Observação: No próximo documento veremos como escrever a solução de um sistema escalonado que possui mais incógnitas que equações.

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1 .. Sisemas Escalonados Os sisemas abaio são escalonados: 7 Veja as maries associadas a esses sisemas: 7 Podemos associar o nome "escalonado" com as maries ao "escalar" os eros ou energar a "escada" de eros formada. Um sisema em geral esá escalonado se a primeira equação em odas as incógnias a segunda não em a primeira incógnia a erceira equação não em as duas primeiras incógnias e assim sucessivamene. Se o sisema iver o mesmo número de equações e incógnias a úlima equação só erá a úlima incógnia. Um sisema dessa forma é muio fácil de resolver não impora o número de equações ou incógnias. Eemplo: Resolva o sisema abaio: Observação: No próimo documeno veremos como escrever a solução de um sisema escalonado que possui mais incógnias que equações... Escalonameno O méodo de escalonameno visa ransformar um sisema qualquer em um que eseja na forma do sisema escalonado. Precisamos manipular suas equações ou equivalenemene as maries associadas ao sisema para anular os elemenos abaio da diagonal principal. A quesão é o que podemos faer com o sisema que não mude sua solução? Para compilar a escria das maries associadas escreveremos suprimindo a mari das incógnias:

2 a) Muliplicação de fila por um número real: a.) Linha: Uma linha represena uma equação enão se emos por eemplo: + = 7 = = e = + = Esse rio ordenado é solução da equação. Agora muliplicando a equação por cinco e subsiuindo a mesma erna ordenada (): + = A muliplicação de uma equação por um número real não alera a solução do sisema. a.) Coluna: Se muliplicarmos uma coluna isso ambém não alerará a solução? Se muliplicarmos uma coluna esamos muliplicando odos os coeficienes de UMA variável iso não em senido esamos obendo ouro sisema dessa maneira que não equivale ao primeiro. Todas as alerações em um sisema só podem ser feias com linhas. b) Troca a ordem das equações: A solução de um sisema de equações é o conjuno de valores que saisfaem a odas as equações ao mesmo empo por isso não é a ordem que elas esão apresenadas é que alerará a solução do sisema. A roca da ordem das equações em um sisema não alera a sua solução. c) Combinação linear: Recurso usado largamene na simplificação de deerminanes mas naquele coneo ínhamos que er cero cuidado. Por eemplo: L L L não alera o deerminane mas L L L alera o deerminane. O deerminane ficará o riplo do desejado. Como muliplicar linhas não alera solução de um sisema se fiermos uma combinação com múliplos da linha que queremos subsiuir ambém não alerará a solução do sisema. Ou seja se esamos resolvendo um SISTEMA a combinação L L L não alera sua a solução. É o mesmo princípio que usamos para resolver um sisema de duas equações e duas incógnias por adição. 8 Subsiuirmos uma equação por uma combinação linear dela com oura equação não alera a solução do sisema de equações lineares. Princípios para o escalonameno. O que podemos faer a fim de escalonar um sisema: Muliplicar uma equação por um número real; Trocar a ordem das equações; Subsiuir uma equação por uma combinação linear com oura equação.

3 Além de pensar o que podemos faer para anular os coeficienes desejados para escalonar o sisema devemos pensar em que ordem isso deve ser feio. Lembre da simplificação de deerminanes se os eros eram criados aleaoriamene uma combinação poderia desfaer o que a anerior inha feio. Eemplo: Escalonar o sisema:

4 Diagonaliar o sisema: Ese méodo complemenar ao méodo de escalonameno é chamado de diagonaliação ransforma a mari dos coeficienes em uma mari diagonal ou idenidade assim será auomáica a solução do sisema. Observação: Recomenda-se ao aluno que os cálculos indicados sejam efeivamene feios em lugar paralelo às ransformações das maries a fim de minimiar erros banais nas operações básicas. Eemplo: Escalone e resolva o sisema de equações abaio:

5 A regra de Cramer não é específica quano à classificação dos sisemas pois se = não emos como saber se o sisema é possível e indeerminado ou se é impossível. A princípio podemos escalonar um sisema apenas para classificá-lo se = ou classificar um sisema que não enha o mesmo número de equações e incógnias.. A classificação não é diferene da que vimos aneriormene o que difere é a inerpreação do sisema escalonado com o ipo de solução. (a) Sisema Impossível (SI): Não possui solução. Após o escalonameno se o sisema se parecer com o eemplo abaio ele é SI: Eemplo: Se ao escalonar o sisema uma das equações ficar: = Essa equação não em solução pois não eise divisão por ero. Porano o sisema é impossível. (b) Sisema Possível e Indeerminado (SPI): Possui infinias soluções. O sisema que é SPI depois de escalonado se parecerá ese com o eemplo a seguir. Eemplo: Se ao escalonar o sisema uma das equações ficar: = Qualquer valor de que subsiuirmos aqui saisfará a equação se não houver oura equação que deermine o valor de podemos garanir que pode assumir qualquer valor real e o sisema admie assim infinias soluções. Aenção mesmo que as soluções sejam infinias não é qualquer par ordenado ( ) que saisfará o sisema. Aprofundaremos o esudo dese ipo de sisema no próimo documeno. (c) Sisema Possível e Deerminado: Possui uma única solução. Se não aconecer nenhuma equação do ipo = ou = enão o sisema é caião. possível e deerminado como os eemplos () e () do iem.... Resolva os sisemas escalonados: (a) (b). Os eemplos no corpo da eoria do escalonameno raaram apenas de sisemas de rês equações e rês incógnias. E se o sisema iver quaro equações e quaro incógnias quanos elemenos devem ser anulados? Em que ordem? E generaliando quanos elemenos de um sisema de n equações e n incógnias devem ser anulados e em que ordem?. Escalone e classifique os sisemas abaio e resolva que forem SPD: (a) (b) (c) (d)

6 (e) (f) 7 (g) (h). (a)s = {()} (b) S = {( )} (c) S = {( )} (d) S = 7. S = 7.Amendoim g; casanha de caju g; casanha-do-pará g.. S={( )} 7. = m