Características dos Processos ARMA

Transcrição

1 Caracerísicas dos Processos ARMA Aula 0 Bueno, 0, Capíulos e 3 Enders, 009, Capíulo. a.6 Morein e Toloi, 006, Capíulo 5.

2 Inrodução A expressão geral de uma série emporal, para o caso univariado, é dada por x = f(x -, x -,..., a ). () Para que () se orne operacional, é necessário especificarmos rês faos: a forma funcional de f(), o número de lags, e uma esruura para o ermo aleaório.

3 PROCESSOS ARMA

4 Processos AR Se por exemplo, especificarmos uma função linear nos parâmeros com apenas uma defasagem (lag) e uma perurbação do ipo ruído branco esacionário (média zero, variância consane e não-auocorrelacionada), o resulado será o seguine processo auorregressivo de primeira ordem, AR(): x = 0 + x - + a. () O processo auorregressivo de ordem p, AR(p), pode ser escrio da seguine forma: x = 0 + x - + x p x -p + a. (3)

5 OPERADOR LAG O operador lag (ou, operador defasagem), represenado por L, aplicado a uma variável indexada em (empo), dá o valor anerior na série emporal. Tem-se, assim, Lx = x - L x = x - ( L)x = x Lx = x x - = x em que, é conhecido como operador diferença.

6 Processos AR Usando os resulados do slide anerior, em (3), podemos escrever um modelo AR(p), como, ( L L... p L p )x = 0 + a (4) em que (L) = L L... p L p (polinômio auorregressivo de grau p)

7 CONDIÇÃO DE ESTACIONARIEDADE PROCESSO AR(p) Considere que x siga o seguine processo x = 0 + x - + x p x -p + em que ~ RB(0, ). Condições de Esacionariedade: As raízes da equação caracerísica (L) = 0, devem ser, em módulo, maiores do que (raízes fora do círculo uniário).

8 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR PROCESSO AR() Considere que x siga o seguine processo em que x = 0 + x - + ~ RB(0, ). Prova-se que, se <, enão x será considerado esacionário.

9 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR Caso <, em-se que PROCESSO AR() con. E(x ) = 0 / ( ) =. Ou sea, a esperança incondicional de x é consane e invariane no empo. Prova-se, ambém, que, se <, a variância incondicional de x é consane e igual a x E ( x )

10 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR PROCESSO AR() con. Exercício* a) Enconre a FACV do processo AR(), que foi apresenado nos slides aneriores. b) Verifique que a FAC do processo é dada por h h h, h,, 3...

11 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR PROCESSO AR() Considere que x siga o seguine processo x = 0 + x - + x - + em que ~ RB(0, ). Condições de Esacionariedade + < - < - < <

12 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR PROCESSO AR() con. Baseando-se no resulado anerior, em-se que E(x ) = 0 / ( ). Ou sea, a esperança incondicional de x é consane e invariane no empo. Prova-se, ambém, que, sob as mesmas condições do slide anerior, a variância incondicional de x é consane e igual a 0 ( ( ) )( )( )

13 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR PROCESSO AR() con. Exercício Prove que a FACV do processo AR() é dada por:, 0 com 0

14 5 4 3 e com h h h h...,,,, PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR PROCESSO AR() con. Exercício Prove que a FAC do processo AR() é dada por:

15 p p... 0 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR 0,... p p Do resulado anerior, prove que a FAC é dada por: com 0,... p p Exercício Prove que a FACV do processo AR(p) é dada por: PROCESSO AR(p)

16 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR FATO Muias vezes é difícil fazer a disinção enre processos AR de diferenes ordens com base apenas nos correlogramas. (Pq?) Função de Auo-correlação Parcial (FACP) Essa disinção é possível com base no cálculo dos coeficienes de correlação parcial. Por exemplo, num processo AR(), o parâmero é o coeficiene de correlação parcial enre x e x -, manendo x - consane.

17 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR PROCESSO AR(p) con. Observação De maneira geral, esperamos que: a FAC empírica de uma série emporal esacionária que sea modelada por um processo AR(p) amoreça para zero; á a FACP, esperamos que sea aproximadamene zero para odas as ordens superiores à ordem p do processo.

18 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR Exemplos Observando os correlogramas, a seguir, indique um modelo inicial para cada série emporal.

19 PROCESSOS ARMA

20 Processos MA Volando à expressão geral de uma série emporal, x = f(x -, x -,..., a ). () É possível assumir que o ermo de perurbação a enha uma esruura expressa por a = -... q -q (5) em que é um processo ruído branco esacionário. Ou sea, aqui esamos assumindo que a não é um processo ruído branco.

21 Processos MA Dessa forma, uma possível especificação para o processo x é dada por um processo de médias móveis de ordem q, MA(q): x = q -q. (6) Usando os resulados do slide 5, em (6), podemos escrever x = 0 + ( L L... q L q ) (7) em que (L) = L L... q L q (polinômio de médias móveis de grau q) As equações (6) e (7) especificam um processo MA(q) puro.

22 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA PROCESSO MA() O processo MA() é dado por x = em que ~ RB(0, ). Não é difícil mosrar que E(x ) = E( ) = 0. Ou sea, a esperança incondicional de x é consane e invariane no empo.

23 Ainda, a variância incondicional de x = é dada por: PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA PROCESSO MA() con. 0 0, ) ( ) ( ) ( ) ( Cov Var Var Var Var x Var

24 Ainda, a FACV é dada por PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA PROCESSO MA() con. 0,, 0, ) (

25 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA PROCESSO MA() con. Baseado no resulado anerior, não é difícil ver que a FAC fica dada por 3... ( ) 0 Ou sea, no caso do MA() a FAC runca no lag.

26 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA O processo MA() pode ser inverido para dar como uma série infinia em função de x, x -,... = x + x - + x ou, ainda, que é um processo AR(). PROCESSO MA() con. Observação x = x - x -...

27 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA PROCESSO MA() con. Observação (con.) Todavia, a equação x = x - x -... só fará senido se <. Se al resrição não for observada, enão os valores mais disanes de x erão um maior efeio no valor presene.

28 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA PROCESSO MA() con. Observação (con.) A condição <, é conhecida por condição de inveribilidade. É semelhane à condição de esacionariedade para um processo AR(), mas a esacionariedade de um processo MA() não impõe nenhuma condição para.

29 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA PROCESSO MA() con. Observação (con.) Ainda, como a equação x = x - x -... denoa um AR(), as auo-correlações parciais não caem bruscamene, mas, decrescem, amorecendo gradualmene para zero; mas, como vimos aneriormene, as auo-correlações são iguais a zero a parir da segunda, inclusive.

30 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA PROCESSO MA() con. Observação (con.) As propriedades de um processo MA() puro são exaamene ao conrário das de um processo AR() puro. Ou sea, a FAC de um processo MA() é nula após o lag e a FACP decai exponencialmene para zero.

31 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA PROCESSO MA(q) O processo MA(q) é dado por x = q -q em que ~ RB(0, ) Condições de Inveribilidade: As raízes da equação caracerísica (L) = 0 devem esar fora do círculo uniário, em que (L) = L L... q L q.

32 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA PROCESSO MA(q) con. Observação Em geral, num processo esacionário MA(q), os q primeiros coeficienes da FAC são diferenes de zero, e os resanes iguais a zero. Já os coeficienes da FACP, apresenam um decaimeno amorecido para zero.

33 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA PROCESSO MA() Exercício Considere o processo MA() dado por x = em que ~ RB(0, ). (i) Enconre a média, a variância, a facv e a fac de x. (ii) Quais devem ser as condições de inveribilidade de um processo MA()? Jusifique a sua resposa.

34 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA Exemplos Observando os correlogramas, a seguir, indique um modelo inicial para cada série emporal.

35 PROCESSOS ARMA

36 Processos ARMA Volando à expressão geral de uma série emporal, x = f(x -, x -,..., a ). () e combinando as equações x = 0 + x - + x p x -p + a. (3) e x = q -q. (6) eremos um processo miso, auorregressivo e de médias móveis, ARMA(p, q): x = + x - + x p x -p q -q (8)

37 Processos ARMA Ainda, uilizando os resulados do slide 5, em (8), podemos escrever um modelo ARMA(p, q), como, ( L L... p L p )x = + ( L L... q L q ) (9) em que (L) = L L... p L p (L) = L L... q L q

38 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS ARMA PROCESSO ARMA(p,q) Observação A esacionariedade do processo exige que as raízes de (L) se siuem fora do círculo uniário; A inveribilidade requer a mesma condição para as raízes de (L); Verificadas esas condições, o processo ARMA(p, q) pode ser expresso quer como um processo AR puro de ordem infinia quer como um processo MA puro de ordem infinia.

39 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS ARMA PROCESSO ARMA(,) O processo miso, sem consane, de ordem mais baixa é o processo ARMA(, ): x = x Para esse caso, admiindo <, é possível provar que: 0

40 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS ARMA γ PROCESSO ARMA(,) con. Já a FACV do processo ARMA(, ) é dada por ( θ)( θ) σε e γh γh, h, 3,... E a FAC do processo fica dada por, ( θ)( θ) ρ ρh ρh h, 3,... θ θ

41 PROPRIEDADES DOS PROCESSOS ARMA PROCESSO ARMA(,) con. Observação depende ano do parâmero da pare AR como do parâmero da pare MA. Os coeficienes seguines decrescem exponencialmene, com uma axa de decréscimo dada pelo parâmero AR. Conudo, e por comparação com o processo AR puro, os coeficienes da FACP não decaem rapidamene, mas êm um decrescimeno amorecido para zero.

42 RESUMÃO Padrões de Correlação Processo FAC FACP AR(p) Infinia: decai para zero (exponencialmene ou segundo uma senóide amorecida). MA(q) Finia: decai bruscamene para zero a parir do lag q. ARMA(p, q) Infinia: decai para zero (exponencialmene ou segundo uma senóide amorecida). Finia: decai bruscamene para zero a parir do lag p. Infinia: decai para zero (exponencialmene ou segundo uma senóide amorecida). Infinia: decai para zero (exponencialmene ou segundo uma senóide amorecida).

43 EXERCÍCIOS

44 Exercício Considere o modelo y = -0,y - + 0,48y ,6-0,6 -, =,,... a) Escreva o modelo de ineresse, uilizando os polinômios caracerísicos. b) Enconre as raízes dos polinômios caracerísicos. c) Escreva o modelo de ineresse na forma faorada. Comene o resulado enconrado.

45 Exercício Considere o processo y = 0,5y - + 0,5 -, =,,... (a) O processo é esacionário? (b) O processo é inverível? (c) A memória dese processo é semelhane à memória de um processo ruído branco?

46 Exercício 3 Considere o processo y = 0,6-0, -, =,,... Verifique se as condições de esacionariedade e inveribilidade dese processo esão saisfeias.

47 Leiura Complemenar I Modelos Lineares Esacionários Morein e Toloi, 006, Capíulo 5.

48 Modelos Lineares Esacionários Os modelos que aqui serão esudados são casos pariculares de um modelo de filro linear. Tal modelo supõe que a série emporal sea gerada aravés de um filro linear (ou sisema linear), cua enrada é um ruído branco (RB). Na figura, a seguir, emos o exemplo de um esquema que represena um filro linear com série de enrada a, função de ransferência (L) e série de saída Z.

49 Modelos Lineares Esacionários (L) a Filro Linear Z Figura - Filro linear com série de enrada a, função de ransferência (L) e série de saída Z.

50 Apenas para lembrar Modelos Lineares Esacionários Ou sea, a é um RB esacionário. s a a E a a Cov a Var a E s s a 0, ) ( ), (,, ) (, 0, ) (

51 Modelos Lineares Esacionários Formalmene, emos que Z = µ + a + a - + a = = µ + a + La + L a +... = µ + (L)a () em que µ parâmero deerminando o nível da série L operador defasagem (L) = + L + L +... é denominada função de ransferência do filro.

52 Modelos Lineares Esacionários Z, dado em (), é um processo linear (discreo). Se a seqüência de pesos {, } for finia ou infinia e convergene, o filro é esável (somável) e Z é esacionária. Nese caso, µ é a média do processo. Caso conrário Z é não esacionária e µ não em significado específico, a não ser como um pono de referência para o nível da série.

53 Condições de Esacionariedade e Inveribilidade A condição anerior ambém pode ser expressa na condição de que (L), que é a função geradora dos pesos, deve convergir para L, iso é, denro de e sobre o círculo uniário. Esse resulado é discuido em dealhes no Apêndice A3. do livro de Box, Jenkins e Reinsel (994, pag ).

54 Modelos Lineares Esacionários Não é difícil, de (), ver que, e como E( Z ) E a a E(a ) = 0, para odo, emos que E(Z ) = µ se a série convergir.

55 Modelos Lineares Esacionários Também não é difícil ver que a facv,, de Z é dada por a i0 i i, com 0 =.

56 Modelos Lineares Esacionários Em paricular, para = 0, obemos a variância de Z, 0 Var( Z ) a 0. A condição para que as duas expressões aneriores exisam é que 0.

57 Modelos Lineares Esacionários Assim verificamos que a média e a variância de Z são consanes e a covariância só depende de, logo, Z é esacionária.

58 Podemos escrever em uma forma alernaiva, como uma soma ponderada de seus valores passados mais um ruído a : Segue-se que Modelos Lineares Esacionários Z ~ Z ~... ~ ~ ~ a Z a Z Z Z a Z L ~

59 ou Modelos Lineares Esacionários ~ ( L) Z a em que (L) é o operador ( L) L L...

60 Mas, de modo que Esa relação pode ser usada para ober os pesos em função dos pesos e vice-versa. Modelos Lineares Esacionários ou sea,, ) ( ~ a L Z, ) ( ) ( ~ ) ( a a L L a Z L ) ( ) ( ) ( ) ( L L L L

61 Condições de Esacionariedade e Inveribilidade Exemplo Considere o processo Z = µ + (L)a em que = (), =,, 3,..., 0 = ; < ; e a como definido aneriormene.

62 Condições de Esacionariedade e Inveribilidade Exemplo (con.) Temos que, 0 0 logo, E(Z ) = µ.

63 Condições de Esacionariedade e Inveribilidade Exemplo (con.) Ainda, dado que converge, obemos 0 a e, a 0

64 Condições de Esacionariedade e Inveribilidade Exemplo Para o modelo dado no Exemplo, considere, agora, que = e µ = 0; enão Z a a... Não é difícil ver que não converge. Dessa forma, o processo será não-esacionário.

65 Condições de Esacionariedade e Inveribilidade Exemplo 3 O modelo dado no Exemplo deriva da equação Z Assim, da equação anerior, não é difícil observar que Z a. Z Z a. Ou sea, a primeira diferença de Z é um RB esacionário. Dizemos que Z é um passeio aleaório; seu valor no insane é uma soma de choques aleaórios que enraram no sisema desde o passado remoo aé o insane.

66 Condições de Esacionariedade e Inveribilidade Exercício Considere o processo Z = (L)a em que = (), =,, 3,..., 0 = ; e <. Enconre (L) e escreva (L)Z = a. Inerpree.

67 Condições de Esacionariedade e Inveribilidade Exemplo 4 Considere o processo Z = a + a -, ou sea, =, = 0, >. Assim, é possível afirmar que o processo é esacionário para qualquer valor de?

68 Exemplo 5 Uilizando o modelo proposo no Exemplo 4, veamos como deve ser para que possamos escrever Z em ermos de seus valores passados. Assim, vem que Condições de Esacionariedade e Inveribilidade....) ( ) ( ) ( a Z L L a Z L a L Z, ) ( ) (... ) ( 0 e L L L L

69 Condições de Esacionariedade e Inveribilidade Exemplo 5 (con.) A seqüência formada pelos pesos será convergene se < e nese caso dizemos que o processo é inverível. Segue-se que para o processo ser inverível o operador (L) deve convergir para L, e Z Z Z... a.

70 Condições de Esacionariedade e Inveribilidade Proposição Um processo linear geral será esacionário se (L) convergir para L ; será inverível se (L) convergir para L. A demonsração dese fao pode ser enconrada, por exemplo, em Box, Jenkins & Reinsel (994).

71 Leiura Complemenar II O Teorema de Wold

72 Teorema de Wold Todo processo esacionário de segunda ordem, puramene não-deerminísico, pode ser escrio como um Polinômio Linear Geral (PLG), dado a seguir: X 0, 0, (a) com { } uma sequência de v.a. não correlacionadas, de média zero e variância consane (ruído branco esacionário - RB) e são consanes saisfazendo <.

73 h h h h ψ X Var X E, ) ( ) ( Ainda, Teorema de Wold

74 Processos ARMA são casos pariculares de (a). Exemplos: ;, ρ ), AR( ε X X ψ h h ~ ;, h ρ ρ, ) θ ( ρ ),, ARMA( θε ε X X θ ψ h h ) ( ~ ) ( ;,, ρ θ) ( θ) ( ρ ), MA( θε ε X, θ, ψ ψ h 0 ~ 0 Teorema de Wold

75 Exercícios

76 Exercício O processo Z = (L)a em que = (), =,, 3,..., 0 = ; e <. é inverível?

77 Exercício Considere o seguine processo com ψ 0 X 0, ψ ( θ), ~ RB(0 ; )

78 Exercício (con.) a) O processo é esacionário? Jusifique. b) O processo é inverível? Jusifique.

79 Exercício 3 De acordo com as suposições feias no exercício anerior para ober a esacionariedade do processo, enconre a FACV e a FAC do mesmo.

80 Exercício 4 O processo X 0,80X 0, 80 em que ~ NID(0;) é esacionário e/ou inverível? Jusifique a sua resposa. Consrua a FAC eórica desse processo. Ainda, simule esse processo e consrua a FAC do processo simulado. Compare e comene os resulados.