Circuitos Elétricos I EEL420

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuios Eléricos I EEL420 Coneúdo 1 - Circuios de primeira ordem Equação diferencial ordinária de primeira ordem Caso linear, homogênea, com coeficienes consanes Caso, linear, com coeficienes consanes e enrada consane Caso linear, com coeficienes consanes e enrada não consane Circuio linear invariane de primeira ordem resposa a exciação zero O circuio RC (resisor-capacior) O circuio RL (resisor-induor) Circuio linear invariane de primeira ordem resposa ao esado zero Circuio linear invariane de primeira ordem resposa complea Linearidade da resposa ao esado zero Linearidade e invariância com o empo Resposa ao Impulso Resposa ao degrau e ao impulso para circuios simples Circuios variáveis com o empo e não lineares...17

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3 1 Circuios de primeira ordem 1.1 Equação diferencial ordinária de primeira ordem Caso linear, homogênea, com coeficienes consanes {dv d v =0 v0=v 0 dv v = 1 d ln v= D v=v 0 e Esá é a chamada resposa naural da equação diferencial Caso, linear, com coeficienes consanes e enrada consane {dv d v =k v 0=v 0 dv d = k v dv v k = 1 dd ln v k = D v=v [v v 0] e Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 1

4 Para ese caso paricular a resposa complea (v) é formada pela resposa naural somada a uma resposa forçada que em o mesmo formao da enrada Caso linear, com coeficienes consanes e enrada não consane {dv v d = y v 0=v 0 Muliplicando ambos os lados da equação por e dv d v e como = y e dv d v e enão = d v e d d v e d = y e v e = y e dd v=e y e dd e Para o caso geral a resposa complea da equação diferencial é a soma da resposa naural com uma resposa forçada que apresena componenes com o mesmo formao da enrada. Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 2

5 1.2 Circuio linear invariane de primeira ordem resposa a exciação zero O circuio RC (resisor-capacior) O circuio abaixo mosra um capacior sendo carregado por uma fone de ensão consane. Em =0 a chave S1 abre e a chave S2 fecha. Para 0, i C i R =0 C dv C d = v R R e v C 0=v 0 Como v C =v R =v dv {C d v R =0 v 0=v 0 {dv d = 1 R C v v 0=v 0 Esa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, homogênea com coeficienes consanes cuja solução geral pode ser obida da seguine maneira v =k e u Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 3

6 =R C e k=v 0=v 0 i C =C dv d = v 0 R e 1 R C u Esa resposa é chamada de resposa a exciação zero (sem exciação) e apresena solução que depende das caracerísicas do circuio ( só depende da opologia) e das condições iniciais do circuio (k depende das condições iniciais). A curva exponencial que corresponde a resposa dese problema é apresenada na figura abaixo. Nesa figura v 0 =1 e R C =1. Observa-se que a rea que passa pelas coordenadas =0 e v=v(0) e apresena inclinação igual a derivada da função no pono =0 cruza o eixo do empo em um valor igual ao do produo R C. Ese produo é chamado consane de empo τ. Toda exponencial uniária apresena 37% de seu valor inicial em 1, 14% em 2, 5% em 3, 2% em 4 e 0,7% em 5. A consane de empo em unidade de segundos e corresponde ao inverso da freqüência naural do circuio. Um circuio RC com apenas um capacior equivalene e um resisor equivalene sempre apresena consane de empo da forma de um produo RC. Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 4

7 1.2.2 O circuio RL (resisor-induor) O circuio abaixo mosra um induor sendo carregado por uma fone de correne consane. Em =0 a chave S1 roca de posição e a chave S2 fecha. Para 0 v L v R =0 L di L d R i L=0 e i L 0=I 0 {di d = R L i i L 0= I 0 Esa é uma equação diferencial de primeira ordem, homogênea, linear de parâmeros consanes cuja solução, de forma semelhane ao problema do circuio RC, é R L i L =I 0 e u Esa solução ambém depende das condições iniciais do problema ( I 0 ) e da opologia do circuio (consane de empo). Nese caso a consane de empo é definida como = L R que ambém apresena unidade de empo (segundos). Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 5

8 1.3 Circuio linear invariane de primeira ordem resposa ao esado zero Para o circuio abaixo a chave S1 abre em =0 Para 0 i C i R =i S C dv d v R =i S e v0=0 Esa é uma equação diferencial de primeira ordem, linear, não homogênea (com exciação) e condição inicial nula (esado zero). circuio: A equação diferencial em quesão deve saisfazer ouras duas condições imposas pelo para =0 + dv d = i S C (condição imposa pela opologia do circuio) para = v=r i S (condição imposa pela fone) A solução para a equação diferencial linear não homogênea pode ser obida pela soma da solução homogênea e de uma solução paricular que apresena o mesmo formao da exciação, assim v complea =v h v p. A solução homogênea depende das condições iniciais do problema e da sua opologia e a solução paricular depende da exciação. Algumas vezes a resposa paricular é chamada de resposa forçada pois é imposa pela exciação. Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 6

9 Para o exemplo em quesão 1 R C v =K 1 e R i S 0, para. sendo que K 1 pode ser calculado pela condição inicial do problema v0=k 1 R i S =0 K 1 = R i S, logo 1 R C v =R i S 1 e Se a exciação fosse senoidal a resposa forçada seria senoidal, se a exciação fosse uma exponencial a resposa forçada seria uma exponencial e assim por diane. Exemplo: Se i S =A 1 cos 1 enão v p = A 2 cos 2 C dv d v R =A 1 cos 1 1 R C v =K 1 e A 2 cos 2, para 0 v0= K 1 A 2 cos 2 =0 K 1 = A 2 cos 2 Após o fim do ransiório (a exponencial decrescene), o problema resringe-se a C dv p v p d R =A 1 cos 1 como v p = A 2 cos 2 Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 7

10 enão C A 2 sen 2 A 2 R cos 2 = A 1 cos 1 onde A 2 = A C R 2 2 = 1 arcan R C A figura abaixo foi produzida com R=1, C=1F, A 1 =0 e 1 = A resposa complea é a soma da exponencial com o cosseno defasado. A influência da exponencial desaparece depois de 5 consanes de empo por isso é chamada de resposa ransiória ao passo que a resposa sem exponencial decrescene é chamada de resposa em regime permanene. Ese ransiório pode ser nulo se v0= A 2 cos 2, iso ocorre porque nese caso a correne e a ensão já esão com a mesma defasagem e ampliude de regime permanene enão não é necessário nenhum período ransiório para ajusar eses dois parâmeros. 1.4 Linearidade da resposa ao esado zero É uma propriedade de qualquer circuio linear que a resposa ao esado zero é uma função linear da exciação, iso é, a dependência da resposa ao esado zero com a forma de Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 8

11 onda da exciação é expressa por uma função linear. Se o símbolo Z 0 for uilizado para represenar uma rede no esado zero enão a linearidade é obida se forem saisfeias as seguines condições. Z 0 i 1 i 2 =Z 0 i 1 Z 0 i 2 Z 0 k i 1 =k Z 0 i 1 Para uma deerminada rede, v 1 é a resposa a exciação com uma fone i 1 al que C dv 1 d v 1 R =i 1 com v 1 0=0 e v 2 é a resposa para uma exciação i 2 de al forma que C dv 2 d v 2 R =i 2 com v 2 0=0. A soma das duas equações resula em C dv 1 d C dv 2 d v 1 R v 2 R =i 1 i 2 ou seja C d v v d R v v =i i com v v 2 0=0 o que saisfaz a primeira condição para linearidade. Caso a fone i 1 seja muliplicada por por um deerminado valor k enão C d k v 1 k v 1 d R =k i com k v 1 1 0=0 Assim as duas condições para linearidade são saisfeias se a rede esiver no esado zero mesmo que R e C forem varianes com o empo. Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 9

12 1.5 Invariância com o empo Seja uma rede linear invariane exciada por uma correne i 1 e cuja resposa ao esado zero seja v 1 al que dv 1 d v 1 =i 1. Agora, supondo que a exciação mude para i 1 T1, enão a resposa ao problema é v 1 T1 al que dv 1 T1 d v T1 1 =i 1 T1 cuja solução é idênica a da equação dy d y =x onde y=v 1 T1 e x=i 1 T1 com v 1 0 T1=0. Iso significa que em uma rede invariane a resposa ao esado zero é deslocada T1 segundos se a enrada esiver deslocada T1 segundos. 1.6 Circuio linear invariane de primeira ordem resposa complea Para os casos onde haja condição inicial não nula e exciação diferene de zero a resposa da equação diferencial corresponde a soma da resposa a exciação zero mais a resposa ao esado zero. Iso pode ser demonsrado se as equações para o caso de exciação zero e esado zero forem analisadas separadamene e em conjuno. Separadamene esas equações são C dv I d v I =0 (equação para o circuio RC com exciação zero) R Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 10

13 C dv O d v O R =i S (equação para o circuio RC com esado zero) onde v I e v O são as resposas a exciação zero e ao esado zero respecivamene. Somando as equações emos C dv I d v I R C dv O d v O R =i S que pode ser reescria como C d v I v 0 d v v I 0 =i R S. compleo. Por esa razão a soma das resposas separadas corresponde a solução para o problema v C =v I v O, para 0. 1 R C v C =v 0 e 1 R i S 1 e R C. Esa resposa complea ambém pode ser obida pela soma da resposa ransiória e da resposa em regime permanene. v C =v ransioria v permanene 1 R C v C =v 0 R i S e R i S, para 0. Se a exciação é um degrau ou um impulso a resposa sempre erá o formao sol =sol [sol sol 0] e onde sol corresponde a solução do problema (correne ou ensão) e é a consane de empo do circuio, seja ele RC ou RL. Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 11

14 Exemplo: Deerminar a equação da ensão sobre o capacior da figura abaixo. A chave S1 abre para =0 e a chave S2 fecha para =R1 C. para 0 v C =0 para 0 R1 C v C 0=0 v C =R1 I v C =R1 I 1 e R1 C para =R1 C=T1 v C T1=R1 I1 1 1 e v C = I R1 R2 R1 R2 2 =C R1 R2 R1 R2 v C =v C T1 e T1 2 T1 v C 1 e 2 =vexciação zerovesado zero T1 v C =v C [v C v C T1] e 2 =v permanenevransiória Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 12

15 1.7 Resposa ao Impulso A resposa ao esado zero de um circuio invariane exciado por um impulso uniário em =0 é chamada de resposa ao impulso e simbolizada por h. Por conveniência usaremos h()=0 para <0. Nese exemplo a resposa ao impulso pode ser calculada facilmene obida considerando o capacior como um curo circuio para =0 e a parir daí calculando a resposa a exciação zero. Assim, para =0 v= 1 C d= 1 C Para >0 ese problema apresena a mesma solução do problema de exciação zero. v =k e u onde =R C e k=v 0 = 1 C. A resposa ao impulso de um circuio linear e invariane caraceriza ese circuio. Mais adiane na maéria ficará provado que é possível ober a resposa ao esado zero de qualquer rede linear e invariane e para qualquer exciação se conhecermos a sua resposa ao impulso. Iso é inuiivamene correo, pois qualquer sinal pode ser obido por um conjuno de infinios impulsos de ampliudes apropriadas e deslocados no empo (propriedades de linearidade e invariância com o empo). Também é inuiivo pensar que a função impulso apresena odas as freqüências com igual ampliude o que permie calcular a resposa da rede para odas as freqüências simulaneamene. Como odos os sinais podem ser obidos por uma soma de Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 13

16 senóides de diferenes freqüências com diferenes ampliudes e fases (Transformada de Fourier) enão, conhecendo a resposa ao impulso podemos deerminar a resposa do sisema a qualquer exciação. A resposa ao impulso poderia ser obida de ouras formas. Em redes lineares é possível derivar a resposa ao degrau. No problema acima a resposa ao degrau significa a resposa do problema quando i()=u(). Enão C dv d v =u, R v0=0 e v =R i=r u v =u R 1 e 1 R C para >0. Como dv h= d enão 1 h= R 1 e R C 1 1 C u e R C R C a primeira parcela é zero pois para 0, δ()=0 e para =0, 1 e =0. 1 h = 1 1 RC u para odo >0. e C Mosre que a mesma resposa poderia ser obida calculando a resposa à função pulso (soma de dois degraus) com 0. Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 14

17 1.8 Resposa ao degrau e ao impulso para circuios simples Para os circuios abaixo, considerar as correnes e ensões de fone uniárias. C dv d v R =i 1 em resposa ao degrau: v =R R C C 1 e u e resposa ao impulso: v C = 1 C e 1 R C u L di d R i=v em resposa ao degrau: i L = 1 R 1 e R L u e resposa ao impulso: i L = 1 L e R L u Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 15

18 1 d R d L =i em resposa ao degrau: v L L =R e u R e resposa ao impulso: v L =R R2 L e L u R R dq d q =v C em resposa ao degrau: i C = 1 R e 1 R C u e resposa ao impulso: i C = R R 2 C e R C u L di R i =v d em resposa ao degrau: v =L R u e resposa ao impulso: v =L ' R Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 16

19 C dv v =i d R em resposa ao degrau: i =C 1 u R e resposa ao impulso: i =C ' 1 R R i 1 C i ' d ' =v 0 em resposa ao degrau: v =R u 1 r C e resposa ao impulso: v =R 1 C u 1 R v 1 L v ' d ' =i 0 Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 17

20 em resposa ao degrau: i = 1 R u 1 L r e resposa ao impulso: i = 1 R 1 u L 1.9 Circuios variáveis com o empo e não lineares Nesa secção são apresenados exemplos de problemas não lineares e ou varianes com o empo. Eses problemas em em geral solução difícil e não exise um méodo de análise, exceo inegração numérica das equações diferenciais. As écnicas uilizadas para solução de problemas lineares e invarianes não podem ser aplicadas a classe de problemas que serão esudados nesa seção, sendo assim não se aplicam os seguines conceios: 1) A resposa a exciação zero é uma função linear do esado inicial. 2) A resposa ao esado zero é uma função linear da exciação. 3) A ranslação emporal da exciação implica na ranslação da resposa ao esado zero. 4) A resposa ao impulso é a derivada da resposa ao degrau. zero. 5) A resposa complea é a soma da resposa à exciação zero com a resposa ao esado Exemplo: Para um circuio RC paralelo, sem exciação, com condição inicial v(0)=1v e C=1F deerminar a resposa a exciação zero para os seguines casos: a) Resisor linear e invariane de 1Ω; v =u e b) Resisor linear variane com o empo R=1 /[10,5 cos ] ; dv [10,5 cos] v=0, para 0 d Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 18

21 v0=1 dv v = [10,5 cos] d 0 dv v = [10,5 cos ] d 0 ln[v ]= [0,5 sen] 0,5 sen v =u e c) Um resisor não linear invariane endo a caracerísica i R =v R2 ; dv d v2 =0, para 0 v0=1 v v 0 d v v = d ' v 1 = v =u 1 1 Exemplo: Para um circuio RC paralelo, sem exciação, com condição inicial v(0)=0v e C=1F deerminar a resposa ao degrau uniário de correne. a) Resisor linear e invariane de 1Ω; v =u 1 e b) Resisor linear variane com o empo R=1/[10,5 cos] ; Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 19

22 dv [10,5 cos ] v=u, para 0 d v0=0 Não é possível inegrar a resposa ao impulso, calculada no exemplo anerior, para ober a resposa ao degrau, pois o resisor é variável com o empo. A resposa a ese problema conerá uma parcela consane (forçada pela fone) e oura variável (forçada pelo resisor). Como o resisor é variável com o empo ambém não é possível realizar operações de deslocameno emporal, ou seja, se o esímulo for deslocado no empo a resposa não será a anerior deslocada no empo. v =v 0 e 0,5 sen e 0,5 sen e 0,5 sen d 0 c) Um resisor não linear invariane endo a caracerísica i R =v R2 ; dv d v2 =u, para 0 v0=0 v v 0 d v 1 v = 2 0 d ' v =u anh observe que se a enrada fosse k u() a resposa não seria muliplicada por k e sim v =k u anh k Exemplo: Para um circuio série formado por uma fone de ensão, um capacior e um diodo real, direamene polarizado, deermine as formas de onda sobre o capacior e sobre o diodo. A fone de ensão é pulsada com período 2τ, ampliude V 0 e ciclo de rabalho de 50%. Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 20

23 Solução: Aproximar o diodo por dois circuios formados por um resisor em série com um diodo ideal. Cada circuio represena a resisência linearizada do diodo para as siuações de polarização direa e reversa. Analisar as consanes de empo: Se as consanes de empo forem muio menores do que τ as formas de onda de ensão no capacior erão um comporameno exponencial e esabilizarão no valor máximo (V 0 ) ou 0. Já a ensão sobre o diodo serão exponenciais com ampliude de ± V 0 decaindo para zero. Se as consanes de empo de carga e descarga do capacior forem da mesma ordem de grandeza de τ enão as formas de onda não chegarão aos seus valores limies. Nese caso é de se esperar que a ensão sobre o capacior passe por um período ransiório e esabilize enre dois valores de ensão V 1 e V 2. Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 21

24 Para a carga do capacior eremos v 1 =V 1 V 0 V 1 1 e T 1 e para a descarga v 2 =V 2 e T 2. É claro que esas duas equações se igualam para = τ, 2τ, 3τ,... v 1 =v 2 T v 1 =V 2 =V 1 V 0 V 1 1 e 1 v 1 2 =v 2 2 v 2 2 =V 1 =V 2 e T 2 Isolando V 1 e V 2 V 2 = V 1 e T e T 1 e T 2 V 1 = 0 V T 1 e 1 T e 2 T 1 e 1 e T Exercícios Para odos os exercícios dese módulo faça o gráfico da resposa e compare com a simulação do circuio. Para os problemas lierais aribua valores aos componenes anes das simulações. Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 22

25 1) Um circuio RC série no qual enra uma onda quadrada esá represenado na figura a seguir. A enrada é formada por um rem periódico de pulsos com uma ampliude de 10V e uma largura de 1ms, sendo cada pulso gerado a cada 2ms. Calcule a ensão sobre o capacior ( v C ) e o resisor ( v R ). Quando a fone V é considerada enrada e a saída corresponde a v C o circuio é chamado de passa baixas e quando a saída é v R o circuio é chamado passa alas. Qual seria a razão para eses nomes? 2) Considere o circuio linear invariane mosrado na figura abaixo. Seja v C 0=1V e V =30 cos u V. Calcular a correne do circuio para 0. Deerminar se há alguma condição inicial para o capacior e/ou fase para o sinal V al que a resposa ransiória seja nula. 3) No circuio abaixo o induor esá descarregado quando a chave S1 abre a chave S2 fecha. a) Calcule a energia armazenada no induor no insane =4s; b) Em =4s a chave S1 fecha e a S2 abre. Calcule a correne que passa pelo resisor de 4Ω para >4. Indique o senido correo desa correne; c) Calcule a energia oal dissipada no resisor de 4Ω no inervalo 4. Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 23

26 4) Para os problemas abaixo, cujas condições iniciais foram calculadas no módulo anerior calcule ensão e correne sobre o capacior ou induor. a) Considere I S1 uma fone consane e independene. b) Considere I 1 uma fone consane e independene. c) Considere V 1 uma fone consane e independene d) I 1 é um degrau uniário de correne. Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 24

27 de 4mA. e) I 1 é um degrau de correne de 10mA e I 2 é uma fone de correne consane f) V 1 é uma pulso de ensão de ampliude 10V e largura 0,5s. g) V 1 é uma pulso de ensão de ampliude 10V e largura 6 R C segundos. Circuios Eléricos I EEL420 UFRJ 25