Orlando Ferreira Soares

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1 Orlando Ferreira Soares eoria do Sinal

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3 Índice Inrodução... Exemplo : Remoção de ruído de sinais audio... Exemplo : Previsão das coações da bolsa... Exemplo 3: Revisão do exemplo... 4 Exemplo 4: Processameno de imagem... 6 Exemplo 5: Sisema de conrolo de posição... 7 Caracerização de Sinais... Sinais Conínuos e Sinais Discreos... Operações básicas sobre sinais...3 Escalonameno da Ampliude...3 Escalonameno no empo...4 Reflexão e Deslocameno no empo...5 Adição e Subracção de sinais...8 Exemplos...9 Duas propriedades dos sinais... Sinais Pares e Impares... Exemplo... Periodicidade... i

4 Alguns Sinais Básicos...3 Sinal Exponencial...3 Sinal Sinusoidal...5 Exponencial Complexa...9 Exemplo...34 O Degrau Uniário e o Impulso Uniário...35 Caracerização de Sisemas...45 Modelo de Sisemas...45 Classificação de Sisemas...47 Sisemas Conínuos/Discreos...47 Sisemas Lineares/Não-lineares...48 Sisemas Invarianes/Varianes no empo...49 Sisemas Insanâneos/Não-insanâneos...49 Sisemas Causais/Não-causais...5 Sisemas Esáveis/Não-esáveis...5 Sisemas de Múliplas Enradas Múliplas Saídas...53 Exemplo...54 Sisemas Lineares e Invarianes no empo...57 Sisemas LI Discreos O Somaório de Convolução...58 Sisemas LI Conínuos O Inegral de Convolução...65 ii

5 Propriedades de Sisemas LI...75 Propriedade Comuaiva...75 Propriedade Disribuiva...76 Propriedade Associaiva...77 Série de Fourier em empo Conínuo...79 Aproximação de Funções Periódicas...8 Formas da Série de Fourier...8 Coeficienes de Fourier...85 Exemplo...89 Efeios de Simeria...9 Simeria Par...9 Simeria Impar...93 Propriedades da Série de Fourier...95 Deerminação da Forma Exponencial por Derivação...98 Exemplo... ransformada de Fourier em empo Conínuo...3 Definição de ransformada de Fourier...3 Propriedades da ransformada de Fourier...8 Linearidade...8 Escalonameno no empo...9 iii

6 Deslocameno no empo... ransformação no empo... Dualidade... Convolução...3 Deslocameno nas frequências...4 Derivação no empo...4 Inegração no empo...6 Derivação na frequência...7 Cálculo da ransformada a parir da Série de Fourier...9 ransformada de Laplace... Definição de ransformada de Laplace... Exemplo...5 Exemplo...6 ransformada Inversa de Laplace...7 Exemplo...8 Propriedades da ransformada de Laplace...9 Linearidade...9 Deslocameno no empo...3 Deslocameno no Domínio s...3 Escalonameno no empo...3 Conjugação...3 Convolução...33 iv

7 Derivação no empo...34 Derivação no Domínio s...35 Inegração no empo...35 eorema do Valor Inicial...37 eorema do Valor Final...37 Anexo A Idenidades rigonoméricas...39 Anexo B Somaório de Séries Geoméricas...4 Anexo C Propriedades da ransformada Conínua de Fourier...4 Anexo D Propriedades da ransformada de Laplace...4 Bibliografia...43 v

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9 Inrodução A seguir são apresenados alguns exemplos que se enquadram no esudo desa disciplina e que mosram a imporância de se esudarem os sinais e sisemas. Exemplo : Remoção de ruído de sinais audio Consideremos o problema de um gravador de passagem de um disco de vinil de 78 rpm para um formao mais moderno, Compac Disc (CD). Iso é conseguido aravés da obenção da ensão do disco a 78 rpm, que depois de amplificado é uilizado para gravar o CD. No enano, o disco a 78 rpm apresena um ruído de fundo que se preende eliminar na nova gravação. Por isso, é necessário aplicar um filro como mosra a seguine figura: Orlando Ferreira Soares

10 As ensões dos sinais X e Y que ransporam a informação vão variando consoane a variação da posição da agulha no disco. A posição da agulha é um sinal assim como as ensões dos sinais X e Y sendo a variável envolvida mecânica. Assim, a agulha ransforma a variação de posição numa variação de ensão X esa consiui um Sisema elecromecânico. Nese exemplo odos os sinais êm a propriedade de possuírem um valor em cada insane de empo; eses sinais são designados de Sinais Conínuos. O sinal reirado do disco pode ser considerado como sendo consiuído por duas componenes: uma componene consiui o sinal com a informação e oura consiui o sinal de ruído, o qual se preende eliminar com o filro e cuja frequência é normalmene superior ao sinal da informação. Exemplo : Previsão das coações da bolsa Ese exemplo mosra as coações da bolsa de mercados em cada dia. Será que as coações fuuras podem ser previsas? Se for suposo que um compuador é usado para prever os resulados, enão eremos o seguine: Orlando Ferreira Soares

11 Eses sinais em uma caracerísica diferene dos sinais do exemplo anerior; em vez de erem um valor para odos os insanes de empo, só dispõem de valor em insanes desconínuos (discreos); ese sinais são conhecidos como Sinais Discreos. Nese exemplo, o compuador pega no sinal discreo do sinal de enrada e a parir dele deermina o valor discreo do sinal de saída ransforma um sinal de enrada num sinal de saída. Iso é a definição de um Sisema. Orlando Ferreira Soares 3

12 No exemplo anerior o sisema era implemenado aravés de hardware, i.é., aravés de disposiivos elécrico e mecânicos. Nese exemplo a ransformação da enrada na saída é conseguida aravés de sofware, i.é., aravés de um algorimo. Exemplo 3: Revisão do exemplo No exemplo o filro pode ser implemenado aravés de componenes elecrónicas e represena uma relação enre duas variáveis elécricas (ensão ou correne) nos erminais das componenes. No exemplo, é usado um compuador para ransformar o sinal de enrada. Se os sinais no exemplo forem discreos é possível uilizar um compuador para execuar a filragem. Um filro uilizado em sinais discreos é designado de filro digial. No enano, orna-se necessário converer os sinais conínuos para discreos sem grandes perdas de informação. Depois, na saída, orna-se necessário reconverer os sinais para sinais conínuos. 4 Orlando Ferreira Soares

13 A conversão de sinais conínuos para sinais discreos pode ser explicada aravés da seguine figura: O sinal conínuo é ligado a um swich que abre e fecha repeidamene, sendo o inervalo de empo em que se enconra fechado τ inferior ao inervalo de empo em que se enconra fechado (-τ). Diminuído o inervalo de empo τ, o sinal aproximase de um sinal discreo. Esa acção é conhecida por Amosragem; é o período de amosragem, / a axa de amosragem e, nese conexo, o sinal discreo é designado por sinal amosrado. Para perceber como um sinal discreo pode represenar bem ou não um sinal conínuo vejamos os seguines exemplos de amosragem do mesmo sinal: Orlando Ferreira Soares 5

14 Exemplo 4: Processameno de imagens Hoje em dia é muio frequene a ransmissão de imagens. Para além do exemplo das ransmissões elevisivas, são iradas imagens por saélies da erra e que são ransmiidos para serem usados na meeorologia e para fins miliares. Imagens de planeas e asros disanes ambém são frequenemene ransmiidas. Consideremos a seguine imagem: Para ransmiir esa imagem o sinal em de ser consruído de forma a dar a sua inensidade (e cor para imagens não monocromáicas) em cada pono da sua superfície. Na práica, odas as formas de imagens são de naureza discrea e a sua represenação é feia aravés de sinais discreos. A imagem é dividida num número finio de pequenas áreas (pixels) e o sinal represena a inensidade de cada pixel. Cada pixel é idenificado aravés de um sisema de coordenadas n e m. Assim, a inensidade de um deerminado pixel será represenada por I(n,m). Ese sinal, ao conrários dos exemplos aneriores não é função do empo mas da disância, é um sinal espacial. 6 Orlando Ferreira Soares

15 Exemplo 5: Sisema de conrolo de posição O exemplo aqui considerado é o de conrolar a posição de uma carga aravés de um pequeno sinal elécrico. Por exemplo, pode ser necessário conrolar a posição de uma anena de rádio elescópica com algumas oneladas de peso aravés de um sinal elécrico de ampliude máxima igual a um ou dois vols. Orlando Ferreira Soares 7

16 O problema aqui represenado é diferene dos exemplos aneriores. Nos exemplos aneriores, os sisemas envolvidos ransformavam o sinal de enrada num sinal de saída diferene. Nese exemplo, as formas dos sinais de enrada e saída são idênicas; no enano elas represenam diferenes variáveis (elécricas e mecânicas), e os níveis das grandezas elécricas associadas ao sinais são muio diferenes (miliwas na enrada, ilowas na saída). Uma represenação possível de um sisema de conrolo dese ipo pode ser a seguine: Para resumir, os exemplo mosrados foram apresenador de forma qualiaiva para inroduzir alguns dos conceios básicos para o esudo de sinais e sisemas. ambém foram usados para dar uma indicação dos objecivos da disciplina. Ouros exemplos poderiam ser mosrados, como por exemplo:. O processameno de sinais para idenificar a posição e velocidade de um alvo num sisema de radar.. A análise de sinais produzidos pela reflexão de ondas de choque (aravés de um conrolador de explosão) numa explosão geofísica. 3. O processameno de uma grande variedade de sinais usados em aplicações biomédicas. 8 Orlando Ferreira Soares

17 De faco, qualquer área onde a informação pode ser represenada sob a forma de um sinal pode ser considerada como um campo de aplicação desa disciplina. Para podermos expandir o maerial aqui mosrado para formar uma base cienífica de esudo, as ideias devem ser expressas e desenvolvidas numa forma quaniaiva. Iso irá ser realizado nese semesre sendo os principais objecivos os seguines:. Fazer uma descrição maemáica dos sinais considerados. ambém serão mosradas várias descrições possíveis e as vanagens e desvanagens de represenações alernaivas ambém serão invesigadas.. Ober uma formulação maemáica para a ransmissão de sinais aravés de um dado sisema e, a parir disso, formular uma descrição ou modelo do sisema. Assim como pode ser uilizada mais do que uma descrição possível dos sinais, ambém, mais do que um modelo de sisema é possível uilizar. 3. Combinar o objecivo e de modo que para um deerminado modelo de sisema e um sinal de enrada se possa calcular o sinal de saída. 4. Combinar os sisemas mais simples de modo a ober sisemas mais complexos e invesigar a propriedades gerais de ais combinações de sisemas. Orlando Ferreira Soares 9

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19 Caracerização de Sinais O conceio de sinal já foi apresenado na aula anerior. Maemaicamene um sinal é uma função com uma variável dependene e uma ou mais variáveis independenes. No enano os sinais que iremos esudar nesa disciplina apenas êm uma variável independene que será resringida ao empo. Embora na aula anerior enhamos viso a diferença enre sinais conínuos e sinais discreos, agora vamos começar por analisar essa divisão com mais dealhe. Eses sinais erão uma evolução paralela no esudo ao longo da disciplina. Sinais Conínuos e Sinais Discreos Alguns exemplos de sinais emporais:. A variação da ensão no colecor de um ransísor num amplificador de áudio.. A variação da emperaura num pono de um forno durane o processo de fundição. 3. A variação de pressão num cilindro de um moor combusão inerna durane o funcionameno. Orlando Ferreira Soares

20 4. A variação do número de sapaos vendidos numa cera loja durane um mês. 5. A variação da emperaura ao meio-dia numa sucessão de dias num lugar de veraneio. 6. A concenração de anicorpos no sangue após uma injecção de vacinação. As amosras de sangue são reiradas e analisadas odos os quinze minuos. Orlando Ferreira Soares

21 Apesar deses sinais erem o empo como variável independene, os sinais no exemplo, e 3 são basicamene diferenes dos exemplos 4, 5 e 6. Nos primeiros, os sinais que represenam as variáveis exisem em odos os insanes de empo; ese são designados por Sinais Conínuos. Nos úlimos, as variáveis só esão disponíveis em alguns inervalos discreos de empo; eses são designados por Sinais Discreos. A desconinuidade pode ocorrer quer por naureza do processo (exemplo 4) quer pela naureza das medições (exemplo 5 e 6). Neses, os processos que produzem as variáveis são processos conínuos, embora as medições sejam feias em inervalos de empo discreos. Operações básicas sobre sinais Esas operações consisem em ransformar quer as variáveis dependenes quer as variáveis independenes. Escalonameno da Ampliude Esa operação é sobre a variável dependene. Consideremos um sinal x() ligado a um amplificador e que resula numa saída y(). Assumindo que o amplificador alera a ampliude do sinal de enrada, em cada insane, aravés de um ganho como mosra a figura seguine. Orlando Ferreira Soares 3

22 x() Amplificador com Ganho igual a y() A forma do sinal de saída y() é idênica à do sinal de enrada, mas com o dobro da ampliude. É de noar que o sinal de enrada x() pode ser represenado pelo sinal de saída y() se a escala no eixo verical for alerado daí escalonameno da ampliude. Genericamene, a relação enre x() e y() pode ser expressa por: y ( ) = a.x( ) onde a é uma consane. Escalonameno no empo Consideremos uma musica gravada numa cassee em que esa é ocada à velocidade errada. É obvia a diferença no som, o sinal foi expandido ou comprimido no empo. 4 Orlando Ferreira Soares

23 Genericamene a relação enre y() e x() pode ser expressa por: y ( ) = x( a. ) em que a é um número consane posiivo. Reflexão e Deslocameno no empo Suponhamos um sinal que depois de gravado numa cassee é ocado em modo reverso num insane poserior. Orlando Ferreira Soares 5

24 O sinal y() pode ser obido aravés de duas operações sobre o sinal x():. A escala de empo de x() é inverida.. O sinal inverido sofre um araso no empo. É conveniene considerar esas duas operações separadas. A inversão da escala de empos é designada por reflexão do sinal. O sinal reflecido pode ser obido aravés da colocação do valor dos sinal no insane igual no insane -, é enão definido como sinal x(-). O araso no empo consise em colocar o valor que originalmene esava no insane no insane (-). O araso é represenado por x(-). 6 Orlando Ferreira Soares

25 Uma operação em avanço no empo será represenada pelo sinal x(+). As operações de avanço no empo e de reflexão não são fisicamene possíveis em sinais em empo real (iso suporia a previsão do fuuro). Mas, como veremos, esas operações básicas serão uilizadas para descrever algumas propriedades úeis dos sinais. As operações de reflexão e de deslocameno no empo ambém podem ser efecuadas sobre sinais discreos. Orlando Ferreira Soares 7

26 As operações de reflexão e deslocameno no empo ambém podem ser combinadas para produzir o araso de um sinal reflecido. Adição e Subracção de sinais Se dois sinais conínuos são adicionados, os seus valores em cada insane são adicionados para formar a soma em cada insane. Para sinais discreos a definição é similar e só pode ser execuada em números ineiros para cada sinal definido. 8 Orlando Ferreira Soares

27 A subracção é análoga à adição. As operações aqui apresenadas são básicas para a eoria do Sinal. Exemplos. Considere os seguines sinais e obenha o sinal: z( ) = x( ) + 3y( ). Considere os seguines sinais e obenha o sinal: z( n ) = x( n + ) +, 5 y( n ) Orlando Ferreira Soares 9

28 Duas propriedades dos sinais Sinais Pares e Impares Esas propriedades são baseadas nas simerias que os sinais possuem em orno da abcissa = (n=). Esas simerias podem ser convenienemene expressas aravés do uso de operações de reflexão. Eses sinais possuem a propriedade de x()=x(-), x(n)=x(-n); eses sinais são designados por sinais pares. Orlando Ferreira Soares

29 Os sinais que êm a propriedade de x()=-x(-), x(n)=-x(-n) são designados por sinais impares. ambém é fácil demosrar que os sinais podem ser expressos em ermos de dois sinais: um par e um impar. Ou seja, um sinal arbirário pode ser escrio por: x( ) = [ x( ) + x( )] [ x( ) x( )] O ermo [x()+x(-)] é par e o ermo [x()-x(-)] é impar. + Exemplo Exprima os seguines sinais como a soma de uma componene par e uma impar. Orlando Ferreira Soares

30 Periodicidade A seguine figura mosra um sinal conínuo e um sinal discreo periódicos. A caracerísica que orna um sinal periódico é a propriedade de o sinal se repeir indefinidamene no fuuro e que se enha repeido no passado. Esa propriedade pode ser convenienemene expressa aravés da operação de deslocameno no empo. Um sinal periódico x(), x(n) em a propriedade de: x( + ) = x( ) para odo o x( n + N ) = x( n ) para odo o n O empo (ou número ineiro N) é designado de período da forma de onda. É de noar que se o sinal é periódico para o período, ambém é periódico para qualquer múliplo de (idenicamene para N). Orlando Ferreira Soares

31 Alguns Sinais Básicos Sinal Exponencial O sinal exponencial conínuo é da forma x ( ) = a A.e onde A e a são consanes. A propriedade que orna ese sinal frequenemene uilizado em sisemas esá relacionada com a sua variação e o seu declive. dx d = a.a.e a = a.x( ) O sinal em a propriedade de que o seu declive, em qualquer insane, ser proporcional ao valor nesse insane. A forma discrea do sinal é do ipo onde A e a são consanes. x ( n ) = an A.e Orlando Ferreira Soares 3

32 Como o sinal é um sinal emporal, a variável independene é o insane de empo n. O sinal ambém pode ser escrio como a n n ( ) A.( z ) an x ( n ) = A.e = A e = onde a z = e Nesa forma é fácil ver que x( n + ) = A.z n+ = A.z n.z = x( n ).z Em cada insane, o sinal é formado pela muliplicação do sinal no insane anerior por uma consane z, i.é., os valores formam uma progressão geomérica. 4 Orlando Ferreira Soares

33 Nos sinais discreos não em significado falar em inclinação. No enano, uma propriedade semelhane é baseada na diferença enre amosras sucessivas: x( n + ) x( n ) = x( n ).z x( n ) = ( z ).x( n ) Como (z-) é uma consane, a diferença enre duas amosras sucessivas é a consane vezes a n-ésima amosra. Sinal Sinusoidal Os sinais sinusoidais já conhecidos são do ipo: Mas, se os sinais emporais são raduzidos por eses sinais, orna-se conveniene converer a variável independene de ângulo para empo, ou seja: θ = Consane Orlando Ferreira Soares 5

34 A consane pode ser deerminada por observação da função que é periódica e pela relação do período com o ângulo correspondene de π. Iso dá uma consane igual a são rad./s. π, que é conhecida por Frequência angular e cujas unidade No enano, é o número de ciclos por unidade de empo e é definida como a Frequência f medida em Herz (Hz). Assim, a relação enre θ e pode ser escria como: π θ = w = = πf. e os sinais seno e coseno podem ser represenados por: x( ) = A.sen πf e x( ) = A.cos πf Como o valor máximo das funções seno e co-seno são a unidade, a consane A serve como um facor de escala dando às funções um valor máximo e mínimo de ±A. Usando a propriedade de deslocameno no empo podemos noar que o coseno pode ser obido aravés do deslocameno no empo do seno de (ângulo de 4 π ). Na generalidade, um sinal dese ipo pode ser obido por avanço no empo de um deerminado ângulo ϕ. x ( ) = A.sen w ( + ϕ ) 6 Orlando Ferreira Soares

35 Aplicando a fórmula rigonomérica para sen(a+b), ese sinal pode ainda ser expresso: x ( ) = A.sen w.cosϕ + A.cos w. senϕ O sinal ambém pode ser obido pela soma de uma onda sinusoidal e uma cosinusoidal com facores de escala A.cosϕ e A.senϕ, respecivamene. Uma propriedade que eses sinais êm é que a soma de dois sinais sinusoidais e de igual frequência produzem um sinal sinusoidal com a mesma frequência. Se uma das sinusóides iver uma frequência que é um múliplo ineiro da frequência do ouro sinal, esse sinal é designado por harmónico. Orlando Ferreira Soares 7

36 Os sinais sinusoidais discreos podem ser descrios pela relação: x ( ( + ϕ ) n ) = A.sen nw Nos sinais discreos é preciso er cuidado na escolha do período porque a periodicidade de um sinal discreo é definida como x ( n ) = x( n + N ) em que N é um número ineiro. Como o período de um sinal discreo é um número ineiro não possuí unidade ao conrário dos sinais conínuos em que o período em unidade de empo. Os sinais sinusoidais discreos ainda podem ser expressos da forma: x ( n ) = A.sen( nθ ) onde θ = w é designado como Frequência normalizada e é igual à frequência angular do sinal não amosrado a dividir pela frequência de amosragem. θ = w = w f s 8 Orlando Ferreira Soares

37 θ é o numero de ângulos, radianos, e pode ser inerpreado como o número de radianos/amosra. Como um ciclo compleo é π radianos enão o número de π amosras por ciclo é dado por. O uso da frequência normalizada orna-se por θ vezes mais conveniene e úil no projeco de filros digiais. Exponencial Complexa Usando números complexos, os sinais exponenciais e sinusoidais podem ser expressos como casos especiais de um sinal generalizado a exponencial complexa. A exponencial já visa é x ( ) = a A.e Se a for imaginário a = jw x ( ) = A.e jw x ( ) = A.cos w + ja.sen w Assim, o sinal x() represena um sinal real e que pode ser associado a um processo real. Embora x() conenha uma pare imaginária, a soma de um número complexo com o seu conjugado é real. Orlando Ferreira Soares 9

38 Assim, o sinal x( ) = A.e jw + A.e jw = A.cos w é real e pode represenar um sinal num sisema físico. A principal razão do uso das formas exponenciais é porque é maemaicamene mais fácil de rabalhar do que as formas rigonoméricas e ambém resula em expressões mais compacas. Genericamene, os sinais para represenar uma sinusóide com fase arbirária podem ser descrios por: j x ( ) = A.e = j x ( n ) = A.e = ( w + ϕ ) jw jϕ A.e e ( nθ + ϕ ) jnθ jϕ A.e Uma grande diferença enre sinais conínuos e discreos esá relacionada com os harmónicos de um sinal. A definição de harmónico para os sinais conínuos ambém se aplica aos sinais discreos. e Assim, se o sinal discreo for dado por x ( n ) = A.sen nθ, o seu harmónico de ordem será dado por x ( n ) = A.sen nθ. No caso conínuo o número de harmónicos de um sinal sinusoidal são infinios o que não se verifica com os sinais discreos. Consideremos o seguine exemplo em que o sinal x(n) é dado por x ( ) = π π sen n Orlando Ferreira Soares

39 Os harmónicos do sinal serão dados por x ( ) = sen n π π Os harmónicos de ordem =- 6 são mosrados na seguine figura. Podemos verificar que para =,,3 a frequência dos harmónicos é crescene e a parir de =4 a frequência diminuí aé que para =6 o harmónico é consane. Orlando Ferreira Soares 3

40 sinusóide Ese fenómeno é fácil de demosrar aravés da forma exponencial de uma x ( ) = A.e j ( nθ +ϕ ) usando a relação π N = podemos escrever θ x( n ) = A.e π jn N e jϕ O harmónico de ordem é dado por x ( n ) = A.e π jn N e jϕ e o harmónico (N-), x x N N ( n ) = ( n ) = A.e A.e π jn( N ) N π jn N e e jnπ jϕ e jϕ jnπ Como e = a frequência do harmónico (N-) é idênica à frequência do harmónico. No enano, devido ao sinal - da expoene, a fase não será idênica. Se o for aumenado para (N+) enão por analogia o harmónico de ordem (N+) será idênico ao harmónico de ordem. Para o caso especial de =N, vem x ( n ) = N A. e jϕ 3 Orlando Ferreira Soares

41 Assim, esá demosrado que os sinais discreos não possuem um número infinio de harmónicos, ao conrário dos sinais conínuos. Esa propriedade será mais imporane no esudo da Séries de Fourier de sinais discreos. A exponencial complexa geralmene em um expoene que é complexo. Iso resula nos sinais x( ) = A.e ( σ + jω ) x( n ) = n A.e ( σ + jω ) Consideremos o sinal conínuo que pode ser raduzido por x( ) = A.e σ e j ω Os sinais j e ω e e σ já são conhecidos e o sinal x() que resula pode ser considerado como uma sinusóide cuja a ampliude varia exponencialmene. Orlando Ferreira Soares 33

42 Exemplo Duas sinusóides x() e y() são expressas da seguine forma x( ) = A.e + A.e j j y ( ) = 5cos + π 4 onde A = + j3. Se o sinal z ( ) = x( ) + y( ) for represenado por deermine o valor de R e ϕ. ( + ϕ ) z( ) = R sen 34 Orlando Ferreira Soares

43 O Degrau Uniário e o Impulso Uniário Eses dois sinais são diferenes dos aneriores. Para inroduzir eses sinais vamos considerar o circuio elécrico da figura seguine O condensador esá inicialmene descarregado e o problema coloca-se em deerminar um sinal que represene a ensão v aos erminais do condensador e a correne i no circuio após a fecho do swich em =. v = V < > Orlando Ferreira Soares 35

44 q = Cv, A correne pode ser obida aravés da carga q no condensador usando a relação q = CV < > Para ober a correne usa-se a expressão da variação de carga dq i = = d C A correne é proporcional à inclinação da curva ensão/empo, de onde se conclui que dv d i = < = > Os sinais da ensão e da correne são exemplos das funções Degrau e Impulso, respecivamene. 36 Orlando Ferreira Soares

45 No enano, eses sinais servem para descrever esas funções de uma forma pouco rigorosa. Eses sinais servem como uma aproximação e devem ser visos como uma siuação limie das respecivas funções. Na práica, o swich não é ideal e as formas de onda da ensão e correne apresenadas não seriam as obidas. Supondo que a resisência do swich varia num empo finio, ou seja, r swich = < > ε Assim, os sinais obidos da ensão e da correne serão os seguines: Como não é especificado como varia a resisência do swich, as formas dealhadas das curvas são desconhecidas. No enano, se assumirmos que a ensão V e o condensador C em um valor uniário, as relações dv i = e i.d = d + Orlando Ferreira Soares 37

46 seguines: Supondo agora que ε varia e é muio pequeno, os resulados obidos serão os No limie, para ε, são obidas as funções Degrau e Impulso; no enano, uma propriedade adicional da função Impulso é a de que a sua área é igual a um. Se usarmos uma função simples, um pulso recangular, para descrever a variação da correne provocada pela redução de ε obemos as seguines siuações: Se a ampliude do pulso for muliplicada por uma consane, vai resular num impulso de área. 38 Orlando Ferreira Soares

47 Podemos usar as seguines definições para descrever as funções Degrau Uniário e Impulso Uniário: Degrau uniário conínuo u( ) = < > A função não esá definida para =. Impulso uniário conínuo δ () = = A área limiada pela função é uniária. É de salienar que esas formas não são rigorosas e servem como casos limie de ouras funções convencionais. Na práica, a função Degrau pode ser obida com basane aproximação. A função Impulso não pode ser obida porque eria que er uma ampliude infinia. Como veremos, esa função será úil no caso de aplicarmos pulsos de cura duração a um sisema e ese responder invariavelmene com a largura do pulso; enão podemos aproximar a enrada a um Impulso ideal. Além disso, esa função é um valor eórico muio uilizado na definição das resposas de sisemas. Orlando Ferreira Soares 39

48 funções. O Impulso ambém pode ser ambém deslocado no empo, al como as ouras Uma das caracerísicas mais imporanes do Impulso é o seu comporameno quando combinado com ouro sinal numa operação de inegração. Genericamene pode-se escrever: + x( ). δ ( ) d Consideremos as funções x() e δ(- ) represenadas na figura A muliplicação e inegração deses sinais êm pouco significado. 4 Orlando Ferreira Soares

49 Para percebermos o inegral, o Impulso deve ser raduzido por uma função mais convencional, ou seja, o Impulso deve ser subsiuído por um pulso curo de duração igual a ε e ampliude variável x( ). O inegral dá a área dese pulso. ε Quando ε, o pulso ende para uma ampliude consane desa aproximação é x( ) e a área ε + x( ). δ ( )d = x( ) O inegral oma o valor do sinal x() no insane quando o pulso ocorre. Os sinais Degrau e Impulso conínuos ambém êm a versão no empo discreo como Degrau uniário discreo e Impulso uniário discreo. Orlando Ferreira Soares 4

50 Degrau uniário discreo u( n ) = n n < Impulso uniário discreo δ ( n ) = n n = 4 Orlando Ferreira Soares

51 Esas funções êm propriedades análogas às dos sinais conínuos. Em paricular, δ ( n ) = u( n ) u( n ) u( n ) = n = δ ( ) + n= x( n ). δ ( n n ) = x( n ) Orlando Ferreira Soares 43

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53 Caracerização de Sisemas Nese Capíulo iremos fazer uma descrição maemáica dos sisemas. A maior pare das descrições de sisemas relaciona a enrada e a saída aravés de equações diferenciais. Dependendo da escolha das componenes, uma equação pode descrever muios sisemas físicos, ais como sisemas conínuos elécricos, mecânicos, elecromecânicos e elecrónicos. Os sisemas discreos ambém podem ser descrios por equações diferenciais e são facilmene resolvidas aravés de um compuador. Modelo de Sisemas Normalmene, os sisemas podem ser raduzidos por subsisemas mais simples. Os subsisemas são descrios de forma a que o sinal de saída seja relacionado com o sinal de enrada. Um exemplo simples é aquele que relaciona o sinal de saída y() com o sinal de enrada x() de acordo com a relação: y( ) =.x( ) Iso implica que o sisema amplifica o sinal de enrada e dá uma saída que é o dobro do sinal de enrada em odos os insanes. Orlando Ferreira Soares 45

54 As equações que descrevem um sisema são idealizações, i. é., são modelos maemáicos que se aproximam ao processo verdadeiro. Nese Capíulo vamos considerar o sisema como uma caixa negra em que apenas só esá disponível o modelo maemáico que relaciona a enrada com a saída. Um exemplo de um sisema discreo é o de um filro digial: y( n ) = x( n ) + x( n ) + x( n ) + x( n 3 ) 4 Esa equação raduz que a saída do sisema, em cada insane discreo, é igual à média da enrada nesse insane e nos rês insanes aneriores. A versão conínua de um sisema dese ipo poderia ser: y( ) = x( τ ).dτ 46 Orlando Ferreira Soares

55 Classificação dos Sisemas A classificação dos sisemas é úil porque depois de feia a classificação de um sisema podemos uilizar as suas propriedades sem ermos que as demosrar. Sisemas Conínuos/Discreos Os conceios de conínuo/discreo usado na classificação de sinais ambém se esende aos sisemas. Os sisemas que êm sinais de enrada e de saída conínuos são Sisemas Conínuos. Os sisemas que êm sinais de enrada e de saída discreos são Sisemas Discreos. ambém exisem sisemas que êm um sinal de enrada de um ipo e o sinal de saída de ouro, eses sisemas são Sisemas Híbridos e normalmene é possível represenar eses sisemas por combinações de subsisemas que são conínuos ou discreos. Orlando Ferreira Soares 47

56 Sisemas Lineares/Não-lineares Um Sisema é Linear se um sinal de enrada x () produz uma saída y () e se um sinal de enrada x () produz uma saída y () enão se o sisema é linear [x ()+ x ()] produzirá uma saída [y ()+ y ()] Esa propriedade é a da Sobreposição. A propriedade da Homogeneidade pode ser definida da seguine forma: um sinal de enrada a.x() produz uma saída a.y() Esas duas propriedades podem ainda ser combinadas para melhor definir a linearidade de sisemas, ou seja, para um sisema linear [a.x ()+ b.x ()] produzirá uma saída [a.y ()+b.y ()] em que a e b são consanes. Na práica, em odos os sisemas a propriedade da linearidade só se aplica para uma gama limiada de valores de enrada e os sisemas deixam de ser lineares para valores fora dessa gama. Um Sisema Não-linear é um sisema que não é linear. 48 Orlando Ferreira Soares

57 Sisemas Invarianes/Varianes no empo Vamos supor que uma cassee é ocada às h da manhã. Se for novamene ocada às h da arde não é de esperar alguma diferença da ocada de manhã. A propriedade de invariância no empo verifica-se se um araso no empo do sinal de enrada provoca apenas um araso no empo do sinal de saída. Maemaicamene um Sisema é Invariane no empo: se um sinal de enrada x() provoca uma saída no sisema y() enão, x(-) provoca uma saída no sisema y(-) para odos os valores de e qualquer valor arbirário de. Se um sisema é invariane no empo e linear é designado por Sisema Linear Invariane no empo (LI). Iso é imporane pois muias vezes um sinal complexo pode ser represenado pela combinação linear de vários sinais deslocados no empo. Sisemas Insanâneos/Não-insanâneos Um Sisema é Insanâneos se o sinal de saída em cada insane depende apenas do sinal de enrada nesse mesmo insane. Consideremos um sisema LI que origina o sinal de saída mosrado na figura seguine quando é aplicado um pulso na enrada: Orlando Ferreira Soares 49

58 Vamos agora considerar que é aplicado um segundo pulso, e devido à propriedade do sisema ser invariane no empo, a resposa do segundo pulso será igual à do primeiro mas com um deslocameno no empo. No enano a resposa do primeiro pulso ainda esá a decrescer e devido à propriedade da linearidade, o sisema soma e dá uma resposa que é a combinação das resposas aos dois pulsos. Ese sisema é obviamene não-insanâneo senão a resposa ao segundo pulso seria igual à do primeiro, raa-se de um Sisema Não-insanâneo. Oura forma de verificar que o sisema é não-insanâneo é que ele lembrase do efeio da enrada anerior. Assim, pode dizer-se que um sisema nãoinsanâneo em memória e um sisema insanâneo não em memória. 5 Orlando Ferreira Soares

59 Maemaicamene, esa propriedade de memória pode ser expressa da seguine forma: uma saída y() depende de uma enrada x(-) para pelo menos um valor de. Sisemas Causais/Não-causais Se um sisema é não-insanâneo, podemos aplicar a definição anerior e dizer que uma saída y() pode depender de uma enrada x(+), o que, fisicamene, não parece fazer muio senido viso ornar-se necessário prever o fuuro. Assim, os sisemas cujas saídas não dependem de valores de enradas fuuras são designados de Sisemas Causais. Um Sisema Não-causal é um sisema que não é causal. Em algumas aplicações, onde a variável independene é o empo, os dados são guardados para serem processados off-line, como por exemplo, em análises económicas e dados sísmicos. Os fuuros dados podem ser usados para deerminar a saída. Sisemas Esáveis/Não-esáveis Orlando Ferreira Soares 5

60 Ese conceio é ilusrado aravés dos seguines exemplos de sisemas discreos. Os sisemas discreos êm a vanagem de ser possível ober numericamene o valor do sinal de saída para uma deerminada enrada. Consideremos dois sisemas discreos descrio pelas seguines equações: Sisema y ( n ) = x( n ) +, 5 y ( n ) Sisema y ( n ) = x( n ) +, y ( n ) Supondo que é aplicado o sinal de enrada impulso uniário x(n)=δ(n) aos dois sisemas oberíamos os seguines resulados: n x(n) y (n-) y (n) y (n-) y (n),,,,5,5,5 4 3,5, ,5, Pelos resulados podemos ver que após desaparecer o sinal de enrada, a saída do Sisema persise (o sisema em memória), mas cada saída é igual a meade da sua anerior e quando n, y (n). No Sisema a saída ambém persise após o desaparecimeno do sinal de enrada, mas cada saída é igual ao dobro da sua anerior e quando n, y (n). O primeiro sisema é esável e o segundo é insável. 5 Orlando Ferreira Soares

61 Um Sisema é Insável se uma enrada limiada produzir uma saída nãolimiada. Um Sisema é Esável se uma enrada limiada produzir uma saída limiada. Sisema de Múliplas Enradas Múliplas Saídas Um sisema ainda pode er várias enradas e várias saída, raa-se de um Sisema de múliplas enradas múliplas saídas. x x x 3 Sisema y y y 3 Normalmene ese ipo de sisema é mais complexo do que aqueles que apenas êm uma enrada e uma saída. Orlando Ferreira Soares 53

62 As equações que servem para represenar os modelos deses sisemas são geralmene apresenadas sob a forma maricial. Exemplos. Considere os rês sisemas a seguir apresenados: a) Um circuio recificador de onda complea cuja saída é o módulo do sinal de enrada: y ( ) = x( ) b) Um circuio modulador cuja frequência da poradora é w c, dá a seguine saída: y( ) = x( ).cos w c) Um sisema cuja saída é a média do sinal de enrada durane o período de empo anerior : C y( ) = x( ).d Deermine se cada um deses rês sisemas é ou não: i. Linear ii. Invariane no empo iii. Insanâneo 54 Orlando Ferreira Soares

63 . Quando o seguine sinal x (), é aplicado a um Sisema LI, a resposa é a seguine y () Deermine as saídas quando os sinal x () e x 3 () são aplicados ao mesmo sisema. Orlando Ferreira Soares 55

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65 Sisemas Lineares e Invarianes no empo No capíulo anerior foram inroduzidas e analisadas várias propriedades básicas dos sisemas. Duas delas, Linearidade e Invariância no empo, assumem um papel imporane na análise de sinais e sisemas por duas razões: a primeira é o faco de muios processos físicos possuírem esas duas propriedades e poderem ser modelados por sisemas Lineares e Invarianes no empo. Além disso, os sisemas Lineares e Invarianes no empo (LI) podem ser analisados em grande pormenor fornecendo um conjuno de ferramenas para análise de sinais e sisemas. Uma das principais razões da análise de sisemas LI é devido à propriedade da sobreposição que eses sisema possuem. Uma consequência diso é o faco de podermos represenar a enrada de um sisema LI em ermos de uma combinação linear de vários sinais que são básicos. Assim, podemos usar a propriedade da sobreposição para deerminar a saída do sisema em função das suas resposas a esses sinais básicos. Como veremos a seguir, uma caracerísica imporane do Impulso uniário, quer no empo discreo quer no empo conínuo, é o faco de qualquer sinal poder ser represenado pela combinação linear de vários impulsos deslocados no empo. Ese faco, junamene com a propriedade da sobreposição e invariância no empo, permiirão desenvolver uma caracerização de qualquer sisema LI em função da sua resposa ao Impulso uniário. Orlando Ferreira Soares 57

66 Esa represenação, designada por Somaório de Convolução no caso do empo discreo e Inegral de Convolução no caso do empo conínuo, proporciona uma considerável uilidade analíica no raameno de sisema LI. Sisema LI Discreos O Somaório de Convolução A ideia chave de que um Impulso uniário discreo pode ser usado para consruir qualquer sinal discreo é pensar num sinal discreo qualquer como uma sequência de impulsos individuais. Para ver como esa ideia pode ser represenada maemaicamene vamos considerar o sinal x(n) represenado na figura seguine: As figuras seguines represenam cinco impulsos que são deslocados no empo e cuja ampliude é escalonada de modo a que cada impulso enha o valor de x(n) para o insane paricular em que o impulso ocorre. 58 Orlando Ferreira Soares

67 Orlando Ferreira Soares 59

68 Ou seja, por exemplo, x( ), x( ). δ ( n + ) =, x( ), x( ). δ ( n ) =, x( ), x( ). δ ( n ) =, n = n n = n n = n Assim, a soma das cinco sequências da figura é igual ao sinal x(n) para n. Genericamene, adicionando ouros impulsos deslocado no empo e escalonados em ampliude, podemos escrever: x( n ) = + x( 3 ). δ ( n + 3 ) + x( ). δ ( n + ) + x( ). δ ( n + ) + + x( ). δ ( n ) + x( ). δ ( n ) + x( 3 ). δ ( n 3 ) + x( ). δ ( n ) + Escrevendo ese somaório numa forma mais compaca, obemos: + = x( n ) = x( ). δ ( n ) () Iso corresponde à represenação de uma sequência arbirária como uma combinação linear de impulsos deslocados no empo δ(n-), cuja peso nesa combinação linear é x(). 6 Orlando Ferreira Soares

69 Consideremos a resposa de um sisema linear (que poderá ser variane no empo) a uma enrada x() em que podemos represenar a enrada pela expressão (). Vamos represenar por h (n) a resposa do sisema linear a um impulso uniário deslocado no empo δ(n-). Assim, a parir da propriedade da sobreposição para sisemas lineares, iso é, x( n ) y( n ) = = a a x y ( n ) = a ( n ) = a x ( n ) + a y ( n ) + a x y ( n ) + a ( n ) + a 3 3 x ( n ) y ( n ) +... a resposa y(n) do sisema linear à enrada x(n) da equação () é simplesmene a combinação linear pesada desas resposas básicas. Iso é, com a enrada x(n) num sisema linear expresso pela expressão (), a saída y(n) pode ser expressa pela expressão: + = y ( n ) = x( ).h ( n ) () De acordo com a expressão (), se soubermos a resposa de um sisema linear a uma conjuno de impulsos uniários deslocados no empo, podemos consruir a resposa a uma enrada arbirária. Uma inerpreação da expressão () é apresenada a seguir. 3 Orlando Ferreira Soares 6

70 Consideremos o sinal x(n) que é aplicado a um sisema linear cujas resposas aos sinais δ(n+), δ(n) e δ(n-) são h - (n), h (n) e h (n), respecivamene, Como o sinal x(n) pode ser represenado como uma combinação linear dos sinais δ(n+), δ(n) e δ(n-), a propriedade da sobreposição permie-nos escrever a resposa de x(n) como uma combinação linear das resposas individuais a cada impulso deslocado no empo. As resposas individuais as eses impulsos com a ampliude escalonada são 6 Orlando Ferreira Soares

71 Orlando Ferreira Soares 63

72 O sinal x(n) é a soma das componenes do lado esquerdo das figuras e a saída y(n), pelo propriedade da sobreposição, é a soma das componenes do lado direio da figura, ou seja: Geralmene, as resposas h (n) necessiam ser relacionadas umas com as ouras para diferenes valores de. No enano, se o sisema linear é ambém Invariane no empo, enão esas resposas podem ser obidas umas das ouras aravés do deslocameno no empo. Especificamene, como δ(n-) é uma versão deslocada de δ(n), a resposa h (n) é uma versão deslocada de h (n); i.é., h ( n ) = h ( n ) Uma noação mais conveniene é represenar h (n) por h(n) a que designamos por Resposa Impulsional Uniária: h ( n ) = h ( n ) Iso é, h(n) é a resposa de um sisema LI quando δ(n) é a enrada. Assim, para um sisema LI, a equação () orna-se 64 Orlando Ferreira Soares

73 y ( n ) = + = x( ).h( n ) Somaório de Convolução Esa expressão é conhecida como a Convolução da sequência x(n) e h(n). Simbolicamene, a operação de convolução é represenada por: y( n ) = x( n ) h( n ) Sisema LI Conínuos O Inegral de Convolução Em analogia com o resulado obido na secção anerior, o objecivo desa secção é ober uma caracerização complea de um sisema conínuo LI em função da resposa impulsional uniária. No caso conínuo não podemos exprimir um sinal em função de uma sequências de impulsos pois não exisem empos discreos. No enano podemos pensar num impulso uniário como a idealização de um pulso curo de modo que a sua duração seja inconsequene para qualquer sisema real. Para desenvolver a versão conínua da propriedade de deslocameno expressa na expressão (), vamos considerar um pulso ou uma aproximação escada, xˆ ( ), ao sinal conínuo x(), como é ilusrado na seguine figura: Orlando Ferreira Soares 65

74 De uma forma análoga à uilizada no caso discreo, esa aproximação pode ser expressa como uma combinação linear de pulsos deslocados no empo. 66 Orlando Ferreira Soares

75 Se definirmos, δ ( ) =, ouro valor de enão, desde que δ ) enha uma ampliude uniária, iramos a expressão: ( xˆ + ( ) = x( ). δ ( ) (3) = A parir das figuras aneriores, al como no caso discreo, para cada valor de, só exise um ermo no somaório da expressão (3) que é diferene de zero. Orlando Ferreira Soares 67

76 Quando, a aproximação de xˆ ( ) orna-se cada vez melhor, e no limie orna-se igual a x(). Por isso, x( ) = + lim x( ). δ ( ) (4) = ambém, quando, o somaório na expressão (4) aproxima-se de um inegral. Podemos verificar iso pela inerpreação dos seguines gráficos: 68 Orlando Ferreira Soares

77 Podemos observar os sinais x( τ ), δ ( τ ) e o seu produo. ambém é ilusrada uma região sombreada cuja área aproxima-se à áreas de x( τ ). δ ( τ ) quando. É de noar que a zona sombreada em uma área igual a x( m ) onde < m <. Além disso, para ese valor de, só o ermo com =m oma valor diferene de zero na expressão (4) e a expressão oma o valor x( m ). Consequenemene e a parir da definição iramos a seguine expressão δ ) = lim δ ( ) ( + x ( ) = x( τ ). δ ( τ ) dτ (5) Mais uma vez, devemos olhar para a expressão (5) como uma idealização no senido de, para valores suficienemene pequenos de, a aproximação de x() na expressão (3) é essencialmene exaca para qualquer aplicação práica. Assim, a expressão (5) represena uma idealização da expressão (3) considerando infiniamene pequeno. Orlando Ferreira Soares 69

78 Como no caso discreo, vamos verificar a seguir que qualquer sinal arbirário conínuo pode ser viso como a sobreposição de pulsos deslocados no empo e escalonados em ampliude. Em paricular, a aproximação represenada na expressão (3) represena o sinal xˆ ( ) como a soma de vários versões correspondenes ao deslocameno no empo e escalonameno de ampliude do pulso básico δ ). Consequenemene, a resposa ŷ( ) de um sisema linear a ese sinal será a sobreposição das resposas às versões deslocadas e escalonadas de δ ( ). Especificamene vamos definir h ( ) como a resposa de um sisema LI à enrada δ ( ). Assim, a parir da expressão (3) e da propriedade da sobreposição, para sisemas lineares, emos discreo. ŷ ( ) = + = x( ).ĥ ( ) A inerpreação desa expressão é semelhane à da expressão () do caso Em paricular, vamos considerar o seguine caso conínuo. Consideremos o sinal x() e a sua aproximação xˆ ( ). ( 7 Orlando Ferreira Soares

79 A seguir são apresenadas as resposas do sisema a rês dos pulsos pesados na expressão de xˆ ( ). Assim, a saída ŷ ( ) correspondene a xˆ ( ) é a sobreposição de odas esas resposas, como é indicado a seguir Orlando Ferreira Soares 7

80 Resa agora considerar o que aconece se o valor de se ornar infiniamene pequeno, i. é.,. Em paricular xˆ ( ) orna-se uma boa aproximação de x(). Consequenemene, a resposa a xˆ ( ), nomeadamene ŷ ( ), orna-se uma boa aproximação de y(), a resposa ao sinal de enrada x(). Quando, a duração do pulso δ ( ) orna-se insignificane, logo pode-se aproximar a um impulso uniário e a resposa a ese pulso ĥ ( ) orna-se a resposa a um impulso no caso limie. Assim, se designarmos ĥ τ ( ) pela resposa no insane a um impulso uniário δ ( τ ) localizada no insane τ, emos y( ) = + lim = x( ).ĥ ( ) 7 Orlando Ferreira Soares

81 Quando o somaório orna-se inegral como pode ser viso na figura, ou seja y( + ) = x( τ ). hτ ( ) dτ (6) Esa expressão represena a forma geral da resposa de um sisema linear no empo conínuo. Se, além de ser linear, for um sisema invariane no empo, enão podemos considerar h ( ) τ = h ( τ ) i. é., a resposa de um sisema LI a um impulso uniário δ ( τ ), que é deslocado de τ segundos da origem, é uma versão deslocada da resposa ao impulso uniário δ ( ). Orlando Ferreira Soares 73

82 Novamene, para uma noação conveniene, vamos definir como Resposa Impulsional Uniária h() h ( ) = h ( ) Iso é, h() é a resposa de um sisema LI quando δ() é a enrada. Assim, para um sisema LI, a equação (6) orna-se y( ) = + x( τ ).h( n τ ) dτ Inegral de Convolução Esa expressão é conhecida como o Inegral de Convolução do sinal x() e h(). Simbolicamene, a operação de convolução é represenada por: y( ) = x( ) h( ) 74 Orlando Ferreira Soares

83 Propriedades de Sisemas LI Propriedade Comuaiva Uma propriedade básica da convolução em ambos os casos conínuo e discreo é o faco de raar-se de uma operação comuaiva. Iso é, no caso discreo x ( n ) h( n ) = h( n ) x( n ) = + = h( ).x( n ) e no caso conínuo x ( ) h( ) = h( ) x( ) = + h( τ ).x( τ ).dτ variável Esa propriedade é facilmene demonsrada aravés de uma subsiuição de r = n = n r x( n ) h( n ) = + = h( ).x( n ) = r= A inerpreação do caso conínuo é idênica. + x( n r ).h( r ) = h( n ) x( n ) Orlando Ferreira Soares 75

84 Propriedade Disribuiva Oura propriedade básica da convolução é a propriedade disribuiva. Especificamene, a convolução é disribuiva em relação à adição. Assim, no caso discreo [ h ( n ) + h ( n )] = x( n ) h ( n ) + x( n ) h ( n ) x( n ) e no caso conínuo [ h ( ) + h ( )] = x( ) h ( ) + x( ) h ( ) x( ) Consideremos o seguine sisema consiuído por dois sisemas LI em paralelo. y( ) = x( ) h ( ) e y( ) = x( ) h ( ) 76 Orlando Ferreira Soares

85 a saída do sisema vem y( ) = x( ) h ( ) + x( ) h ( ) [ h ( ) h ( )] y( ) = x( ) + Propriedade Associaiva Oura propriedade muio imporane e úil da convolução é a propriedade associaiva. Iso é, no caso discreo e no caso conínuo [ h ( n ) h ( n )] = [ x( n ) h ( n )] h ( n ) x( n ) [ h ( ) h ( )] = [ x( ) h ( )] h ( ) x( ) A inerpreação desa propriedade é fácil de perceber se recorrermos às seguines figuras Orlando Ferreira Soares 77

86 Nese sisema emos y( n ) y( n ) = = w( n ) Ese sisema é equivalene ao seguine h ( n ) [ x( n ) h ( n )] h ( n ) Nese caso emos y( n ) y( n ) = = x( n ) x( n ) h( n ) [ h ( n ) h ( n )] 78 Orlando Ferreira Soares

87 Série de Fourier em empo Conínuo Uma écnica de análise comum em engenharia é a parição de um problema complexo nouros mais simples. Eses são depois resolvidos e a solução final é a soma das soluções simples enconradas. Um exemplo é o uso da expansão em Série de aylor de uma função, onde a função é expressa por uma consane, mais uma função rampa, mais uma função parabólica, ec. onde f ( ) = f ( ) + f ( ). + f ( ) +...! df ( ) f ( ) = ; d = f ( ) = d f ( ) d = ; ec. O problema que envolve f() é resolvido considerando apenas a consane, depois considerando só a função rampa, ec. A solução final é a soma desas soluções. É necessário saisfazer rês requisios para que a solução acima descria seja válida e úil. Primeiro, deve ser possível expressar o problema como um número de problemas mais simples. Depois, o problema deve ser linear, de modo que a solução da soma das funções seja igual à soma das soluções considerando uma função de cada vez. Orlando Ferreira Soares 79

88 O erceiro requisio é o de a conribuição das solução simples para a solução final serem desprezáveis após considerar alguns ermos; de ouro modo, a vanagem desa écnica pode ser perdida se for necessário considerar uma grande quanidade de soluções. Nese capíulo vamos considerar uma da mais imporanes ferramenas de análise de sinais e sisemas Lineares e Invarianes no empo (LI); esa ferramena é usada para expressar sinais periódicos complexos como a soma de sinais mais simples. Os sinais mais simples são sinusóides, e a soma resulane é designada de Série de Fourier, ou Expansão de Fourier. Aproximação de Funções Periódicas No esudo da Série de Fourier consideramos a variável independene das funções envolvidas o empo. No enano, odas as ferramenas desenvolvidas nese capíulo podem ser aplicadas a ouras variáveis que não sejam o empo. Uma função x() é dia periódica, com período, se a relação x ( ) = x( + ) for saisfeia para odos os valores de. Por exemplo, a função cos w é uma função periódica viso que π cos w( + ) = cos( w + w ) = cos( w + w ) = cos( w + π ) = cos w w 8 Orlando Ferreira Soares

89 Além disso, as funções periódicas êm as seguines propriedades:. As funções periódicas exisem indefinidamene no empo; na equação x ( ) = x( + ), não é esabelecido um limie para o valor de ;. Uma função periódica com período ambém é periódica com período n, onde n é um número ineiro. Assim, para uma função periódica, x ( ) = x( + ) = x( + n ) 3. É definido como Período fundamenal como o mínimo valor do período > que saisfaça x ( ) = x( + ). A Frequência fundamenal é definida por w π = πf =. Formas da Série de Fourier exemplo Para inroduzir a Série de Fourier, vamos considerar a seguine função como x( o ( w + 3 ) 4sen w ) = + 3cos w + 5cos + 3 É fácil verificar que ese sinal é periódico com período π =. w Vamos agora raduzir esa equação noura forma maemáica aplicando as relações de Euler: Orlando Ferreira Soares 8

90 8 Orlando Ferreira Soares θ θ θ j j e e cos + = j e e sen j j θ θ θ = vem [ ] ( ) ( ) [ ] w j w j w j w j jw jw e e j e e e e ) x( o o = ou w j j w j j jw jw w j j w j j e e e e, e, e, e e, e e ) x( π π π π = Esa equação ainda pode ser expressa na forma compaca w j w j jw jw w j w j e C e C e C C e C e C e C ) x( = = = 3 3 jw C e ) ( x

91 Os coeficienes C para esa série de funções exponenciais complexas são: C C - -,5,5,5 3 o,5-3 o 3-9 o 9 o É de noar que C = C - *, onde * represena o complexo conjugado. Podemos ambém verificar que a soma de funções sinusoidais pode ser converida para a soma de funções exponenciais complexas. Para um sinal periódico x(), a Forma Exponencial da Série de Fourier é dada pela equação: x( ) jw = C e C = C = A frequência w é designada de Frequência fundamenal ou do Primeiro harmónico, e a frequência w é designada como a frequência do harmónico de ordem. Os coeficienes C são designados por Coeficienes de Fourier. Na generalidade o coeficiene C é complexo, com C - igual ao conjugado de C. O coeficiene C pode ser expresso como, com < <, C = C e jθ Orlando Ferreira Soares 83

92 Como C = C, enão θ = θ. Para um deerminado valor de, a soma dos dois ermos com a mesma frequência w na forma exponencial da série de Fourier vem: C e jw + C e jw = C = C = C e e + C e e j [ ( w ) j( w e +θ +θ + e )] jθ cos jw ( w + θ ) jθ jw Assim, para uns deerminados coeficienes de Fourier C, podemos deerminar facilmene a Forma rigonomérica Combinada da Série de Fourier: x( ) = C + = C cos ( w + θ ) Uma erceira forma da Série de Fourier pode ser obida aplicando a idenidade rigonomérica O uso desa idenidade leva-nos a x ( ) = C cos( a + b ) = cos a.cos b sen a.sen b [ C cos θ.cos w C sen θ.sen w ] + = A parir das relações de Euler, podemos definir os coeficienes A e B como C = C e jθ 84 Orlando Ferreira Soares

93 C = C cos θ + j C sen θ C = A jb onde A e B são reais. Subsiuído na fórmula anerior, obemos a Forma rigonomérica da Série de Fourier. x( ) = A + = A.cos w + = B.sen w com A = C. Coeficienes de Fourier A seguir vamos calcular os coeficienes de Fourier. Muias aproximações podem ser consideradas para deerminar a equação de C. Vamos considerar uma aproximação que é a de assumir que a forma exponencial da série de Fourier é válida, iso é, que os coeficienes C podem ser obidos para saisfazer a equação = jw x( ) = C e onde x() é uma função periódica com frequência fundamenal igual a w. Em primeiro vamos muliplicar cada membro por depois inegrar de = a =. jnw e, com n um número ineiro, e Orlando Ferreira Soares 85

94 x( )e e jnw jw jnw d = C e = Alerando a ordem do somaório e do inegral d x( )e jnw d = = C e j( n )w d Usando as relações de Euler, o ermo geral do somaório pode ser expresso como, C j( n )w e d = C cos( n )w.d + jc sen( n )w. d O segundo ermo é nulo porque é a inegração da função seno num número ineiro de períodos. Iso ambém se verifica para o primeiro ermo excepo para =n. Para ese caso, C de onde concluímos que cos( n )w.d = C n d = = n jnw x( )e d = C n C n Resolvendo em ordem a C n C n = jnw x( )e d 86 Orlando Ferreira Soares

95 obemos a expressão que relaciona o sinal periódico x() e o coeficiene de Fourier C n. Como a função inegrada é periódica com período, os limies do inegral podem ser generalizados para e +, onde é um insane arbirário. Podemos expressar iso como a inegração num período, ou seja, C = x( )e jw d Podemos agora considerar o coeficiene C como C = x( )d Assim, C é o valor médio do sinal x(). Ese valor médio ambém é designado por nível ou valor dc (conínuo) na análise de circuios. Para algumas formas de onda é fácil deerminar o valor médio apenas por inspecção. Para deerminar os coeficienes da forma rigonomérica da série de Fourier vamos aplicar novamene as relações de Euler à expressão de C, ou seja, C = x( ) ( cos w j sen w ) d = x( )cos w.d j x( )sen w.d Como C = A jb Orlando Ferreira Soares 87

96 enão ou seja A B = Re [ C ] [ ] = Im C A = x( )cos w. d B = x( ) sen w. d Viso que A = C iramos A = x( )d A forma exponencial e a forma combinada da série de Fourier são provavelmene as mais úeis. Os coeficienes da forma exponencial são os mais fáceis de deerminar, enquano que as ampliudes dos vários harmónicos são direcamene deerminados na forma combinada rigonomérica. 88 Orlando Ferreira Soares

97 Normalmene deermina-se o valor de C ; se for necessário deerminar as ampliudes dos harmónicos, esas são iguais a igual a C. C ; no enano, a ampliude dc é Para represenar graficamene os harmónicos de um sinal usa-se o Especro de frequências do sinal. Um especro de frequências é geralmene um gráfico que mosra, de alguma forma, as ampliudes ( ) especro de ampliudes e as fases (arg C ) especro de fases dos harmónicos do sinal, em função da frequência. C Exemplo Considere onda quadrada mosrada a seguir: a) Escreva a forma exponencial da série de Fourier do sinal; b) Escreva a forma combinada rigonomérica da série de Fourier do sinal; c) Escreva a forma rigonomérica da série de Fourier do sinal; d) Faça um esboço do especro de ampliude e o especro de fases do sinal. Orlando Ferreira Soares 89

98 Efeios de Simeria O cálculo da série de Fourier de um sinal x() pode ornar-se mais simples se deecarmos à parida que o sinal possui uma deerminada simeria. Um sinal em simeria par se x( ) = x( ), simeria impar se x( ) = x( ), e ainda pode er simeria de meia onda se x( ) = x( + ). Vamos verificar as simplificações nos cálculos dos coeficienes de Fourier para sinais com simeria par e impar. Simeria Par Consideremos o sinal a seguir apresenado para o qual vamos deerminar os coeficienes da forma rigonomérica da série de Fourier. x() A 9 Orlando Ferreira Soares

99 Orlando Ferreira Soares 9 A função esá definida num período da seguine forma: = A A ) x( O valor médio A do sinal é: + =.d A.d A A A.d A A = = O coeficiene A, + = d. w.cos A.d w.cos A A π = = par impar 4 A.d w.cos A. A

100 O coeficiene B, B = A.sen w.d + A.sen w. d B = Genericamene, para um sinal x() qualquer com simeria par: A = x( )d A = 4 x( )cos w. d B = C = A C = A 9 Orlando Ferreira Soares

101 Simeria Impar Consideremos o sinal a seguir apresenado para o qual vamos deerminar os coeficienes da forma rigonomérica da série de Fourier. x() A -A Vamos definir a função num período. x( ) = A, O valor médio A do sinal é: A = A.d A = Orlando Ferreira Soares 93

102 94 Orlando Ferreira Soares O coeficiene A, = d. w.cos A A = A O coeficiene B, = d..sen w A B π π = = par impar A A.d.sen w A. B Genericamene, para um sinal x() qualquer com simeria impar: = A = A = 4 d. ) sen w x( B = C B C j =

103 Propriedades da Série de Fourier Iremos ver algumas propriedades da Série de Fourier. Qualquer função periódica x() que saisfaça as condições de Diriche pode ser expandida em série de Fourier. As condições de Dirichle são:. x() em um número finio de desconinuidades num período;. x() em um número finio de máximos e mínimos num período; 3. x() é limiada. A erceira condição em sido expandida para incluir funções singulares, e pode ser descria por 3a. x ( )d < Qualquer função do empo que se pode enconrar em sisemas físicos saisfazem esas condições. Uma função x() que saisfaz as condições de Dirichle:. A série de Fourier converge para o valor de x() em odos os ponos de coninuidade onde x() em derivada à direia e à esquerda, sendo essas derivadas iguais ou não. A derivada à direia de x() em = a é definida como a derivada quando ende para a pelo lado direio. A derivada à esquerda é a derivada quando ende para a pelo lado esquerdo. Orlando Ferreira Soares 95

104 . Se x() em uma desconinuidade num pono, a série de Fourier converge para a média dos limies de aproximação de x() pelo lado direio e pelo lado esquerdo; iso é, em qualquer pono a, C = e jw x( ) x( ) a + a a = onde x( a ) é o limie de x() quando ende para a a parir da esquerda, e + x( a ) é o limie de x() quando ende para a a parir da direia. É de noar que esa expressão ambém é válida para um pono de coninuidade. 3. Quase nenhuma função conínua x() com período pode ser aproximada uniformemene por uma série de Fourier runcada com algum grau de exacidão, em que a série é dada por + x N ( ) = N C = N e jw = C N + = C cos ( w + θ ) Esa propriedade aplica-se a qualquer função conínua periódica que possa ser enconrada na práica de engenharia. Pode-se definir o erro da aproximação da série runcada como e( ) = x( ) x N ( ) Esa propriedade deermina que ese erro pode ser limiado por um número diferene de zero aravés da escolha de um valor de N suficienemene elevado. 96 Orlando Ferreira Soares

105 4. Consideremos o erro de aproximação com o coeficiene C arás definido. Podemos minimizar o erro quadráico médio, definido por erro quadráico médio = e ( )d Iso é, nenhuma oura escolha do coeficienes na série harmónica produzirá um erro quadráico médio menor. 5. O somaório de funções rigonoméricas de w que é periódica é a sua própria série de Fourier. 6. O coeficiene de Fourier do harmónico de ordem para x() decresce sempre pelo menos como, para um valor suficienemene elevado de. Se x() em uma ou mais desconinuidades num período, o coeficiene não pode diminuir mais do que iso. Se a derivada de ordem n de x() é a primeira derivada que coném uma desconinuidade e se odas as derivadas a parir da de ordem n saisfazem as condições de Dirichle, os coeficienes de Fourier endem para zero como, para um valor de suficienemene elevado. 7. A série de Fourier da soma de várias funções periódicas é igual à soma das séries de Fourier de cada função. É necessário que a soma das funções seja uma função periódica; caso conrário a soma não em série de Fourier. n+ Orlando Ferreira Soares 97

106 Deerminação da Forma Exponencial por derivação Consideremos o desenvolvimeno de um sinal na Forma Exponencial da Série de Fourier = jw x( ) = C e Vamos agora deerminar as sucessivas derivadas de x ( ) : dx jw jw x ( ) = = jw = C e C e d = = ( ) = d x d = jw ( jw ) C e = = = C e x ( ) = 3 d x 3 d = 3 jw ( jw ) C e = = = C e jw x jw ( p ) ( ) d x p p jw ( p ) jw x ( ) = = ( jw ) C e = ( p ) C e d = = 98 Orlando Ferreira Soares

107 que Por comparação dos coeficienes C, C, C... e ( p ) C podemos concluir p ( jw ) C ( p ) C = ou ainda C = C ( p ) ( jw ) p Viso que a derivada da função Degrau Uniário é o Impulso Uniário, iso é: du d = δ ( ) u() δ() Vamos agora desenvolver em Série de Fourier a função rem-de-impulsos: Orlando Ferreira Soares 99

108 δ() - - definição Para deerminar a Série de Fourier vamos proceder ao cálculo de C. Pela C jw [ e ] δ jw jw = x( )e d = ( )e d = = = Logo a Série de Fourier pode ser escria: = jw δ ( ) = e A aplicação dese méodo consise em derivar consecuivamene os sinais aé ober Impulsos Uniários. Depois e conhecida a expansão em série do Impulso Uniário é possível deerminar pela expressão de equação dada aneriormene. C a parir de ( p ) C pela Orlando Ferreira Soares

109 Exemplo Deermine, por derivação a Forma Exponencial da Série de Fourier do seguine sinal: x() A 4 4 Orlando Ferreira Soares

110

111 ransformada de Fourier em empo Conínuo A ransformada de Fourier é um méodo de represenar maemaicamene modelos de sinais e sisemas no domínio das frequências. Os engenheiros usam a ransformada de Fourier para simplificar a análise maemáica de sinais e sisemas e para explicar fenómenos físicos maemaicamene. É muio usada no campo da engenharia elecroécnica, especialmene no esudo de sinais e sisemas elecrónicos de comunicações. Nese capíulo vamos inroduzir a ransformada de Fourier de forma a perceber os conceios maemáicos básicos associados e as possíveis aplicações na análise e projecção de sinais e sisemas lineares. Definição de ransformada de Fourier Para explicar a definição da ransformada de Fourier vamos começar por considerar, em primeiro lugar, a série de Fourier definida no capíulo anerior, sob a forma exponencial: = f ( ) = C e Orlando Ferreira Soares 3 jw

112 onde C = f ( )e jw d No capíulo anerior vimos como um sinal pode ser represenado pela série de Fourier. Agora vamos considerar as consequências da expansão do período de um sinal periódico. Para isso, vamos aumenar indefinidamene o período aé ese se ornar infinio; assim, a onda não vola a ser repeida, ou seja, 4 Orlando Ferreira Soares

113 Vamos considerar agora o expoene da função exponencial conida no inegral de C. A quanidade w varia em quanidades de w quando aumena. Por ouras palavras Como w w = ( + )w w = w π =, o incremeno da frequência diminuí quando, o período da onda, aumena. Se o limie de se aproxima de infinio, a variação da frequência w orna-se a frequência infiniesimal dw: lim π = dw ambém a quanidade w π = se aproxima de dw quando ende para infinio. Como é um número ineiro infiniamene variável, o produo dw ornase a frequência conínua variável w. Agora podemos escrever C = lim π π f ( )e π j d C = f ( )e π jw d dw Orlando Ferreira Soares 5

114 A função enre parênesis na equação anerior é definida como ransformada de Fourier e é escria como e assim, Podemos escrever f ( ) = F { f() } F ( w ) = = jw = f ( )e d C = w )dw π F ( jw F ( w ).dw.e = π π = F ( w )e Nesas condições o somaório orna-se inegral e a equação de f() pode ser rescria como jw dw f ( jw ) = F ( w )e dw = π F { F ( w )} Esa equação define a ransformada Inversa de Fourier. Esas duas relações são designadas por par de ransformadas e a sua relação é normalmene represenada em noação maemáica como f ( ) F F ( w ) 6 Orlando Ferreira Soares

115 As condições suficienes para que exisa ransformada de Fourier são similares às verificadas para a série de Fourier. Essas condições são as condições de Dirichle:. Num inervalo finio: a. f() é limiada. b. f() em um número finio de máximos e mínimos. c. f() em um número finio de desconinuidades.. f() é absoluamene inegrável, iso é, f ( )d < É de noar que esas condições são suficienes mas não necessárias. O uso da ransformada de Fourier para análise de muios sinais úeis seria impossível se esas condições fossem necessárias. Uma das condições suficienes é que a função f() seja absoluamene inegrável. Qualquer sinal real que saisfaça a condição E = f ( ) d < é absoluamene inegrável. Nesa equação E é a energia associada a um sinal, que pode ser visa como se f() represenasse a ensão aos erminais de uma resisência uniária. A poência fornecida seria Orlando Ferreira Soares 7

116 f ( ) p ( ) = = R f ( ) e a inegração da poência no empo é energia. Propriedades da ransformada de Fourier A ransformada de Fourier em várias propriedades que podem simplificar subsancialmene o seu uso na análise de sinais e sisemas. Vamos ver as principais propriedades usadas em engenharia. Linearidade Como a ransformada de Fourier é a inegração de f() e a sua inversa é a inegração de F(w), e como a inegração é uma operação linear, podemos concluir que a ransformada de Fourier é uma operação linear. A propriedade da linearidade da ransformada de Fourier define-se da seguine forma: Se para um dado par de ransformadas. f ( ) F F ( w ) e f ( ) F F( w ) 8 Orlando Ferreira Soares

117 enão F af ( ) + bf( ) af ( w ) + bf( w ) onde a e b são consanes. Por ouras palavras, o princípio da sobreposição aplicase à ransformada de Fourier. Escalonameno no empo enão A propriedade de escalonameno no empo é verificada se f ( ) F F ( w ) f ( a F ) a F w a Esa propriedade é facilmene demonsrada aravés da definição da ransformada de Fourier F { } f(a) f jw = ( a )e d Fazendo uma subsiuição de variável τ=a., vem dτ=a.d e a equação é escria da seguine forma: Orlando Ferreira Soares 9

118 Comparando com a definição F { } τ) a w j τ d f( = f ( τ )e a τ a w a F { f(a) } = F quando a>. O módulo no facor de escala, a, permie que esa propriedade seja aplicada quando o a em um valor posiivo ou negaivo. Deslocameno no empo Esa propriedade em a seguine formulação maemáica f ( F ) F ( w )e jw onde a variável represena o deslocameno no empo. Uilizando novamene a definição F { } f( ) = f ( )e jw d Fazendo uma subsiuição de variável τ=-, vem dτ=d e a equação é escria da seguine forma: Orlando Ferreira Soares

119 { } ( τ+ F f( τ) f ( τ )e ) jw jw eoria do Sinal jwτ = dτ = e f ( τ )e dτ Comparando com a definição jw F { f( )} = F ( w )e ransformação no empo As propriedades de escalonameno e deslocameno no empo podem ser combinadas numa propriedade mais generalizada de ransformação no empo. Fazendo τ = a onde a é o facor de escala e o deslocameno no empo. A Aplicação da propriedade de escalonameno no empo dá-nos F f ( a ) a w F a Aplicando a propriedade de deslocameno no empo à função de escalonameno no empo obemos a propriedade de ransformação no empo f ( a F ) a F w e a w j a Orlando Ferreira Soares

120 Dualidade A simeria da ransformada de Fourier e da sua inversa nas variáveis e w podem ser visa por comparação das seguines equações: F F { } f() F ( w ) = f jw = ( )e d jw = F ( w )e dw { } F ( w ) f ( ) = π A propriedade da dualidade, que ambém é conhecida por propriedade da simeria, é definida como F ( F ) πf ( w ) quando f ( ) F F( w ) Esa propriedade define que se a função maemáica f() em a ransformada de Fourier F(w), enão F( w ) w= F = F( ) πf ( w ) = πf ( ) = w Orlando Ferreira Soares

121 Convolução eoria do Sinal A propriedade da convolução designa que se: f ( ) F F ( w ) e f ( ) F F( w ) enão a convolução dos sinais no domínio do empo em o efeio da muliplicação das suas ransformadas no domínio das frequências. Assim, onde F f( ) f( ) F ( w ).F ( w ) f ( ) f ( ) = f( τ ) f ( τ )dτ = f( τ ) f ( τ ) dτ ambém, por aplicação da propriedade da dualidade, podemos verificar que a muliplicação dos sinais no domínio do empo produz o efeio da convolução das respecivas ransformadas no domínio das frequências. Esa propriedade é ambém designada por propriedade da muliplicação. onde F f( ). f( ) F ( w ) F( w ) π F ( w ) F ( w ) = F ( λ )F ( w λ )dλ = F ( w λ )F ( λ ) dλ Orlando Ferreira Soares 3

122 Deslocameno nas frequências por A propriedade de deslocameno nas frequências é maemaicamene expressa f ( )e jw F F( w w ) Esa propriedade é facilmene demonsrada aravés da definição da ransformada de Fourier F jw { } ( f()e jw f()e jw j w w e d = f()e ) = d Comparando com a definição F jw { f()e } = F ( w w ) Derivação no empo Se f ( ) F F( w ) 4 Orlando Ferreira Soares

123 enão d [ f ( )] d F jwf ( w ) Recorrendo mais uma vez à definição da ransformada inversa de Fourier jw f ( ) = F ( w )e dw π Derivando a equação em ordem ao empo, obemos d [ f ( )] d jw = jw.f ( w )e dw π Comparando com a definição iramos F d [ f() ] d = jw.f ( w ) A propriedade da derivação pode ser definida genericamene para a derivada de ordem n como d n [ f ( )] d n F n ( jw) F( w ) Orlando Ferreira Soares 5

124 Inegração no empo Se f ( ) F F( w ) enão g( F ) = f ( τ )dτ F ( w ) + πf ( ). δ( w ) = G( w ) jw onde F ( ) F ( w ) w= = f = ( ) d Se f() em um valor médio (valor dc) diferene de zero, enão F(). Consideremos a convolução de um sinal genérico f() com a função degrau uniário: f ( ) u( ) = f ( τ )u( τ ) dτ A função degrau uniário u(-τ) esá definida como, u( τ ) =, τ < τ > 6 Orlando Ferreira Soares

125 e assim f ( ) u( ) = f ( τ )dτ Uilizando a ransformada da função degrau u( F ) πδ( w ) + jw e recorrendo à propriedade da convolução iramos que f ( F ) u( ) F ( w ). πδ( w ) + jw impulso. Combinando as duas equações iramos f F ( τ )dτ F ( w ) + πf ( ) δ( w ) jw O facor F() deve-se à aplicação da propriedade do deslocameno à função Derivação na frequência A propriedade de derivação no empo já demosrada em o seu dual para o caso da derivação no domínio das frequência. Orlando Ferreira Soares 7

126 Se f ( ) F F( w ) enão n ( j ) f ( ) n F d n F ( w ) Iso pode ser facilmene viso aravés da derivação de ambos os membros da equação que define a ransformada de Fourier, em relação a w: d df ( w ) dw [( j ) f ( )] jw = e d Esa equação define enão o par de ransformas de Fourier ( j ) F f ( ) que pode ser expandido à derivada de ordem n. df ( w ) d 8 Orlando Ferreira Soares

127 Cálculo da ransformada a parir da Série de Fourier Vamos consruir a ransformada de Fourier a parir da Série de Fourier. Po seja, vamos raduzir a ransformada como um rem-de-impulsos no domínio das frequências. Para isso, vamos considerar um sinal f() com ransformada F(w) que é um impulso de área π na frequência w=w, ou seja: F( w ) = πδ( w w ) Para deerminar o sinal com esa ransformada aplicamos a definição de ransformada inversa iso é, π = jw f ( ) F ( w )e π dw jw jw jw f ( ) = πδ( w w )e dw = e = e w= w - F πδ( w w ) e jw Orlando Ferreira Soares 9

128 Mais genericamene, se F(w) é formado pela combinação linear de vários impulsos igualmene espaçados no domínio das frequências, ou seja, F( w ) = πc δ( w w ) = Aplicando a definição de ransformada inversa f ( jw ) = πc δ( w w )e dw π f ( = = δ( w w jw ) = C )e dw = jw f ( ) = C e Esa expressão não é mais do que a Forma Exponencial da Série de Fourier, enão = - F jw πc δ( w w ) C e = Orlando Ferreira Soares

129 ransformada de Laplace Nos capíulos aneriores, vimos as ferramenas de análise de Fourier que são muio úeis no esudo de muios problemas imporanes que envolvem Sinais e Sisemas LI. A ransformada de Fourier em empo conínuo fornece-nos uma represenação de sinais como uma combinação linear de funções exponenciais complexas da forma js e com s = jw. No enano, muias funções necessiam ser aplicadas para qualquer valor de s e não só para valores imaginários puros. Esa observação leva-nos a uma generalização da ransformada de Fourier Conínua, conhecida por ransformada de Laplace, que iremos desenvolver nese capíulo. ambém veremos que a ransformada de Laplace e ransformada z êm muias propriedades que ornam a análise de Fourier muio úil. Além disso, esas ransformadas não só fornecem ferramenas adicionais para a análise de sinais e sisemas usando a ransformada de Fourier mas ambém podem ser aplicadas em siuações imporanes nas quais a ransformada de Fourier não pode ser aplicada. Por exemplo, a ransformada de Laplace e ransformada z podem ser aplicadas para analisar muios sisemas insáveis e consequenemene êm um papel imporane na invesigação da esabilidade e insabilidade de sisemas. Orlando Ferreira Soares

130 Definição de ransformada de Laplace Para começar vejamos a resposa de um sisema LI a uma exponencial complexa. Assim, vamos considerar um sisema LI com resposa impulsional h(). Para uma enrada x(), podemos deerminar a saída aravés do uso do inegral de convolução. Enão, para x ( ) = s e y ( + ) = h( τ ).x( τ ) dτ y( ) + s( = τ τ ) h( ).e dτ Exprimindo s( τ ) e inegral, a equação orna-se como e s e sτ, e como e s pode ser irada para fora do y( ) + s s = e. h( τ ).e τ dτ Assumindo que o inegral converge, a resposa a y ( ) = s H ( s ).e s e é dada pela forma onde H(s) é uma consane complexa cujos valores dependem de s e que esá relacionada com a resposa impulsional do sisema aravés H ( s ) + s = h( τ ).e τ dτ Orlando Ferreira Soares

131 Para s imaginário (i.é., s=jw), o inegral corresponde à ransformada de Fourier de h(). Para valores generalizados de variáveis complexas s, é referida como ransformada de Laplace da resposa impulsional h(). A ransformada de Laplace para um sinal qualquer x() é definida como X ( s ) + s = x( ).e d Esa equação é definida muias vezes por ransformada de Laplace Bilaeral, para disinguir da ransformada de Laplace Unilaeral. A ransformada bilaeral envolve uma inegração de - e +, enquano a ransformada unilaeral em uma forma semelhane a esa mas os limies de inegração são de a +. A seguir, apenas nos vamos concenrar na ransformada bilaeral. Podemos verificar que a ransformada é uma função da variável independene s. A variável complexa s pode ser escria como s = σ + jw, sendo σ e w as pares real e imaginária, respecivamene. x() como Por conveniência, vamos represenar a ransformada de Laplace de um sinal e a relação enre x() e X(s) por X ( s ) = L { x( )} x( ) L X ( s ) Orlando Ferreira Soares 3

132 Quando s=jw, a equação anerior vem igual a X ( w ) + jw = x( ).e d que corresponde à ransformada de Fourier; iso é X ( s ) s= jw = F{ x( )} A ransformada de Laplace ambém possuí uma ligação direca com a ransformada de Fourier quando a variável complexa s não é puramene imaginária. Para ver esa relação, consideremos X(s) e s expresso como s = σ + jw, de modo que ou X ( σ X ( σ + ( σ + jw ) + jw ) = x( ).e d + jw + jw ) = e d σ [ x( ).e ] podemos verificar que o ermo do lado direio é a ransformada de Fourier de x( ).e σ ; iso é, a ransformada de Laplace de x() pode ser inerpreada como a ransformada de Fourier depois da muliplicação por um sinal exponencial real. A exponencial real e σ posiivo ou negaivo. pode decrescer ou crescer no empo, dependendo se σ é 4 Orlando Ferreira Soares

133 Exemplo Considere o seguine sinal: x( ) = e a u( ) a) Deermine a ransformada de Fourier e indique a condição para que esa convirja; b) Deermine a ransformada de Laplace e indique a condição para que esa convirja. A solução da ransformada de Laplace de um deerminado sinal, requer, além da expressão algébrica, a gama de valores de s para os quais a expressão algébrica da ransformada é válida. Geralmene, a gama de valores de s para os quais o inegral converge é denominada por Região de Convergência (de forma abreviada como ROC). Iso é, a ROC consise nos valores de s = σ + jw para os quais a ransformada de Fourier de x( ).e σ converge. Orlando Ferreira Soares 5

134 Exemplo Deermine a ransformada de Laplace e a ROC do seguine sinal: x( ) = e u( ) + e cos 3.u( ) Para as ransformadas de Laplace Racionais, iso é, que são represenadas pela razão de dois polinómios da variável complexa s, do modo X ( s ) = N ( s ) D( s ) onde N(s) e D(s) são os polinómios do numerador e denominador, respecivamene, as soluções do polinómio do numerador são designadas por zeros de X(s), viso que para esses valores de s, X(s)=; e as soluções do polinómio do denominador são designadas por pólos, e para esses valores de s, X(s) é infinia. No plano-s os zeros são assinalados por e os pólos por. Os pólos e zeros de X(s) no plano-s caracerizam compleamene a expressão algébrica da ransformada de Laplace a menos de um facor de escala. A represenação de X(s) aravés dos seus pólos e zeros no plano-s é designada por diagrama de pólos-zeros de X(s). 6 Orlando Ferreira Soares

135 ransformada Inversa de Laplace Na secção anerior, inerpreamos da ransformada de Laplace de um sinal como a ransformada de Fourier do sinal ponderado por exponenciais complexas, iso é, com s expresso como s = σ + jw, a ransformada de Laplace do sinal x() é { } + x( ).e = σ σ jw X ( σ + jw ) = F x( ).e e d para valores de s = σ + jw na ROC. Podemos inverer esa relação usando a definição da ransformada Inversa de Fourier, ou seja x( ).e σ + F -{ X ( σ + jw )} = = X ( σ + jw )e dw π jw ou, muliplicando ambos os membros por + e σ, obemos ( σ + jw x( ) = X ( + jw )e ) σ dw π Iso é, podemos recuperar x() a parir do cálculo da sua ransformada de Laplace para um conjuno de valores de s = σ + jw na ROC, com σ fixo e w a variar de - aé +. Podemos usar esa caracerísica para descrever que a recuperação do sinal x() a parir de X(s) pode ser feia se alerarmos a variável de Orlando Ferreira Soares 7

136 inegração na equação anerior de w para s, viso que σ é consane e, assim, ds = jdw. O resulado raduz a ransformada Inversa de Laplace: x( ) = π j σ + j σ j X ( s )e s ds Esa equação raduz que x() pode ser represenado por um inegral ponderado de exponenciais complexas. Os limies de inegração são linhas recas no plano-s correspondendo a odos os ponos de s que saisfação Re { s} = σ. Esa linha é paralela ao eixo-jw. Assim, podemos escolher uma linha qualquer na ROC, i.é., podemos escolher qualquer valor de σ de modo que X ( + jw) σ convirja. Exemplo Deermine a ransformada Inversa de Laplace do seguine sinal: X ( s ) = ( s + )( s + ), Re { s } > 8 Orlando Ferreira Soares

137 Propriedades da ransformada de Laplace Depois de ermos esudado um conjuno de propriedades da ransformada de Fourier vamos definir agora um conjuno de propriedades da ransformada de Laplace. A dedução de muias propriedades é feia de forma análoga às deduções das propriedades da ransformada de Fourier. Consequenemene, não vamos apresenar com dealhe as presenes deduções. Linearidade Se enão x ( ) L X ( s ), com uma ROC que será denominada por R x ( ) L X ( s ), com uma ROC que será denominada por R ax ( ) + bx ( L ) ax ( s ) + bx ( s ) com a ROC a coner R R onde a e b são consanes. Orlando Ferreira Soares 9

138 Como é indicado, a ROC de X(s) é pelo menos a inersecção de R e R, que ambém pode ser um conjuno vazio, e nese caso X(s) não em região de convergência, i.é., x() não em ransformada de Laplace. Deslocameno no empo enão Se x( ) L X ( s ), com ROC = R x( L ) X ( s )e s, com ROC = R Deslocameno no Domínio-s enão Se x( ) L X ( s ), com ROC = R x( )e s L X ( s s ), com ROC = { } R + Re s 3 Orlando Ferreira Soares

139 Iso é, a ROC associada a ( s s ) é a de ( s ) X Re. s X deslocada por { } Assim, para qualquer valor de s que eseja em R, o valor Re{ } s + esará em R. s Escalonameno no empo enão Se x( ) L X ( s ), com ROC = R L s x ( a ) X, com ROC R = a a ar Iso é, para qualquer valor de s que eseja em R, o valor a s esará em R como podemos ver pelas figuras; para um valor de a posiivo Orlando Ferreira Soares 3

140 e para um valor de a negaivo Conjugação Se x( ) L X ( s ), com ROC = R 3 Orlando Ferreira Soares