pode ser perfeitamente caracterizado se conhecermos sua indutância L e sua condição inicial i 0, ou seja, a corrente que circulava por ele antes da análise começar. O indutor também só pode ser considerado linear se a sua condição inicial for nula e caso não seja, pode ser modelado por um indutor descarregado em paralelo com uma fonte de corrente, como mostrado na figura abaixo. Observa-se que a corrente no indutor é obtida por uma integral e que a tensão é obtida por uma derivada. Isto significa que a tensão no indutor pode mudar instantaneamente ao passo que a corrente só pode mudar instantaneamente se a tensão sobre o indutor assumir valores infinitos (função impulso). Alguns autores denominam este efeito de inércia de corrente. Também resulta, desta observação, que em circuitos de corrente contínua ou pulsados o indutor se comporta como um circuito aberto para transições rápidas (degraus e impulsos) e como um curto circuito para corrente contínua (quando não há mais variações de tensão ou corrente). Entre o chaveamento e o estabelecimento de uma corrente contínua constante há um período transitório onde o indutor se carrega e não pode ser considerado como nenhuma das situações acima. As mesmas conclusões podem ser obtidas se considerarmos que i L (t)= A cos(ω t). Neste caso v L (t)= A ω sen(ω t). Destas expressões é possível observar que para corrente contínua ( ω=0 ) não há tensão sobre o indutor (o indutor é equivalente a um curto circuito), mas se a frequência for infinita ( ω= ) a tensão sobre ele será infinita (o indutor é Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 15

18 equivalente a um circuito aberto). Estas analogias servem apenas para os capacitores descarregados. Exemplo: Calcular as tensões e correntes no indutor para t=0 + e t=. Para t=0 + v L1 =v1=10v i L1 =0A Para t= v L1 =0V i L1 = v1 R1 =10A Modelo de Thévenin e Norton O modelo que representa o indutor carregado, apresentado acima, é semelhante ao modelo de Norton o que significa que ele também poderia ser representado por um modelo Thévenin equivalente. Os dois modelos estão apresentados na figura abaixo Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 16

19 Para que ambos os modelos sejam equivalentes é necessário que vs t =L dis t dt e is t = 1 t L vs t ' dt ' 0 Observe que aqui também é necessário considerar is como um degrau de corrente e vs como uma função impulso, caso a transformação diga respeito a condição inicial do indutor. 5.9 Indutor variável com o tempo O indutor linear variante com o tempo tem como característica uma reta passando pela origem mas sua inclinação muda a cada instante de tempo. O fluxo é expresso em função da corrente φ(t)= L(t) i(t) e como v(t)= d φ dt v t =L t di i t dl dt dt 5.10 Indutor não linear Muitos indutores físicos têm característica não linear. Somente para uma pequena faixa de valores de corrente, em torno da origem, o indutor costuma ser linear. Para correntes de valor mais elevado o fluxo satura (apresenta pouca variação para uma mesma variação de corrente), principalmente em núcleos ferromagnéticos. Um dos efeitos não lineares mais comuns se chama histerese e é apresentada no gráfico da figura a seguir. Quando a corrente aumenta o fluxo aumenta por uma curva 1 porém quando a corrente diminui o fluxo Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 17

20 diminui por uma curva 2 diferente da primeira. Este comportamento é ilustrado na próxima figura. Para o caso típico do indutor com fluxo =tanh i excitado por uma corrente i t = A cos t a tensão sobre o indutor pode ser obtido como segue. Como t =tanh [ A cos t ] e, como v t = d dt, então v t = d di di dt. Assim v t = d [tanh i ] d [ A cos t ] dt dt 1 v t = [ A sen t ] cosh 2 [ A cos t ] Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 18

21 5.11 Energia armazenada no indutor A energia pode ser obtida pela integral da potência ao longo do tempo. O indutor, da mesma forma que o capacitor, é capaz de armazenar energia ao invés de dissipá-la. Esta energia fica armazenada no campo magnético criado no entorno do indutor. Assim sendo, a energia armazenada em um indutor é igual a energia fornecida a ele por uma fonte. t w t 0, t = v t ' i t ' dt ' t 0 t w t 0, t = i 1 d 1 (área entre o eixo e a curva) t 0 t w t = i 1 d 1 0 Para um indutor linear e invariante t w t = 1 0 L d 1 w t = t L w t = 1 2 L i2 t A área entre as duas curvas 1 e 2, no gráfico da histerese, representa perda de energia gasta para magnetizar o indutor. Quando maior a curva de histerese maiores as perdas no indutor. Um indutor passivo é aquele que apresenta energia armazenada maior ou igual a zero. Assim um indutor linear invariante é passivo se sua indutância é não negativa e ativo se sua indutância é negativa. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 19

22 5.12 Associação de indutores Indutores ligados em série ou em paralelo também podem ser substituídos por um indutor equivalente do ponto de vista da tensão e da corrente nos terminais da associação Associação série Uma associação série típica, mostrada na figura abaixo, tem a mesma corrente passando por todos os indutores. A tensão total também é dividade sobre cada indutor. Usando a LTK e LCK v=v L1 v L2 v L =L 1 di dt L di 2 dt v= L 1 L 2 di dt v= L EQ di dt onde L EQ =L 1 L 2. Genericamente L EQ = L n Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 20

23 Associação paralela Na associação paralela a tensão sobre todos os indutores é a mesma e a corrente total é dividida entre cada um dos indutores. Usando a LCK e a LTK i=i L1 i L2 i= 1 L 1 v t dt 1 L 2 v t dt i= 1 L 1 1 L 2 v t dt i= 1 L EQ v t dt onde 1 L EQ = 1 L 1 1 L 2 Genericamente 1 = L EQ 1 L n Redistribuição de fluxo De forma semelhante ao que ocorre com os capacitores, se dois indutores com condições iniciais diferentes forem conectados em série haverá uma redistribuição instantânea de fluxo magnético entre eles de modo que a corrente resultante seja a mesma para ambos os Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 21

24 indutores. Esta situação está ilustrada na sequência e, da mesma forma que para a redistribuição de cargas nos capacitores, não pode ser calculada pela conservação da energia no sistema. TOT = 1 2 TOT = L 1 I 1 L 2 I 2 TOT = L EQ I FINAL L EQ =L 1 L 2 I FINAL = L 1 I 1 L 2 I 2 L 1 L 2 Você consegue equacionar este circuito sem calcular o fluxo total? 5.13 Componentes reais Os resistores, capacitores e indutores, conforme apresentados neste texto, não existem. Aqui descrevemos modelos ideais de elementos reais. Na prática todos os condutores apresentam resistência não nula e todos os isolantes apresentam resistência não infinita. Além disto, todo caminho elétrico apresenta indutância, entre espiras de um indutor existe capacitância, e alguns resistores são construídos a partir de elementos enrolados (indutivos). Desta forma, todo elemento, seja ele um resistor, um capacitor ou um indutor, pode ser modelado por um conjunto de elementos que incluem resistências, capacitâncias e indutâncias. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 22

25 Outros parâmetros importantes são a temperatura e a faixa de operação. A temperatura costuma afetar todos os elementos, passivos e ativos sejam eles descritos aqui ou não. A faixa de operação dos elementos (valores nominais de tensão, corrente, potência, temperatura,...) também define se estão operando em condições normais e próximos da linearidade. A potência máxima de operação e uma informação importante para definir o tamanho de resistores reais, a tensão de operação de capacitores e a corrente de operação dos indutores limita o uso destes elementos. Para finalizar vale a pena salientar que na prática os valores de resistores variam desde alguns Ohms até alguns mega Ohms, sendo os mais comuns aqueles no centro desta faixa (centenas até dezenas de kilo Ohms). A faixa de valores para capacitores variam de alguns pico Farads até alguns milhares de micro Farads sendo os valores mais comuns os de alguns nano Farads. Para indutor é comum encontrar valores na faixa de alguns micro Henrys até alguns Henrys sendo que os valores mais comuns situam-se na faixa de alguns mili ou micro Henrys (em eletrônica) Lei dos nós e das malhas para equacionar circuitos RLC As leis de Kirchhoff são válidas para circuitos com capacitores, indutores e resistores que incluam fontes dependentes ou não. Por esta razão as sistematizações apresentadas para a LCK e LTK também são válidas. No circuito a seguir equacionaremos as tensões nos nós, com objetivo de obter uma equação para determinar a tensão sobre R2. para o nó A (na fonte de corrente) Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 23

26 t ' C dv A dt v A 1 R 1 L v A v B dt I 0 = I1 para o nó B (no resistor R 2 ) 0 t ' 1 L v B v A dt I 0 v B =0 R 0 2 a condição inicial do problema é v A 0 =V 0 Com estas equações já temos o sistema de equações diferenciais que resolvem o problema. Se a solução particular é a tensão sobre o resistor R 2 então podemos obter esta equação somando as duas equações C dv A dt v A R 1 v B R 2 =I1 e a tensão v A pode ser obtida derivando a segunda equação duas vezes 1 L v B 1 L v A 1 R 2 dv B dt =0 assim v A =v B L R 2 dv B dt dv A dt = dv B dt L R 2 d 2 v B dt 2 substituindo v A temos L C d 2 v B dt R 2 C L 2 R 1 dv B dt 1 R 2 1 R v B=R 2 I1 as condições iniciais são Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 24

27 v A 0 =V 0 =R 2 I 0 e dv B 0 = R 2 dt L [v A 0 v B 0 ]= R 2 L [V 0 R 2 I 0 ] O método de análise de malhas também pode ser utilizado. Neste caso a fonte de corrente em paralela com um resistor pode ser substituída pelo seu equivalente Thevenin. para a primeira malha R 1 i 1 V 0 1 t C i 1 i 2 dt ' =V1 0 para a segunda malha L di L2 dt R i V 1 t C i 2 i 1 dt '=0 0 a condição inicial do problema é i 2 0 =I 0 As equações acima garantem o sistema capaz de resolver o problema. Se estivermos interessados em uma resposta particular como a tensão sobre R 2 então podemos manipular as equações para obter a resposta desejada. Para isso podemos somar as duas equações acima R 1 i 1 L di 2 dt R 2 i 2 =V1 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 25

28 i 1 = L R 1 di 2 dt R 2 R 1 i 2 V1 R 1 Derivando a segunda equação obtemos L d 2 i 2 dt 2 R 2 di 2 dt i 2 C i 1 C =0 e substituindo i 1 L C d 2 i 2 dt R 2 C L 2 R 1 di 2 dt 1 R 2 1 R i 2= V1 R 1 i 2 0 =I 0 di 2 0 = 1 dt L V R I L C d 2 v 2 dt 2 R 2 C L R 1 dv 2 dt 1 R 2 R 1 v 2= R 2 I1 v 2 0 =R 2 I 0 dv 2 0 = R 2 dt L V R I Considerações sobre condições iniciais No exemplo resolvido pelos métodos das tensões de nós e correntes de malha as condições iniciais do capacitor e do indutor foram consideradas constantes, como na maioria dos livros de circuitos. Este procedimento utiliza as equações básicas do capacitor e do indutor conforme foram apresentadas no início deste capítulo. O mesmo problema poderia ter sido resolvido substituindo o capacitor e o indutor carregado pelos respectivos circuitos equivalentes. Neste caso a corrente I 0 e a tensão V 0 apareceriam multiplicados pela função degrau e ao serem derivadas se tornariam funções impulsivas. Com este procedimento todas as fontes deveriam ser multiplicada por funções u(t). Normalmente, em circuitos, estuda-se Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 26

29 redes de primeira e segunda ordem com excitação polinomial (impulso ou degrau), exponencial ou senoidal cuja solução é obtida pelo método dos coeficientes a determinar para t>0. Nestes casos não há necessidade de considerar I 0 e V 0 multiplicando a função degrau. Cuidado para não misturar dois métodos diferentes de análise! 5.16 Exercícios Os exercícios deste módulo tratam da determinação de condições especiais como condições iniciais dos capacitores ou indutores e seus valores para infinito. Esta habilidade, ora treinada indiscriminadamente, será importante para a solução dos problemas apresentados nos módulos subsequentes. Apesar disto, nem todas as informações calculadas nestes problemas serão utilizadas na solução das equações diferenciais dos módulos 6 e 7. Assim, quando for resolver problemas dos módulos 6 e 7 deixe para calcular as condições especiais apenas depois de ter as equações diferenciais. Isto ajuda a diminuir a quantidade de cálculo. 1) Os circuitos das figuras abaixo estão operando em regime permanente, quando em t=0s, a chave S1 fecha ou troca de posição. Determinar as correntes e tensões nos capacitores e indutores para os instantes imediatamente antes e depois do fechamento da chave e para tempo infinito: i L (0 ), i L (0 + ), i L ( ), i C (0 ), i C (0 + ), i C ( ), v C (0 ), v C (0 + ), v C ( ), v L (0 ), v L (0 + ), v L ( ), di L (0 )/dt, di L (0 + )/dt, dv C (0 )/dt, dv C (0 + )/dt. a) Considere I S1 t uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado. b) Considere I 1 t uma fonte constante e independente. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 27

30 c) Considere V 1 t uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado. d) V 1 t é uma fonte constante e independente. e) V 1 t é uma fonte constante e independente f) V1 t =u t g) V1 t =u t Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 28

31 h) Considere que V 1 t é uma fonte constante e independente e que as chaves S1 e S2 trocam de posição simultaneamente calcule v L (0 + ) (atenção com as correntes impulsivas e a redistribuição de cargas nos capacitores) v C (t). 2) Determine i L1 ( ), i L1 (0 + ), v C ( ), v C (0 + ). Escreva as equações diferenciais para i L1 (t) e 3) Para o circuito abaixo determine v C (0 ), v C (0 + ), i C (0 ), i C (0 + ), v C ( ), i C ( ). Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 29

32 4) Supondo v 1 (t) e i 1 (t) fontes independentes e iguais a um degrau unitário de tensão e corrente respectivamente, determine a tensão sobre a fonte i 1 (t) e as expressões para v L2 (t) e iv(t). ideal. 5) Escreva a equação diferencial de vo(t). Considere que o amplificador operacional é 6) Escreva a equação diferencial para a determinação de v2(t) em função de v1(t). Considere que o amplificador operacional é ideal. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 30

33 7) Na figura abaixo o circuito se apresenta em regime permanente (todas as tensões e correntes são constantes) quando, em t=0 a chave S1 troca de posição. Calcule i L1 (0 ), i L1 (0 + ), i C1 (0 ), i C1 (0 + ), i L1 ( ), i C1 ( ), (0 ), (0 + ), ( ), v L1 (0 ), v L1 (0 + ), v L1 ( ), di L1 (0 )/dt, di L1 (0 + )/dt, d (0 )/dt, d (0 + )/dt. Determine a equação diferencial para obtenção de vc(t). 8) Para t=0 o circuito abaixo esta em regime permanente. Determinar as correntes e tensões nos capacitores e indutores para t=0, t=0 + impulsivas ( d t = t ). e t=. As fontes V2 e V3 são Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 31

34 5.17 Soluções 1) Os circuitos das figuras abaixo estão operando em regime permanente, quando em t=0s, a chave S1 fecha ou troca de posição. Determinar as correntes e tensões nos capacitores e indutores para os instantes imediatamente antes e depois do fechamento da chave e para tempo infinito: i L (0 ), i L (0 + ), i L ( ), i C (0 ), i C (0 + ), i C ( ), v C (0 ), v C (0 + ), v C ( ), v L (0 ), v L (0 + ), v L ( ), di L (0 )/dt, di L (0 + )/dt, dv C (0 )/dt, dv C (0 + )/dt. a) Considere I S1 t uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado. Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita: 0 - =0V, i C1 0 - =0A, d 0+ = i C1 0+ dt C = 0 -, i C1 0 + = Is1 G G 1 G 1, d 0+ = i C dt C 1 =Is1 R 1, i C1 =0A b) Considere I 1 t uma fonte constante e independente. Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita: i L1 0 - = I1 G G 1 G 2, v L1 0 - =0V, di L1 0- = v L1 0-2 dt L 1 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 32

35 i L1 0 + = I1 G G 1 G 2, v L1 0 + = I1 R 1, di L1 0+ = v L dt L 1 i L1 =I1, v L1 =0V. c) Considere V 1 t uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado. Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita: i L1 0 - = V1, v R L1 0 - =0V, di L1 0- = v L1 0-1 dt L 1 i L1 0 + = V1, v R L1 0 + =V1, di L1 0+ = v L dt L 1 i L1 = V1 R 1, v L1 =0V. 0 - =0V, i C1 0 - =0A, d 0+ = i C1 0+ dt C =0V, i C1 0 + = V1, d 0+ = i C1 0+ R 1 dt C 1 =V1, i C1 =0A. d) V 1 t é uma fonte constante e independente. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 33

36 Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo: i L1 0 - = V1, v R L1 0 - =0V, di L1 0- = v L1 0-1 dt L 1 i L1 0 + = V1, v R L1 0 + =0V, di L1 0+ = v L dt L 1 i L1 = V1 R 1, v L1 =0V. 0 - =V1, i C1 0 - =0A, d 0+ = i C1 0+ dt C =V1, i C1 0 + = V1, d 0+ = i C1 0+ R 2 dt C 1 =0V, i C1 =0A. e) V 1 t é uma fonte constante e independente Fazendo um Thévenin sem incluir C 1 nem o ramo de R 2. Em circuito aberto: v CA =v 2 = R 3 i 1 = R 3 V1 2 v 2 R 1, logo v CA = R3 V1 R 1 2 R 3 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 34

37 Em curto circuito: i CC =I =i 1 = V1 2 v 2 = V1. R 1 R 1 V TH =v CA, R TH = v CA I CC 0 - =V TH, i C1 0 - =0A, d 0+ = i C1 0+ dt C =V TH, i C1 0 + = V TH R 2, d 0+ = i C1 0+ dt C 1 V TH = R R TH R 2, i C1 =0A. 2 f) V1 t =u t Como Vo t = t, i C1 será determinado da direita para a esquerda. 0 - =0V, i C1 0 - =0A, d 0+ = i C1 0+ dt C =0V, i C1 0 + = i R2 = V1, d 0+ = i C1 0+ R 2 dt C 1 = V1 R 2 R 1, i C1 =0A. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 35

38 g) V1 t =u t 0 - =0V, i C1 0 - =0A, d 0+ = i C1 0+ dt C =0V, i C1 0 + = V1, d 0+ = i C1 0+ R 1 dt C 1 =V1, i C1 =0A. h) Considere que V 1 t é uma fonte constante e independente e que as chaves S1 e S2 trocam de posição simultaneamente calcule v L (0 + ) (atenção com as correntes impulsivas e a redistribuição de cargas nos capacitores) Solução: V C1 0 =V 1 V C2 0 = V 1 R 3 R 1 R 3 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 36

39 I L 0 = V 1 R 3 R 1 Após a troca de posição das chaves V C1 (0 + )=I L (0 ) R 1 +V L (0 + ) V L (0 + )=V C1 (0 + ) I L (0 + ) R 1 V C1 (0 + ) V C1 (0 ) pois V =V C1 0 + V C2 0 + (1) Há uma redistribuição de carga nos capacitores. Isso ocorre com a circulação de uma corrente impulsiva pela malha da equação (1). A corrente da malha é I C, tal que I C =C 1 d [V C1 0 V C1 0 + ] u t =C dt 2 d [V C2 0 V C2 0 + ] u t dt I C =C 1 [V C1 0 t V C1 0 + t ]=C 2 [V C2 0 t V C2 0 + t ] C 1 [V C1 0 V C1 0 + ]=C 2 [V C2 0 V C2 0 + ] V =V C1 0 + V C2 0 + V C2 0 + =V V C1 0 + C 1 [V C1 0 V C1 0 + ]=C 2 [V C2 0 V 1 V C1 0 + ] (C 1 +C 2 ) V C1 (0 + )=C 2 V C2 (0 ) C 1 V C1 (0 ) C 2 V 1 V C1 0 + = C 2 V C2 0 C 1 V C1 0 C 2 V 1 C 1 C 2 Substituindo os valores de V C2 e V C1 em 0 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 37

40 C V R R V C1 0 + = 3 R 1 C V C V C 1 C 2 V C1 0 + = C 1 R 3 R 1 V 1 C 2 R 1 V 1 R 3 R 1 C 1 C 2 V L 0 + = V C1 0 + V R1 0 + V L 0 + = C R R V C R V C C R V R 3 R 1 C 1 C 2 R 3 R 1 C 1 C 2 C V L 0 + = 1 R 3 V 1 R 3 R 1 C 1 C 2 v C (t). 2) Determine i L1 ( ), i L1 (0 + ), v C ( ), v C (0 + ). Escreva as equações diferenciais para i L1 (t) e Este são dois circuitos paralelos independentes: 1) I1, L1, R1; 2) I1, C2, R2. 3) Para o circuito abaixo determine v C (0 ), v C (0 + ), i C (0 ), i C (0 + ), v C ( ), i C ( ). Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 38

41 Calculando o Thévenin do circuito sem o capacitor: R TH = R 1 R 2 // R 3 onde // indica em paralelo com I1 I2 V TH t = G G 1 G SERIE R 3 SERIE onde G SERIE = G 2 G 3 G 2 G 3 v C 0 - =V TH 0 -, i C 0 - =0A v C 0 + =V TH 0 -, i C 0 + = V TH 0+ V TH 0 - R TH v C =V TH 0 +, i C =0A. 4) Supondo v 1 (t) e i 1 (t) fontes independentes e iguais a um degrau unitário de tensão e corrente respectivamente, determine a tensão sobre a fonte i 1 (t) e as expressões para v L2 (t) e iv(t). v L2 = L 2 t v i1 v 1 v L2 v R2 =0 v i1 =u t L 2 t i1 R 2 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 39

42 i v i1 i L1 i C1 =0 i v =i1 1 L u t dt C t ideal. 5) Escreva a equação diferencial de vo(t). Considere que o amplificador operacional é C 1 dvo t dt vo t = V1 R 1 R 2 6) Escreva a equação diferencial para a determinação de v 2 (t) em função de v 1 (t). Considere que o amplificador operacional é ideal. C 1 dv 2 t dt v 2 t R 1 = V1 R 2 R 1 R 3 1 7) Na figura abaixo o circuito se apresenta em regime permanente (todas as tensões e correntes são constantes) quando, em t=0 a chave S1 troca de posição. Calcule i L1 (0 ), i L1 (0 + ), Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 40

43 i C1 (0 ), i C1 (0 + ), i L1 ( ), i C1 ( ), (0 ), (0 + ), ( ), v L1 (0 ), v L1 (0 + ), v L1 ( ), di L1 (0 )/dt, di L1 (0 + )/dt, d (0 )/dt, d (0 + )/dt. Determine a equação diferencial para obtenção de vc(t). Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo: i L1 0 - = V2, v R 1 R L1 0 - =0V, di L1 0- = v L1 0-2 dt L 1 i L1 0 + = V2, v R 1 R L1 0 + =0V, di L1 0+ = v L dt L 1 i L1 = V1, v R 1 R L1 =0V = V2 R R 1 R 2, i C1 0 - =0A, d 0+ = i C dt C = V2 R R 1 R 2, i C1 0 + = V1 0+ i 2 R L1 0 +, d 0+ = i C dt C 1 = V1 R R 1 R 2, i C1 =0A. 2 8) Para t=0 o circuito abaixo esta em regime permanente. Determinar as correntes e tensões nos capacitores e indutores para t=0, t=0 + impulsivas ( d t = t ). e t=. As fontes V2 e V3 são Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 41

44 Solução: Por superposição: Fonte V 1 i L 0 = V 1 R 2 = 2 0,5 =4A 0 =v C2 0 =V 1 =2V Fontes impulsivas (considerando estado zero) V2 5delta i*(t) V3 10delta R2 1/2ohm i R2 0 = V 3 = 10 t =20 t R 2 0,5 v CEQ 0 = 1 i C R2 t dt= 1 20 t dt= 1 20 u t =4 u t V EQ C 1 C =v C2 0 =v CEQ 0 =4 u t V Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 42

45 i C1 0 =C 1 dv C =3 4 t =12 t dt i C2 0 =C 2 dv C =2 4 t =8 t dt v L 0 =V 2 =5 t i L 0 = 1 L v L t dt= 1 5 u t =1 u t A 5 parciais. As condições iniciais totais podem ser obtidas pela soma das condições iniciais i L 0 + =i 0 i 0 =4 1=5 u t A 0 + = 0 0 =2 4=6 u t V v C2 0 + =v C2 0 v C2 0 =2 4=6 u t V Estas condições iniciais, entretanto, geram um problema. O somatório das tensões na malha formada pelos capacitores e as fontes V4 e V5 não é nula. Isto implica, obrigatoriamente, em uma redistribuição de cargas nos capacitores. A corrente impulsiva que percorre esta malha é C EQ = C 1 C2 C 1 C 2 = 6 5 F i=c EQ dv dt =C EQ d [ V V v v 4 5 C2 C1 u t ] = 6 10 t =12 t dt 5 Assim as tensões sobre cada capacitor são 0 = 1 i dt v C C1 0 = 1 12 u t 6 u t =10 u t 1 3 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 43

46 v C2 0 = 1 i dt v C C2 0 = 1 12 u t 6 u t =0 u t 2 2 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 44