Universidade Federal do Rio de Janeiro. Circuitos Elétricos I EEL 420. Módulo 6

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos Elétricos I EEL 420 Módulo 6 Heaviside Dirac Newton

2 Conteúdo 6 Circuitos de primeira ordem Equação diferencial ordinária de primeira ordem Caso linear, homogênea, com coeficientes constantes Caso, linear, com coeficientes constantes e entrada constante Caso linear, com coeficientes constantes e entrada não constante Circuito linear invariante de primeira ordem resposta a excitação zero O circuito RC (resistor-capacitor) O circuito RL (resistor-indutor) Circuito linear invariante de primeira ordem resposta ao estado zero Linearidade da resposta ao estado zero Invariância com o tempo Circuito linear invariante de primeira ordem resposta completa Resposta ao Impulso Resposta ao degrau e ao impulso para circuitos simples Circuitos variáveis com o tempo e não lineares Exercícios Soluções...28

3 6 Circuitos de primeira ordem 6.1 Equação diferencial ordinária de primeira ordem Caso linear, homogênea, com coeficientes constantes {dv dt v =0 v0=v 0 dv v = 1 dt ln v= t D t v=v 0 e Está é a chamada resposta natural da equação diferencial Caso, linear, com coeficientes constantes e entrada constante {dv dt v =k v 0=v 0 dv dt = k v dv v k = 1 dtd ln v k = t D t v=v [v v 0] e Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 1

4 Para este caso particular a resposta completa (v) é formada pela resposta natural somada a uma resposta forçada que tem o mesmo formato da entrada Caso linear, com coeficientes constantes e entrada não constante {dv t vt dt = y t v 0=v 0 Multiplicando ambos os lados da equação por e t dv dt v e t como t = y e dv dt v e t então t = d v e dt t d v e dt t = y e t t v e = y e dtd t v=e y e t dtd e t Para o caso geral a resposta completa da equação diferencial é a soma da resposta natural com uma resposta forçada que apresenta componentes com o mesmo formato da entrada. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 2

5 6.2 Circuito linear invariante de primeira ordem resposta a excitação zero O circuito RC (resistor-capacitor) O circuito abaixo mostra um capacitor sendo carregado por uma fonte de tensão constante. Em t=0 a chave S1 abre e a chave S2 fecha. Para t>0, i C t i R t=0 C dv C dt + v R R =0 e v C 0=v 0 Como v C =v R =v dv {C dt v R =0 v0=v 0 {dv dt = 1 R C v v(0)=v 0 Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral é t vt =k e u t Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 3

6 τ=r C e k=v 0=v 0 i C t=c dv dt = v 0 R e 1 R C t u t Esta resposta é chamada de resposta a excitação zero (sem excitação) e apresenta solução que depende das características do circuito ( só depende da topologia) e das condições iniciais do circuito (k depende das condições iniciais). A curva exponencial que corresponde a resposta deste problema é apresentada na figura abaixo. Nesta figura v 0 =1 e R C =1. Observa-se para t = R C, 2 R C, 3 R C... a exponencial se reduz a e 1, e 2, e 3 e por esta razão a contante RC é chamada de constante de tempo do circuito (). A reta que tangencia a exponencial em t=0 intercepta o eixo x no tempo R C. Toda exponencial unitária apresenta 37% de seu valor inicial em 1, 14% em 2, 5% em 3, 2% em 4 τ e 0,7% em 5. A constante de tempo tem unidade de segundos e corresponde ao inverso da frequência natural do circuito ( ω ). Um circuito RC com apenas um capacitor equivalente e um resistor equivalente sempre apresenta constante de tempo da forma de um produto RC. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 4

7 6.2.2 O circuito RL (resistor-indutor) O circuito abaixo mostra um indutor sendo carregado por uma fonte de corrente constante. Em t=0 a chave S1 troca de posição e a chave S2 fecha. Para t>0 v L v R =0 L di L dt R i L=0 e i L 0=I 0 {di dt = R L i i L (0)=I 0 Esta é uma equação diferencial de primeira ordem, homogênea, linear de parâmetros constantes cuja solução, de forma semelhante ao problema do circuito RC, é R L i L t =I 0 e t u t Esta solução também depende das condições iniciais do problema ( I 0 ) e da topologia do circuito (constante de tempo). Neste caso a constante de tempo é definida como = L R que também apresenta unidade de tempo (segundos). Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 5

8 6.3 Circuito linear invariante de primeira ordem resposta ao estado zero Para o circuito abaixo a chave S1 abre em t=0 Para t>0 i C i R =i S C dv dt v R =i S t e v0=0 Esta é uma equação diferencial de primeira ordem, linear, não homogênea (com excitação) e condição inicial nula (estado zero). circuito: A equação diferencial em questão deve satisfazer outras duas condições impostas pelo para t=0 + dv dt = i S C (condição imposta pela topologia do circuito toda a corrente passa pelo C) para t= v=r i S t (condição imposta pela fonte capacitor carregado) A solução para a equação diferencial linear não homogênea pode ser obtida pela soma de duas parcelas, uma com o formato da solução homogênea e outra chamada de solução particular que apresenta o mesmo formato da excitação, assim v completa =v h v p. A solução homogênea depende das condições iniciais do problema e da sua topologia e a solução Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 6

9 particular depende da excitação. Algumas vezes a resposta particular é chamada de resposta forçada pois é imposta pela excitação. Para o exemplo em questão 1 R C vt =K 1 e t R i S t, para t 0. sendo que K 1 pode ser calculado pela condição inicial do problema v0=k 1 R i S t=0 K 1 = R i S t, logo 1 R C vt =R i S t 1 e t Se a excitação fosse senoidal a resposta forçada seria senoidal, se a excitação fosse uma exponencial a resposta forçada seria uma exponencial e assim por diante. Exemplo: Se i S t =A 1 cos t 1 então v p t= A 2 cos t 2 C dv dt v R =A 1 cos t 1 1 R C vt =K 1 e t A 2 cos t 2, para t 0 v0= K 1 A 2 cos 2 =0 K 1 = A 2 cos 2 Após o fim do transitório (a exponencial decrescente), o problema restringe-se a C dv p v p dt R =A cos t 1 1 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 7

10 como v p t= A 2 cos t 2 então C A 2 sen t 2 A 2 R cos t 2 = A 1 cos t 1 onde A 2 = A C R 2 2 = 1 arctan R C A figura abaixo foi produzida com R=1, C=1F, A 1 =0 e 1 = A resposta completa é a soma da exponencial com o cosseno defasado. A influência da exponencial desaparece depois de 5 constantes de tempo por isso é chamada de resposta transitória ao passo que a resposta sem exponencial decrescente é chamada de resposta em regime permanente. Este transitório pode ser nulo se v0= A 2 cos 2, isto ocorre porque neste caso a corrente e a tensão já estão com a mesma defasagem e amplitude de regime permanente então não é necessário nenhum período transitório para ajustar estes dois parâmetros. O mesmo exemplo poderia ser resolvido da seguinte maneira: Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 8

11 i S t =A 1 cos t 1 =A ' 1 cos t A ' ' 1 sen t v p t= A 2 cos t 2 =A ' 2 cos t A' ' 2 sen t C dv dt v R =A ' 1 cos ta ' ' 1 sen t 1 R C vt =K 1 e t A' 2 cos t A' ' 2 sen t, para t 0 v0= K 1 A' 2 cos0=k 1 A' 2 =0 K 1 = A' 2 Após o fim do transitório (a exponencial decrescente), o problema restringe-se a C dv p dt v p R =A ' 1 cos ta ' ' 1 sen t como v p t= A' 2 cos t A ' ' 2 sen t então C [ A ' 2 sen t A' ' 2 cos t ] [ A' cos t A' ' sen t] 2 2 =A ' R 1 cos t A ' ' 1 sen t agrupando os termos em seno e os termos em cosseno podemos montar duas equações: para senos: C A' 2 A' ' 2 R = A' ' 1 para cossenos: C A' ' 2 A ' 2 R =A ' 1 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 9

12 6.4 Linearidade da resposta ao estado zero É uma propriedade de qualquer circuito linear que a resposta ao estado zero é uma função linear da excitação, isto é, a dependência da resposta ao estado zero com a forma de onda da excitação é expressa por uma função linear. Se o símbolo Z t0 for utilizado para representar uma rede no estado zero então a linearidade é obtida se forem satisfeitas as seguintes condições. Z t0 i 1 i 2 =Z t0 i 1 Z t0 i 2 Z t0 k i 1 =k Z t0 i 1 Para uma determinada rede, v 1 é a resposta a excitação com uma fonte i 1 t tal que C dv 1 dt v 1 R =i 1 t com v 1 0=0 e v 2 é a resposta para uma excitação i 2 t de tal forma que C dv 2 dt v 2 R =i 2 t com v 2 0=0. A soma das duas equações resulta em C dv 1 dt C dv 2 dt v 1 R v 2 R =i 1 ti 2 t ou seja C d v v dt R v v =i t i t com v v 2 0=0 o que satisfaz a primeira condição para linearidade. Caso a fonte i 1 t seja multiplicada por um determinado valor k então Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 10

13 C d k v 1 k v 1 dt R =k i t com k v 1 1 0=0 Assim as duas condições para linearidade são satisfeitas se a rede estiver no estado zero mesmo que R e C forem variantes com o tempo. 6.5 Invariância com o tempo Seja uma rede linear invariante excitada por uma corrente i 1 e cuja resposta ao estado zero seja v 1 tal que dv 1 dt v 1 =i 1. Agora, supondo que a excitação mude para i 1 t T1, então a resposta ao problema é v 1 t T1 tal que dv 1 t T1 dt v t T1 1 =i 1 t T1 cuja solução é idêntica à da equação dy dt y =x onde y=v 1 t T1 e x=i 1 t T1 com v 1 0 T1=0. Isto significa que em uma rede invariante a resposta ao estado zero é deslocada T1 segundos se a entrada estiver deslocada T1 segundos. 6.6 Circuito linear invariante de primeira ordem resposta completa Para os casos onde haja condição inicial não nula e excitação diferente de zero a resposta da equação diferencial corresponde a soma da resposta a excitação zero mais a resposta ao estado zero. Isto pode ser demonstrado se as equações para o caso de excitação Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 11

14 zero e estado zero forem analisadas separadamente e em conjunto. Separadamente estas equações são C dv I dt v I =0 (equação para o circuito RC com excitação zero) R C dv O dt v O R =i S t (equação para o circuito RC com estado zero) onde v I e v O são as respostas a excitação zero e ao estado zero respectivamente. Somando as equações temos C dv I dt v I R C dv O dt v O R =i S t que pode ser reescrita como C d v I v O dt v v I O =i R S t. completo. Por esta razão a soma das respostas separadas corresponde a solução para o problema v C t =v I tv O t, para t 0. 1 R C v C t =v O e t 1 R C R i S 1 e t. Esta resposta completa também pode ser obtida pela soma da resposta transitória e da resposta em regime permanente. v C t=v transitoria t v permanente t 1 R C v C t =v O R i S e t R i S t, para t 0. Se a excitação é um degrau ou um impulso a resposta sempre terá o formato Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 12

15 t sol t=sol [sol sol 0] e onde sol corresponde a solução do problema (corrente ou tensão) e é a constante de tempo do circuito, seja ele RC ou RL. Exemplo: Determinar a equação da tensão sobre o capacitor da figura abaixo. A chave S1 abre para t=0 e a chave S2 fecha para t=r1 C. para t 0 v C =0 para 0 t R1 C v C 0=0 v C =R1 I v C =R1 I 1 e t R1 C para t=r1 C=T1 v C T1=R1 I1 1 1 e v C = I R1 R2 R1 R2 2 =C R1 R2 R1 R2 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 13

16 v C t=v C T1 e t T1 2 t T1 v C 1 e 2 =vexcitação zerovestado zero t T1 v C t=v C [v C v C T1] e 2 =v permanentevtransitória 6.7 Resposta ao Impulso A resposta ao estado zero de um circuito invariante excitado por um impulso unitário em t=0 é chamada de resposta ao impulso e simbolizada por h. Por conveniência usaremos h(t)=0 para t<0. Neste exemplo a resposta ao impulso pode ser calculada facilmente considerando o capacitor como um curto circuito para t=0 e, a partir dai, calculando a resposta a excitação zero. Assim, para t=0 v= 1 C t dt= 1 C Para t>0 este problema apresenta a mesma solução do problema de excitação zero. t vt =k e ut onde =R C e k=v 0 = 1 C. A resposta ao impulso de um circuito linear e invariante caracteriza este circuito. Mais adiante na matéria ficará provado que é possível obter a resposta ao estado zero de qualquer rede linear e invariante e para qualquer excitação se conhecermos a sua resposta ao impulso. Isto é intuitivamente correto, pois qualquer sinal pode ser obtido por um conjunto de infinitos Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 14

17 impulsos de amplitudes apropriadas e deslocados no tempo (propriedades de linearidade e invariância com o tempo). Também é intuitivo pensar que a função impulso apresenta todas as frequências com igual amplitude o que permite calcular a resposta da rede para todas as frequências simultaneamente. Como todos os sinais podem ser obtidos por uma soma de senoides de diferentes frequências com diferentes amplitudes e fases (Transformada de Fourier) então, conhecendo a resposta ao impulso podemos determinar a resposta do sistema a qualquer excitação. A resposta ao impulso poderia ser obtida de outras formas. Em redes lineares é possível derivar a resposta ao degrau. No problema acima a resposta ao degrau significa a resposta do problema quando i(t)=u(t). Então C dv dt v =u t, R v0=0 e v =R i=r ut vt =ut R 1 e 1 R C t para t>0. Como dv t ht= dt então 1 ht=t R 1 e R C t 1 1 C u t e R C t R C a primeira parcela é zero pois para t¹0, d(t)=0 e para t=0, 1 e t =0. 1 h t = 1 1 RC u t t para todo t>0. e C Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 15

18 Mostre que a mesma resposta poderia ser obtida calculando a resposta à função pulso (soma de dois degraus) com Resposta ao degrau e ao impulso para circuitos simples Para os circuitos abaixo, considerar as correntes e tensões de fonte unitárias. C dv dt v R =i 1 tem resposta ao degrau: v t =R R C C 1 e t ut e resposta ao impulso: v C t = 1 C e 1 R C t ut L di dt R i=vt tem resposta ao degrau: i L t = 1 R 1 e R L t ut e resposta ao impulso: i L t = 1 L e R L t ut Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 16

19 1 d R dt L =it tem resposta ao degrau: v L Lt t =R e ut R e resposta ao impulso: v L t =R t R2 L e L t ut R R dq dt q =v t C tem resposta ao degrau: i C t = 1 R e 1 R C t u t e resposta ao impulso: i C t = t R R 2 C e R C t ut L dit R i t=vt dt tem resposta ao degrau: vt =L tr u t Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 17

20 e resposta ao impulso: vt =L ' t R t C dvt dt v t =i t R tem resposta ao degrau: it =C t 1 u t R e resposta ao impulso: it =C ' t 1 R t R i t 1 t C i t ' dt ' =v t 0 tem resposta ao degrau: vt =R u t 1 r t C e resposta ao impulso: vt =R t 1 C ut t 1 R vt 1 L vt ' dt ' =i t 0 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 18

21 tem resposta ao degrau: it = 1 R u t 1 L rt e resposta ao impulso: it = 1 R t 1 u t L 6.9 Circuitos variáveis com o tempo e não lineares Nesta secção são apresentados exemplos de problemas não lineares e ou variantes com o tempo. Estes problemas têm, em geral, solução difícil e não existe um método de análise, exceto integração numérica das equações diferenciais. As técnicas utilizadas para solução de problemas lineares e invariantes não podem ser aplicadas a classe de problemas que serão estudados nesta seção, sendo assim não se aplicam os seguintes conceitos: 1) A resposta a excitação zero é uma função linear do estado inicial; 2) A resposta ao estado zero é uma função linear da excitação; 3) A translação temporal da excitação implica na translação da resposta ao estado zero; 4) A resposta ao impulso é a derivada da resposta ao degrau; zero. 5) A resposta completa é a soma da resposta à excitação zero com a resposta ao estado Exemplo: Para um circuito RC paralelo, sem excitação, com condição inicial v(0)=1v e C=1F determinar a resposta a excitação zero para os seguintes casos: a) Resistor linear e invariante de 1W; vt =ut e t b) Resistor linear variante com o tempo R=1 /[10,5 cost ] ; dv [10,5 cost] v=0, para t ³ 0 dt Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 19

22 v0=1 dv v = [10,5 cost] dt t 0 t dv v = [10,5 cost ] dt 0 ln [vt]= [t0,5 sent] t 0,5 sen t vt =u t e c) Um resistor não linear invariante tendo a característica i R =v R2 ; dv dt v2 =0, para t ³ 0 v0=1 vt t d v v 0 v = dt ' vt 1 = t vt =u t 1 t1 Exemplo: Para um circuito RC paralelo, sem excitação, com condição inicial v(0)=0v e C=1F determinar a resposta ao degrau unitário de corrente. a) Resistor linear e invariante de 1W; vt =ut 1 e t b) Resistor linear variante com o tempo R=1 /[10,5 cost ] ; Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 20

23 dv [10,5 cost] v=u t, para t ³ 0 dt v0=0 Não é possível integrar a resposta ao impulso, calculada no exemplo anterior, para obter a resposta ao degrau, pois o resistor é variável com o tempo. A resposta a este problema conterá uma parcela constante (forçada pela fonte) e outra variável (forçada pelo resistor). Como o resistor é variável com o tempo também não é possível realizar operações de deslocamento temporal, ou seja, se o estímulo for deslocado no tempo a resposta não será a anterior deslocada no tempo. t v t =v 0 e t0,5 sen t e t 0,5 sen t e t 0,5 sen t dt 0 c) Um resistor não linear invariante tendo a característica i R =v R2 ; dv dt v2 =ut, para t ³ 0 v0=0 vt v 0 d v 1 v = 2 0 t dt ' vt =u t tanh t observe que se a entrada fosse k u(t) a resposta não seria multiplicada por k e sim vt =k ut tanh k t Exemplo: Para o próximo circuito determine as formas de onda sobre o capacitor. A fonte de tensão é pulsada com período 2T, amplitude V 0 e ciclo de trabalho de 50%. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 21

24 Solução: Aproximar o diodo por dois circuitos formados por um resistor em série com um diodo ideal. Cada circuito representa a resistência linearizada do diodo para as situações de polarização direta e reversa. Analisar as constantes de tempo: Se as constantes de tempo forem muito menores do que as formas de onda de tensão no capacitor terão um comportamento exponencial e estabilizarão no valor máximo (V 0 ) ou 0. Já a tensão sobre o diodo serão exponenciais com amplitude de V 0 decaindo para zero. Se as constantes de tempo de carga e descarga do capacitor forem da mesma ordem de grandeza de então as formas de onda não chegarão aos seus valores limites. Neste caso é de se esperar que a tensão sobre o capacitor passe por um período transitório e estabilize entre dois valores de tensão V 1 e V 2. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 22

25 Considerando que t=0 no início do primeiro ciclo de carga do capacitor em regime permanente, então a carga do capacitor pode ser escrita como t v 1 t=v 1 V 0 V 1 1 e 1 e a descarga como t T v 2 t =V 2 e 2. Ao final de um período de carga v 1 T =V 2, logo T v 1 T =V 2 =V 1 V 0 V 1 1 e 1. O final de um período de descarga v 2 2 T =V 1, logo v 2 2 T =V 1 =V 2 e T 2. Isolando V 1 e V 2 no sistema de equações que determina v 1 T e v 2 2 T temos V 2 = V 0 1 e T 1 e 1 e T 1 T 2 V 1 = V 0 1 e 1 e T T 1 e 2 T T 1 e Exercícios Para todos os exercícios deste módulo faça o gráfico da resposta e compare com a simulação do circuito. Para os problemas literais atribua valores aos componentes antes das simulações. Lembre-se, não comece os problemas escrevendo as condições iniciais ou em infinito. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 23

26 1) Um circuito RC série no qual entra uma onda quadrada está representado na figura a seguir. A entrada é formada por um trem periódico de pulsos com uma amplitude de 10V e uma largura de 1ms, sendo cada pulso gerado a cada 2ms. Calcule a tensão sobre o capacitor ( v C ) e o resistor ( v R ). Quando a fonte V é considerada entrada e a saída corresponde a v C o circuito é chamado de passa baixas e quando a saída é v R o circuito é chamado passa altas. Qual seria a razão para estes nomes? 2) Considere o circuito linear invariante mostrado na figura abaixo. Seja v C 0=1V e V =30 cos t u tv. Calcular a corrente do circuito para t 0. Determinar se há alguma condição inicial para o capacitor e/ou fase para o sinal V tal que a resposta transitória seja nula. 3) No circuito abaixo o indutor está descarregado quando a chave S1 abre e a chave S2 fecha. a) Calcule a energia armazenada no indutor no instante t=4s; b) Em t=4s a chave S1 fecha e a S2 abre. Calcule a corrente que passa pelo resistor de 4 para t>4. Indique o sentido correto desta corrente; c) Calcule a energia total dissipada no resistor de 4 no intervalo 4t. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 24

27 4) Para os problemas abaixo, cujas condições iniciais foram calculadas no módulo anterior calcule tensão sobre o capacitor ou a corrente sobre o indutor. a) Considere I S1 t uma fonte constante e independente. b) Considere I 1 t uma fonte constante e independente. c) Considere V 1 t uma fonte constante e independente d) I 1 t é um degrau unitário de corrente. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 25

28 de 4mA. e) I 1 t é um degrau de corrente de 10mA e I 2 t é uma fonte de corrente constante f) V 1 t é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 0,5s. g) V 1 t é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 6 R 1 C 1 segundos. h) V 1 t é uma fonte constante e independente. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 26

29 5) Um circuito de disparo para laser é apresentado na figura abaixo. Para disparar o laser é necessário 60mA I 180mA para 0t200 s. A chave S1 troca de posição em t=0. Determine valores apropriados de R 6 e R 8. O circuito estava em regime permanente para t<0. 6) Para o circuito abaixo: a) Determine a faixa de valores de B para que o circuito seja estável. b) Determine o valor de B para que a constante de tempo do circuito seja de 20ms. c) Encontre a equação de i(t) quando V 1 t =10 e 100 t ut V. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 27

30 6.11 Soluções 1) Um circuito RC série no qual entra uma onda quadrada está representado na figura a seguir. A entrada é formada por um trem periódico de pulsos com uma amplitude de 10V e uma largura de 1ms, sendo cada pulso gerado a cada 2ms. A constante de tempo do circuito é de 0,1ms. Calcule a tensão sobre o capacitor v C e o resistor v R. Quando a fonte V é considerada entrada e a saída corresponde a v C o circuito é chamado de passa baixas e quando a saída é v R o circuito é chamado passa altas. Qual seria a razão para estes nomes? problema Transformando o circuito Thévenin em um equivalente Norton e resolvendo o v R v C R C dv C dt dv C dt v C R C = v R C onde R C =constante de tempo==0,1ms v C =k 1 e 1 t k 2 Para os 0,1ms onde v=10v v C =10V v C t=[ v C 0 10] e 1 t 10 a tensão chega a 10V em 0,5ms (5 constante de tempo) Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 28

31 Para os 0,1ms onde v=0v v C =0V v C t=10 e 1 t a tensão chega a 0V em 1,5ms. Do segundo pulso em diante v C t= 10 e 1 t 10 (considerando que t=0 quando a fonte muda para 10V) v C t=10 e 1 t (considerando que t=0 quando a fonte muda para 0V) Fazendo o gráfico destas funções observa-se que o desenho se parece com a onda quadrada da entrada porém apresenta as bordas arredondadas. As bordas são mudanças rápidas associadas a altas frequências. Os patamares, que não mudam, estão associados as baixas frequências. Por esta razão este circuito é chamado de passa baixas (passa baixas frequências). v R t =v v C t v R t =10 e 1 t (considerando que t=0 quando a fonte muda para 10V) v R t =10 10 e 1 t (considerando que t=0 quando a fonte muda para 0V) Fazendo o gráfico destas funções percebe-se que o desenho mantém as bordas da onda quadrada mas zera as partes constantes. Por esta razão este circuito é chamado de passa altas (passa altas frequências). Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 29

32 V(V1,C1) tensão sobre o resistor 2) Considere o circuito linear invariante mostrado na figura abaixo. Seja v C 0=1V e V =30 cos t u tv. Calcular a corrente do circuito para t 0. Determinar se há alguma condição inicial para o capacitor e/ou fase para o sinal V tal que a resposta transitória seja nula. C dv dt v R =[ A' cos t A ' ' 1 1 sen t ] R onde =2 1000, A ' 1 =30 e A ' ' 1 =0 1 R C vt =K 1 e t A' 2 cos t A' ' 2 sen t, para t 0 v0= K 1 A' 2 cos0=k 1 A' 2 =1 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 30

33 se v0= A' 2 então K 1 =0 e não há transitório Após o fim do transitório (a exponencial decrescente), o problema restringe-se a C dv p dt v p R =[ A ' 1 cos t ] R como v p t= A' 2 cos t A ' ' 2 sen t então C [ A ' 2 sen t A' ' 2 cos t ] [ A' cos t A' ' sen t] 2 2 = [ A' 1 cos t ] R R agrupando os termos em seno e os termos em cosseno podemos montar duas equações: para senos: C A' 2 A' ' 2 R =0 para cossenos: C A' ' 2 A ' 2 R =30 3) No circuito abaixo o indutor está descarregado quando a chave S1 abre e a chave S2 fecha. a) Calcule a energia armazenada no indutor no instante t=4s; b) Em t=4s a chave S1 fecha e a S2 abre. Calcule a corrente que passa pelo resistor de 4 para t>4. Indique o sentido correto desta corrente; c) Calcule a energia total dissipada no resistor de 4 no intervalo 4t. a) Transformando o Norton (I=10A e R=2) em Thévenin Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 31

34 di L dt R L i L = R L I S di L dt 1 4 i L = =2,5 i L 0=0A, i L =10A t 4 i L t =10 10 e para t>0 i L 4=10 10 e 1 =6,32 A w L 4= 1 2 L i 2 L4= ,322 =159,8 J b) i L 4=6,32 A e i L =0 e = L R = 8 4 =2 t 4 2 i L t =6,32 e para t>4 c) w R = 0 R I 2 tdt 2 t 4 w R =4 6, e dt=4 6, e t 4 4 =159,8 J 4 4) Para os problemas abaixo, cujas condições iniciais foram calculadas no módulo anterior calcule tensão sobre o capacitor ou a corrente sobre o indutor. a) Considere I S1 t uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 32

35 I S1 i R1 i C =0 e i R1 =I S1 i C R 1 i R1 1 C i C t dtr 1 i C =0 considerando v C 0=0 derivando esta equação R 1 di C dt 1 C i CR 1 di C dt =0 di C dt 1 C R 1 R 1 i C =0 i C t =k e t C R 1 R 1 i C 0 + = R 1 I S1 R 1 R 1 =k it = R 1 I S1 e R 1 R 1 t C R 1 R 1 para t>0 b) Considere I 1 t uma fonte constante e independente. i L1 0 - =i L1 0 + = I1 G G 1 G 2 2 i L1 =I1 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 33

36 Com o modelo Norton (I1, R1) transformado em um modelo Thévenin o problema I1 R 1 =L di L1 dt R 1 I1 = L 1 R 1 i L1 t =k 1 e 1 t k 2, para t>0. I1 i L1 =k 2 = I1, i L1 0=k 1 k 2 = G G 1G 2 2 k 2 = I1, k 1 = I1 G 1 G 1 G 2 v L1 t =L di L1 t dt, para t>0. c) Considere V 1 t uma fonte constante e independente V TH = 40 9 V, R TH =R N = 20 9, I N = 2A V TH v C1 0 + =V TH, v C1 = R R TH R 2 =3,48V 2 Considerando o equivalente Norton, teremos um circuito formado por C 1, R 2, R N e I N em paralelo. Este circuito já foi calculado. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 34

37 R EQ = R 2 R N R 2 R N I N =C dv C1 v C1 dt R EQ =R EQ C 1 v C1 t=k 1 e 1 t k 2, para t>0. v C1 =k 2 =3,48 v C1 0=k 1 k 2 = 4,44 k 1 = 7,92 d) I 1 t é um degrau unitário de corrente. Observe que neste circuito R 1 esta em paralelo com L 1. Este conjunto está em série com o paralelo de C 2 com R 2. Desta forma este circuito é equivalente a dois circuitos paralelo independentes: a) I 1, R 1 e L 1 ; b) I 1, R 2 e C 2. i L1 t =k 1 e R 1 t L 1 k2 v C2 t=k 3 e t R 2 C 2 k4 1 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 35

38 de 4mA. e) I 1 t é um degrau de corrente de 10mA e I 2 t é uma fonte de corrente constante Solução: Calculando o equivalente Norton nos terminais do capacitor R EQ =R TH =12k //20k16k=9k i EQ =[10 ut 4]mA V C1 0 = 4 ma [20k 12k// 16k] 12k = 16V 20k12k i C 0 + =6mA 16V =7,77 ma 9k i C =0 dv C dt v C R EQ C =i EQ C t i C t =i C 0 + C R e EQ u t ma f) V 1 t é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 0,5s. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 36

39 v R2 =V1 logo i R2 = V1 R 2 (a mesma corrente que flui pelo paralelo de C 1 com R 1 ) v C1 =v R1 =Vo Para 0<t<0,5 v C1 0 + =0V, v C1 = V1 R 2 R 1 =R 1 C 1 v C1 t=k 1 e 1 t k 2 v C1 =k 2 = 5 v C1 0=k 1 k 2 =0 k 1 =5 Para t>0,5 v C1 0,5=5 e 1 0,1 0,5 5 4,9V, v C1 =0V v C1 t=k 3 e 1 t 0,5 k 4 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 37

40 k 4 =0 v C1 0,5=k 3 = 4,9 g) V 1 t é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 6 R C segundos. Transformando o Thévenin (V1, R1) em um modelo Norton V1 =C dv C1 v C1 R 1 dt R 1 Para 0t6 R 1 C 1 v C1 0 + =0V, v C1 =V1 =R 1 C 1 v C1 t=k 1 e 1 t k 2 v C1 t= V1 e 1 t V1 Para t6 R 1 C 1 1 v C1 6 R 1 C 1 = V1 e 6 R R 1 C 1 C 1 1 V1 V1, vc1 =0V v C1 t=v1 e 1 t 6 R 1 C 1 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 38

41 h) V 1 t é uma fonte constante e independente. Solução: i L 0 = V 1 R 1, i L = V 1 R 1, i L 0 + =i L 0 - v C 0 =V 1, v C 0 + =V 1, v C =0V C dv C dt v C R =0 v C t =6 e t R C V para t>0. 5) Um circuito de disparo para laser é apresentado na figura abaixo. Para disparar o laser é necessário 60mA I 180mA para 0t200 s. A chave S1 troca de posição em t=0. Determine valores apropriados de R 6 e R 8. O circuito estava em regime permanente para t<0. Com a chave na posição atual, o equivalente Thèvenin de V2, R7 e R6 é V TH = v 2 R 6 R 6 R 7 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 39

42 R TH = R 7 R 6 R 7 R 6 i MAX = v 2 R TH R 9 =180mA R R 6 =0,18 R 6 =51,4 t I t=i 0 e =0,18 e R EQ t L 3 onde R EQ =R 9 R 8 R8 deve ser escolhido tal que I(200s)=60mA 6) Para o circuito abaixo: a) Determine a faixa de valores de B para que o circuito seja estável. b) Determine o valor de B para que a constante de tempo do circuito seja de 20ms. c) Encontre a equação de i(t) quando V 1 t =10 e 100 t ut V. Retirando o capacitor e inserindo em seu lugar uma fonte de corrente independente de valor IT para cima (para calcular um equivalente Norton do resto do circuito) Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 40

43 v T v 1 R 1 B v v 1 T R 1 v T =i R T 2 v T 1 B 1 R 1 R 1 R 2 v 1 B 1 R 1 R 1 =i T como i T = V TH R TH I N então 1 = 1 = 3 B R TH R N 10k R TH = 10k 3 B a) R TH 3 = R TH C 1 = =R TH R TH = =10k R TH = 10k 3 B =10k b) B=2 Com o capacitor no circuito i2 i v C1 C R 1 dv C1 =0 2 dt v C1 =v 1 i R 1 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 41

44 i2 i v 1 R 1 i R 2 C 1 d v R i 1 1 =0 dt di dt i = 1 R 1 dv 1 dt v 1 R 1 R 2 C 1 i0= v 0 1 =1mA R 1 it =k 1 e 50 t k 2 e 100 t Em regime permanente v 1 =10 e 100 t, i=k 2 e 100 t dv 1 dt = 1000 e 100 t, di dt = 100 k 2 e 100 t 100 k 2 k 2 = k k 2 =0 Para t=0 1 ma=k 1 e 50 t k 2 e 100 t k 1 = 1 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ Apostila não é livro. Estude pelo livro! 42