TRANSFORMADA DE FOURIER NOTAS DE AULA (CAP. 18 LIVRO DO NILSON)

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1 TRANSFORMADA DE FOURIER NOTAS DE AULA (CAP. 8 LIVRO DO NILSON). CONSIDERAÇÕES INICIAIS SÉRIES DE FOURIER: descrevem funções periódicas no domínio da freqüência (ampliude e fase). TRANSFORMADA DE FOURIER: esende esa descrição para funções não periódicas. Qual a necessidade da TF se já foi esudada a Transformada de Laplace (TL), que na verdade faz o mesmo? A Transformada de Fourier (TF) não é uma nova ransformada, mas sim um caso especial da Transformada de Laplace bilaeral (limie inferior é menos infinio e não zero), onde a pare real da freqüência complexa s é nula. A TL unilaeral é uilizada para deerminar a resposa de circuios eléricos lineares a uma perurbação que ocorre, após esabelecidas as condições iniciais. { } s _ f () F( s) f () e d () A TF pode ser inerpreada como caso limie da Série de Fourier quando o período T ende para infinio.. DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER Considere inicialmene a forma exponencial da Série de Fourier dada por jnω f() Cn e n + T T jnω jnω Cn f() e d f() e d T T onde considerou-se -T/ na equação () anerior. T () de 7

2 Para ransformar uma função periódica numa função aperiódica, basa fazer o período T da função periódica ender a infinio. A disância enre as freqüências harmônicas ω é dada por ( n ) n ω + ω ω ω T (3) Noa-se pois que à medida que o período T aumena, a disância enre as freqüências harmônicas orna-se cada vez menor. No limie quando T ende a infinio não exise mais disância enre as freqüências harmônicas e desa forma a freqüência é conínua. Pela equação (3) em-se que T ω ω (4) Desa forma, quando T ende a infinio, em-se que T nω dω ω ( frequência conínua) (5) De acordo com a primeira das equações () os coeficienes C n ambém variam inversamene com o período T. Quando T ende a infinio, eses coeficienes endem a zero. No enano, de () vem que T jnω CT f () e d n T Desa forma, quando T ende a infinio CT n f () e d (6) de 7

3 A inegral presene na equação (6) é conhecida como Transformada de Fourier da função f() e é represenada por Y { } f() F( ω) F( ) f() e d (7) A Transformada Inversa de Fourier é obida expliciamene invesigando o comporameno da primeira das equações () quando T ende a infinio. Assim ( ) f() C e C T e jnω jnω n n n n ω ω ( CT) e ( ) jn jnω CT e n n n No limie, quando T ende a infinio, a freqüência harmônica nω se orna a freqüência conínua ω, o somaório se orna uma inegral e a equação (8) pode ser escria como T n ω (8) f () F( ω) e dω (9) Exemplo Deerminar a TF do pulso da figura abaixo V m τ / τ / + τ + τ j e ω m m ( τ ) τ F( ω) V e d V V m ( ) ( τ τ e e ) () 3 de 7

4 Como jb e cosb jsen b jb e cosb+ jsen b jb jb e e jsenb Logo Vm F( ω) jsen( ωτ ) Vm τ ( ) ( ωτ ) sen ωτ () Lembrar que para a mesma função, suposa periódica V m τ / τ / T τ / T+τ / C n Vm τ T ( nωτ ) sen nωτ () Traçando o gráfico para as funções F(ω) em () e C n em () percebe-se que quando a função periódica passa a ser aperiódica, o especro de freqüência que inicialmene é discreo, passa a ser conínuo. No enano, o leior pode perceber que em odos os casos a forma de onda é a mesma. 4 de 7

5 . CONVERGÊNCIA DA INTEGRAL DE FOURIER Para que uma função possua a Transformada de Fourier, basa que a inegral de Fourier seja convergene, ou seja, basa que a equação (7) enha um valor finio. Em geral, funções f() que são bem comporadas e que diferem de zero em um inervalo de empo finio vão possuir Transformada de Fourier. NOTA: função bem comporada é uma função conínua e limiada em odos os ponos de seu domínio. Se f() é diferene de zero em um inervalo de empo infinio, a convergência da inegral de Fourier depende do comporameno de f() quando ende a infinio. Assim, vai exisir a Transformada de Fourier se uma das condições de Dirichle for aendida, ou seja, se f () d exisir. Exemplo Deerminar a TF da função mosrada abaixo. K K e -a a F( ω) f( ) e d K e e d ( ω) a+ j ( a+ ) e K e d K ( a+ ) K ( a+ ) K K e [ ] a + a + a + (3) 5 de 7

6 NOTAS: Exisem muias funções de ineresse práico que a inegral de Fourier não converge. Por exemplo: (a) f() K (consane) (b) f() K senω (senóide) (c) f() K u() (degráu) Neses casos uiliza-se um suberfúgio maemáico para cálculo das Transformadas de Fourier desas funções, descrio a seguir: ) Criar uma função de aproximação que possua Transformada de Fourier e que possa se ornar arbirariamene próxima da função de ineresse; ) Calcular a TF desa função de aproximação; 3) Calcular o limie da TF obida quando a função de aproximação ende para a função de ineresse. Exemplo Deerminar a TF da função f() A (consane). A Ae ε Ae ε Ae ε ε < ε Ae ε A inegral de Fourier de f() A não converge, logo esa função não possui a princípio uma Transformada de Fourier. Para cálculo da TF deve ser aplicado o suberfúgio maemáico apresenado aneriormene. ) Criar a função de aproximação; ε ε f() Ae para < < f() Ae ; ε > ε f() Ae para < < (4) 6 de 7

7 ) Calcular a TF desa função de aproximação; ε ε F( ω) Ae e d+ Ae e d ( ε+ ) ( ε+ ) A e d + e e d ( ε+ ) ( ε+ ) e e A + ( ε + ) ( ε + ) A + ( ε ) ( ε + ) Aε A + ε ε + ε + ω (5) 3) Calcular o limie da TF calculada quando a função de aproximação ende à função de ineresse. A figura abaixo mosra a função F(ω) calculada em (5) para alguns valores de ε. O leior pode ver que à medida que ε diminui, a função ende para a forma da função impulso δ(). F( ω) Aε ε + ω ε,5 A ε ε 5 freqüência (rad/s) 7 de 7

8 Assim, analisando mais pormenorizadamene a função F(ω) vê-se que: F( ω) Aε ε + ω (a) Em ω, a função F(ω) ende para A/ε (6) lim ε A ε (b) ε governa a duração de F(ω). Se ε ende a zero, a duração de F(ω) ambém ende a zero. lim ε A ε (c) A área sob a função F(ω) independe de ε e vale A. ε A Área dω 4εA dω A ε + ω ε + ω Assim sendo, a função F(ω) vai valer: F( ω) πaδ( ω) (7) (8) 3. USO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CÁLCULO DA TRANSFORMADA DE FOURIER Uma oura forma para se calcular a Transformada de Fourier é fazer uso de abelas de Transformadas de Laplace Unilaerais, desde que haja a convergência da Inegral de Fourier. Uma condição para a convergência da Inegral de Fourier é obida quando odos os pólos de F(s) esão no semi-plano esquerdo. 8 de 7

9 REGRAS BÁSICAS DE USO DA TL PARA CÁLCULO DA TF: Regra. Se f() para (denominada de função de empo posiivo), enão pode-se ober a TF direamene da TL de f() subsiuindo s por, ou seja { f() } { f() } Y P _ (9) s Exemplo Deerminar a TF da função de empo posiivo f() abaixo. para f() a e cos ω para > Uilizando a propriedade em (9) basa fazer Y s+ a + a { f() } _ { e a cosω } ( s a) ( j a) s + + ω ω+ + ω s Regra. Como o inervalo de inegração da TF vai de a, uma função de empo negaivo (função nula para empos posiivos) pode possuir uma TF. A TF de funções de empo negaivo pode ser obida calculandose a TL de f( ) e subsiuindo s, ou seja { } { } Y f () _ f ( ) () s j ω Regra 3. Uma função que não se anula nem para empos posiivos, nem para empos negaivos, pode ser considerada como uma soma de duas funções, uma de empo negaivo e oura de empo posiivo. Assim, paa a deerminação de sua TF podem ser uilizadas as regras e aneriores. Iso quer dizer que se + f () f () para > f () f () para < 9 de 7

10 Enão + f () f () + f () e desa forma Y + { f() } Y { f () + f () } + Y { f () } > Y { f () } + _ { f () } > _ { f ( ) } s s () Exemplo Deerminar novamene a TF da função f() e -a. + a f () e para > a f () e para < Assim s + a s + a + a { f () } _ { e } a { f ( ) } _ { e } Finalmene pode-se calcular a TF da função pedida, ou seja, Y a { e } ( s+ a) ( s+ a) + s s a + ( + a) ( + a) ω + a Regra 4. Se f() é par, enão { f () } { f () } + { f () } Y () Regra 5. Se f() é ímpar, enão s s { f() } { f() } { f() } Y (3) s s de 7

11 4. USO DE LIMITES PARA CÁLCULO DA TRANSFORMADA DE FOURIER 4.. TF da função sinal [sgn()] u () e ε u() [ ( )] ε e u u( ) A função sgn() pode ser expressa por sgn( ) u( ) u( ) (4) Para calcular sua TF é necessário: (a) Esabelecer uma função de aproximação para sgn() lim ε ε sgn( ) e u( ) e u( ) ε (5) Logo,considera-se como função aproximação a função dada por f() ε e u() ε e u( ) + f () f () (b) Calcular a TF da função aproximação Y { f() } ( s+ ε) ( s+ ε) s s jω ( + ε) ( + ε) ω + ε (6) de 7

12 (c) Calcular o limie da TF calculada quando a função aproximação ende à função de ineresse j lim Y { f() } (7) j ε ω ω 4.. TF da função degrau uniário [u()] u () / sgn( ) sgn( ) Para calcular sua TF faz-se: (a) Esabelecer uma função aproximação para u() A função u() pode ser expressa por u ( ) + sgn( ) (8) (b) Calcular a TF da função aproximação Y { f() } Y + Y sgn() j [ πδ( ) ] + πδ( ) + ω (9) (c) Nese caso não é necessário o cálculo do limie pois a função degrau uniário foi obida pela soma correa (e não aproximada) de duas ouras funções. de 7

13 4.3. TF da função co-seno [cos()] Sabe-se que a TFI é dada por Seja enão f () F( ω) e dω (3) ( ) F( ω) δ ω ω (3) Enão, uilizando a propriedade de filragem da função δ(ω) vem que ω ω πδ( ω ω ) j ω j (3) f () e d e ω Assim j { } Y e ω π δω ( ω) (33) Como e cosω + jsenω e + e e cosω jsenω cosω (34) Enão Y { cosω} { e } { e } Y + Y πδ( ω ω) πδ( ω ω) + + π δ ( ω+ ω) + δ ( ω ω) (35) O leior pode perceber que o resulado já era esperado, uma vez que um cosω só coném uma freqüência, que é a própria ω. 3 de 7

14 5. APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER NA SOLUÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS Exisem duas razões básicas para que a Transformada de Laplace seja mais uilizada que a Transformada de Fourier na análise de circuios eléricos:. A Transformada de Laplace exise para um número maior de funções;. A Transformada de Laplace permie que se inroduza as condições iniciais de funcionameno do circuio com mais facilidade. No enano, uma propriedade funcional da Transformada de Fourier relaiva à convolução no empo, descria a seguir, vai proporcionar uma maneira eficaz de aplica-la na solução de circuios eléricos quando se desejar a resposa esacionária. Propriedade Funcional da Transformada de Fourier relaiva à Convolução no Tempo y ( ) x( λ) h ( λ) dλ Y( ω) X( ω) H( ω) (55) Exemplo Deerminar i () no circuio abaixo uilizando a TF, quando i g () sgn(). A TF da exciação é da forma Ig { } ( ω) Y sgn( ) 4 i g () Ω 3Ω Η i () As impedâncias em cada uma das pernas do circuio acima são respecivamene Ω e ( 3 + j ω ) Ω. 4 de 7

15 A relação enre as correnes I (ω) e I g (ω) é a função de ransferência desejada (divisor de correne), dada por I ( ) ω H ( ω) I ( ω) 4 + g A correne I (ω) vai ser dada enão por onde 4 ( ) ( ω) K K I ω I g ( ) 4 4 K e K ( + ) ω 4 Desa forma I 4 j ( ω) A correne i () vai ser dada enão por i e u 4 () 5sgn( ) ( ) sgn( ) 5 5sgn( ) i () 5sgn( ) 5 e 4 u ( ) ig () sgn( ) 5 de 7

16 Exemplo Deerminar i () no mesmo circuio anerior se a correne i g () 5 cos 3. A TF da exciação é da forma Ig { } ( ) δ ( ω ) ( ω) Y 5cos3 5π δ ω i g () Ω 3Ω Η i () As impedâncias em cada uma das pernas do circuio acima são respecivamene Ω e (3+) Ω. A relação enre as correnes I (ω) e I g (ω) é a função de ransferência desejada (divisor de correne), dada por I ( ) ω H ( ω) I ( ω) 4 + g A correne I (ω) vai ser dada enão por 5π ( ω) ( ω) δ ω 3 δ ω I I g Desa forma, no empo vai ser ( ) ( ) ( 3) + δ ( ω+ 3) 5π δ ω i () Y { F( ω) } e dω 4+ j3 e j3 e j3 e j3 e j36,87 j36, j3 4 j3 + 5e 5e + j3 + j36,87 j3 j36,87 j( 3 36,87 ) j( 3 36,87 ) 5 e e + e e 5 e + e Lembrando que jb e cosb jsen b jb e cosb+ jsen b jb jb e + e cosb 6 de 7

17 enão ( 3 36,87 ) ( 3 36,87 ) ( ) j j i () 5 e e + cos 3 36,87 A NOTA: Uma vez que a fone é senoidal, enão a correne i () pode ser calculada uilizando o méodo dos fasores (ransformação fasorial). Cabe ambém lembrar ao leior que nese capíulo serão uilizados os fasores associados aos valores máximos, e não os fasores associados aos valores eficazes, mais uilizados no dia a dia do analisa de circuios AC. Assim procedendo vem que 4+ j3 I I g 5 4+ j3 5 36, ,87 I g Ω 3Ω j3 Ω I A correne i () vai ser dada enão por ( ) i () cos 3 36,87 A O leior pode perceber que a análise uilizando a ransformação fasorial é bem mais rápida e mais simples do que a análise uilizando a Transformada de Fourier, sendo por iso a mais uilizada neses ipos de cálculos. 7 de 7