yy + (y ) 2 = 0 Demonstração. Note que esta EDO não possui a variável independente e assim faremos a mudança de variável

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM - PARTE Nome Legível Turma RG CPF Resposas sem jusificaivas ou com fórmulas pronas não serão aceias. Além disso, não é permiido o uso de aparelhos elerônicos. Quesão 1..0 p Resolva a seguine equação diferencial não-linear yy + y = 0 Demonsração. Noe que esa EDO não possui a variável independene e assim faremos a mudança de variável vy = dy d dv dy dy d = d y d v v = y Porano, mediane a mudança, a EDO pode ser escria como y v v + v = 0 v = v v y v = v y Noe que esa EDO é separável e v 0 é solução consane, ou seja, y = 0 y = C. Procurando soluções não-consanes dv dy = v y dv v = dy y dv dy v = y ln v = ln y + C = ln y 1 + C = ln 1 + y C v = K 1 y dy d = K 1 y ydy = Kd ydy = Kd y = K + λ Porano, as soluções são dadas expliciamene por y = C e impliciamene por y = K + λ

2 Quesão..0 p De posse que φ = é solução da equação diferencial y + y + + y = 0, > 0 enconre um conjuno fundamenal de soluções. Demonsração. Pelo méodo de redução de ordem, ponha y = u e vamos deerminar u de modo que y seja solução. Segue que Subsiuindo na EDO y = u + u 1 y = u + u 1 + u u + u + 3 u + + y = u + u y = u + u u + u + + u = 0 u u = 0 3 u + 3 u = 0 3 u 3 u = 0 > 0 u u = 0 Noe que u u = 0 é de coeficienes consanes e pela equação caracerísica λ λ = 0 λ λ 1 = 0 e segue que λ = 0 ou λ = 1. Logo, u 1 = e 0 e u = e 1 são soluções, porém apenas u = e nos ineressa. Porano, y = u = e = e é solução. Calculando o wronskiano W, e e = de 1 1 e + e = e + e e = e > 0 para > 0 Porano, sendo wronskiano não-nulo, segue que, e } é L.I. e assim forma um conjuno fundamenal de soluções. Quesão 3. Para cada equação diferencial a seguir, enconre solução geral a.0 p y + 3y + y = + Demonsração. Resolvendo a pare homogênea associada, obemos a equação caracerísica λ + 3λ + = 0. Por Bháskara λ = 3 ± = 3 ± 1 = 3 ± 1 λ 1 = 1 λ =

3 Logo, a solução geral da homogênea associada é Y H = c 1 e + c e. Suponha que Y P = A + B + C. Segue que Y P = A + B e Y P = A. Subsiuindo na EDO A + 3 A + B + A + B + C = + A + 6A + B + A + 3B + C = + Por igualdade de polinômios, segue que A = 6A + B = A + 3B + C = 0 A = 1 B = 6 1 C = 1 3 B A = 1 B = C = Por fim, a solução geral é dada por y = Y H + Y P = c 1 e + c e + + b.0 p y 4y + 4y = 18e sen 3 Demonsração. Resolvendo a homogênea associada, emos que a equação caracerísica é λ 4λ + 4λ = 0 λ = 0. Como = 0, segue que Y H = c 1 e + c e. Suponha que Y P = e A sen 3 + B cos 3 Calculando Y P : Y P = e 1 A sen 3 + B cos 3 + e A cos B sen 3 3 Y P = e A + 3B sen 3 + 3A B cos 3 Noe que não precisamos calcular Y P por derivadas, basa rocar A por A + 3B e B por 3A B na equação de Y P acima: P = e A + 3B + 33A B sen A + 3B 3A B cos 3 Y Y P = e 8A 6B sen 3 + 6A 8B cos 3 3

4 Subsiuindo na EDO, emos e 8A 6B sen 3 + 6A 8B cos 3 4 e A + 3B sen 3 + 3A B cos 3 +4 e A sen 3 + B cos 3 = 18 e sen 3 e agrupando os ermos em seno e cosseno: 8A 6B + 4A + 3B + 4A sen 3 + 6A 8B 43A B + 4B cos 3 = 18 sen 3 18B sen A cos 3 = 18 sen 3 e de posse que sen 3 e cos 3 são L.I., segue que 18B = 18 18A = 0 Logo, a solução geral é dada por A = 0 B = 1 y = Y H + Y P = c 1 e + c e + e cos 3 c.0 p y + 4y = 3 cossec Demonsração. Resolvendo a pare homogênea, emos que a equação caracerísica é λ + 4 = 0 λ = 0 ± = ± 16 = ±i 4 λ 1 = 0 + i λ = 0 i Porano, a solução geral da pare homogênea associada é Y H = c 1 e 0 cos + c e 0 sen Y H = c 1 cos + c sen Suponha que Y P = u 1 cos + u sen. Enão Y P = u 1 cos + u 1 sen + u sen + u cos = u 1 sen + u cos + u 1 cos + u sen Mediane a escolha u 1 cos + u sen = 0 e derivando Y P emos 4

5 Y P = u 1 sen + u cos Y P = u 1 sen + u 1 cos + u cos + u sen = 4u 1 cos 4u sen u 1 sen + u cos Subsiuindo na EDO 4u 1 cos 4u sen u 1 sen + u cos +4 u 1 cos + u sen = 3 cossec Porano, ficamos com o sisema u 1 cos + u sen = 0 u 1 sen + u cos = 3 cossec u 1 sen + u cos = 3 cossec = 3 1 sen Muliplicando a primeira equação por sen e a segunda por cos, ficamos com u 1 sen cos + u sen = 0 u 1 cos sen + u cos cos = 3 Resolvendo cos d por pares sen sen cos sen = 3 cos sen u sen + cos = 3 u = 3 cos sen sen u = 3 cos sen d sen u = 3 cos sen d sen d 5

6 cos sen d = u = cog cos cog d du = cossec d cos cog d = cog sen + sen cossec d = cos sen sen + 1 sen sen d d = cos + sen = cos + cossec d = cos + ln cossec cog dv = cos d v = sen Logo, u = 3 cos sen d = 3 sen d cos + ln cossec cog + cos = 3 ln cossec cog + 3 cos Subsiuindo u = 3 cos sen na equação emos u 1 cos + u sen = 0 u 1 cos = u sen = 3 u 1 = 3 cos sen cos sen sen sen cos = 3 sen sen u 1 = 3 sen cos = 3 cos sen u 1 = 3 sen Logo, a solução geral é y = Y H + Y P = c 1 cos + c sen 3 3 sen cos + ln cossec cog + 3 cos sen 6