DINÂMICA POPULACIONAL COM CONDIÇÃO INICIAL FUZZY

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1 DINÂMICA OULACIONAL COM CONDIÇÃO INICIAL FUZZY Débora Vailai (ICV-UNICENTRO), Maria José de aula Casanho (Orienadora), Universidade Esadual do Cenro-Oese, Seor de Ciências Exaas e de Tecnologia, Deparameno de Maemáica, Guarapuava/araná. alavras-chave: Conjunos fuzzy, Derivada de Hukuhara, rincípio de exensão de Zadeh Resumo: Diversos modelos maemáicos são uilizados em esudos envolvendo os níveis de crescimeno animal. Nese rabalho, é uilizado o modelo de von Beralanffy, para descrever a dinâmica populacional de alevinos do jundiá considerando o peso inicial como um conjuno fuzzy. ara enconrar a solução do modelo foram uilizadas duas abordagens: a derivada de Hukuhara e o princípio de exensão de Zadeh. Nese caso, nas duas abordagens as soluções foram as mesmas, generalizando a solução deerminísica. Inrodução Modelos maemáicos como de Malhus, de Verhuls e de von Beralanffy, esão sendo uilizados de forma generalizada para calcular o crescimeno de diferenes espécies de animais (SCAIM, 008). Especificamene para analisar o crescimeno de peixes, von Beralanffy formulou um modelo que vem sendo aplicado para deerminar a axa de crescimeno nas mais variadas fases de culivo. Uma das espécies basane culivada é o jundiá (Rhamdia quelen) (ESQUIVEL, 005) cuja dinâmica foi descria uilizando modelos maemáicos (IAIA e BALDISSEROTTO, 000 e VAILATI e CASTANHO, 0). Como os dados de peso são obidos experimenalmene e, porano, esão sujeios a imprecisões, a Teoria dos Conjunos Fuzzy é apropriada para a adapação dos modelos clássicos (BARROS e BASSANEZI, 00). O objeivo dese rabalho é descrever a dinâmica populacional do jundiá por meio do modelo de von Beralanffy considerando a condição inicial como um parâmero fuzzy. Maerial e Méodos Os dados uilizados nese rabalho foram obidos por IAIA e BALDISSEROTTO (000), de uma criação de alevinos em um sisema de circulação fechada, em diferenes densidades (5, 50 e 00 alevinos por caixa), com alimenação à vonade e limpeza das caixas realizadas diariamene. A cada 0 dias, em um período de 50 dias, foram coleadas amosras de 0 alevinos ao acaso para efeuar a pesagem e medições. Como eses pesos são imprecisos, para o desenvolvimeno do modelo, o peso inicial, 0, será considerado como um número fuzzy riangular. O modelo de von Beralanffy (BASSANEZI, 00) para o crescimeno

2 em peso de peixes, considerando a condição inicial fuzzy, é dado pelo seguine problema de valor inicial (VI): d = h d ( 0) = ˆ 0 k em que ˆ 0 F ( R ), h e k são consanes de anabolismo e caabolismo. ara enconrar a solução dese sisema foram uilizadas duas abordagens, uma usando a derivada de Hukuhara e oura empregando o princípio de exensão de Zadeh. a) Solução uilizando a derivada de Hukuhara: Seja F ( R ) a família de subconjunos fuzzy de R, 0 um subconjuno fuzzy da família e [0,. O nível de 0 é o subconjuno clássico definido por [ 0 ={ x R n : ϕ 0 } para odo (0,. De acordo com Hukuhara, a função ': [ a, b F ( R ) cujos níveis são dados por [ '( ) = [( )' ( ), ( )' ( ), para odo [0,, é a derivada da função fuzzy (), supondo a exisência das derivadas clássicas ( )' ( ) e ( )' ( ). Assim, o VI (), passa a ser escrio como: [ '() = h [ (), () k [ (), () 0 FR ( ) em que, a condição inicial fuzzy é escria em função de seus níveis que são conjunos clássicos. Desa forma, resolver o sisema (), resume-se a ober as soluções dos sisemas clássicos () para valores de (0,: [( )' () = h [ () k [ (), coma () = [( )' () = h [ () k [ (), coma () = () () ()

3 (4) k ( ) = ( [ 0 ) e h A solução, para cada, é: k ( ) = ( [ 0 ) e h b) Solução uilizando o rincípio de Exensão de Zadeh: Seja a função f : X Z e A um subconjuno fuzzy de X. A exensão de Zadeh de f é a função fˆ que, aplicada a A, fornece o subconjuno fuzzy f ˆ ( A ) de Z, cuja função de perinência é dada por: sup() A ϕx () z= f () z 0 sef () z Ø ϕ (5) fˆ( A) sef () z= Ø em que, f ( z ) = { x; f ( x ) = z} denomina-se pré-imagem de z. Supondo que para cada condição inicial 0 R, o sisema (), admia solução única enão, para cada, a solução fuzzy υ, de () é definida como a exensão de Zadeh da solução deerminísica. Iso é, se 0 F ( R ) enão υ ( 0 ) = ˆ ( 0 ). Nese caso, como é conínua em relação à condição inicial, pelo princípio de exensão, emos: [ υ ( 0 ) = [ ( 0 ) = ([ 0 ) = ([, ) (6) em que, o grau de perinência de x 0 a 0 é o mesmo grau de perinência de ( 0 ) a ˆ ( 0 ), para odo. Assim, a solução fuzzy é dada por: k [ ( 0 ) = ( ([ 0 ) e Resulados e Discussão Aplicando os modelos desenvolvidos na seção anerior, aos dados dos alevinos do jundiá, foram obidos os resulados descrios a seguir. O peso inicial, em orno de,6g, foi modelado como um número fuzzy riangular dado por: h (7)

4 0 x,58 0,05 ( x) = x,68 0,05 0 A sex,58 se,58 x,6 ϕ (8) se,6 x,68 sex,68 a) Solução uilizando a derivada de Hukuhara, represenada na Figura : ( ) ( ) =,59 ( =,59 ( ( 0,4 ( 0,4 [(,6 ) [(,6 ) b) Solução via rincípio de Exensão de Zadeh, enconra-se na Figura : ) e ) e 0, 0 0, 0 0, 0 [ (, 6 ),59 ( ( 0,4 ([(, 6 ) ) e = (9) (0) Figura Solução do VI fuzzy (derivada de Hukuhara) e os dados reais. Figura Solução do VI fuzzy (Exensão de Zadeh) e os dados reais. Os ponos represenados no gráfico referem-se ao peso médio em gramas para alevinos com densidade de amosragem 4 alevinos/m no esudo de iaia e Baldisseroo (000). Conclusões Nese caso, as duas abordagens produziram as mesmas soluções, o que não ocorre para odos os modelos. A uilização da eoria dos conjunos fuzzy permie rabalhar com dados inceros e produz soluções que generalizam a solução deerminísica, com isso, aproxima-se mais da realidade. Como rabalho fuuro preende-se considerar ouros parâmeros fuzzy como a capacidade de supore e/ou as axas de anabolismo e caabolismo. Referências Barros, L.C.; Bassanezi, R.C. Tópicos de Lógica Fuzzy e Biomaemáica, Coleção IMECC Texos Didáicos. Campinas, 00, vol.5, -94.

5 Bassanezi, R.C. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Maemáica, São aulo: Conexo, 00. Esquivel, B.M. rodução do Jundiá (Rhamdia quelen) em Áreas de Enorno do arque Esadual da Serra do Tabuleiro em aulo Lopes SC. Tese de Douorado - Universidade Federal de Florianópolis, 005. iaia, R.; Baldisseroo, B; Densidade de Esocagem e Crescimeno de Alevinos de Jundiá Rhamdia quelen (Quoy e Gaimard), 84. Ciência Rural Sana Maria 000, Scapim, J. Modelo de von Beralanffy generalizado aplicado a curvas de crescimeno animal. Tese de Douorado IMECC-Unicamp, 008. Vailai, D.; Casanho, M.J.. Modelo maemáico com parâmero Fuzzy para descrever o crescimeno do Rhamdia quellen. Anais do XX EAIC Enconro Anual de Iniciação Cienífica, ona Grossa, 0.