CDI II - TP Esboço de Resolução 1o. Semestre 17/18 1o. Teste 11/Novembro/2017 JUSTIFIQUE AS SUAS RESPOSTAS. = lim. s t2

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1 CDI II - TP Esboço de Resolução o Semesre 7/8 o Tese /Novembro/7 JUSTIFIQUE AS SUAS RESPOSTAS + 5 vals) Calcule ou mosre que não eise: i) a) b) sin) sin sin ) sin ) ii),,) +,,) + sin) sin,,) + sin) sin,,) + Como, não eise sin) sin) sin) + sin) sin) + sin) sin,,) + s sin ) s + s sin ) s s + s + s s + ) s s + s donde s,),) s sin ) sin ) sin ) e porano s +,,) + ) ) sin + 5 vals) Seja, +, caso conrário a) Mosre que as derivadas parciais de eisem em qualquer pono de R b) Averigue em que ponos de R é que é dierenciável a) Para, é dierenciável porque Sendo dierenciável nesse ) domínio, em aí derivadas parciais em ordem a cada uma das variáveis Para emos de calcular as derivadas parciais pela sua deinição: ) ) + ) )) ) ) sin ) +

2 Oura ve para ) ) + ) )) ) ) sin ) + Porano, em derivadas parciais em qualquer pono de R b) Jusiicámos na alínea anerior que é dierenciável em qualquer SE or dierenciável em enão ) ) ) Mas,,,),,) porque, por eemplo, ) sin + + ) + o )) + ) quando ) ) +,,) sin,,) + sin,,) + sin ) Porano, não é dierenciável na origem ) ) vals) Sejam) a, b, c, d, e, parâmeros reais b e) Considere a F + b + c d, deinida em R + e + e com valores em R a) Enconre um coeiciene de Lipschi global para DF Obs a ma a, d }, d ma a, d } ) ) a b J F e d ) donde ) ) ) J F J F a ) d a ) )) + d )) ) ) a ) + d ) ma a, b } e porano M, o coeiciene de Lipschi para J F, é ma a, b }

3 b) Faça um passo do méodo de Newon para resolver F, com a ) ) a a [ DF a ) ) ] F a ) ) [ ] ) b c ) e ) ) ) ) ) b c /e be e c/b c) Baseando-se no Teorema de Kanorovich, apresene uma condição a que os parâmeros devem obedecer para que o méodo de Newon aplicado como em b), convirja para a solução do problema Deermine uma bola em R cujo echo conem uma solução de F ) F a ) [ DF a ) ) ] M c + ) c b ) be e b e b) + e) ) ma a, b } c + ma a, b } e + ) ma a, b } b Nesas ) condições, pelo Teorema de Kanorovich, o echo da bola de cenro em a /e e raio a c/b a /e) + /b) saisa o pedido 4 5 vals) Será que o sisema de equações abaio em solução para a suicienemene pequeno? + + an a an + a Considere F ) + + an an + e noe-se que F ) ) Por ouro lado, ) + + J F cos cos + cos cos + ) ) e J F ) + + cujo de é não nulo Nesas condições, o Teorema da Função Inversa airma que F admie inversa local deinida numa viinhaça de F Seja essa inversa G; enão, para a ) ) a a suicienemene pequeno, G esará deinida em e G é solução do sisema a) a) ) a a de equações original Iso é, F G a) a) 3

4 5 + vals) a) Averigue se o conjuno X R , ++ } é uma variedade e de que dimensão A condição que caraceria os ponos de X pode ser reescria à cusa da unção F ) cuja jacobiana é: J F ) 4 Esa mari não é sobrejeciva se e só se, a sua primeira linha só coniver s, iso é, se Mas se, X, enão o que não é compaível com A jacobiana é enão sobrejeciva para odos os ponos de X Pelo Teorema da Função Implícia, X é, enão, uma variedade de dim, já que 3, onde 3 é a dimensão do domínio de F e a dimensão do espaço onde esá a imagem de F b) Deermine as equações do espaço e do hiperplano angenes a X num pono de X à sua escolha sugesão: aça ) Com aemos e Enão ) 4 ) J F ) ) Enão ker J F ) R 3 ) } Enão as equações do espaço angene a X em são e, 4

5 enquano que as do hiperplano angene a X em são e 6 + vals) Sejam a e b parâmeros reais a ) Deermine e classiique os ponos críicos de 3 + a b, discuindo essa classiicação em unção dos parâmeros a) 3 + a a /a a ) ou 3 /a 3 /a a /a) a /a Os ponos críicos são enão: ), ) b) Para a sua classiicação, precisamos das as derivadas de : ) 6 ) a ) 6 Porano: ) ) a ) ) a ) ) a a Esudemos, enão, as assinauras das ormas quadráicas associadas a cada um dos ponos críicos: 5

6 i Para o pono críico : ) ) h Q [ ] [ ) ) ] h h +h h a+h h + h h h ah h a A assinaura é, ) independenemene do sinal de a) e em ocorre um pono de sela ) ) ii Para o pono críico : ) h Q [ ] [ ] h h a) + h h a + h a) a h h h + h [ ) ) ] h h h 3 a + ) Para a < assinaura é, ) e em ocorre um mínimo; para a > ) assinaura é, ) e em ocorre um máimo 7 5 vals) Seja T : R n R m uma ransormação linear com n e m ineiros posiivos) Mosre que T é dierenciável Seja a R n Vamos mosrar que T é dierenciável em a Seja h R n Tem-se: T a + h) T a) T a) + T h) T a) T h) T h) +, onde é o vecor idênicamene nulo em R m Porano, T é dierenciável em a R n Como a é genérico em R n, T é dierenciável em R n 6