III Congresso da Sociedade Portuguesa de Estatística Guimarães, 26 a 28 Junho 1995

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1 1 III Congresso da Sociedade Poruguesa de Esaísica Guimarães, 26 a 28 Junho 1995 Políicas Ópimas e Quase-Ópimas de Inspecção de um Sisema Sujeio a Falhas Cláudia Nunes, João Amaral Deparameno de Maemáica, Insiuo Superior Técnico Resumo: Considera-se um sisema sujeio a deerioração, o que implica falhas cuja deecção só ocorre se houver inspecção. Exise um cuso fixo por inspecção e por unidade de empo em falha não deecada. Assume-se que o processo de deerioração é esocásico e que após deecção da falha o processo ermina. Preende-se consruir uma sequência de insanes de inspecção (políica) que minimize o valor esperado do cuso oal. Para al recorre-se aos "Índices de Afecação Dinâmica" (vulgo índices de Giins). Compara-se o comporameno das políicas assim obidas com o de algumas políicas enconradas na lieraura. Palavras-Chave: Inspecção/Reparação, Políica Ópima, Índice de Afecação Dinâmica. 1. Inrodução, Terminologia e Noação Um sisema (mecânico, elecrónico, ec) esá sujeio a um processo de deerioração insanâneo; seja T o insane a parir do qual o sisema esá em falha (1). Assume-se que é conhecida a disribuição dese insane. A deecção de falha só ocorre se houver inspecção. Exise um cuso fixo por inspecção ( ) e um cuso ( c 2 ) por unidade de empo em falha não deecada. Nese rabalho supõe-se que odos os aconecimenos que ocorrem após o insane de deecção de falha (reparação, subsiuição, ec) são irrelevanes. (1) Usualmene o inervalo [,T ] oma a designação de empo de vida do sisema.

2 2 O problema al como é aqui enunciado deve-se a Barlow e al[1963]. Esa siuação - que descreve um dos mais simples modelos de inspecção/reparação - em inúmeras aplicações na vida práica, sendo possível inroduzir novas especificidades do sisema, de forma a descrever sisemas mecânicos ou elecrónicos pariculares. Para além das caracerísicas já apresenadas, admie-se ainda : Só exisem dois esados possíveis de funcionameno: um bom (sisema a funcionar) e um mau (sisema em falha). Quando ocorre uma falha, o sisema passa do esado bom para o mau, sem reorno. A inspecção não degrada o sisema. O sisema esá inicialmene em funcionameno. A axa de falha do sisema é não-decrescene no empo. Graficamene, o problema coloca-se da seguine forma: a1" insp. insp. avaria insp. O objecivo é deerminar uma sucessão de insanes de inspecção, al que sejam mínimos quer o número de inspecções anes de ocorrer falha quer a ampliude do inervalo enre o insane de ocorrência de falha e a sua deecção. Na siuação ópima só deveria ocorrer uma única inspecção, realizada imediaamene após a ocorrência de falha. Porém, e uma vez que na maior pare dos casos de ineresse real o empo de vida é uma variável aleaória conínua, a probabilidade de deecção imediaa de falha é nula. Designar-se-à por políica oda a sucessão de variáveis aleaórias ( X 1, X 2,...,...), onde X i designa o insane da i-ésima inspecção. Se as ampliudes dos inervalos enre inspecções sucessivas forem idenicamene disribuídas, enão a políica diz-se periódica; caso conrário diz-se ser uma políica sequencial. Se as variáveis aleaórias X i 's forem degeneradas, a políica diz-se deerminísica. Uma políica que minimize o valor esperado do cuso oal (soma dos cusos de inspecção e dos cusos associados à falha não deecada) designar-se-à por "políicaópima".

3 3 Blackwell [1965] provou que se o número de conrolos for um conjuno finio, enão exise pelo menos uma políica ópima deerminísica, esacionária e Markoviana.Seja enão Π uma políica nesas condições, G( Π) o valor esperado do cuso correspondene a Π, N( ) o número de inspecções feias no inervalo [ ;] e j( ) o insane de deecção da falha (ano N( ) como j( ) são função de Π ). Enão do exposo segue-se que: { [ ]} G( Π) = [ E( N( )+ 1) ]+ c 2 j( ) df( ) (1.1) Logo Π é uma políica ópima se e só se: G( Π) = min G Π Π ( ) (1.2) 2. Consrução de uma Políica Ópima Desde o surgimeno dese problema em 1963, vários algorimos para a deerminação de uma políica ópima êm sido proposos, quase odos baseados em écnicas de programação dinâmica. A programação dinâmica assena num princípio fundamenal: o Princípio da Opimalidade de Bellman (ver, por exemplo, While[1982]). Basicamene, ele afirma que uma políica é ópima no inervalo [,] se e só se for ópima em cada inervalo do ipo [ s,], onde s. Geralmene a aplicação dese princípio resula na implemenação de algorimos baseados em indução regressiva (vulgo programação dinâmica).o algorimo proposo por Barlow e al [1963] para a deerminação de políica ópima para o problema arás descrio, que a seguir se apresena, é disso exemplo. Sendo ese algorimo regressivo, escolhe-se para pono inicial um insane num fuuro basane remoo de modo a que a probabilidade do sisema já esar em falha nesse insane seja próxima de um. Designando por y 1 esse insane, o algorimo pode ser descrio da seguine forma: Passo (inicialização) Seja y 1 um valor arbirário elevado; inicializar i = 2. Passo 1 (indução regressiva) Calcular o insane y i a parir da seguine equação: y i = y i 1 + F ( y i 1) F( y i 2 ) f( y i 1 ) c 2 (assume-se que F( y ) = ). Passo 2 (verificação da coerência cronológica) Se y i y i 1 > y i 1 y i 2 (ou seja, a ampliude dos inervalos enre inspecções

4 4 esá a diminuir, sendo porém a axa de falha crescene), enão: Diminuir o valor de y 1 ; Volar ao passo 1 com i = 2. Se y i y i 1 > (ocorre uma inversão na ordem cronológica), enão: Aumenar o valor de y 1 ; Volar ao passo 1 com i = 2. Se y i < : Parar, uma vez que já se obeu a sequência de insanes de observação. Caso conrário: Volar ao passo 1 com i = i +1. Seja x i = y n +1 i. Enão da aplicação do algorimo anerior resula uma sequência de insanes de inspecção x 1, x 2,...,... desa políica é: x i +1 i + c 2 ( x i+1 )df ( ) (2.1) i=1 x i ( ) al que x 1 < x 2 <...x n, pelo que o cuso esperado Doravane, a políica deerminada por ese algorimo será designada por "políica de Barlow", e como foi provado por Barlow e al[1963], é ópima. Conudo o algorimo apresenado converge muio lenamene a menos que haja alguma foruna na escolha do valor inicial y Políicas DAI Na enaiva de ober de uma forma mais expedia uma solução para o problema, alguns auores procuraram desenvolver políicas que, embora não sendo ópimas, êm um cuso esperado não muio superior ao cuso ópimo ("políicas quase-ópimas"). Geralmene o arifício uilizado consise em impor resrições à forma da políica, por exemplo, que ela seja periódica, de risco consane enre inspecçõe sucessivas, ec (Munford & Sahni[1972]). Uma via alernaiva consise na modelação do problema como um Processo Bandido Terminável (Giins[1989]), e na definição de uma políica índice ou políica DAI ("Dinamic Allocaion Indices "). Esas políicas procuram em cada insane minimizar (maximizar) a axa de cusos (recompensas ) por unidade de empo, medindo ese numa escala conveniene. Seja enão x a variável esado, que pode omar um dos seguines valores: x R + ( ) : empo de vida do sisema C : sisema já falhou e a falha foi deecada F : sisema já falhou mas a falha ainda não foi deecada

5 5 e defina-se: ( x): cuso esperado em que se incorre no inervalo ] x; x + σ[, sendo x + σ o insane C σ W σ da primeira inspecção após x, condicionado na não ocorrência de falha aé x. ( x):valor esperado do "empo" que decorre enre x e x + σ, condicionado na não ocorrência de falha aé x. Enão o índice υ, sendo uma axa de cuso minimizada, vem igual a : υ( x) = inf σ > : C σ ( x) W σ ( x), x C (3.1) υ( C)= (3.2) Nese rabalho propõem-se duas funções índice: x + σ c F( x) ( x + σ s)df( s) x υ 1 ( x) = inf σ > : F( x + σ ) F( x) x +σ c F( x) ( x + σ s)df( s) x υ 2 ( x) = inf σ > : x+σ [ 1 F( s) ]ds x (3.3) (3.4) A diferença fundamenal enre υ 1 é a escolha da escala para o empo: enquano que em (3.3) o empo é conado em ermos proporcionais à função densidade de probabilidade do empo de falha, em (3.4) a escala do empo é esabelecida na probabilidade de não ocorrência de falha. Noe-se que em ambos os casos a escala escolhida represena uma ransformação monóona do empo linear usual. Uma vez especificados os índices υ 1, as políicas DAI correspondenes são: i) Políica DAI para υ 1 Passo (inicialização): Seja 1 ( > ) o insane da primeira inspecção. Enão 1 obedece à seguine equação: + c 2 ( s)df( s) υ( )= inf > : (3.5) F( ) ou, supondo que a disribuição do empo de vida é absoluamene conínua, 1 obedece "a equação:

6 6 = F2 c 2 f ( ) ( ) F s ( )ds (3.6) Fazer i = 2 e i 1 = 1 Passo 2: Seja i o insane da i-ésima inspecção. Enão deverá obedecer à equação: [ ] 2 = F ( i) F( i 1 ) ( c 2 f ( i )1 [ F( i 1 )] + i i 1)F i 1 1 F( i 1 ) Se em i o sisema iver falhado, parar; Caso conrário: i i +1 Volar ao Passo 2 ( ) i F( s)ds i 1 1 F i 1 ( ) (3.7) ii) Políica DAI para υ 2 Passo (inicialização) Seja 1 ( > ) o insane da primeira inspecção. Enão 1 obedece à seguine equação: + c 2 ( s)df( s) υ 2 ( ) = inf > : (3.8) [ 1 F( s) ] ds ou, supondo que a disribuição do empo de vida é absoluamene conínua, 1 obedece à equação: = F( ) [ 1 F( s) ]ds + c 2 1 F( ) F( ) sdf( s) (3.9) Fazer i = 2 e i 1 = 1 Passo 2. Seja i o insane da i-ésima inspecção. Enão deverá obedecer à equação: F( = i ) F( i 1 ) i c 2 [ 1 F( i )]1 [ F( i 1 )] 1 F s i 1 Se em i o sisema iver falhado, parar; Caso conrário: i i +1 Volar ao Passo 2 [ ( )]ds [ ( )] i F( i ) F i 1 1 F( i 1 ) i i 1 F( s)ds 1 F i 1 ( ) (3.1) 4. Comparação de Resulados

7 7 Quando a disribuição da duração de vida do sisema é exponencial de parâmero µ, o algorimo apresenado na secção 2. resula numa políica periódica. Assim, se i i 1 = i = represenar a ampliude (consane) enre insanes de inspecção sucessivos, é possível provar que saisfaz a equação (Barlow e al[1963]): µ c 1 + c 2 = eµ 1 (4.1) o mesmo aconecendo para as políicas de índice υ 1 (Nunes[1992]). Para disribuições de duração de vida do sisema arbirárias o resulado anerior não é válido. Em paricular: As políicas ópimas não são periódicas (al resulado é inuiivo pois se, por exemplo, a axa de falha for crescene com o empo, é de esperar que uma políica ópima "aconselhe" que a ampliude dos inervalos enre inspecções sucessivas diminua). Geralmene a políica ópima de Barlow não coincide com as políicas de índice υ 1, nem esas coincidem enre si. Nas abelas que se seguem mosram-se os comporamenos das rês políicas para duas siuações concreas (Nunes(1992)): Tabela 6.1. Insanes de Inspecção para uma disribuição Gama( 5,2) Políica 1º Insane 2º Insane 3º Insane Cuso Toal c2 P.I. υ P. Ópima P.I. υ P.I. υ P. Ópima P.I. υ P.I. υ P. Ópima P.I. υ P.I. υ P. Ópima P.I. υ P.I. υ P. Ópima P.I. υ

8 8 Tabela 6.2. Insanes de Inspecção para uma disribuição Normal( 5,1 ) Políica 1º Insane 2º Insane 3º Insane Cuso Toal c2 P.I. υ P. Ópima P.I. υ P.I. υ P. Ópima P.I. υ P.I. υ P. Ópima P.I. υ P.I. υ P. Ópima P.I. υ P.I. υ P. Ópima P.I. υ Dos resulados apresenados nas abelas aneriores merecem realce os seguines aspecos: As políicas índice proposas ( υ 1 ) não são ópimas, uma vez que apresenam cusos superiores aos da políica de Barlow. Enquano que sob a políica υ 1 os insanes de inspecção ocorrem mais arde do que na políica ópima, sob a políica υ 2 aconece o conrário. Os cusos em que se incorre usando as rês políicas saisfazem: cuso oal políica ópima cuso oal políica υ 1 cuso oal políica υ 2 A diferença relaiva dos cusos da políica ópima e das políicas de índice é geralmene baixa (por exemplo, quase sempre inferior a 1%, no caso da disribuição Gama). Verificou-se que esas propriedades se maninham para uma vasa gama de disribuições para o empo de vida do sisema (Nunes(1992)).

9 9 5. Conclusões Tal como referido na secção anerior, nenhuma das políicas índice proposas é ópima. Qual é enão a sua vanagem? Noe-se que os insanes de inspecção "aconselhados" pela políica ópima esão enquadrados pelos insanes de inspecção das políicas de índice, ou seja: insane inspecção políica υ 2 insane inspecção políica ópima insane inspecção políica υ 1 Tal significa que criámos uma zona de inspecção, para a qual parece ser lício conjecurar que a escolha de um pono arbirário para efecuar a inspecção não represena um cuso adicional considerável. Uma zona de inspecção em uma vanagem clara sobre os insanes de inspecção: a sua implemenação práica é mais fácil, pois em sisemas concreos pode ser difícil efecuar as inspecções em insanes precisos. Além disso, e embora nenhuma das políicas índice proposas seja ópima, manemos a convicção que exise uma políica ópima nesas condições. A principal dificuldade na sua consrução é a escolha de uma escala emporal conveniene, devido à exisência simulânea de elemenos do ipo discreo e do ipo conínuo no problema proposo. Devido à facilidade de inerpreação dos índices, esa parece ser uma via promissora para a solução de problemas de conrolo esocásico do ipo do aqui apresenado, sobreudo se pensarmos em versões mais simplisas e mais adequadas às realidades concreas. Referências Barlow, R.E. ; Huner, L.C.; Proschan, F. (1963) - Opimal Checking Procedures, SIAM Journal Applied Mah, vol. 11, nº 4. Blackwell, D. (1965) - Discouned Dynamic Programming, Ann. Mah. Sais., 36, Giins, J.C. (1989) - Muli-Armed Bandi Allocaion Indices, John Wiley & Sons. Munford, A.G.; Sahani, A.K. (1972) - A Nearly Opimal Inspecion Policy, Op. Res. Qua., vol. 23. Nunes, C. (1992) - Índice de Afecação Dinâmica Para um Problema de Inspecção de um Sisema Sujeio a Falhas, Trabalho Final de Curso. Wile, P. (1982) - Opimizaion Over Time - Dynamic Programming and Sochasic Conrol, Vol. 1, John Wiley & Sons.