Exercícios Sobre Oscilações, Bifurcações e Caos

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1 Exercícios Sobre Oscilações, Bifurcações e Caos Os ponos de equilíbrio de um modelo esão localizados onde o gráfico de + versus cora a rea definida pela equação +, cuja inclinação é (pois forma um ângulo de 45 o com a horizonal) Suponha que esamos nos focando sobre uma pare do gráfico em orno do pono de equilíbrio e fazemos um zoom ão grande que o gráfico de + versus se pareça com uma linha rea Os quaro gráficos abaixo dão exemplos de ais zooms Deermine, pelo méodo de cobwebbing, quais dos quaro ponos abaixo são de equilíbrio esável ou insável

2 Resposa Observando o problema anerior, você acha que é possível deerminar se um pono de equilíbrio é esável ou insável pela inclinação da rea que aproxima a função + versus nas vizinhanças do pono de equilíbrio? Resposa Sim, é possível Observe que nos dois gráficos em que o equilíbrio é esável, a rea que aproxima a função + versus nas vizinhanças do pono de equilíbrio forma um ângulo com a horizonal menor que 45 o

3 Já nos dois casos em que o equilíbrio é insável, a rea que aproxima a função + versus nas vizinhanças do pono de equilíbrio forma um ângulo com a horizonal maior que 45 o Isso é uma regra geral, que pode ser formulada em ermos da inclinação da rea Se chamarmos essa inclinação de m emos que: - Se m <, o pono de equilíbrio é esável; - Se m >, o pono de equilíbrio é insável oe ambém o seguine: - Se m > 0 (casos b e c), os ponos se aproximam ou se afasam do pono de equilíbrio monoonicamene; - Se m < 0 (casos a e d), os ponos se aproximam ou se afasam do pono de equilíbrio de maneira oscilaória 3 Reconsrua a sua resposa do problema anerior usando a noção de derivada Resposa Lembrando da aula 6, a inclinação da rea angene a uma curva y(x) num dado pono x é chamada de derivada de y em relação a x no pono x

4 Logo, o que chamamos de m na quesão anerior é a derivada da função + f( ) no pono de equilíbrio, m df d Porano, podemos reescrever udo o que dio na quesão subsiuindo m por derivada de f no pono de equilíbrio 4 o esudo feio do modelo logísico nas aulas aneriores, vimos que ciclos periódicos podem ser soluções da equação do modelo Assim como no caso de ponos de equilíbrio esáveis ou insáveis, podemos falar de ciclos esáveis ou insáveis Um caso simples é o de um ciclo Considere o seguine modelo logísico (em unidades em que K ), [ +,3( )] + a) Que ipo de comporameno assinóico essa equação possui? b) Se cai em um ciclo, enão + Escreva uma fórmula para + em função de e aplique a condição acima

5 c) Que ipo de equação você enconra? Quanas raízes ela em? d) Tene inerprear o significado das raízes dessa equação Resposa a) O valor do parâmero R para a equação é,3 Porano, segundo a análise feia na aula 0, o comporameno assinóico do modelo é um ciclo b) A parir da equação do modelo, emos, ( ) [ +,3( )] 3,3,3 + f [ ], Subsiuindo nessa equação, + +,3( ) [ +,3( )],3 [ +,3( ) ] + 3,3 Desenvolvendo, [ + 4,6( ) + 5,9( ) ] + 3,3 + 7,59 7,59,3 [ + 4,6 4,6 + 5,9 0,58 5, ] + 0,89 + 7,59, ,89 + 7,59 5, ,9, 6 0 0,89 3, ,9, Aplicando agora a condição de ciclo, +, ,89 3, ,9,6

6 0 9,89 3, ,9 3,6 4 c) Esa equação é um polinômio de quaro grau Porano, deve er 4 raízes d) oe que os ponos 0 e são raízes dessa equação (basa subsiuí-los na equação para verificar isso) Esses dois ponos são os ponos de equilíbrio do modelo logísico em quesão (quando R é menor que ) A razão pela qual eles são raízes da equação é que eles são os ponos de ciclo do modelo, ais que + Ora, ponos de ciclo ambém são de ciclo, pois + + Resa inerprear o que são as ouras duas raízes Como emos um ciclo, em que a solução fica oscilando enre dois ponos que não mudam, as duas raízes devem ser esses dois ponos Esses dois ponos podem ser enconrados graficamene Tome a equação derivada acima que dá + em função de Ela é uma equação quadráica, 0,89 3, ,9,

7 Faça o gráfico dessa função e depois race a rea correspondene à função idenidade, + Vemos que, no gráfico de + versus, os dois ponos do ciclo (indicados por seas) se parecem com ponos fixos no gráfico de + versus Só que naquele caso + versus era uma parábola e a rea que forma um ângulo de 45 o com a horizonal a corava em apenas dois ponos Agora, a curva de + versus é um polinômio de quaro grau e a rea a cora em 4 ponos Dois deles (0 e ) são os ponos de equilíbrio do modelo e os ouros dois (indicados por seas) são os ponos do ciclo

8 Passando o poneiro do mouse sobre os ponos de cruzameno enre as duas curvas no gráfico do Excel, podemos deerminar os valores dos dois ponos do ciclo Eles são: 0,7 e, 5 As células se reproduzem por divisão, por um processo chamado de miose Os organismos mulicelulares começam o seu desenvolvimeno com um crescimeno exponencial (malhusiano) da sua população de células, mas logo esse crescimeno passa a ser conrolado e as células começam a se diferenciar em padrões e formas específicas que darão origem aos diferenes órgãos do organismo Um organismo adulo possui um número de células aproximadamene esável, o que significa que as células devem ser capazes de reconhecer se há ou não necessidade de se dividir por miose O câncer, por exemplo, seria uma siuação em que as células perdem o conrole sobre esse processo e começam a se dividir sem moivo Uma quesão que ainda não foi bem enendida sobre a miose é como uma célula reconhece que deve se dividir em função de alerações nas demais células do seu ambiene Por exemplo, uma célula da

9 pele reconhece que deve passar pelo processo de miose quando ocorre algum ipo de machucado ou ferimeno na pele à sua vola A regulação da miose é um processo biológico muio imporane que ainda não foi compleamene bem enendido e que em sido objeo de muias invesigações Uma eoria bioquímica conroversa desenvolvida no final dos anos 960 propõe que as células de um deerminado ipo de ecido se comunicam com suas vizinhas via inibidores de miose específicos, denominados chalones Os chalones seriam liberados por uma célula e se difundiriam pelo ambiene, afeando as células vizinhas Se houver uma quanidade suficiene desses chalones liberados, enão as células vizinhas seriam inibidas de se dividir por miose Um dos mecanismos de auação proposos para os chalones é que eles se ligariam a ceras proeínas envolvidas na miose, ornando-as inaivas A ligação de moléculas a proeínas cosuma ser modelada usando uma função de Hill (você verá mais sobre isso no curso Ver, por exemplo, a referência: Bullough, WS and Laurence, EB, Chalones and cancer, aure 0:34-35, 968

10 de bioquímica) A versão discrea de uma função de Hill é dada por, R + ( b ) + c onde R, b e c são parâmeros usados para se fiar os dados experimenais Vamos assumir que c oe que, quando o amanho da população de células é muio pequeno, o denominador da equação acima é próximo de, de maneira que o modelo recai no modelo malhusiano + R Isso implica que R, indicando que uma célula no empo se divide em duas no empo + Por ouro lado, à medida que a população de células cresce o denominador cresce, resulando em uma diminuição na produção de novas células a parir das exisenes O efeio do ermo no denominador seria, porano, regular o valor efeivo de R, de uma maneira dependene do amanho da população de células Para enender melhor o significado do modelo descrio pela equação acima, seria ineressane deerminar os valores de equilíbrio da equação e os ipos de esabilidade nas vizinhanças desses ponos

11 a) Enconre os ponos de equilíbrio do modelo; b) Deermine o ipo de esabilidade local desses ponos de equilíbrio c) Considere o caso paricular em que b 0, e c 3 e faça uma análise do comporameno do modelo em ermos de um gráfico de cobweb d) Faça uma simulação no Excel desse modelo para os parâmeros dados acima e 0 0 Resposa a) Subsiuindo + na equação do modelo, emos Ou, + ( ) c b ( ) c + b Esa equação admie duas soluções, 0 ou + b c c c c b c b Porano, os ponos de equilíbrio do modelo são,

12 0 e b b) Para se deerminar o ipo de esabilidade nas vizinhanças desses dois ponos de equilíbrio, vamos considerar pequenas perurbações n nas vizinhanças desses ponos Começando com o pono de equilíbrio 0: 0 + n ; n + n n + ( bn ) + c Como c, podemos desprezar o ermo n c, ficando com a equação linear, n n + Esa equação nos diz que o pono 0 é um pono de equilíbrio insável Vamos agora passar para o pono de equilíbrio /b: + n ; + + n b b + n + n b + b ( bn ) c

13 Esa equação não pode ser posa na forma, n kn + que nos permiiria, de acordo com os méodos apresenados na aula 0, fazer uma análise do ipo de esabilidade do pono /b Iso é uma conseqüência do méodo de linearização que esamos usando (subsiuir + por + n + e por + n ) Ese méodo foi uilizado para enar deixar mais claro para vocês o conceio de esabilidade local, mas ele só funciona para casos em que a função + f( ) em uma forma algébrica simples, sem envolver poenciações ou quocienes, como no caso presene o caso geral de uma relação funcional qualquer enre + e, somene o uso do cálculo permie a deerminação do ipo de esabilidade de um pono de equilíbrio Segundo o cálculo, para deerminar o ipo de esabilidade de um pono de equilíbrio, emos que calcular a derivada da função f no pono,,

14 m df d Se m <, o pono de equilíbrio é esável, Se m >, o pono de equilíbrio é insável ão vamos calcular essa derivada aqui (isso será mosrado em uma aula poserior), vamos apenas dar o seu resulado: m df d / b c Logo, a derivada, e, porano, o ipo de esabilidade, depende do parâmero c Como esamos assumindo que c, emos que: i Se c > 4, o pono de equilíbrio será insável; ii se c < 4, o pono de equilíbrio será esável c) o caso em que b 0, e c 3, a equação ornase, + + ( 0, ) 3

15 Os gráficos de + e de y x (rea de 45 o de inclinação) esão mosrados abaixo oe que a angene à curva + f( ) no pono em que ela cruza a linha + forma um ângulo menor que 45 o com a horizonal Isso quer dizer que a derivada de f( ) no pono /b, que nese caso vale 5, em módulo menor do que Logo, o pono de equilíbrio /b é esável oe ambém que essa derivada é negaiva (a rea angene esá caída para a esquerda), o que implica que a convergência para o equilíbrio, a parir de uma condição inicial qualquer 0, será

16 oscilaória Isso pode ser viso no gráfico abaixo, onde a condição inicial é 0 0, a mesma que será considerada no iem seguine d) O gráfico pedido esá dado abaixo Gráfico de x segundo o modelo de Hill 0,00 5,00 0,