Análise e Processamento de BioSinais

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1 Análise e Processameno de BioSinais Mesrado Inegrado em Engenaria Biomédica Faculdade de Ciências e Tecnologia Slide Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Tópicos: Convolução O Inegral de Convolução Inerligações de SLIT - Sisemas Lineares Invarianes no Tempo Resposa a Degrau Equações Diferenciais e de Diferenças para SLIT Soluções para Equações Diferenciais e de Diferenças Caracerísicas dos Sisemas Represenação por Diagramas de Blocos Slide Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

2 A Soma de Convolução δ A Soma de Convolução para sinais discreos Um sinal pode ser epresso por uma sobreposição de impulsos deslocados no empo. Considerando [ n] δ [ n] = [ 0] δ [ n] [ n] δ [ n ] = [ ] δ [ n ] δ δ Pode ser epresso como uma soma pesada de impulsos deslocados no empo [ n] = L+ [ ] δ [ n + ] + [ ] δ [ n + ] + [ 0] δ [ n] + [ ] δ [ n ] + [ ] δ [ n ] + L δ δ Pode ser epresso por n = = [ ] [ ] δ [ n ] Slide 3 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias A Soma de Convolução Se H represenar o operador do sisema [ n] = H{ [ n] } = H [ ] δ [ n ] = = H = { [ ] δ [ n ] } = [ ] H{ δ [ n ] } = = Sendo o sisema invariane no empo qualquer deslocameno emporal da enrada provoca um deslocameno emporal da saída H { δ [ n ] } = [ n ] onde [n] é a resposa impulsional do SLIT com operador H. A resposa do sisema [ n] = [ ] [ n ] = Designado somaório de convolução [ n] [ n] = [ ] [ n ] = Slide 4 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

3 A Soma de Convolução A Soma de Convolução [ n] [ n] = [ ] [ n ] = [ n] = [ ] [ n ] = Slide 5 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias A Soma de Convolução A Soma de Convolução [ n] = [ ] δ [ n ] = [ n] = [ ] [ n ] = Slide 6 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

4 Procedimeno de Cálculo Eemplo: Comunicação Muli-Canal: Calculo da Soma de Convolução Considere um SLIT discreo e represenando um canal de comunicação com duas vias (uma via direca e uma via indireca). A ampliude do sinal pela via indireca vem aenuado de 50% resulando num sinal [ ] [ ] [ n] = [ n] + [ n ] O canal foi ensaiado com n = δ n resposa impulsional [ n], n = 0 =, n = 0, ouros o que permiiu deerminar a seguine Deerminar a resposa do sisema quando é aplicada a enrada [ n], n = 0 4, n = =, n = 0, ouros Slide 7 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Procedimeno de Cálculo Eemplo: Comunicação Muli-Canal: Calculo da Soma de Convolução Solução O sinal de enrada pode ser epresso por uma soma pesada de impulsos deslocados no empo [ n] = δ [ n] + 4δ [ n ] δ [ n ] Noar que enrada é nula para n<0 e n> sendo a saída [n] calculada aravés de [ n] = H{ [ n] } = H{ δ [ n] + 4δ [ n ] δ [ n ] } = [ n] + 4[ n ] [ n ] Adicionando as resposas impulsionais obemos a resposa [ n], n = 0 =, n = 0, ouros [ n] [ n] 0, n < 0, n = 0 5, n = = 0, n =, n = 3 0, n 4, n = 0 4, n = =, n = 0, ouros Slide 8 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

5 Procedimeno de Cálculo Para sisemas discreos com resposa a impulso com equações mais eensas é possível esabelecer um procedimeno sisemáico para o cálculo do Somaório de Convolução Definindo o sinal inermédio w n [ n] = [ ] [ n ] = [ ] = [ ] [ n ] Como nesa definição consideramos como variável e raamos o n como uma consane e redefinimos o Somaório de Convolução como [ ] n = w n [ ] = Somaório de vários valores do sinal de enrada, pesados pelos valores da resposa a impulso [ ] [ [ ] [ ] Noar que n = n, que corresponde a uma refleão de, seguido de um deslocameno -n Slide 9 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Inegral de Convolução: O Inegral de Convolução A resposa de um sisema conínuo, linear e invariane no empo ambém pode ser descria pela sua resposa impulsional composo com o sinal de enrada. Represenando o sinal de enrada por uma sobreposição (aqui um inegral) de sinais de impulso deslocados no empo + e por H o sisema ao qual a enrada () foi aplicada Sendo o sisema invariane no empo ( ) = ( ) δ ( ) d + ( ) = H{ ( ) } = H ( ) δ ( ) d = ( ) H{ δ ( )} d H + { δ ( ) } = ( ) H{ δ ( )} = ( ) Correspondendo ao Inegral de Convolução + = ( ) ( ) ( ) d = ( ) ( ) Slide 0 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

6 Inegral de Convolução: Resposa a Impulso de um SLIT + = ( ) ( ) ( ) d = ( ) ( ) δ ENTRADA:: Impulso arasado SAÍDA:: Resposa a impulso TAMBÉM arasada Slide Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Procedimeno de Cálculo: É possível esabelecer um procedimeno para o cálculo do Inegral de Convolução + Definindo o sinal inermédio ( ) = ( ) ( ) d w ( ) = ( ) ( ) Como nesa definição consideramos como variável e raamos o empo como uma consane podemos redefinir o Inegral de Convolução como + ( ) = w ( ) d ( ) ( ( )) ( ) ( ) Noar que = corresponde a uma refleão de e de seguida um deslocameno Composição do sinal de enrada, após ser pesado pelos valores da resposa a impulso Slide Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

7 Procedimeno de Cálculo: Eemplo: Calcular o inegral de convolução de um sisema com uma enrada e resposa a impulso ( ) = u( ) u( 3) ( ) = u( ) u( ) Solução: w ( ) = ( ) ( ) + ( ) = w ( ) d º Deerminar ( ) (-) Slide 3 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Procedimeno de Cálculo: º Deerminar os inervalos de variação de w < w ( ) = 0 < 3, < < w ( ) = 0, ouro 3 < 5, < < 3 w ( ) = 0, ouro 5 w ( ) = 0 ( ) a parir de = - ( ) = ( ) ( ) w Slide 4 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

8 Procedimeno de Cálculo: ( ) para cada inervalo e função de ( ) 3º Deerminar a saída w < 5 w = 0 = = ( ) ( ) 0 < 3 ( ) = ( ) = w + ( ) w ( ) d w 3 < 5 ( ), < < 3 = 0, ouro ( ) = 3 ( ) Slide 5 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Procedimeno de Cálculo: ( ) para cada inervalo e função de ( ) 3º Deerminar a saída < 5 < 3 3 < 5 ( ) = 0 ( ) = 0 w ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = 3 ( ) w w + w ( ) = w ( ) d ( ) 0 = 5 0 < < 3 3 < 5 5 Slide 6 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

9 Procedimeno de Cálculo: Eemplo: Supona que a disância a um objeco é deerminada por deerminação do empo de propagação dum pulso de radiofrequência (RF) que é emiido segundo a epressão ( ) ( ω ) sin c,0 T0 = 0, ouros A resposa a impulso do canal de propagação é medida aravés de emissão de um impulso de RF. A resposa foi um impulso aenuado e arasado no empo com a seguine represenação Aenuação Solução: º Deerminar ( ) ( ) = aδ ( β ) Araso ( ) = aδ ( β ) ( ) = aδ ( + β ) ( ) = aδ ( ( β )) Slide 7 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Procedimeno de Cálculo: º Deerminar o inegral de convolução r + ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) d + ( ) = aδ ( ( β )) ( ) ( ) ( ) d = ( ) aδ ( ( β )) = = a ( β ) + d Noa: Sinal é aenuado e arasado no empo β β Slide 8 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

10 Inerligações de SLIT Se um sisema é inerligado por diferenes componenes cujas resposas impulsionais são conecidas enão é possível deerminar a resposa impulsional final de odo o sisema. As inerligações consideradas são: Paralela Série ou Cascaa Slide 9 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Inerligações de SLIT Configuração Paralela Sisema conínuo Sisema discreo ( ) = ( ) + ( ) = ( ) * ( ) + ( ) * ( ) = = = ( ) ( ) d + ( ) ( ) ( ){ ( ) + ( )} d ( ) ( ) d = ( ) * ( ) ( ) * ( ) + ( ) * ( ) = ( ) *{ ( ) + ( ) } [ n] * [ n] + [ n] * [ n] = ( n) { [ n] + [ n] } * d Slide 0 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

11 Inerligações de SLIT Configuração Série ( ) z( ) * ( ) = z( ) ( ) = d ( ) ( )* ( ) = ( v) ( v) z = dv ( ) ( v) ( v) ( ) dvd = ( v) ( η) ( v η ) = dη dv mudança de variávelη = v = * ( ) ( η) ( η) dη = ( ) ( ) ( ) = L = ( v) ( η) ( v η) = dη dv ( v) ( v) dv = ( ) * ( ) = ( ) *{ ( ) * ( ) } Slide Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Inerligações de SLIT Configuração Série Propriedade Associaiva Sisema conínuo Sisema discreo Propriedade Comuaiva Sisema conínuo Sisema discreo ( ) *{ ( ) * ( ) } = { ( ) * ( ) }* ( ) [ n] *{ [ n] * [ n] } = { [ n] * [ n] }* [ n] ( ) * ( ) = ( ) * ( ) [ n] * [ n] = [ n] * [ n] Slide Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

12 Inerligações de SLIT Eemplo: Sisema com 4 inerligações Considere o sisema da figura cujos Módulos êm a seguine resposa Impulsional: [ n] = u[ n], [ n] = u[ n + ] u[ n], [ n] = δ [ n ], n [ n] = α u[ n]. 3 4 Deerminar a resposa impulsional do sisema. Slide 3 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Inerligações de SLIT Eemplo: Sisema com 4 inerligações [ n] = ( [ n] + [ n] ) [ n] [ n] n * 3 4 [ n] = u[ n], [ n] = u[ n + ] u[ n], [ n] = δ [ n ], n [ n] = α u[ n]. n 3 4 [ n] = u[ n] + u[ n + ] u[ n] = u[ n ] + [ n] = u[ n + ] * [ n ] u[ n] = 3 δ n n [ ] = [ n] [ n] = u[ n] α u[ n] = { α } u[ n] 3 4 Slide 4 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

13 Propriedades de um SLIT A resposa impulsional caraceriza compleamene o comporameno enrada/saída de um SLIT. As propriedades de um sisema podem ser relacionadas com a resposa a impulso. Podemos ober relações para propriedades ais como Memória de um Sisema Sisema Causal Esabilidade do Sisema Slide 5 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Propriedades de um SLIT Memória de um SLIT Um SLIT não em memória se a sua resposa no insane depende unicamene do valor de enrada no insane. Para um sisema sem memória: Condição é: [ n] [ n] * [ n] = [ ] [ n ] = = = L + + [ ] [ n + ] + [ 0] [ n] + [ ] [ n ] L [ n] só depende de [ n] não depende de [ n ] com 0 ermos deverão ser nulos à ecepção de [ 0] [ n] [ ] = 0 para odos os [ ] = cδ [ ] com c uma consane Slide 6 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

14 Propriedades de um SLIT Condição para SLIT sem memória de um SLIT Para o caso discreo. [ ] = cδ [ ] com c uma consane Para caso conínuo: ( ) = cδ ( ) com c uma consane Slide 7 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Propriedades de um SLIT SLIT Causal Um SLIT é causal se depender só dos valores presenes e passados do sinal de enrada. [ n] = L + [ ] [ n + ] + [ 0] [ n] + [ ] [ n ] + L Para um sisema discreo é equivalene a Para um sisema conínuo no empo Presene [ ], 0 [ ] = 0, < 0 [ n] = [ ] [ n ] = 0 ( ) ( ) ( ) = d = ( ) =, < 0 ( ) ( ) ( ) 0 d 0 Passado Slide 8 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

15 Propriedades de um SLIT SLIT Esável Sendo o SLIT esável para uma enrada enão o correspondene sinal de saída será esável e obedecerá à resrição [ n] M [ n] M A resposa impulsional de um SLIT discreo e esável deverá obedecer à resrição [ ] < = No caso conínuo a ( ) < d Slide 9 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Propriedades de um SLIT Inverível O sisema será inverível se a enrada do sisema pode ser recuperada a parir da saída a menos de um facor de escala. O processo de recuperar () a parir de ()*() é o inverso de uma convolução ( deconvolução ). Para sisemas conínuos inv ( ) * ( ) * ( ) Para sisemas discreos inv ( ) = ( ) ( ) * ( ) = δ ( ) inv [ n] * [ n] = δ [ n] Slide 30 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

16 Propriedades de um SLIT Propriedade Sem Memória Causal Conínuo Discreo ( ) = cδ ( ) [ n] = cδ [ n] ( ) = 0, < 0 [ n] = 0, n < 0 Esabilidade Inverível ( ) d < inv ( ) * ( ) = δ ( ) = [ ] < inv [ n] * [ n] = δ [ n] Slide 3 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Resposa Degrau: A aplicação de um sinal degrau poderá ser uilizado para caracerizar a resposa de um SLIT Caso discreo [ ] [ ] [ ] s n = n * u n = [ ] u[ n ] = Resposa do SLIT u u Caso conínuo Resposa impulso [ n ] [ n ] Sinal de enrada - degrau = 0, > n s =, n s n [ n] = [ ] = ( ) = ( ) d Somaório da resposa impulso Resposa do SLIT Resposa impulso Slide 3 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

17 Resposa Degrau: Noar que as relações aneriores podem ser inveridas de forma a ober a resposa a impulso: n s s [ n] = [ ] = ( ) = ( ) d [ n] = s[ n] s[ n ] d = d ( ) s( ) Desa forma a resposa a impulso fica caracerizada. Slide 33 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Resposa Degrau: Eemplo: Circuio RC: Resposa a Degrau Considerando que a resposa impulsional do circuio em aneo é RC ( ) e u( ) = RC Deermine a resposa a degrau. A parir do insane =0 é aplicada uma ensão consane na fone e o condensador carrega aé aingir a ensão da fone. s ( ) s RC RC ( ) = e u( ) d 0, < 0 0, < 0 = RC e d, 0 RC 0 e, 0 RC = Slide 34 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

18 Resposa Degrau: Eemplo: Circuio RC: Resposa a Degrau s ( ) 0, e = RC < 0, 0 Resposa a degrau de um circuio RC para RC =. Slide 35 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Represenações para SLITs : Equações Diferenciais e de Diferenças Equações diferenciais e equações lineares de coeficienes consanes são uma forma de represenar SLITs. As equações de diferenças são uilizadas para represenações de sisemas discreos N M = 0 = 0 As equações de diferencias são uilizadas para represenações de sisemas conínuos ( ) N a = 0 a [ n ] = b [ n ] d d M ( ) = b ( ) = 0 A ordem N, M de uma equação de diferenças ou diferencial corresponde ao de disposiivos de memória/armazenameno de energia do sisema. Muias vezes N M e enão a ordem N é só descria por d d Slide 36 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

19 Equações Diferenciais: Eemplo: Equação Diferencial Considerando a saída () correspondene à correne que circula no circuio RLC da figura e função da ensão de enrada (): R d + d C ( ) L ( ) + ( ) d = ( ) d d d R = d d C d ( ) + L ( ) + ( ) ( ) Esa epressão é de ordem N= (em dois disposiivos de armazenameno de energia). Slide 37 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Equações Diferenças: o Eemplo: Equação Diferenças Um eemplo de uma equação de diferenças de ordem N= é 4 [ n] + [ n ] + [ n ] = [ n] + [ n ] que represena a relação enre a enrada e a saída de sinais de um sisema que processa os dados em compuador. A ordem indica o número de unidades de memória necessárias. o As equações de diferenças podem ser reorganizadas de forma a dar uma igualdade que epressa a saída epressa de forma recorrene: a M [ n] = b [ n ] a [ n ] Nesa epressão é possível ober [n] em função dos valores passados da enrada e da saída. a 0 = 0 0 = N Slide 38 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

20 Equações Diferenças: o Eemplo: Equação Diferenças Considerando a equação de diferenças 4 [ n] + [ n ] + [ n ] = [ n] + [ n ] Podemos reescrever esa equação da forma [ n] = [ n] + [ n ] [ n ] [ n ] Que permie calcular [n] em função dos valores passados da enrada e da saída. [ 0] = [ 0] + [ ] [ ] [ ] [ ] = [ ] + [ 0] [ 0] [ ] 4 4 [ ] = [ ] + [ ] [ ] [ 0] L 4 4 Slide 39 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Equações Diferenças: o Eemplo: Equação Diferenças [ ] O calculo anerior eige valores para e. Esas valores são as condições iniciais do sisema. O número de valores para as condições iniciais do sisema é igual à memória do sisema. Para uma equação de diferenças de ordem N os valores a deerminar são [ N ], [ N + ], L, [ ] [ ] Para um equação diferencial de ordem N os valores a deerminar são d N ( ), ( ), L ( ), = 0 d = 0 d d N = 0 Slide 40 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

21 Equações Diferenças: o Eemplo: Equação Diferenças Deermine os dois primeiros valores da saída para o sisema descrio por [ n] = [ n] + [ n ] [ n ] [ n ] Assuma que a enrada é dada por 4 n [ n] = ( ) u[ n] e as condições iniciais são Os valores iniciais são: [ ] =, [ ] = [ 0] = [ 0] + [ ] [ ] [ ] = (- ) 4 [ ] = [ ] + [ 0] [ 0] [ ] = (- ) = 7 4 = Slide 4 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Solução das Equações : A saída de um sisema descrio por uma equação de diferenças ou uma equação diferencial pode ser epressa pela adição de duas componenes: ( ) Solução omogénea (solução da equação diferencial ou de diferenças) ( p) Solução paricular (uma qualquer oura solução da equação original) A solução complea é ( ) ( p) = + Solução Homogénea A forma omogénea de uma equação diferencial ou de diferenças é obida igualando a zero odos os ermos que envolvam a enrada. Para um sisema conínuo N = 0 a d ( ) N ( ) = 0 Solução omogénea ( ) d ( ) = Equação omogénea i= c e i r i Slide 4 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

22 Solução das Equações : Solução Homogénea Para um sisema conínuo N = 0 a d ( ) N ( ) = 0 Solução omogénea ( ) d ( ) = Equação omogénea i= c e i r i Em que r i são as N raízes da equação caracerísica N = 0 a r = 0 No caso de raízes repeidas p vezes enão os ermos envolvendo essas raízes omam a forma r r p r e j, e j, L, e j Slide 43 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Solução das Equações : Solução Homogénea Para um sisema discreo N = 0 a ( ) N [ n ] = 0 Solução omogénea ( ) [ n] = Equação omogénea i= c r n i i Em que r i discreo são as N raízes da equação caracerísica do sisema N = 0 a r N = 0 No caso de raízes repeidas p vezes enão os ermos envolvendo essas raízes omam a forma r, nr, L, n n j n j p r n j Slide 44 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

23 Solução das Equações : Eemplo: Circuio RC: Solução Homogénea A relação enre a ensão na fone e os erminais do condensador do circuio RC da figura pode ser descrio por d = d A sua equação omogénea é Uilizando ( ) + RC ( ) ( ) N ( ) ( ) = i= c e i r i d d ( ) + RC ( ) = 0 para N= obemos a solução ( ) r ( ) = c e [ Vols] Em que r é a raiz é solução da equação caracerísica + RCr = 0 com r = RC ( ) RC ( ) = ce [ Vols] N = 0 a r = 0 Slide 45 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Solução das Equações : Eemplo: Sisema Recorrene de Primeira Ordem : Solução Homogénea A equação omogénea do sisema recorrene de primeira ordem (N=) descrio pela equação de diferenças A sua correspondene equação omogénea é [ n] ρ[ n ] [ n] [ n] ρ[ n ] = 0 = N ( ) n ( Uilizando [ n] = cir ) n i para N= obemos a solução [ n] = cr i= Em que r é a raiz é solução da equação caracerísica r ρ = 0 com r = ρ N ( ) n [ ] n = c ρ = 0 a r N = 0 Slide 46 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

24 Solução das Equações : Eemplo: Sisema Recorrene de Primeira Ordem : Solução Paricular Deerminar a solução paricular para o sisema recorrene de primeira ordem (N=) descrio pela equação de diferenças [ n] ρ[ n ] [ n] [ n] = ( ) n = quando se aplica a enrada. p Assumindo uma solução n = c p Sendo c p ( ) [ ] ( ) n n [ n] ρ [ n ] [ n] ( ) ( ) n ρ c = ( ) n c p ( ρ) = = = ( ρ ) obemos a solução c p p ( p ) [ ] ( ) n n = ρ Slide 47 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Solução das Equações : Eemplo: Circuio RC: Solução Paricular Considerando o circuio RC da figura, deermine a solução paricular quando ese sisema é sujeio à enrada ( ) = cos( ω0) A equação diferencial do sisema é d = Assumindo a solução paricular da forma ( p ) ( ) = c cosω 0 + c sinω0 ( ) + RC ( ) ( ) d ( ) = cos( ω ) 0 ( ) c cosω 0 + c sin ω0 RCω0 c sinω0 c cosω0 = cosω0 Igualando os ermos em e obemos c + RCω0c = RCω0c + c = 0 cosω0 sinω 0 ( p ) RCω0 ( ) = ω ( RC ) ω + ( RCω ) cos sin ω Slide 48 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

25 Solução das Equações : Solução Complea A solução complea é obida por adição da solução omogénea com uma solução paricular: ( ) ( p) = + Para ober a epressão final deerminam-se os coeficienes desconecidos na epressão uilizando condições iniciais. ( ) º - Deerminar a solução a parir das raízes da equação caracerísica. º - Deerminar a solução ( p) assumindo que é forma idênica que a enrada mas com ermos independenes da solução omogénea. 3º - Deerminar os coeficienes da solução omogénea ( ) ( p) de forma que saisfaça as condições iniciais do sisema. = + Slide 49 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Solução das Equações : Eemplo: Circuio RC: Solução Complea Considerando o eemplo do circuio RC da figura, deermine a solução complea quando e ese sisema é sujeio à enrada A solução omogénea é ( 0 ) = ( ) = cos( ω ) u( ) 0 ( ) RC ( ) = c e [ Vols] A solução paricular é Colocando ( p ) RCω0 ( ) = ω ( RC ) ω + ( RCω ) ω0 = C = R = = ce + ( 0 ) = ( 0 ) = cos sin ω 0 obemos a solução complea ( ) + + sin, com > 0 cos em que pois o sinal de enrada não inroduz impulsos na pare direia da equação = ce + + cos0 + sin 0 = c + c = 3 Slide 50 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias 0 0

26 Caracerísicas dos Sisemas Por vezes é basane informaivo eprimir a resposa de um sisema em função da soma de duas componenes: ( n) Componene associada só às condições iniciais resposa naural ( f ) Componene associada só ao sinal de enrada resposa forçada Nese caso a solução complea é ( n) ( f ) Resposa Naural = + A resposa naural corresponde à saída do sisema para uma enrada de sinal nula e dessa forma permie descrever como o sisema dissipa a sua energia ou memória do passado e represenada pelas condições iniciais. Resposa Forçada A resposa forçada corresponde à saída do sisema a um sinal na enrada mas assumindo condições iniciais nulas. Nessa siuação assumimos que o sisema esá em repouso e não eise energia armazenada no sisema ou a sua memória esá vazia. Slide 5 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Solução das Equações : Eemplo: Circuio RC: Resposa Naural O circuio RC da figura pode ser descrio por Mas preende-se ober a sua resposa naural assumindo que Sendo a solução omogénea d = d ( ) + RC ( ) ( ) Se for a consane c for calculada de forma a saisfazer a condição inicial Enão e resposa naural do sisema é c = ( 0 ) = V, R = Ω, C = F ( ) ( ) = c e ( 0 ) = ( n ) ( ) = e [ vols], 0 Slide 5 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

27 Solução das Equações : Eemplo: Circuio RC: Resposa Forçada Considerando o eemplo do circuio RC da figura, deermine a sua resposa forçada assumindo que R = Ω, C = F e a enrada é ( ) = cos( ) u( ) Sabendo que a resposa complea é ( ) = ce + + sin, com > 0 cos A resposa forçada é deerminada escolendo c quando o sisema esá em repouso, ou seja quando: + Nesse caso c = ( 0 ) = ( 0 ) = 0 e a resposa forçada é dada por ( f ) ( ) = e + + sin [ vols] cos Slide 53 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Caracerísicas dos Sisemas Resposa a Impulso Sendo conecida a resposa a degrau podemos deerminar a resposa a impulso aravés da relação maemáica enre as duas resposas. Por definição a resposa a degrau assume que o sisema esá em repouso ou seja, com condições iniciais nulas. Para um sisema conínuo a resposa a impulso relaciona-se com a resposa a degrau aravés de Resposa a impulso d = d ( ) s( ) Resposa a degrau Para um sisema discreo a resposa a impulso relaciona-se com a resposa a degrau aravés de [ ] = s[ n] s[ n ] n Resposa a impulso Resposa a degrau Slide 54 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

28 Caracerísicas dos Sisemas Linear e Invariane A resposa forçada de um sisema SLIT pode ser obida por combinação linear das enradas. ( f ) a ( f ) ( f ) ( f ) = α ( f ) + β a = α + β a De forma semelane a resposa naural de um sisema SLIT pode ser obida por combinação linear das condições iniciais. condições condições iniciais iniciais I I a a ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) α I + βi a = α + β Slide 55 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Caracerísicas dos Sisemas Equação Caracerísica As suas raízes A resposa forçada depende do sinal de enrada e das raízes da equação caracerísica. A resposa naural depende das raízes da equação caracerísica. Daqui podemos concluir que as raízes da equação caracerísica êm um papel fundamenal no comporameno do sisema. A esabilidade de um sisema esá relacionada com as raízes equação caracerísica. A condição de esabilidade BIBO (enrada limiada, saída limiada) implica que a resposa naural seja limiada: Caso discreo r n i deverá ser limiada a r <, i Caso conínuo e r i deverá ser limiada a Re { r } < 0, i i Slide 56 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

29 Diagramas de Blocos Represenações por Diagramas de Blocos Um diagrama de blocos é uma represenação para as operações elemenares que são realizadas num sisema. Um sisema com uma deerminada caracerísica enrada/saída pode ser represenada por diferenes diagramas de blocos. As rês operações elemenares nos sinais são: Muliplicação Escalar Adição Inegração (para sisemas conínuos) ( ) = ( ) d Deslocameno emporal (para sisemas discreos) Slide 57 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Diagramas de Blocos Represenações por Diagramas de Blocos w [ n] = b [ n] + b [ n ] + b [ n ] [ n] = w[ n] a [ n ] a [ n ] 0 [ n] = a [ n ] a [ n ] + b [ n] + b [ n ] + b [ n ] 0 [ n] + a [ n ] + a [ n ] = b [ n] + b [ n ] + b [ n ] 0 Equação diferenças de ordem Slide 58 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

30 Diagramas de Blocos Represenações por Diagramas de Blocos Para SLITs não eise uma única descrição por diagrama de blocos. Assumindo que o sisema ao lado é um SLIT composo por sub-sisemas em série, é possível rocar a ordem dos elemenos sem alerar a sua relação enrada/saída. Definindo f[n] como a saída do novo sisema inermédio f[n] será a enrada para o subsisema seguine [ n] = a f [ n ] a f [ n ] [ n] f + [ n] = b f [ n] + b f [ n ] + b f [ n ] 0 Slide 59 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Diagramas de Blocos Represenações por Diagramas de Blocos Forma Direca I. Forma Direca II A forma direca II uiliza a memória de forma mais eficiene. Slide 60 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias

31 Diagramas de Blocos Eemplo: Diagramas de Blocos: Forma Direca I e Forma Direca II Desene o diagrama de blocos correspondene ao sisema [ n] + ( 4) [ n ] + ( 8) [ n ] = [ n] + [ n ] Forma direca I. f [ n] = f [ n] + f [ n ] [ n] = ( 4) f [ n ] ( 8) f [ n ] + [ n] Forma direca II. Slide 6 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias Sumário o Convolução o O Inegral de Convolução o Inerligações de SLIT - Sisemas Lineares Invarianes no Tempo o Resposa a Degrau o Equações Diferenciais e de Diferenças para SLIT o Soluções para Equações Diferenciais e de Diferenças o Caracerísicas dos Sisemas o Represenação por Diagramas de Blocos Slide 6 Análise e Processameno de BioSinais MIEB Adapado dos slides S&S de Jorge Dias