Prof. Lorí Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Transcrição

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2 Conceio Na Esaísica exisem siuações onde os dados de ineresse são obidos em insanes sucessivos de empo (minuo, hora, dia, mês ou ano), ou ainda num período conínuo de empo, como aconece num elerocardiograma ou sismógrafo. Esses dados ordenados no empo são denominados de série emporal.

3 Exemplos (a) O valor diário do índice Bovespa; (b) A emperaura mínima diária de Poro Alegre; (c) A quanidade mensal de chuva numa deerminada região; (d) O índice mensal da inflação brasileira;

4 (e) A alura da maré no Poro de Rio Grande; (f) O regisro do elerocardiograma (ECG) de uma pessoa; (g) O movimeno da crosa erresre, medido aravés de um sismógrafo.

5 Os exemplos de (a) a (d) mosram séries discreas, enquano que os de (e) a (g) ilusram séries conínuas.

6 As séries discreas são observadas em insanes eqüiespaçados de empo, iso é, em inervalos de empo = 1, 2,..., n, enquano que as séries conínuas são observadas em inervalos de empo conínuos

7 As séries conínuas são discreizadas para poderem ser analisadas. Os valores de uma série ambém podem ser obidos por agregação, como, por exemplo, as emperauras diárias são somadas e é obido a média, ou no caso, de chuvas as precipiações diárias são somadas para se ober um valor mensal.

8 Objeivos Dada a ST Y 1, Y 2,, Y n, observada nos insanes: 1, 2,, n, pode-se esar ineressado em: (a) Invesigar o mecanismo gerador da série; (b) Fazer previsões sobre valores fuuros; (c) Descrever apenas o seu comporameno; (d) Procurar por periodicidades.

9 Análise Exisem basicamene dois enfoques uilizados para se analisar uma ST. O primeiro enfoque é aravés do domínio emporal com o uso de modelos paraméricos. No segundo enfoque é uilizado o domínio das freqüências aravés de modelos não paraméricos.

10 Modelos Os modelos ARMA e ARIMA esão enre os paraméricos. A análise especral esá incluída enre os modelos não paraméricos.

11 Esacionariedade É uma das suposições mais freqüenes sobre uma série emporal. Significa que ela evolui no empo em orno de um valor consane (médio), refleindo uma esabilidade.

12 Na práica a grande maioria das ST apresenam algum ipo de endência, sendo o caso mais simples a endência linear. A maioria das écnicas de análise supõe que a série é esacionária, assim é necessário reirar a endência caso a série não seja esacionária.

13 Diferenças A maneira mais simples de ornar uma série não esacionário em uma esacionária é aravés de diferenças sucessivas da série original. A primeira diferença é definida por: Y = Y Y -1

14 A segunda diferença seria: 2 Y = [ Y ] = [Y Y -1 ] = = Y 2Y -1 + Y -2 Em geral, em-se: n Y = [ n-1 Y ]

15 Sazonalidade É comum um conjuno de dados ser medido em subperíodos do empo apresenar sazonalidade. É possível fazer um ajusameno sazonal dos dados e depois usar um modelo não sazonal. Oura opção é fazer a previsão usando direamene o modelo sazonal ao invés de remover a sazonalidade da série e uilizar um modelo não sazonal.

16 Objeivos Apresenar os principais méodos de previsão (forecasing) em séries emporais. Exisem duas caegorias: (i) Auomáicos: aplicados com o auxílio de um sofware; (ii) Não auomáico: exigem a inervenção de pessoal especializado.

17 Modelos Um modelo radicional de uma ST é que ela possa ser escria como a soma de rês componenes: Y = T + S + A, = 1, 2,, n. Onde: T = endência; S = a sazonalidade e A = componene aleaória.

18 Após removidas as componenes da endência (T ) e a sazonal (S ), sobra apenas a componene aleaória (A ). A suposição normal é que A seja um ruído branco, iso é, com média zero e variância consane. Esse modelo é denominado de adiivo que é adequado quando S não depende das ouras componenes.

19 Se a sazonalidade varia com a endência um modelo mais adequado é o muliplicaivo: Y = T.S.A Que pode ser ransformado em um adiivo aplicando logarimos: ln(y ) = ln(t ) + ln(s ) + ln(a )

20 Tendências Supondo uma ST com modelo adiivo: Y = T + S + A, = 1, 2,, n. Para reirar a sazonalidade é necessário esimar S e deerminar a série sazonalmene ajusada: Ŷ = Y Ŝ

21 Para esimar a endência é necessário supor que a componene sazonal não exisa ou que enha sido removida. Exisem várias formas de se esimar a endência T. Os mais uilizados são:

22 (i) Ajusar uma função do ipo polinomial, exponencial ou oura função suave de ; (ii) Suavizar ou filrar os valores da série ao redor de um pono para esimar a endência naquele pono.

23 Supondo que a endência esimada seja Tˆ removendo esssa componene podemos ober a série ajusada livre da endência: Ŷ = Y Tˆ Oura opção para eliminar a endência é omar a série das diferenças como já foi viso aneriormene.

24 Tendência Polinomial O problema maior com ese ipo de ajuse é que embora ele possa er um boa aderência nem sempre fornece boas previsões. Suponha que: T = α 0 + α α m m, onde o grau do polinômio deve ser bem menor do que o número de observações n.

25 Para esimar os parâmeros α i deve-se uilizar o MMQ, procedimeno já conhecido. Para k = 1, em-se uma equação linear com as equações normais já conhecidas. Para k 2, deve-se uilizar procedimenos mariciais.

26 Para esimar a endência vamos supor que a componene sazonal não eseja presene e que o modelo é adiivo, iso é: Y = T + A onde A é a componene irregular. A esimação da endência de uma série emporal é feia aravés da regressão enre as variáveis e Y.

27 Para esimar os parâmeros α i uiliza-se o méodo dos mínimos quadrados, iso é, minimiza-se a função: f( obendo-se os esimadores dos mínimos quadrados: α 0, α 1,..., α m ) ( T α α... α ) De onde, segue, enão que a endência esimada será: Tˆ = n = = a + a a m m m m 2

28 Assim se ivermos o conjuno de n ponos (, T ), enão o ajuse do polinômio: f ( α 0, α 1,..., α m ) ( Y α α... α ) = n = m m 2 Será dado por: n m j ( Y j = = 1 j = 0 j 2 a ) 0

29 Para que esse valor seja mínimo, devemos er: f = 0, para k = 1,2,...,m. a k Ou seja: n m j ) = 1 j = 0 j k 2 ( Y a Para cada k = 0, 1, 2,...,m, pois:

30 Que pode ser escria como: Ou ainda: Para cada k = 0, 1, 2,..., m. = = = + = n 1 k n 1 m 0 j k j T a j ) k k... ( ) f a... a a a a a a m m 1 0 k j m 0 j j k = = = = = + = n 1 k n 1 j m 0 j k j T a ) (

31 Isso resula em um sisema de m + 1 equações lineares cujos valores desconhecidos são os m + 1 coeficienes a i do polinômio sendo ajusado. Esse sisema pode ser escrio na forma maricial da seguine maneira: X T XA = X T T, onde:

32 X T é a sua ransposa e: = m n 2 n n m m X A e Tn a a a T T T m = =

33 Essas equações são denominadas de equações normais. O sisema anerior pode ser escrio como: X T (XA T ) = 0, onde o veor no inerior do parêneses são os resíduos. Esse veor é normal (orogonal) aos veores formados pelas linhas dos elemenos da mariz X T.

34 Exercício Deerminar a endência da série vendas - em milhões para os dados da planilha Exercício_um (a) Ajusando uma polinômio de grau 1. (b) Ajusando um polinômio de grau 2. (c) Deermine qual das duas opções proporciona o melhor ajuse.

35 Tendência Linearizável Algumas funções, que a primeira visa não são lineares, podem ser linearizadas por alguma ransformação sobre uma ou mesmo sobre as duas variáveis ( e Y ). Em geral esa ransformação consise em rabalhar com os logarimos de uma ou de ambas as variáveis.

36 Tendência Exponencial A endência exponencial pode ser caracerizada por uma equação do ipo: T = αβ Aplicando-se logarimos aos dois lados desa equação vem: ln(t ) = ln(αβ ) = ln(α) + ln(β)., que é uma equação do ipo linear.

37 Desa forma para se esimar α e β, ajusa-se a ln(t ) e uma equação linear com β 0 = ln(α) e β 1 = ln(β). Os valores esimados de α e β serão: a = e βˆ 0 e b = e βˆ 1

38 Tendência Geomérica A endência geomérica de uma série emporal pode ser avaliada por uma equação do ipo: T = α β Aplicando-se logarimos aos dois lados da expressão acima vem: ln(t ) = ln(α β ) = ln(α) + β.ln()

39 Nese caso para esimar α e β, ajusa-se aos logarimos de Y e aos logarimos de uma equação linear com β 0 = ln(α) e β 1 = β. Os valores esimados a e b serão: a ˆ β 0 = e e b = βˆ 1

40 Tendência Logísica A endência logísica de uma série emporal pode ser avaliada por uma equação do ipo: T = 1/α+β Nesse caso para linearizar a série basa fazer T = 1/T

41 Sazonalidade A sazonalidade para uma série avaliada em sub-períodos do ano pode ser eliminada por meio das seguines operações: Y s = Y Ŝ Se o modelo for adiivo e Y s = Y / Ŝ Se o modelo for muliplicaivo.

42 O modelo muliplicaivo é, muias vezes, adequado para séries econômicas que apresenam uma endência exponencial. Aplicando-se logarimos podemos ober o modelo adiivo.

43 Seja l o oal de anos e k o número de sub-períodos do ano al que n = k.l, conforme abela. Y k 1 i = Y ij i = 1,2,...,l k j = 1 Y = 1 lk l k Y i = 1 j = 1 ij i = 1,2,...,l e j = 1,2,...,k

44 Anos k Média 1 Y 11 Y Y 1k 2 Y 21 Y Y 2k Y 1 Y l Y l1 Y l2... Y lk Y l Média Geral Y

45 Os índices esacionais serão: S i = Y Y i Para i = 1, 2,..., k Assim se o modelo for muliplicaivo a esacionalidade pode ser reirada aravés desses índices.

46 Auocorrelação Séries emporais endem a apresenar auocorrelação enre o valor e o valor -k. A função de auocorrelação pode ser esimada por: n = k ( + 1 Y Y )( Y Y ) r k =, k = 1,2,...,n n 2 ( Y Y ) = 1 k