3 Retorno, Marcação a Mercado e Estimadores de Volatilidade

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1 eorno, Marcação a Mercado e Esimadores de Volailidade 3 3 eorno, Marcação a Mercado e Esimadores de Volailidade 3.. eorno de um Aivo Grande pare dos esudos envolve reorno ao invés de preços. Denre as principais razões, desaca-se o fao de séries de reornos serem mais fáceis de manipular que as séries de preços, porque sua forma possui propriedades esaísicas mais araivas. Exisem, enreano, algumas definições diferenes de reorno que serão abordadas a seguir eorno Ariméico É o mais simples de ser calculado e para um único período pode ser obido da seguine maneira: = = (7) onde: é o reorno no período ; é o preço no período. ara múliplos períodos, em-se:, k = k, k + = = K k ( k ) k

2 eorno, Marcação a Mercado e Esimadores de Volailidade 3 K ( + ) ( + ) ( + ), k + = = ( k ) k k, = k ( + i ) (8) i= eorno Logarímico Consise no logarimo naural do reorno ariméico. r ln( ) ln ln ln (9) = + = = = p p Uma das grandes vanagens dos reornos logarímicos é que, para múliplos períodos de empo, o reorno é composo pela simples soma dos reornos em cada período de empo, como pode ser viso a seguir. +, k ) = ln[ ( + ) ( + ) ( + ( ) )] ( + ) + ln( + ) + + ln( ) r K, k = ln( k r K, k = ln + ( k ) r K (0), k = r + r + + r ( k + ) Quando os reornos são pequenos, o valor do reorno logarímico se aproxima muio do reorno ariméico, ou seja, saisfeia esa condição, pode-se usar as séries dos reornos logarímicos dos aivos no lugar do reorno ariméico. Segundo a eq.(9), em-se: r = ln( + ) Aravés da expansão de Taylor: n ( ) r = ln( + ) = k k= k + k = K

3 eorno, Marcação a Mercado e Esimadores de Volailidade 33 Se for pequeno, as parcelas que enham valores e de ordem superiores enderão a zero, o que acarreará: r () Na ampla maioria dos casos, os reornos logarímicos podem e são empregados. Algumas incompaibilidades podem aparecer quando exisem mudanças de sinal no valor do objeo em análise, dado que o domínio da função logarímica é ] 0, [. ara eses casos, os reornos ariméicos são a melhor solução. 3.. Marcação a Mercado (Mark o Marke MM) O conceio de Mark o Marke ou Marcação a Mercado é fundamenal e basane uilizado. Ele consise em deerminar o valor presene de fluxos fuuros que compõem uma careira, iso é, o valor que se poderia realizar no mercado caso o possuidor do direio de receber essas receias resolvesse se desfazer desse direio. O Mark o Marke possui imporanes aplicações práicas: na gesão de invesimenos, onde implica numa maior ransparência no cálculo do valor das coas de um fundo de invesimeno e na gesão de risco, para o cálculo do Value a isk. O MM de um aivo de renda-fixa genérico com prazo de vencimeno finio e sem coação diária no mercado é enconrado razendo-se a valor presene o valor de vencimeno do aivo aravés de um faor de descono (correspondene à daa de vencimeno do aivo) obida da curva de juros em reais.

4 eorno, Marcação a Mercado e Esimadores de Volailidade Volailidade Volailidade do preço de um aivo corresponde à incereza em relação a movimenos fuuros nos preços dese aivo. A volailidade por si só já é considerada uma medida de risco. Em opções, parindo do princípio que o mercado uiliza um modelo para precificá-las, como por exemplo, o modelo de Black & Scholes; parindo do princípio que a opção esá correamene precificada, pode-se ober sua volailidade, chamada de volailidade implícia. Esudos empíricos mosram que a volailidade implícia ende a ser superior àquelas obidas pela maioria dos modelos esaísicos. A volailidade possui caracerísicas que são comumene enconradas nos aivos. rimeiramene, o valor da volailidade pode oscilar de período para período. Segundo, a volailidade parece reagir diferenemene para grandes aumenos de preços ou grandes quedas. Essas caracerísicas são fundamenais na modelagem da volailidade, com alguns modelos sendo criados apenas para incorporar ais propriedades Esimadores de volailidade Exisem vários modelos de esimadores de volailidade. orano, a esimaiva de volailidade depende da escolha de um deses modelos a ser aplicado aos dados hisóricos dos reornos do aivo, geralmene um modelo de série emporal. Aplicando o modelo escolhido aos dados hisóricos, em-se esimaivas esaísicas da volailidade passada. Simulaneamene, geram-se previsões da volailidade de agora aé algum pono fuuro no empo. Nas subseções a seguir, serão abordados vários modelos de previsão de volailidade, que vão desde os mais simples, como o de média móvel com janela fixa, aé modelos mais complexos, como os modelos GACH. Vale lembrar que

5 eorno, Marcação a Mercado e Esimadores de Volailidade 35 uma boa seleção dos dados levanados orna-se crucial para a eficiência do modelo Média Móvel Nesa meodologia, a volailidade corresponde ao desvio padrão dos reornos do aivo conidos denro de uma janela móvel de exensão fixa. É um esimador muio rudimenar, e pode ser calculado pela eq.(): ( r r ) N σ = () N = onde: σ é a volailidade do aivo; r é o reorno do dia ; r é o média dos reornos; N é a exensão da janela de empo. Uma grande dificuldade dese modelo esá em qual valor de N (janela de empo) escolher. Valores grandes de N sugerem maior precisão na esimação da volailidade, porém dados hisóricos muio anigos perdem relevância na previsão do fuuro. O méodo de média móvel para esimaiva de volailidade pode ser ido como ingênuo por encarar com mesmo grau de relevância odas observações presenes na janela de empo. Ese problema, conudo, será corrigido em modelos subseqüenes. Denre as vanagens do modelo, ese apresena uma menor sensibilidade a valores exremos e possui apenas um parâmero, referene ao período passado considerado.

6 eorno, Marcação a Mercado e Esimadores de Volailidade Alisameno Exponencial Os cálculos da média móvel com alisameno exponencial são semelhanes ao com janela móvel simples, porém há a preocupação de colocar pesos relaivos ao momeno em que os dados foram colhidos, como forma de minimizar o problema das diferenes daas de levanameno dos dados. Os dados mais recenes recebem maiores pesos, ou seja, em maior relevância no cálculo da volailidade. A referência iskmerics (996) faz uma abordagem ampla e complea dessa écnica. ara esimar a volailidade aravés desse méodo, aribui-se o peso λ (sempre enre 0 e ) para a previsão anerior, e incorpora-se o quadrado da observação mais recene com um peso ( - λ), conforme a eq.(3). Os valores de λ sugeridos na documenação iskmerics são de 0,94 para observações diárias e 0,97 para observações mensais. Quano maior o valor de λ, maior é o peso colocado nas observações passadas recenes e mais suave a série se orna. No Brasil, dada a dinâmica mais urbulena dos mercados, a oimização dos faores de decaimeno cosuma apresenar resulados menores, com λ variando de 0,85 a 0,94 6. [ σ λ + ( λ ], + = EWMA, ) σ EWMA r (3) Onde: λ é o faor de decaimeno; σ é a volailidade calculada segundo o alisameno exponencial EWMA, + para o dia +, com informações que incluem o dia. Uma simples manipulação da eq.(3) permie observar que o EWMA (Exponenially Weighed Moving Average) ermina por aribuir aos dados pesos que declinam com a sua aniguidade, como pode ser viso na eq.(4). σ [( λ) ( + r λ + r + )] EWMA, + = λ... r (4) 6 Eses valores são adoados pelo Banco Cenral do Brasil em seu modelo de Va.

7 eorno, Marcação a Mercado e Esimadores de Volailidade 37 or depender de um único parâmero, o faor de decaimeno λ, esse modelo é de fácil implemenação, além de possuir boa robusez quano a erros de especificação Os Modelos GACH O modelo GACH (Generalized Auorregressive Heeroskedasic) é uma generalização do modelo ACH, que em como grande pono a variância condicional. Esse modelo possui algumas caracerísicas que, eoricamene, o ornam um bom predior de volailidade em séries financeiras. Denre elas esão: variâncias que mudam a cada período de empo e para alguns ipos de reornos. A esimação da volailidade pelo modelo GACH(p,q) pressupõe um processo previsível para a variância dos reornos. Como a eq.(5) mosra, a variância condicional depende da variância condicional imediaamene anerior, bem como da observação mais recene. p j= q j + i= σ = α + β σ α r (5) 0 j i i onde p > 0; q > 0; α 0 > 0 ; α i 0 e β i 0. Freqüenemene observa-se que o modelo GACH(,) é suficiene para esimar a volailidade da maioria dos aivos financeiros, não havendo a necessidade de uilização de processos da família GACH mais complexos. orano, com um diminuo número de parâmeros (rês apenas), pode-se aplicar um modelo que aparenemene se adequa bem aos dados financeiros. Exisem ainda ouras vanagens no modelo quando comparado aos descrios aneriormene. Em primeiro lugar, os reornos de aivos financeiros não são apropriadamene modelados por um processo independene e idenicamene

8 eorno, Marcação a Mercado e Esimadores de Volailidade 38 disribuído. Ouros esimadores (derivados de médias móveis) baseiam-se em uma volailidade ida como consane, de forma que a esimaiva correne é omada como uma previsão. O modelo GACH descreve um processo de volailidade condicional, (ou seja, condicionada a um conjuno de informações). orano, modelos de variância condicional heerocedásica são considerados mais ineressanes para analisar o comporameno da volailidade nas séries financeiras. O modelo GACH possui diversas ouras variações, como os modelos EGACH, IGACH, FIGACH, que podem er desempenho superior dependendo do caso em que sejam aplicados.