PREVISÃO DA PRECIPITAÇÃO MENSAL DO MUNICÍPIO DE OURO BRANCO MG, POR MEIO DE MODELOS DE SÉRIES TEMPORAIS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI TATIANA PEREIRA MIRANDA PREVISÃO DA PRECIPITAÇÃO MENSAL DO MUNICÍPIO DE OURO BRANCO MG, POR MEIO DE MODELOS DE SÉRIES TEMPORAIS OURO BRANCO 2016

2 TATIANA PEREIRA MIRANDA PREVISÃO DA PRECIPITAÇÃO MENSAL DO MUNICÍPIO DE OURO BRANCO MG, POR MEIO DE MODELOS DE SÉRIES TEMPORAIS Disseração apresenada juno ao Programa de Pós- Graduação em Tecnologias para o Desenvolvimeno Susenável da Universidade Federal de São João Del- Rei UFSJ, Campus Alo Paraopeba, para obenção do íulo de mesre. Orienador: Dr. Telde Nael Cusódio OURO BRANCO 2016

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5 LISTA DE TABELAS TABELA 1 Esimaivas dos parâmeros do modelo SARIMA (1, 0, 1)(1, 0, 1) TABELA 2 Esimaivas dos parâmeros do modelo SARIMA (0, 1, 1)(0, 1, 1) TABELA 3 Esimaivas dos parâmeros do modelo SARIMA (0, 0, 0)(0, 1, 1) TABELA 4 Valores de precipiações mensais, em mm d água, observados e previsos para o ano de 2015, com os modelos: SARIMA (1, 0, 1)(1, 0, 1) 12 ; SARIMA (0, 1, 1)(0, 1, 1) 12 ; SARIMA (0, 0, 0)(0, 1, 1) 12, município de Ouro Branco MG TABELA 5 Valores dos criérios AIC, BIC e EQMP dos modelos: SARIMA (1, 0, 1)(1, 0, 1) 12 ; SARIMA (0, 1, 1)(0, 1, 1) 12 ; SARIMA (0, 0, 0)(0, 1, 1) 12, município de Ouro Branco MG

6 LISTA DE FIGURAS FIGURA 1 Série de precipiações mensais, em mm d água, município de Ouro Branco MG, período de janeiro de 2007 a dezembro de FIGURA 2 Funções de auocorrelação (fac) e auocorrelação parcial (facp) da série de precipiações mensais, em mm d água, município de Ouro Branco MG, período de janeiro de 2007 a dezembro de FIGURA 3 Série de precipiações mensais sem sazonalidade de 12 meses, em mm d água, no município de Ouro Branco MG, no período de janeiro de 2007 a dezembro de FIGURA 4 Funções de auocorrelação (fac) e auocorrelação parcial (facp) da série de precipiações mensais sem sazonalidade de 12 meses, em mm d água, no município de Ouro Branco MG, no período de janeiro de 2007 a dezembro de FIGURA 5 Funções de auocorrelação (fac) e auocorrelação parcial (facp) dos resíduos do modelo ajusado SARIMA (1, 0, 1)(1, 0, 1) FIGURA 6 Funções de auocorrelação (fac) e auocorrelação parcial (facp) dos resíduos do modelo ajusado SARIMA (0, 1, 1)(0, 1, 1) FIGURA 7 Funções de auocorrelação (fac) e auocorrelação parcial (facp) dos resíduos do modelo ajusado SARIMA (0, 0, 0)(0, 1, 1) FIGURA 8 Valores de precipiações mensais, em mm d água, observados e previsos, considerando o modelo SARIMA (0, 0, 0)(0, 1, 1) 12, município de Ouro Branco MG FIGURA 9 Valores de precipiações mensais, em mm d água, observados e previsos, para o ano de 2015, considerando o modelo SARIMA (0, 0, 0)(0, 1, 1) 12, município de Ouro Branco MG

7 SUMÁRIO RESUMO INTRODUÇÃO OBJETIVOS GERAL ESPECÍFICOS REFERENCIAL TEÓRICO SÉRIES TEMPORAIS CONSIDERAÇÕES GERAIS NOTAÇÃO OBJETIVOS DA ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS TRATAMENTO DOS DADOS PREVISÃO ESTACIONARIEDADE TESTES DE ESTACIONARIEDADE MODELOS PARA SÉRIES TEMPORAIS MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO TENDÊNCIA E SAZONALIDADE TENDÊNCIA TENDÊNCIA POLINOMIAL SUAVIZAÇÃO DIFERENÇAS TESTES PARA TENDÊNCIA SAZONALIDADE MÉTODO DE REGRESSÃO MÉTODO DE MÉDIAS MÓVEIS MÉTODO DA DIFERENÇA SAZONAL TESTES PARA SAZONALIDADE MODELOS DE SUAVIZAÇÃO EXPONENCIAL MODELOS ARIMA IDENTIFICAÇÃO DE MODELOS ARIMA ESTIMAÇÃO DE MODELOS ARIMA

8 3.6.3 DIAGNÓSTICO DE MODELOS ARIMA PREVISÃO COM MODELOS ARIMA MODELOS ARIMA SAZONAL SARIMA SANONALIDADE DETERMINÍSTICA SAZONALIDADE ESTOCÁSTICA APLICAÇÕES DA METODOLOGIA DE SÉRIES TEMPORAIS A DADOS CLIMATOLÓGICOS MATERIAL E MÉTODOS MATERIAL MÉTODOS RESULTADOS E DISCUSSÃO CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

9 RESUMO O esudo do comporameno da precipiação pluvial é de suma imporância para o planejameno de várias aividades econômicas, podendo ser realizado por meio de modelos de séries emporais. Assim, objeivou-se com ese rabalho, analisar uma série de precipiações mensais da cidade de Ouro Branco MG, descrevendo o comporameno da série por meio de seu modelo de decomposição, verificando a exisência dos componenes: sazonalidade e/ou endência, idenificar e esimar modelos de previsão, e fazer previsões de precipiações para períodos subsequenes uilizando-se desses modelos. Foram uilizados dados de precipiações pluviais mensais (oal de cada mês), expressas em alura de lâmina d água (mm), regisradas no período de janeiro de 2007 a dezembro de 2015, num oal de 108 meses. Considerou-se o período de janeiro de 2007 a dezembro de 2014 para ajusar os modelos, e os dados do período de janeiro de 2015 a dezembro de 2015, foram uilizados para verificação da previsão. Inicialmene foi feia uma familiarização da série de precipiações pluviais mensais aravés dos seguines passos: consrução de gráficos para descrição do comporameno da série por meio de uma inspeção visual; verificação da presença de endência e de sazonalidade, por meio de uma inspeção visual dos gráficos da função de auocorrelação (fac) e função de auocorrelação parcial (facp) da série; aplicação do ese de Cox-Suar para verificar a presença de endência na série; aplicação do ese de Kruskal-Wallis para verificar a presença de sazonalidade na série; aplicação do ese de Dickley-Fuller Aumenado (ADF) para verificar a presença de esacionariedade na série. Com base nos resulados obidos foi possível concluir que: a série de precipiações pluvioméricas mensais apresenou sazonalidade, porém não apresenou endência; enre os modelos ajusados, o modelo SARIMA (0, 0, 0)(0, 1, 1) 12, foi o que apresenou melhores propriedades esaísicas para prever a precipiação pluviomérica mensal no município de Ouro Branco MG, fornecendo valores próximos aos observados; a meodologia de séries emporais consiui uma écnica araiva para prever precipiações pluvioméricas; a obenção de um modelo aproximado para a precipiação local favorece a previsão para os anos poseriores ao esudado, auxiliando na elaboração de políicas públicas, ano na área urbana como na área rural do município; a conribuição dese rabalho foi válida no inuio de ermos uma primeira ideia do comporameno da precipiação na cidade de Ouro Branco MG, ao longo dos úlimos nove anos. 1

10 1 INTRODUÇÃO Os recursos hídricos são um dos maiores bens da humanidade, pelo fao de fornecerem água para várias aividades, ais como, consumo humano, produção de alimenos, consumo dos animais, uso nas grandes indúsrias, fone de pesca, produção de energia elérica, denre ouras. Assim, faz-se necessário realizar análises para um melhor planejameno desas aividades. Segundo BOTELHO & MORAIS (1999), o conhecimeno do comporameno das precipiações pode fornecer subsídio para deerminar períodos críicos predominanes na região, endo-se condições de fornecer informações que visem a reduzir as consequências causadas pelas fluuações de chuvas e secas. Para ARAÚJO (2009), ferramenas compuacionais aliadas às écnicas esaísicas propiciam um melhor enendimeno de vários fenômenos que ocorrem ou ocorrerão na naureza. Logo, a avaliação de um deerminado processo no empo, ende a ser uma ferramena de enendimeno para o fenômeno e seu comporameno emporal. SILVA (2008) define uma série emporal como sendo um conjuno de observações ordenadas em inervalos de empos, e são observações que apresenam dependência serial e que consiuem um dos objeivos do esudo de séries emporais, ou seja, analisar e modelar essa dependência. A análise de séries emporais aplicada a dados climaológicos em araído um ineresse especial nos úlimos anos, pois o clima inerfere direamene em muias aividades econômicas, deerminando o sucesso ou fracasso de vários empreendimenos. As séries emporais possibiliam esudar a exisência de mudanças ao longo do empo, em uma deerminada variável, sendo imporane insrumeno para, por meio do comporameno passado, ajusar um modelo maemáico para endências e previsões fuuras (CARGNELUTTI FILHO e al., 2011). Dada a imporância de previsões confiáveis da precipiação para diversos empreendimenos, vários esudos são conduzidos no inuio de se ober modelos que conduzam a esimaivas cada vez mais precisas em diversas regiões do Brasil (PINTO e al., 2015). Na região do Alo Paraopeba do esado de Minas Gerais, em especial na cidade de Ouro Branco, o comporameno das precipiações pluvioméricas ainda não foi esudado, apesar da grande imporância econômica da região no esado, ano na área agrícola, quano na área de mineração e mealurgia. Assim, com o inuio de conribuir para a caracerização do regime de chuvas e auxiliar no planejameno de aividades 2

11 econômicas na região, ese esudo aborda a série de precipiações pluvioméricas por meio de modelos de séries emporais. 3

12 2 OBJETIVOS 2.1 GERAL Analisar uma série de precipiações pluvioméricas mensais da cidade de Ouro Branco MG. 2.2 ESPECÍFICOS Colear dados de precipiações pluvioméricas no período de janeiro de 2007 a dezembro de 2015, no município de Ouro Branco MG; Descrever o comporameno da série de precipiações mensais por meio de seu modelo de decomposição, verificando a exisência dos componenes, sazonalidade e/ou endência; Ajusar modelos de séries emporais aos dados de precipiações pluvioméricas mensais; Realizar previsões de precipiações pluvioméricas mensais para períodos subsequenes ao esudado. 4

13 3 REFERENCIAL TEÓRICO 3.1 SÉRIES TEMPORAIS A seguir apresenam-se os fundamenos eóricos de modelagem e previsão em séries emporais, com base em MORETTIN & TOLOI (2006) CONSIDERAÇÕES GERAIS Uma série emporal é um conjuno de observações ordenadas em inervalos de empo equidisanes, e que apresenam uma dependência serial enre elas. Como exemplo de séries emporais pode-se ciar: - o consumo mensal de energia elérica; - valores diários do preço das ações de uma empresa; - valores mensais de emperaura de uma cidade; - inflação anual de um país; - valores do índice do produo inerno do Brasil. O esudo de ais dados em por objeivo deerminar se eles apresenam algum padrão não aleaório. Por vezes, o que se deseja é, realmene, localizar esse padrão não aleaório que pode enão ser usado para predição quano ao fuuro. Dessa forma, odos os méodos de predição de séries emporais baseiam-se na ideia de que as observações passadas conêm informações de comporameno no fuuro. Há, basicamene, dois enfoques usados na análise de séries emporais: i) a análise é feia no domínio emporal e os modelos proposos são modelos paraméricos (com um número finio de parâmeros); ii) a análise é conduzida no domínio de freqüências e os modelos proposos são modelos não-paraméricos NOTAÇÃO De uma maneira geral, uma série emporal pode ser represenada por um veor Z(), de ordem r x 1, onde, por sua vez, é um veor p x 1. Por exemplo, seja: Z() = [Z 1 (), Z 2 (), Z 3 ()], (1) onde as rês componenes do veor denoam, respecivamene: a alura; a emperaura; a pressão de um pono do oceano e = (empo, laiude, longiude). 5

14 Assim, nese exemplo, diz-se que a série é mulivariada (r = 3) e mulidimensional (p = 3). Como um ouro exemplo considere Z() como sendo o número de acidenes ocorridos em rodovias do Esado de São Paulo, por mês. Nese caso, r = 1 e p = 2, com = (mês, rodovia). O gráfico de uma série emporal posiciona no eixo Y, das ordenadas, os valores quaniaivos da variável em esudo, e no eixo X, das abscissas, posiciona-se o empo OBJETIVOS DA ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS Quando se analisa uma série emporal Z( 1 ),..., Z( N ), observada nos insanes 1, 2,..., N, em-se como objeivos básicos: i) Modelagem do fenômeno em consideração; ii) Obenção de conclusões em ermos esaísicos; iii) Avaliação da adequação do modelo em ermos de previsão. Em odos os casos, modelos probabilísicos ou esocásicos são consruídos, no domínio emporal ou de freqüências. Eses modelos devem ser simples e parcimoniosos (no senido de que o número de parâmeros envolvidos deve ser o menor possível) e, se possível, sua uilização não deve apresenar dificuldades TRATAMENTO DOS DADOS Um dos primeiros cuidados a se omar na análise de uma série emporal é o planejameno amosral e a preparação dos dados. As principais medidas para se eviarem problemas de análises são: a) Planejameno: sempre que possível, a obenção das observações deve ser pensada previamene; b) Esacionariedade: uma série emporal deve ser esacionária, ou seja, ela se desenvolve no empo aleaoriamene ao redor de uma média consane, refleindo alguma forma de equilíbrio esável; c) Transformações: uma das razões para ransformar os dados é a presença da nãoesacionariedade; d) Observações perdidas e irregulares: se o número de observações é pequeno e não concenrado em um inervalo, pode-se usar inerpolação sem grandes problemas. Caso conrário, écnicas esaísicas de análise específica êm que ser usadas; 6

15 e) Ouliers: é possível observar valores de uma série emporal que são desoanes das demais. Esses ouliers podem ser oriundos de erros de medidas, mas ambém podem ser valores reais, que enham algum significado imporane. f) Regisros curos: às vezes é ineviável que se enha poucas observações para análise. Nese caso, oda conclusão deve ser omada com cauela e écnicas apropriadas devem ser uilizadas PREVISÃO Um dos principais objeivos do esudo de uma série emporal é fazer previsões, que nada mais é do que visualizar o comporameno passado de uma variável, e formar uma expecaiva quano ao seu valor fuuro. Um modelo não conduz, necessariamene, a um procedimeno de previsão. Será necessário especificar, além do modelo, uma função para se chegar ao procedimeno. Uma função que é uilizada freqüenemene é o erro quadráico médio (EQM). Suponhamos que emos observações de uma série emporal aé o insane e se deseja prever o valor da série no insane + h. Diz-se que é a origem e Zˆ ( h) é a previsão de Z( + h). O EQM de previsão é dado por: em que: e (h) é o erro de previsão. E[Z( + h) - Ẑ (h) ] 2 = E[e (h)] 2, (2) Enão, o modelo que descreve a série emporal aé o insane, e dado que se deseja minimizar o EQM, obém-se uma fórmula para Zˆ ( h). 3.2 ESTACIONARIEDADE Uma série emporal é dia esacionária quando ela se desenvolve no empo aleaoriamene ao redor de uma média consane, refleindo alguma forma de equilíbrio esável. Na práica a maioria das séries que enconramos, apresenam algum ipo de não esacionariedade, por exemplo, endência. Uma série pode ser esacionária, por períodos curos ou longos, o que implica uma mudança de nível e/ou inclinação. A classe dos modelos ARIMA será capaz de descrever de maneira saisfaória séries esacionárias e séries não esacionárias que não apresenem um comporameno explosivo. Ese ipo de não esacionariedade é chamado homogêneo, quando a série pode ser esacionária, fluuando ao redor de um nível, por 7

16 cero empo, depois mudar de nível e fluuar ao redor de um novo nível e assim por diane, ou enão mudar de inclinação. A maioria dos procedimenos de análise esaísica de séries emporais supõe que esas sejam esacionárias, porano, será necessário ransformar os dados originais se eses não formam uma série esacionária. A ransformação mais comum consise em omar diferenças sucessivas da série original, aé se ober uma série esacionária. A primeira diferença Z() é definida por: ΔZ() = Z() Z( 1), (3) enão, a segunda diferença é: Δ 2 Z() = Δ[Z()] = Δ[Z() Z( 1)] (4) Δ 2 Z() = Z() 2 Z( 1) + Z( 2). (5) De modo geral, a n-ésima diferença de Z() é: Δ n Z() = Δ[Δ n-1 Z()]. (6) Normalmene, será suficiene omar uma ou duas diferenças para que a série se orne esacionária TESTES DE ESTACIONARIEDADE Grande pare dos recursos para séries emporais foram elaborados uilizando o conceio de esacionariedade nas séries. Uma forma geral para analisar ese fao é fazendo um esudo da exisência de alguma raiz dos operadores de reardos denro do círculo uniário, denominada simplesmene por raiz uniária. Porano, uilizamos eses de hipóeses que em geral, possui as seguines hipóeses: H 0 : Exise pelo menos uma raiz denro do círculo uniário (série não-esacionária); H 1 : Não exisem raízes denro do círculo uniário (série esacionária). Denre os eses uilizados para esar a presença de esacionariedade em-se o ese de Dickley-Fuller Aumenado. O ese de Dickley-Fuller Aumenado é conhecido na lieraura como ese ADF (Augmened Dickley-Fuller) e requer o esudo sobre a seguine regressão: y = β m 1 + β2 + δy 1 + αi y i + i= 1 ε, ( 7) onde β 1 é o inercepo, ambém denominado como drif da série; β 2 é o coeficiene de endência; δ é o coeficiene de presença de raiz uniária e m é o número de defasagens omadas na série. 8

17 T, dada por: Nese caso a hipóese nula é dada por: H o : δ = 0. Fazendo uma regressão de Δy em y -1, Δy -1,..., Δy +p-1 e calculando a esaísica T =, se( ˆ δ ) onde δˆ é um esimador para δ e, se ( δˆ ) é um esimador para o erro padrão de δ. ˆ δ Os valores críicos da esaísica T foram abelados por Dickley e Fuller aravés de simulação Mone Carlo, e variam nos casos de presença somene de inercepo, presença somene de endência e presença de ambos. ( 8) 3.3 MODELOS PARA SÉRIES TEMPORAIS A escolha do modelo a ser ajusado ocorre mediane a uma análise preliminar para familiarização do conjuno de dados, o que corresponde a uma análise exploraória, que em por objeivo uma caracerização dos dados cujos resulados indicarão o melhor modelo a ser ajusado. Podem-se classificar os modelos para séries emporais em duas classes, segundo o número de parâmeros envolvidos: a) Modelos paraméricos, onde ese número de parâmeros é finio; b) Modelos não paraméricos, que envolvem um número infinio de parâmeros. Na classe dos modelos paraméricos, a análise é feia no domínio do empo. Denre eses modelos os mais usados são: os de erro (ou de regressão), os modelos auoregressivos e de médias móveis (ARMA), e os modelos auo-regressivos inegrados e de médias móveis (ARIMA). Os modelos não paraméricos mais uilizados são a função de auo-covariância (ou auocorrelação) e sua ransformada de Fourier, o especro. A vanagem de se escrever a série no domínio da frequência esá no fao de eliminar o problema da correlação serial, pois na análise especral os componenes são orogonais. Um modelo clássico para séries emporais, supõe que a série Z 1,..., Z N, possa ser escria como sendo a soma de quaro componenes: endência, sazonalidade, ciclo e um ermo aleaório. Logo, em-se o modelo: Z = T + S + C + a, = 1,, N, (9) em que: 9

18 i) T - Tendência: A componene endência pode ser encarada como um aumeno ou uma diminuição gradual das observações ao longo de um período. É uma variável influenciada por uma série de faores, como o crescimeno populacional da região a que se refere, pelas preferências dos indivíduos, escassez de maéria primas e pela legislação vigene. ii) S Sazonalidade: A componene sazonal é evidenciada quando as observações são inra-anuais, iso é, regisradas mensalmene, rimesralmene ou diariamene. É caracerizada pelos movimenos oscilaórios e aproximadamene regulares dos dados, no curo prazo. Duas crisas consecuivas ocorrem em períodos menores que um ano. iii) C Ciclo: A componene cíclica assemelha-se aos fenômenos sazonais, porém represena variações no longo prazo, pois, a diferença enre duas crisas consecuivas é superior a um ano. iv) a - Aleaoriedade: Removendo-se as componenes T, S e C, o que sobra é a componene aleaória, residual ou ruído branco, a. A suposição usual é que a seja uma série puramene aleaória ou ruído branco, com média zero e variância consane. As variações aleaórias podem ser provocadas por: - Causas naurais, como: secas, enchenes, geadas, epidemias e erremoos; - Causas sociais, ais como: períodos de relações inernacionais umuluadas, de guerras, greves, eleições, planos econômicos, ou ainda por ouros evenos não idenificados MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO A análise de séries emporais pode ser encarada simplesmene como uma enaiva para decompor uma série emporal nessas várias componenes, descrias aneriormene. Como a componene cíclica consiui-se um fenômeno raro e, o processo de esimação é basane parecido com o sazonal, considera-se o seguine modelo para efeio de decomposição: Z = T + S + a, = 1,, N. (10) 10

19 componenes, como T. Z = T + S + a. (11) Os modelos podem ser: i) Adiivo: é adequado, por exemplo, quando S não depende das ouras ii) iii) Muliplicaivo: se as ampliudes sazonais variam com a endência. Z = T. S. a. (12) Modelo Miso: Z = T 1. S + a. (13) A previsão de valores fuuros da série pode ser obida modelando os rês componenes: T, S e a de forma isolada. Assim, os méodos de decomposição buscam isolar um ou mais componenes, rabalhando-se com o resane. Com esa decomposição se fazem previsões individuais de cada uma das pares, reunindo-as a seguir para previsão final. 3.4 TENDÊNCIA E SAZONALIDADE TENDÊNCIA O esudo da endência em por objeivo aender a duas finalidades básicas: uma é idenificar a endência e usá-la, digamos, em previsões; a oura é remover a endência, de modo a permiir o esudo de ouros componenes da série. Supondo que a componene sazonal não eseja presene e o modelo seja o adiivo, dado por: Z = T + a. (14) Esimando-se a endência aravés de Tˆ pode-se ober a série ajusada livre de endência, dada por: e diferenças. Y = Z - T ˆ = ˆ. ( 15) a Os méodos de esimação mais uilizados são: endência polinomial, suavização TENDÊNCIA POLINOMIAL É um procedimeno paramérico que consise em ajusar uma curva aos valores da série para esimar e fazer previsões. Assim, seja o modelo: 11

20 T = Β 0 + Β Β m m. (16) Logo, para esimar os parâmeros B j do modelo, uiliza-se do méodo dos mínimos quadrados, ou seja, minimizamos: f(β 0,..., Β m ) = N = 1 (Z - Β 0 - Β Β m m ) 2, (17) Assim, obém-se os esimadores de mínimos quadrados usuais ˆ β, ˆ β,... ˆ β. 0 1, O problema mais sério que se enconra ao esimar T por meio de um polinômio e que, embora se ajuse bem ao conjuno de valores observados, é que exrapolações fuuras podem ser basanes ruins. m SUAVIZAÇÃO Consise em um procedimeno não paramérico, que busca suavizar ou filrar somene valores da série, ao redor de um pono, para esimar a endência naquele pono, aravés de um processo de sucessivas médias. O que se faz é usar uma operação linear que ransforma a série Z na série Z *. Assim, dado um conjuno de valores: Z 1, Z 2, Z 3,..., Z n, define-se média ariméica móvel de ordem K, à seqüência de médias: Z1 + Z 2 + Z3 + K + Z K ; (18) K Z 2 K Z3 + K + Z K Z3 K Z 4 + K + Z K Z M ; (19) ; (20) 1 -K + Z n. (21) K n + K + Quano maior a ordem K, maior o efeio de suavização das variações. A escolha da ordem dependerá da ampliude dos movimenos sazonais. Se uma série apresena um movimeno esacional de rês meses, deve-se usar uma média móvel de ordem 3 para isolar a endência. A consrução do gráfico facilia a deerminação da ordem a ser empregada. Assim, em-se que: T ˆ =, (22) * Z e, a série livre de endência será: 12

21 Y = Z - Z *. (23) Há rês desvanagens nese processo, a saber: i) Inferências esaísicas do méodo são limiadas, dado, que ele não é baseado em nenhum modelo probabilísico; ii) Não se podem ober as esimaivas da endência nos insanes = 1,...,k e = N - K +1,...,N; iii) Não fornece um meio de se fazer previsões DIFERENÇAS Consise em um procedimeno não-paramérico. Considerando T represenada por um polinômio, enão, omando um número apropriado de diferenças obemos uma consane, iso é, se: T = Β 0 + Β B m m, (24) Enão: Por exemplo: d T d! Bd, se m = d =. (25) 0, se m < d T = β + β1 0 T ( ) [ ( )] = T T 1 = β 0 + β1 β0 + β1 1 = β1. Assim dado que Z = T + a, omando-se d diferenças obemos Z = d T + d a, onde d T é um polinômio de grau m. Nese caso: d d Δ T m = consane, se m=d; E(Δ T ) = 0, se m < d. (26) Sendo: E( d a ) = 0. Dessa forma, em-se que para um processo com endência polinomial de grau m, a série livre de endência será dada por: Y = m Z, (27) e a esimaiva da endência dada por : T = Z - m Z. (28) 13

22 TESTES PARA TENDÊNCIA Um primeiro passo na análise de séries emporais é a consrução de seu gráfico, cuja inerpreação nos permiirá perceber caracerísicas imporanes, como: endência, sazonalidade, variabilidade, observações aberranes ( ouliers ), ec. Além dessa inspeção gráfica, é possível uilizar eses de hipóeses esaísicos para verificar se exise endência na série. Iso pode ser feio de duas maneiras. a) Anes da esimação de T Os eses uilizados são: - ese de seqüências (Wald-Wolfowiz); - ese do sinal (Cox-Suar); - ese baseado no coeficiene de correlação de Spearman. b) Depois que se obém uma esimaiva de T Nese caso, é possível efeuar eses formais somene no caso do ajuse polinomial, pois já exise uma eoria desenvolvida para os esimadores de mínimos quadrados. Desa maneira, podem-se ober inervalos de confiança para os parâmeros β j do polinômio, bem como esar hipóeses a respeio deses parâmeros. Observe que no caso de se esar uma endência linear, esa-se que não exise endência, conra a alernaiva que exise uma endência crescene. Ese ese é amplamene conhecido na eoria esaísica. É aconselhável esabelecer se exise endência na série anes de aplicar qualquer procedimeno para sua esimação. Se exisir oura componene, como S na série, além de T, eria que eliminá-la anes de esar se há endência em um conjuno de observações. Conudo, eses em geral se baseiam em hipóeses, que podem não esar verificadas para o caso de uma série emporal. Em paricular, uma suposição comum é que as observações consiuem uma amosra de uma população, e assim elas serão independenes. Dese modo, eses eses devem ser uilizados com cauela e, em geral, são pouco poderosos para deecar alernaivas de ineresse. O ese de Cox-Suar é descrio a seguir. Considere um conjuno de observações X 1, X 2,..., X N. Agrupa-se as observações em pares (X 1, X 1+c ), (X 2, X 2+c ),..., (X N-c, X N ), onde c = N/2 se N for par e c = (N+1)/2 se N for ímpar. A cada par de observações associamos o sinal "+" se X i < X i+c e o sinal "-" se X i > X i+c, caso X i = X i+c elimina-se esa observação. Considere N o numero de pares onde X i X i+c. Assim, deseja-se esar: 14

23 H o : P(X i < X i+c ) = P(X i > X i+c ), p/odo i: Não exise endência; H 1 : P(X i < X i+c ) P(X i > X i+c ), p/odo i: Exise endência; Noe que raa-se de um ese bilaeral, onde a esaísica do ese é dada por: T = Número de pares com sinal "+". Uiliza-se a disribuição binomial para avaliar o ese, com os parâmeros p = 0,5 e n = N SAZONALIDADE Deerminadas séries possuem uma componene sazonal, além da endência. Ese componene capa caracerísicas da série que ocorrem regularmene denro do período de um ano. Ou seja, considera como sazonais os fenômenos que ocorrem regularmene de ano para ano, por exemplo: as vendas de um supermercado podem acusar um padrão diário basane regular de semana para semana; o movimeno de empregados na agriculura pode apresenar um padrão mensal regular de ano para ano; aumeno do índice pluviomérico nos meses de dezembro, janeiro e fevereiro; o número de pessoas que viajam de ônibus pode er um padrão mensal regular de ano para ano. ou, por: O ajuse sazonal consise em: a) Ober esimaivas Ŝ de S ; b) Calcular a série sazonalmene ajusada: Z Z = Z Sˆ (modelo adiivo), (29) SA Z SA = (modelo muliplicaivo). (30) Sˆ Ao esimar S, esá em geral comeendo um erro de ajusameno sazonal, dado δ = S - Ŝ. (31) Diz-se que um procedimeno de ajuse sazonal é óimo se minimiza E( δ ). De uma maneira geral pode-se dizer que em séries sazonais de 12 períodos observa-se que ocorrem relações: enre observações para meses sucessivos em um ano paricular e, enre observações para o mesmo mês em anos sucessivos. 2 15

24 Para a sazonalidade consane (não muda de ano para ano) em-se o seguine modelo: Z = T + S + a, i = 1,..., p; j = 1,..., 12. (32) ij ij Para sazonalidade não consane o modelo fica: ij ij i ij ij Z = T + S + a i = 1,..., p; j = 1,..., 12. (33) ij Os principais méodos de esimação são: méodo de regressão, méodo de médias móveis e o méodo das diferenças sazonais MÉTODO DE REGRESSÃO Consise em um procedimeno paramérico que é óimo para séries que apresenam sazonalidade deerminísica, ou seja, pode ser previsa perfeiamene a parir de meses aneriores. Considerando que: T = m j= 0 j B, = 1,..., N, (34) j 12 S = α d j= 1 j j, = 1,..., N. ( 35) onde: d j são variáveis periódicas (senos, cossenos ou variáveis sazonais dummies ) e 2 a é um ruído branco, com média zero e variância σ a. Impondo a resrição: Assim, em-se o modelo: 12 j= 1 α = 0. (36) j Z = m 11 j j + j = 0 j = 1 β α D + a (modelo de poso compleo). (37) j j onde: 16

25 D ij 1 se o período correspond e ao mes ˆ = - 1 se o período correspond e ao mes ˆ 0 caso conrario. j, j 12; = 1,,,,,11; (38) Uilizando a eoria de mínimos quadrados, podem-se ober esimaivas de α j e β j, de uma amosra Z 1,..., Z n a parir do modelo: Z = Cβ + Dα + a, (39) em que: Z Nx1 Z m Z =.,CNx(m+ 1) =....., β(m Z m N 1 N.. N 1)x1 β0 β1 =.,. β m (40) D11 D21.. D11,1 D12 D22.. D11,2 D =..... Nx11,..... D1N D2N.. D11,N A equação ambém pode ser escria como: α 11x1 α1 a1 α 2 a1 =., anx 1 =.... α11 an (41) Z = Xγ + a. (42) De modo que: 1 [ X X ˆ γ = ] X Z, (43) em que: X = [C : D] e (44) γ = β K. (45) α 17

26 MÉTODO DE MÉDIAS MÓVEIS Apropriado quando se êm séries cuja componene sazonal varia com o empo (sazonalidade esocásica). Porém ambém é aplicado para séries com padrão sazonal consane. O processo de esimação segue os seguines princípios: i) Pare da esimaiva da série livre de endência: Y = Z -Tˆ. (46) ii) As componenes, suposamene consanes, são esimadas aravés das médias dos meses (supondo s = 12), iso é: nj 1 Y. j = Yij j = 1,..., 12, (47) n j i = 1 Como a soma dos Y.j em geral não é zero, oma-se como uma esimaiva das consanes sazonais: onde: iii) A série livre de sazonalidade é: ˆ = Y Y, ( 48) S j.j 1 Y =.. (49) Y j j = 1 onde: Z SA = Z Sˆ, ( 50) 12 j= 1 Se o modelo for muliplicaivo em-se que: Ŝ = 0. (51) j Z SA Y ˆ.j S j =, ( 52) Y Z 12 =, com ˆ 1 ( 53) Sˆ S j =. j= MÉTODO DA DIFERENÇA SAZONAL É adequado para séries que apresenam sazonalidade deerminísica. O méodo consise em fazer diferenças de ordem igual ao período da série. Z SA = Z - Z - s = T - T - s + a - a s. (54) 18

27 TESTES PARA SAZONALIDADE Como dio aneriormene para endência, pode-se esar a exisência da componene sazonal, anes e depois de sua esimação. Em ambos os casos esa-se as hipóeses: H 0 : não exise sazonalidade deerminísica; H 1 : exise sazonalidade deerminísica. Pode-se usar dois enfoques nese caso, o paramérico e o não-paramérico, e anes de usar qualquer um deles é conveniene eliminar a endência se ela esiver presene na série. seguir. Assim, o ese será aplicado aos valores Y = Z - T, no caso do modelo adiivo. No caso do ese não-paramérico em-se o ese de Kruskal-Wallis, descrio a Supondo uma amosra de uma população, subdividida em k conjunos de amosras de amanho n j cada, que varia dependendo da série que se esá rabalhando. Por exemplo, se a série for anual e se em observações mensais, iso é, n j = 12 e k represenaria o número de anos. Enão, em-se as seguines amosras: k n j j= 1 Y ij, j = 1, 2,..., k e i = 1, 2,..., n j, N = (55) Subsiuindo as observações Y ij por seus respecivos posos denre odas as N observações, soma-se odos os posos em cada subgrupo j, ou seja: n j R. R, j = 1, K, k. ( 56) j = i= 1 Assim, a esaísica para o ese é dada por: H = N 12 k ( N + 1) 1 ij N + 1 ni Ri. 2 i= 1 g g j j= 1 g N N j 2, ( 57) onde é o número de observações repeidas no grupo j e g é o número de grupos com observações repeidas. Sob H 0, para n j suficienemene grande, ou k 4, a disribuição de H pode ser aproximada por uma disribuição de Qui-Quadrado com k-1 graus de liberdade. 19

28 Porano, rejeia-se a hipóese nula de não exisência de sazonalidade deerminísica se P Ho ( H 2 χ α ) = α ( k 1 ),, al que α é o nível de significância do ese. Tem-se ainda o ese não-paramérico de Friedman. No caso de ese paramérico pode-se uilizar um ese F roineiro a uma análise de variância. 3.5 MODELOS DE SUAVIZAÇÃO EXPONENCIAL Modelos de suavização é uma grande classe de méodos de previsão, que se baseiam na ideia de que, as observações passadas conêm informações sobre o padrão da série emporal. O propósio dos méodos é disinguir um padrão de comporameno de qualquer ouro ruído, que possa esar conido nas observações da série, e enão usar esse padrão para prever valores fuuros da série. Os modelos de suavização exponencial, os quais não serão discuidos em dealhes aqui são: médias móveis simples (MMS); suavização exponencial simples (SES); suavização exponencial de Hol (SEH); suavização exponencial de Hol-Winers (HW). 3.6 MODELOS ARIMA Uma meodologia basane uilizada na análise de modelos paraméricos é conhecida como abordagem de BOX & JENKINS (1970). Esa meodologia consise em ajusar modelos auorregressivos inegrados e de médias móveis, ARIMA(p, d, q), a uma série. Para a consrução do modelo segue-se um algoríimo, no qual a escolha da esruura do modelo é baseado nos próprios dados. O algoríimo é descrio aravés dos seguines passos: i) Considera-se uma classe geral de modelos para a análise; ii) Idenifica-se um modelo com base na análise de auocorrelações, auocorrelações parciais e ouros criérios; iii) Esima-se os parâmeros do modelo idenificado; iv) Verifica se o modelo ajusado é adequado aos dados aravés de uma análise de resíduos; v) Caso o modelo não seja adequado, o algorimo é repeido, volando à fase de idenificação. 20

29 Exisem vários criérios para idenificação de um modelo, por isso, é possível idenificar modelos diferenes dependendo do criério que foi escolhido para idenificação. Se o propósio é previsão, escolher-se-á enre os modelos ajusados o melhor, por exemplo, no senido de fornecer o menor erro quadráico médio de previsão. Os modelos auorregressivos (AR), médias móveis (MA) e auorregressivos e de médias móveis (ARMA), são apropriados para descrever séries emporais esacionárias, iso é, séries que se desenvolvem no empo ao redor de uma média consane. Muias séries enconradas na práica não são esacionárias, mas quando omamos a série diferenciada esa se orna esacionária. Modelos auorregressivos, inegrados e de médias móveis (ARIMA), raa-se de represenar a série diferenciada por um modelo ARMA. Seja Z uma série emporal não esacionária. Tomando W = ΔZ = Z - Z -1, sendo a série diferenciada uma vez de Z, em-se: W d = d Δ Z, a série emporal diferenciada d vezes de Z. Pode-se represenar W por um modelo ARMA, como W é uma diferença de Z enão, Z é uma inegral de W, assim diz que Z segue um modelo auorregressivo, inegrado e de médias móveis, iso é, um modelo ARIMA de ordem (p, d, q) e escrevemos ARIMA(p, d, q) onde p é a ordem da componene auorregressiva, d é o número de diferenças omadas na série e q é a ordem da componene de médias móveis. Porano, podem-se descrever odos os modelos uilizando a nomenclaura ARIMA, iso é: (58) i) ARIMA(p, 0, 0) = AR(p); ii) ARIMA(0, 0, q) = MA(q); iii) ARIMA(p, 0, q) = ARMA(p, q). E no caso de uma série não esacionária uiliza-se o modelo compleo, ARIMA(p, d, q) com d diferenças na série original IDENTIFICAÇÃO DE MODELOS ARIMA A idenificação paricular de um modelo ARIMA a ser ajusado aos dados, pode ser considerado uma das fases mais críicas ao se uilizar uma modelagem ARIMA. A 21

30 escolha do modelo a ser uilizado é feia principalmene com base nas auocorrelações e auocorrelações parciais esimadas, que uilizamos para comparar com as quanidades eóricas, e idenificar um possível modelo para os dados ESTIMAÇÃO DE MODELOS ARIMA Idenificado a ordem de um modelo ARIMA para uma série emporal, o próximo passo é esimar os parâmeros do modelo. Para isso, podem-se uilizar os méodos: dos momenos, de mínimos quadrados e de máxima verossimilhança DIAGNÓSTICO DE MODELOS ARIMA Após idenificar e esimar o modelo que se ajusa as observações para a série emporal, precisa-se agora verificar se ele represena, ou não, adequadamene os dados. A verificação do modelo pode ser feia analisando os resíduos. Se o modelo esiver correo os resíduos exaos, a deve ser i.i.d com disribuição N(0,1). Um méodo para verificar esa hipóese, é verificar se os resíduos esimados do modelo são não correlacionados, o qual pode ser feio aravés do ese de Box-Pierce PREVISÃO COM MODELOS ARIMA Um dos maiores ineresses no esudo de séries emporais é conseguir fazer previsões das observações no empo. A parir do momeno que se consegue idenificar e esimar um modelo ARIMA, adequado às observações, podem-se, enão, esudar méodos, que possibiliam uilizar a modelagem ARIMA, para prever os valores das observações h passos à frene. Vale a pena ressalar que previsões uilizando modelos ARIMA, serão eficazes para um período curo, e as melhores previsões serão aquelas que apresenam um erro quadráico médio (EQM) mínimo. 3.7 MODELOS ARIMA SAZONAL SARIMA As séries sazonais são caracerizadas por mosrarem alas correlações da variável disanciada pelo período da sazonalidade e pela correlação enre observações próximas. Muias vezes, mesmo após eliminar a componene sazonal deerminísica, ainda resa correlação significaiva em lags de baixa ordem ou em lags sazonais, iso é, múliplos. Assim, pode-se er dois ipos de modelos sazonais, os deerminísicos e os esocásicos. 22

31 3.7.1 SAZONALIDADE DETERMINÍSTICA Para as séries que possuem sazonalidade deerminísica, o que geralmene ocorre em séries climaológicas, o modelo SARIMA a ser ajusado em caracerísicas específicas. Quando Z exibe um comporameno deerminísico com período 12, um modelo que pode ser úil é dado por: Z = µ + N, (59) sendo: - µ uma função deerminísica periódica, saisfazendo µ - µ -12 = 0, ou: (1 B 12 )µ = 0. (60) - N um processo esocásico que pode ser expresso por um modelo ARMA(p,q). Porano, N saisfaz a equação: Φ(B) N = θ(b)a, (61) sendo a um ruído branco e µ dado por: μ = μ + 6 j= 1 α j ( 2πj ) ( 2πj) cos + β jsen, ( 62) em que µ, α j, β j, j = 1, 2,..., 6 são consanes desconhecidas. Assim, para um modelo sazonal deerminísico, Z = µ + N, aplicando a diferença sazonal (1 B 12 ), obém-se: (1 B 12 )Z = (1 B 12 )µ + (1 B 12 )N, (63) e de acordo com: Z = µ + N e (1 B 12 )µ = 0, em-se: Φ(B) (1 B 12 )Z = θ(b) (1 B 12 )a, (64) ou: Φ(B)w = θ(b) (1 B 12 )a, (65) em que: w = (1 B 12 )Z. (66) O ajuse do modelo com sazonalidade deerminísica passa pelos passos de idenificação, esimação e previsão. O processo de idenificação é feio em duas eapas. Primeiramene obêm-se as esimaivas preliminares μˆ, αˆ, βˆ deμ, α, β respecivamene, j = 1, L,6. j ˆ j j ˆ, j O passo seguine consise em calcular os resíduos: ~ N = Z ~ μ, ( 67) 23

32 procedendo, em seguida, ao exame das funções de auocorrelação e auocorrelação parcial para idenificar um modelo ARMA(p, q) para N. A esimação de máxima verossimilhança dos parâmeros, é obida de maneira similar à uilizada na esimação dos parâmeros do modelo ARMA SAZONALIDADE ESTOCÁSTICA Para as séries com sazonalidade esocásica, pode-se aplicar um modelo ARIMA sazonal, ou seja, o modelo SARIMA, sem nenhuma dificuldade adicional. Inicialmene, já que se calcular diferenças com lag 1 e com lag s, ou seja, em-se que omar d diferenças simples e D diferenças sazonais na série Z, a fim de se produzir uma série esacionária. Assim, obém-se: w = Δ d Δ D sz = (1 B s ) D (1 B) d Z. (68) O próximo passo é observar as funções de auocorrelação e auocorrelação parcial amosrais da série W nos lags 1, 2,... para ober os valores de p e q e nos lags s, 2s,..., e assim ober P e Q, selecionando-se, enão, um modelo prévio SARIMA (p, d, q) x (P, D, Q). O procedimeno seguine é esimar os valores dos parâmeros idenificados, uilizando-se os esimadores de máxima verossimilhança, de maneira idênica ao processo ARIMA, porém, agora com um modelo inicial SARIMA. 3.8 APLICAÇÕES DA METODOLOGIA DE SÉRIES TEMPORAIS A DADOS CLIMATOLÓGICOS A meodologia de séries emporais vem sendo uilizada ao longo do empo para ajusar modelos a dados climaológicos e, assim, realizar previsões. A seguir, ciam-se alguns rabalhos. BACK (2001) aplicou a meodologia de séries emporais para idenificar endências anuais da emperaura e precipiação pluvial de Urussunga, SC. Os resulados indicaram que: houve endência significaiva no aumeno da emperaura média anual e na emperaura média do mês de janeiro, sendo que a mudança ocorreu no ano de 1965; não foi idenificada nenhuma endência significaiva na emperaura média do mês de julho; ambém foi idenificada a endência significaiva de aumeno da precipiação pluvial oal anual, e da precipiação pluvial oal no quaro rimesre; nos rês primeiros rimesres do ano, nenhuma endência significaiva foi idenificada. 24

33 Com o objeivo de idenificar possível endência climáica por rimesre em séries de precipiação pluviomérica, RODRIGUES & SANTOS (2007) conduziram um esudo de endência climáica na série emporal de precipiação pluviomérica em Araguari, MG. Os resulados indicaram que somene o primeiro rimesre apresenou uma endência não significaiva, o segundo e quaro rimesres apresenaram uma endência negaiva. Em relação ao erceiro rimesre o ese de Mann-Kendall apresenou endência negaiva, fao que não pode ser observado graficamene. PEREIRA e al. (2015) aplicaram a análise de séries emporais para dados de precipiação pluvial e emperaura média do ar para uma série hisórica de dados de 39 anos, que vai de 1974 a 2013, para o município de Areia-PB. Os auores empregaram a meodologia BOX & JENKINS com inuio de ober esimaivas da precipiação e emperaura média para os seis primeiros meses de 2013, e alcançaram um bom ajuse pelos modelos SARIMA selecionados para as variáveis em esudo. Os auores ambém verificaram que os valores previsos ficaram denro do inervalo de confiança de 95%, e consideraram ese resulado saisfaório levando-se em cona as incerezas de empo e clima que são visos geralmene e que podem alerar os resulados esperados. FIGUEIREDO & BLANCO (2014) uilizando de simulações realizaram uma análise de previsões de vazão e níveis de água médios mensais, com anecedência de 24 meses, para a bacia do rio Tapajós, PA, uilizando modelos esocásicos do ipo ARIMA. Os auores concluíram que o modelo ARIMA (1,0,0)(1,1,1) 12 apresenou melhor desempenho para as séries de vazão e de níveis de água, e afirmam ainda que, no conexo de uso fuuro da água da bacia do Tapajós, o modelo considerado, é uma ferramena ineressane, podendo ser usada para analisar o regime hidrológico da bacia, aravés de previsões de níveis de água, diane das UHE a serem insaladas e, consequenemene, dos possíveis impacos ambienais e conflios pelo uso da água. PINTO e al. (2015) realizaram um rabalho com o objeivo de modelar, bem como realizar um esudo de predição e previsão de uma série emporal de emperauras médias diárias da cidade de Cariacica, ES. Os auores concluíram que denre os modelos ajusados, o modelo ARIMA (1,1,2) foi considerado mais adequado para fazer predições e previsão da emperaura média diária no município de Cariacica, ES. OLIVEIRA e al. (2014) ajusaram um modelo GARCH (BOX e al., 1994), que é um modelo não-linear a série emporal de precipiação no município de São João do Cariri-PB, e concluíram que o modelo GARCH(1,1) foi o que melhor se ajusou a série emporal de precipiação do município esudado. 25

34 Com o objeivo de idenificar a presença ou ausência de endência nas séries de precipiação oal mensal em 40 esações pluvioméricas, localizadas nas see mesorregiões do esado do Rio Grande do Sul, SILVA e al. (2015) conduziram um esudo por meio da aplicação de séries emporais. Os auores verificaram que das quarena esações analisadas, apenas seis foram consideradas independenes e desas a localidade de Peloas apresenou aleração de endência. COSTA e al. (2015) apresenam um esudo da aplicação de modelos de séries emporais na análise de precipiação para o Brejo Paraibano, uilizando-se a descrição, o ajuse de modelo e a previsão da série. Os auores uilizaram dados de precipiação mensais referene ao período de 1962 a 2014, oalizando 624 observações, e concluíram que o melhor méodo para o ajuse da série e previsão foi descrio pelo modelo SARIMA, o qual obeve um bom ajuse para a variável em esudo. SILVA e al. (2008) analisaram uma série de emperaura média mensal da cidade de Uberlândia, MG, descrevendo seus componenes, com o objeivo de se fazer previsões para períodos subsequenes, aravés de modelos ajusados para a série. A análise permiiu idenificar, na série, a presença dos componenes, endência e sazonalidade. Modelos do ipo SARIMA foram ajusados e, por meio dos criérios AIC (Akaike Informaion Crierion), BIC (Bayesian Informaion Crierion) e MSE (Mean Square Error) foi selecionado o modelo SARIMA (3,1,0)(0,1,1) para fins de previsão. Com o objeivo de realizar uma análise descriiva da precipiação mensal de esações pluvioméricas do Esado do Rio de Janeiro, uilizando medidas de posição e de dispersão e análises gráficas, e verificar a presença das componenes de sazonalidade e de endência neses dados, ARAÚJO e al. (2009) realizaram um esudo por meio de da aplicação de modelos de séries emporais. Com base nos resulados obidos, os auores concluíram que as precipiações pluviais mensais apresenam sazonalidade e não apresenam endência, que a análise de regressão múlipla foi eficiene na remoção da sazonalidade, e que a precipiação pode ser esudada por meio de séries emporais. FERRAZ e al. (1999) uilizaram modelos de séries emporais na previsão da série de precipiações pluviais mensais da cidade de Lavras, MG. Denre os modelos ajusados, modelo de regressão, modelo de alisameno exponencial de Hol-Winers e modelo SARIMA deerminísico, ese úlimo apresenou melhores valores de previsão, segundo os resulados obidos por esses auores. 26

35 4 MATERIAL E MÉTODOS 4.1 MATERIAL Os dados de precipiação do município de Ouro Branco MG, foram obidos aravés do sie oficial do Insiuo Nacional de Meeorologia INMET (disponível em hp:// O município de Ouro Branco esá localizado na unidade federaiva de Minas Gerais, Sudese do Brasil, siuado na laiude de S, longiude de W e aliude média de meros, e sua população, segundo o censo 2010, é de habianes (IBGE, 2015). O clima da região é ropical de aliude, que se caraceriza por verões úmidos e invernos secos. A precipiação média anual é de 1.188,2 mm, sendo julho e agoso os meses mais secos do ano. Os dados referem-se às precipiações pluviais mensais (oal de cada mês), expressas em alura de lâmina d água (mm), regisradas no período de janeiro de 2007 a dezembro de 2015, num oal de 108 meses. Considerou-se o período de janeiro de 2007 a dezembro de 2014 para ajusar os modelos, e os dados do período de janeiro de 2015 a dezembro de 2015, foram uilizados para verificação da previsão. 4.2 MÉTODOS Inicialmene foi feia uma familiarização da série de precipiações pluviais mensais aravés dos seguines passos: a) Consrução de gráficos para descrição do comporameno da série aravés de uma inspeção visual; b) Verificação da presença de endência e de sazonalidade, aravés de uma inspeção visual dos gráficos da função de auocorrelação (fac) e função de auocorrelação parcial (facp) da série; c) Aplicação do ese de Cox-Suar (descrio em ) para verificar a presença de endência na série; d) Aplicação do ese de Kruskal-Wallis (descrio em ) para verificar a presença de sazonalidade na série; e) Aplicação do ese de Dickley-Fuller Aumenado (ADF) (descrio em 3.2.1) para verificar a presença de esacionariedade na série. 27

36 Em seguida modelos sazonais auorregressivos inegrados e de médias móveis SARIMA(p,d,q) x (P,D,Q), descrios em MORETTIN & TOLOI (2006) foram ajusados. Ese modelo pode ser represenado por: s d s D s Φ p (B )φp(b)( 1 B) ( 1 B ) Z = ΘQ(B )θq(b)e, ( 69) sendo: Φ p (B s ) = 1 Φ 1 B s Φ 2 B 2s... Φ p B Ps o polinômio sazonal auorregressivo de ordem P; φ p (B) = 1 φ 1 B φ 2 B 2... φ p B p o polinômio auorregressivo de ordem p; Θ p (B s ) = 1 Θ 1 B s Θ 2 B 2s... Θ p B Qs o polinômio sazonal auorregressivo de médias móveis ordem Q; θ p (B) = 1 θ 1 B θ 2 B 2... θ p B q o polinômio de médias móveis de ordem q; B o operador de reardo, al que B s Z = Z -s ; d o número de diferenças necessárias para reirar a endência; D o número de diferenças de lag necessárias para reirar a sazonalidade da série; Z a série original; e o erro ou resíduo. A qualidade do ajuse dos modelos foram verificadas por meio do ese de Box e Pierce (MORETTIN & TOLOI, 2006), aplicados aos resíduos dos modelos, verificando se os resíduos são independenes e idenicamene disribuídos com média zero e variância consane, ou seja, apresenam ruído branco. Os modelos ajusados foram uilizados para previsões fuuras, e aravés dos criérios: informação de Akaike (AIC), Bayesiano de Schwarz (BIC) e erro quadráico médio de previsão (EQMP), foi escolhido o modelo que melhor se ajusa aos dados, aquele que fornecer previsões com menor erro quadráico médio de previsão, menor valor do AIC e BIC. Todas as análises foram realizadas por meio do Sofware Esaísico R (R Core Team, 2015). A linguagem R é largamene usada enre esaísicos e analisas de dados de várias áreas do conhecimeno. 28