APONTAMENTOS SINAIS E SISTEMAS

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1 Escola Superior de ecnologia - Insiuo Poliécnico de Seúbal APONAMENOS DE SINAIS E SISEMAS Folhas de Apoio às Disciplinas de Versão.a - Sinais e Sisemas º Ano EEC - eoria de Sinais e Sisemas Ano de EACI Elaborados por Rogério Largo Prof. Responsável pelas Disciplinas

2 Sinais e Sisemas -. Inrodução. Sinais Numa descrição simples pode-se dizer que um sinal é um fenómeno, que aconecendo em qualquer ambiene, pode ser descrio quaniaivamene. Os sinais são funções de uma ou mais variáveis independenes e, ipicamene conêm informação acerca do comporameno ou naureza de um fenómeno físico. Exemplo Som de voz: Sinal unidimensional função de uma variável simples, o empo. Exemplo Imagem vídeo a preo e branco : Sinal bidimensional depende das coordenadas (x, y). Represena a inensidade em cada pono (x, y).. Sisemas Os sisemas são enidades que manipulam ou respondem a um ou mais sinais para realizar uma função, gerando novos sinais. Exemplo ensões e correnes elécricas, como funções do empo, são exemplos de sinais. Circuios elécricos são exemplos de sisemas. Nese caso respondem às ensões e correnes elécricas. A abordagem dos sinais e sisemas pode ser feia de várias maneiras, dependendo do conexo e dos objecivos. Vejamos algumas siuações: Análise de sisemas com visa à sua caracerização e conhecimeno. Desenhar sisemas para processar sinais em ceros meios. Por exemplo, o radar recupera o sinal de eco produzido pelos objecos. Processar sinais com visa à sua resauração após erem sido sujeios a um processo de degradação. Por exemplo nas elecomunicações ou na resauração de imagem recebidas dos saélies. Acuar sobre os sisemas com visa a alerar as suas caracerísicas segundo especificações desejadas. Por exemplo no conrolo de processos..3 Exemplos de sisemas: Sisemas de Comunicações: São consiuídos por rês componenes básicos ransmissor (modulador) Canal Recepor (desmodulador). Exisem dois modos principais de comunicação: Broadcasing (radiodifusão) Um emissor e muios recepores. Pono-a-Pono Um ransmissor e um recepor, (geralmene é um sisema bidireccional). Nos sisemas de comunicação digiais idenificam-se rês fases: Amosragem (Sampling) convere o sinal analógico numa sequência de números. Quanificação represena cada número (produzido pela amosragem) pelo nível mais Rogério Largo Seúbal 999

3 Sinais e Sisemas - próximo de um conjuno finio de níveis discreos de ampliude. (Ex.: palavra de 6 bis => 6 níveis). Codificação represena cada amosra quanificada por uma palavra de código de um número finio de símbolos. (Ex.: código binário => símbolos s e s). O recepor execua as operações acima em ordem inversa ( a quanificação é irreversível). Sisemas de Conrolo: São usados em variadas siuações como refinarias, aviões, cenrais elécricas, robôs, ec. (O processo a conrolar oma usualmene a designação de plan ). - Preende-se ober uma resposa saisfaória e um comporameno robuso. - A resposa é a capacidade de a sua saída acompanhar uma enrada de referência. oma a designação de regulação. - A robusez é a exibição de uma boa regulação na presença de perurbações exernas. ~- x() e() m() Σ Conrolador Referência de enrada - b() - Sinal de realimenação Sensores Figura. Esquema ípico de um sisema de conrolo. Remoe Sensing (Sensores remoos): Processo de aquisição de informação acerca de objecos de ineresse sem esar em conaco com eles. São medidas as mudanças que o objeco provoca no ambiene adjacene. Ex.: elecromagnéicas: Radar; acúsicas: Sonar, ec. Processameno de sinais biomédicos: O objecivo é exrair informação de sinais biológicos para melhor compreensão das funções biológicas, ou para diagnósico e raameno de doenças. Em muias siuações os sinais biológicos são provocados pela acividade elécrica de um grande número de células musculares ou células nervosas (neurónios). Como exemplo emos a acividade cardíaca (ECG) e a acividade cerebral (EEG). Na capação de sinais de ECG ou EEG surgem arefacos (biológicos: pare do sinal produzida por aconecimenos esranhos ao fenómeno biológico que nos ineressa; ou insrumenais: gerados pelo uso de insrumenos), como por exemplo sinais de acividade muscular. A deecção e supressão dos arefacos é uma das grandes necessidades no processameno deses sinais..4 Processameno digial versus analógico No processameno analógico ou em empo conínuo recorre-se ao uso de elemenos analógicos como resisências, condensadores, induâncias, ransísores amplificadores, ec. No processameno digial ou em empo discreo usam-se rês elemenos digiais básicos: adicionadores, muliplicadores e memórias. As grandes vanagens do processameno digial são: Flexibilidade A mesma máquina digial pode ser adapada, aravés de programação, a diferenes operações no processameno. (No caso analógico seria necessário redesenhar os circuios). Repeibilidade É possível repeir a mesma operação de uma forma exaca. (Os sisemas analógicos sofrem de variação dos parâmeros). Plan Ruído ν() Σ Saída y() Rogério Largo Seúbal 999

4 Sinais e Sisemas - 3. Sinais Consoane o fenómeno que represenam, os sinais podem surgir sob diversas formas: São represenados maemaicamene como funções de uma ou mais variáveis independenes. Figura. Sinal de voz obido com um microfone - a pressão acúsica é converida num sinal elécrico. No caso da voz eremos a pressão acúsica como função do empo p(). No caso da imagem vídeo a preo e branco em-se o brilho como função da posição i(x,y). No presene rabalho raar-se-á essencialmene de funções de uma variável, em geral o empo.. ipos básicos de sinais. Sinais em empo conínuo e empo discreo - Falando de sinais emporais, podem dividir-se em sinais em empo conínuo (ou analógicos) em que a variável independene é coninua (fig..) e sinais em empo discreo (ou simplesmene discreos) em que a variável independene é discrea o empo é represenado pelo conjuno dos ineiros (fig..). Figura. Represenação de um sinal discreo: Evolução de um índice da bolsa cada inervalo de empo represena um dia Sinais deerminísicos Sinais com uma represenação maemáica explicia Ex.: x () = senw ( ) - Sinusóide. Oscilação harmónica. Na naureza, muios fenómenos que não êm uma descrição exaca, são descrios por um modelo maemáico aproximado. Ex. O movimeno de um pêndulo é frequenemene modelado por uma oscilação harmónica. Porém devido à fricção, efeios não lineares, ec., exisem desvios a esses movimenos que podem ser medidos como um erro: e(). e() = x() - y() [x() - modelo maemáico; y() - movimeno real do pêndulo] Rogério Largo Seúbal 999

5 Sinais e Sisemas - 4 Há siuações em que, eoricamene, um sinal não pode ser modelado exacamene, nem sequer um modelo aproximado pode ser desenvolvido. Ex.: Sinais aleaórios não podem ser modelado por uma equação. Em vez disso podemos escrever os seu aribuos aravés de uma esaísica. Sinais causais São sinais que só exisem a parir de um cero insane, habiualmene a origem dos empos. Ex.: x() = {y(), ;, <}. Sinais não causais não êm um início finio. São sinais não realizáveis só fazem senido maemaicamene.. Sinais em empo conínuo (sinais analógicos) Enconram-se em odos os ambienes, como sejam a elecrónica, as elecomunicações, o conrolo de processos, a insrumenação, ec. A designação empo conínuo deve-se à variável empo ser conínua (por oposição a empo discreo). A sua represenação maemáica é um conínuo de ponos em ambas as variáveis, dependene e independene. Um sinal diz-se conínuo se for conínuo em odos os ponos. Se isso não se verifica diz-se desconínuo. Por ouro lado se um sinal for desconínuo apenas em pono isolados diz-se conínuo por roços (piecewise coninuous). x() Figura.3 Sinal conínuo Figura.4 Sinal conínuo por roços Para sinais em empo conínuo podem definir-se alguns valores esaísicos no empo: i) Média: x ( ) = lim x( ) d (não confundir com a média esaísica) ii) Média quadráica: x ( ) = lim x( ) d iii) Variância: σ x () = x () x() iv) Valor RMS (roo mean square): x ( ) (uso frequene em medidas elécricas) v) Energia oal: Ex = lim x( ) d Rogério Largo Seúbal 999

6 Sinais e Sisemas - 5 vi) Poência: P x = lim x( ) d (é a média quadráica) C vii) Poência num inervalo finio: P [ ] = + x C C : x( ) d viii) Poência RMS: P RMS = x P x Exemplo de sinal de poência: x ( ) = A. sen( ω + θ ) Média de x(): x ( ) = lim A.sen( ω + ) d θ = (média nula) Média quadráica: (É a poência) A A x ( ) = lim A sen ( ω + ) d θ = lim ( cos(ω + ) θ d = A Variância: σ x ( ) = x ( ) x( ) = x ( ) = π Poência num inervalo = [um período], começando em = : ω A A Px [ ] [ ] : = A sen ( ) d cos( ) d ω + θ = ω θ + = (resulado independene da fase, uma vez que se inegra num período).3 Sinais em empo discreo (sinais discreos) Os sinais em empo conínuo surgem nauralmene quando uma forma de onda é capada por um sensor. Por ouro lado os sinais em empo discreo apenas são descrios em insanes de empo discreos. Em muias siuações são derivados dos sinais em empo conínuo por amosragem a um rimo uniforme. Fig. -5. (a) Sinal em empo conínuo x(). (b) Represenação em empo discreo x[n]. Rogério Largo Seúbal 999

7 Sinais e Sisemas - 6 Considerando o inervalo de amosragem e n um ineiro, amosrando x() nos insanes = n resula uma amosra de valor x(n). Por conveniência de represenação escreve-se: x[n] = x(n), n=, ±, ±,... Enão um sinal em empo discreo é represenado por uma sequência de números,...,x[-], x[-], x[], x[], x[],. Esa sequência de números é referida como uma série emporal..4 Classificação de sinais i) Paridade (simeria dos sinais): Par: x(-) = x(), x() Impar: x(-) = -x(), (em de ser x()=) x() Decomposição de um sinal nas suas componenes Par e Impar: Par { x( ) } = [ x( ) + x( ) ] Impar{ x( ) } = [ x( ) x( ) ] ii) Periodicidade (Período ): Um sinal é periódico se, x( ) = x( + ) (ambém será periódico para, 3, ec.: x()=x(+k) ) Se um sinal não for periódico diz-se aperiódico. Período fundamenal menor valor de para o qual x() é periódico. Os sinais periódicos são não causais (êm de exisir desde sempre). π Frequência fundamenal (ou naural): f = (Hz), w = (Rad./s) Ex.- Sinusóide: x()=a sen(8+π /3) Freq. Fundamenal: W =8 Rad./s Período: =π/8=.78 s Fase inicial: π/3 Frequência insanânea w() é a derivada da fase. Ex.: x()=a cos(θ()); w() = dθ()/d Por exemplo, no sinal de FM em rádio, a frequência varia coninuamene de acordo com o sinal sonoro. Para os sinais discreos define-se periodicidade de forma análoga: x(n)=x[n+n], n ineiro, com N ineiro posiivo. π A frequência angular fundamenal é agora dada por: Ω= (Rad/s). N Rogério Largo Seúbal 999

8 Sinais e Sisemas Operações Básicas com Sinais As operações para manipular sinais podem ser efecuadas quer na variável dependene quer na variável independene..5. Operações efecuadas na variável dependene i) Escalameno da ampliude: y() = c x() ou y[n] = c x[n] sendo c o facor de escala. ii) Adição: y() = x () + x () ou y[n] = x [n] + x [n] para discreos. iii) Muliplicação: y() = x () x () ou y[n] = x [n] x [n] para discreos. iv) d Diferenciação: y () = x () d v) Inegração: y ( ) = x( τ) dτ.5. ransformações na variável independene i) Reflexão em =: x() x(-) (Ex.: sinal gravado passado em senido inverso) x() x(-) ii) Aleração da escala de empo: x() x(a) (Ex.: sinal gravado passado mais rapidamene, se a>) x() x() x(/) Para sinais discreos eremos: y[n] = x[kn], k>, com k e n ineiros. Se k> alguns valores do sinal discreo são perdidos como se ilusra no exemplo da figura abaixo: x[n] y[n]=x[n] n n iii) Deslocação no empo (araso): x() x(-) (Ex.: sinal de sonar o eco é recebido com araso) x() x(-) Rogério Largo Seúbal 999

9 Sinais e Sisemas - 8 Regras de precedência nas operações de deslocação e escalameno no empo: - Em primeiro lugar efecuam-se as operações de deslocameno no empo, a seguir a reflexão e só depois a compressão (ou expansão), uma vez que esa ulima provoca uma aleração da escala de empo (subsiui por a). Exemplo: y() = x(a-b). Primeiro faz-se a operação de deslocameno: v() = x(-b) Depois faz-se enão a compressão de escala: y() = v(a) = x(a-b) Sequência das operações para x(+3) x() v()=x(+3) y()=v()=x( Sinais básicos em empo conínuo Há vários sinais elemenares com caracerísicas ais que assumem um lugar proeminene no esudo de sinais e sisemas. Enre eses esão as exponenciais, as funções salo, impulso, rampa, ec..6. Exponencial complexa e sinais sinusoidais a x () = Ce ; C, a : em geral são complexos i) Exponencial real: C, a reais: Na naureza exisem muios fenómenos cuja evolução segue uma lei exponencial (crescimeno ou decrescimeno). São fenómenos cumulaivos: Ex.: reacção aómica, amorecimeno mecânico, ec.. (noa: e =, x() = C) ii) a imaginário puro: a=jw,. omando C= fica: x ( ) = e jw jw jw(+ ) jw jw jw Periodicidade: e = e = e e e = ( k= ) π w = kπ =, Período fundamenal w jw e = cos( w) + j sen( w), Soma de funções sinusoidais. iii) Sinal sinusoidal: x ( ) = Acos( w + θ ) w (rad./s) : frequência angular, θ (rad.) : fase na origem, π = : período fundamenal. w kw : frequências harmónicas. w = π f, f (Hz) frequência. Rogério Largo Seúbal 999

10 Sinais e Sisemas - 9 jw Relações de Euler: e = cos( w) + j sen( w), sendo: jw { e } jw { e } cos( w) = Re. sen( w) = Im. jw jw jw jw ambém: cos( w) = ( e + e ), sen( w) = ( e e ) j iv) Exponencial complexa em geral: x () = C e, C, a complexos jθ C = C e, a= r+ jw a r j ( w + θ ) r logo x ( ) C e Ce e [ ] Ce cos( w θ) jsen( w θ) = = = raa-se de sinusóides amorecidas (caso r<). a.6. Salo uniário Error! Objecs Assume valor nulo à esquerda de canno be zero e valor uniário à sua direia. creaed from ediing field codes..6.3 Impulso uniário (Dirac) du() Sinal definido aravés de um inegral: u ( ) = δτ ( ) dτ e porano δ( ) = d noas: i) u() é desconínua na origem, logo não é diferenciável para =. Pode ser inerpreada como o limie de uma função conínua u ( ) com. ii) Enão a função impulso pode ser inerpreado como o limie de uma função ( ) com em que: δ () = du d () iii) em área uniária. É um recângulo que se orna mais esreio e alo à medida que, manendo a área uniária. δ () = lim () δ u() u () As funções salo uniário e impulso uniário perencem à família das funções generalizadas. δ() δ () área uniária Rogério Largo Seúbal 999

11 Sinais e Sisemas Algumas propriedades de δ() i) Área uniária: δ ( d ) = ii) Impulso escalado (produo por consane k em área k) () = () k. δ d ku. k δ() k u() iii) Produo de um impulso por uma função ordinária: (noe que δ() = para ) x() δ() = x() δ() x() x() x() x() δ(- ) = x( ) δ(- ) x() x δ d = x δ d = x δ d = x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = Isolou-se um pono da função x() em. raa-se da propriedade da amosragem a que se volará mais arde. Rogério Largo Seúbal 999