6 Processos Estocásticos

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1 6 Processos Esocásicos Um processo esocásico X { X ( ), T } é uma coleção de variáveis aleaórias. Ou seja, para cada no conjuno de índices T, X() é uma variável aleaória. Geralmene é inerpreado como empo e X() é chamado de esado do processo no empo. Uma realização de X() num inervalo de empo é chamada de amosra de caminho (sample pah). Quando o conjuno de índices T é um conjuno conável, emos um processo esocásico em empo discreo. Se esse conjuno for conínuo, o processo será um processo esocásico conínuo. Os processos esocásicos podem ser classificados da seguine maneira: Processos esacionários: as propriedades esaísicas; média e variância, da variável são consanes; e Processos não esacionários: o valor esperado da variável aleaória pode crescer sem limie e sua variância, T anos à frene, aumena com T. Uma definição mais formal poderia ser dada da seguine forma: um processo esocásico é definido por uma lei de probabilidade de evolução da variável X(), a variável X a cada empo. Ou seja, para os empos 1 3, ec., é possível calcular a probabilidade correspondene aos valores x1, x, x3, ec., esarem em um inervalo específico, por exemplo: prob ( a x b, a x x,...) Sendo assim, quando o empo 1 chegar e o aual valor de X1 for observado, é possível er a condição de probabilidade de fuuros evenos com essa informação.

2 Pode-se ver um processo esocásico X() como uma previsão de E [ X( ) ] mais um erro dessa previsão, ou seja: ( ) E[ X( ) ] erro( ) X + eq. (1) 55 Com isso faz-se necessário calcular para cada processo esocásico sua endência e sua volailidade Principais Processos Esocásicos A seguir serão apresenados os principais processos esocásicos uilizados para simular os preços, denre eles esão o Movimeno Geomérico Browniano e o Movimeno de Reversão a Média Processo de Markov Ese é um ipo de processo esocásico onde somene o valor correne de uma variável é relevane para prever o fuuro, a propriedade de Markov nos diz que a disribuição de probabilidades dos preços em qualquer empo no fuuro depende única e exclusivamene do preço aual. Sua vanagem é que ele simplifica a análise de processos esocásicos. Uma definição mais formal: considere um processo em empo discreo {, } X com disribuição de probabilidade conjuna F ( x x,..., ) 1 X,...,X 1, x. Ese processo é considerado de Markov se as suas probabilidades condicionais saisfazem as seguines propriedades: ( X x / x,...,x ) P( X x ) P + S + S 1 + S + S/x Onde, P (. /I ), represena a probabilidade condicional ao conjuno de informações I. Esse processo é considerado imporane para o mercado financeiro, pois nese ambiene considera-se que odas as informações passadas sobre o preço de um deerminado aivo esão conidas no valor aual do mesmo. Sendo assim

3 56 qualquer previsão do fuuro será baseada somene no valor correne do aivo, desconsiderando os valores aneriores. Será viso que o Random Walk, o AR (1) e o Processo de Wiener são chamados de processo de Markov, pois saisfazem sua propriedade Random Walk Ese é um processo em empo discreo e esado discreo, nesse ipo de processo X é uma variável aleaória e X 0 é conhecida em 0. O comporameno se X pode ser descrio da seguine forma: X assume salos de amanho 1 para cima ou para baixo, sempre com probabilidade 1/, e eses são independenes enre si. Como os salos são independenes pode-se descrever a dinâmica de X da seguine forma: X + ε eq. () X 1 Onde probabilidade: ε é uma variável aleaória com a seguine disribuição de prob (ε 1) prob (ε 1) 1 A disribuição de probabilidade de X pode ser enconrada na disribuição binomial. Onde para passos a probabilidade de se erem n salos negaivos e, consequenemene, -n salos posiivos é: n n n n Se x 0 0 enão o valor esperado de X é igual à zero, pois a probabilidade de subida e descida é a mesma: ( x ) 0 E0 Podemos verificar pela equação () que esse processo saisfaz a propriedade de Markov, pois a disribuição de probabilidade de X +1 depende somene da

4 57 disribuição de X no empo. Por exemplo, se X 6, enão X +1 só poderá ser 5 ou 7, endo cada possibilidade iguais chances de ocorrer. Os valores X -1, X -, ec. são irrelevanes uma vez que sabemos X. Uma possível generalização desse processo poderia ser feia alerando os valores de p e q, onde q 1-p. Caso p > q, er-se-ia um random walk com drif, e ( ) 0 E 0 x. Oura generalização seria fazer com que o amanho do salo em cada fosse uma variável aleaória conínua. Caso esse salo enha uma disribuição normal com média zero e desvio padrão σ, o processo é conhecido como processo esocásico em empo conínuo e esado discreo, e um exemplo desse ipo de processo será viso a seguir Processo Auoregressivo de Primeira Ordem (AR 1) Esse ipo de processo esocásico é em empo discreo e variável conínua, e é um processo de Reversão à Média, pois X no longo prazo ende a um valor consane. A dinâmica de X pode ser escria da seguine forma: x ρ x + ξ eq. (3) δ + 1 Onde: ρ e ξ são consanes, -1 < ρ < 1, ξ ~ N (0,1). Pela equação (3) podemos verificar que esse processo saisfaz a propriedade de Markov de maneira similar a que foi visa no processo Random Walk. O valor esperado de X de longo prazo será: ( X ) Ε0 n δ 1 p

5 Processo de Wiener O Processo de Wiener, ambém conhecido como Movimeno Browniano, é um processo de empo conínuo e possui rês propriedades imporanes: É um processo de Markov (mais adiane será viso o porquê dessa afirmação), assim udo o que se precisa saber para fazer uma boa previsão do valor fuuro da variável é a sua disribuição de probabilidade e o seu valor aual; Possui incremenos independenes; e Mudanças sobre qualquer inervalo de empo são normalmene disribuídas, com uma variância que aumena linearmene com o inervalo de empo, ou seja, é um processo esocásico não esacionário. Mais formalmene, seja uma variável aleaória Z que segue um processo de Wiener, enão ela possui as seguines propriedades: A relação enre Z e e A variável aleaória ( ε,ε ) 0, para s Ε s é dada por : Z ε, onde ε ~ N(0 1); ε não possui correlação serial, ou seja,. Dessa forma, os valores de Z para quaisquer inervalos diferenes são independenes, de forma que Z() segue um processo de Markov. Dessa propriedade segue que, Z em disribuição normal com média 0 e variância igual a, ou seja, pode-se concluir que os incremenos seguem uma disribuição normal com os parâmeros, Z ~ N (0, ). Se considerarmos um inervalo de empo 0, o incremeno do processo de Wiener pode ser represenado em empo conínuo: dz ε Ε σ ( dz) 0 ( dz) d dz ~ N ( 0,d) ( dz) d Var d eq. (4)

6 59 Uma observação imporane é o fao desse processo não possuir derivada em relação ao empo no senido convencional; ou seja: dz ε d ε Z aproxima de 0. 1/ ( d) que ende ao infinio quando se Movimeno Browniano com Drif ou Movimeno de Wiener generalizado (Movimeno Ariméico Browniano) O processo de Wiener Generalizado, ambém conhecido como Movimeno Browniano com drif para uma variável x pode ser definido em ermos de dz pela seguine expressão: dx α d + σ dz eq. (5) Onde: dz : é o incremeno de Wiener, definido acima; α : é a endência do processo, que represena a cereza, pois surge do produo de dois valores conhecidos (que nesse caso é consane); e σ : é a volailidade do parâmero, que represena a incereza, pois resula da muliplicação de um valor conhecido por um valor aleaório (que ambém é consane). A mudança em X, denoada por dx, no inervalo de empo, é normalmene disribuída e em Ε ( x) α, e a variância é V x ( ) σ Assim:. x ~ N ( α, σ )

7 Movimeno Browniano Generalizado - o Processo de Io No Movimeno Browniano esudado acima, o α e o σ eram consanes. Porém o que ocorreria caso esses parâmeros não fossem consanes? Como ficaria a média e a variância desse processo? A generalização do Movimeno Browniano é dada pela equação abaixo: ( x, ) d b ( x, ) dx a + dz eq. (6) Onde: dz : incremeno de Wiener, a ( x,) e ( x,) b :funções (não-aleaórias) conhecidas. a e b: são respecivamene do drif e a variância, porém agora são funções do empo e do esado auais. A média e a variância de dx são calculadas a seguir: Ε ( dx ) a ( x, ) Var ( dx ) [ b ( x, ) ] d Os parâmeros a ( x,) e ( x,) b são respecivamene, a axa insanânea de crescimeno esperada e a axa insanânea de variância esperada Movimeno Geomérico Browniano (MGB) É um caso paricular de Processo de Io, geralmene é o processo uilizado para modelar preço de ações, axas de juros, preços de produos e ouras variáveis financeiras e econômicas. Uma imporane generalização da equação (6) é visa a seguir: dx αx d + σx dz eq. (7)

8 61 Onde são α e σ consanes. Foi viso no processo de Wiener Generalizado que as mudanças percenuais em x, dx/x em disribuição Normal com parâmeros (α,σ ). Se x () em disribuição log-normal, enão F(x) ln x erá uma disribuição normal. Expandindo F por Taylor: df F d + F dx x + 1 F dx x (9) Onde : F x 1 x eq. (10) F x 1 x eq. (11) F 0 eq. (1) Subsiuin do (10), (11) e (1) em (9) eremos : 1 1 df dx x x Onde : dx ( dx ) eq. (13) ( α x d + σ x dz ) eq. (14) Susbiuin df df df df 1 x 1 α d + σ dz x 1 α d + σ dz - σ d 1 α - Lembrando do ( dz ) ( ε d ) ( α x d + σ x dz ) ( α x d + σ x dz ) σ (14) que : ε em d (13) d + σ dz : 1 x ( α x d + ασ d dz + σ x dz ) Var ( ε ) Ε ( ε ) Ε ( ε ) 1 Pois ε ~ N ( 0,1 ) Ε ( ε d ) d Ε ( ε ) d Var ( ε d ) d Var ( ε ) 0

9 6 Considerando o seguine inervalo de empo (0, T), fazendo: x (T) x T x (0) x 0 Em seguida subsiuindo no valor de F(x), enconra-se: F(x ) F(x 0 ) ~ σ N α - T,,σ T F(x ) ~ N F(x 0 ) + σ α - T,,σ T Como: F(x ) ln x, ln x ~ N ln x 0 σ + α - T,,σ T Após algumas subsiuições de variáveis chega-se ao valor esperado de X T e a sua variância: Ε ( x ) T x 0 e α T Var α T ( ) σ x x e e T 1 T 0 Uma observação imporane é que a variância cresce (sem limies) com o horizone emporal, ou seja, se T Var( x ) exponencial de crescimeno ou de queda. α : é a endência do processo (que nesse caso é consane); e σ : é a volailidade do parâmero (que ambém é consane). T. E a endência é

10 63 Evolução de x0 Variância cresce com o horizone de previsão Disribuição de probabilidade lognormal Tendência (aqui α > 0) Tempo Figura 6.1: Gráfico da variância no Movimeno Geomérico Browniano Fone: hp:// Processo de Reversão à Média Pelo MGB viso acima o valor previso ende a divergir do seu valor original, dado que o processo apresena uma endência exponencial de crescimeno ou de queda. Exisem processos que podem ser modelados por esse movimeno, um deles é o preço de aivos especulaivos. A equação que define esse processo é dada por: ( x x) dx η d + σ dz eq. (15) Onde: dz: incremeno de Wiener; η : velocidade de reversão à média, ese parâmero indica a velocidade com que o processo ende a volar para o valor médio; e x : nível normal de x (o nível para o qual x ende a reverer).

11 64 Ese processo ambém é um processo de Markov, porém não possui incremenos de Wiener (dado que a variância de x depende da diferença ene x e x). O valor esperado de x é: η ( x ) x ( x x) ( e 0 ) Ε 0 eq. (16) A variância é dada pela seguine equação: σ Var (x ( ) η 0 ) 1 e eq. (17) η : O próximo passo é verificar o que ocorre com o valor esperado de x quando lim Ε ( x ) lim x ( x x) T 0 e 1 ηt x ( x x ) Quando : T 0 lim, e 1 ηt e ηt e (x 0 x ) 1 e ηt 0. T lim Ε ( x ) x eq. (18 ) T Ou seja, diferene do que ocorre no MGB, no MRM o valor esperado ende para a média de longo prazo e a variância ende para (σ /*n).

12 65 Figura 6.: Gráfico da variância no Movimeno de Reversão a Média Fone: hp:// 6.. Simulação de Mone Carlo do preço do peróleo O méodo de Mone Carlo é uma expressão muio geral, onde as formas de invesigação esão baseadas no uso de números foruios e esaísica de probabilidade. Pode-se verificar a uilização de al méodo em diversas áreas, como economia, física, química, medicina enre ouras. Para que uma Simulação de Mone Carlo eseja presene em um esudo basa que ese faça uso de números aleaórios na verificação de algum problema. O méodo leva ese nome devido à famosa rolea de Mone Carlo, no Principado de Mônaco. Seu nome bem como o desenvolvimeno sisemáico do méodo daa de 1944, quando da Segunda Grande Guerra, época em que foi usado como ferramena de pesquisa para o desenvolvimeno da bomba aômica. Porém, exisem alguns regisros isolados de sua uilização em daas bem aneriores; por exemplo: pela segunda meade do século XIX várias pessoas execuaram experiências nas quais lançavam seas, de uma maneira foruia, sobre uma ábua onde havia um conjuno de linhas paralelas e deduziram o valor de Pi 3,14..., observando o número de inerseções enre as seas e linhas. Os primeiros esudos envolvendo Simulação de Mone Carlo e avaliação de invesimenos de capial foram feios por David B. Herz e publicados em um arigo na revisa Havard Business Review em 1964.

13 66 Para a consrução de um modelo do fluxo de caixa, fazendo uso da Simulação de Mone Carlo, segue-se uma seqüência lógica, conforme abaixo: Consruir um modelo básico das variações dos fluxos de caixa fuuros, provocados pela variação dos preços dos insumos e produos finais. Para oda a variável que puder assumir diversos valores elaborar sua disribuição de probabilidade acumulaiva correspondene. Especificar a relação enre as variáveis de enrada a fim de se calcular o VPL do invesimeno. Selecionar, ao acaso, os valores das variáveis, conforme sua probabilidade de ocorrência, para assim, calcular o valor presene líquido. Repeir esa operação muias vezes, aé que se obenha uma disribuição de probabilidade do VPL. Figura 6.3: Ilusração da SMC

14 67 Para simular o preço do peróleo será usado o MRM. A equação de simulação é apresenada a seguir: σ 1- exp[ η ] {[ln(p )] exp[ η ] + [ln(p) (1 exp[ η ])] -[(1- exp[ η ]) + N(0,1) } P( ) exp ( 1) σ 4η eq. (19) (Fone: hp:// η Onde: P : média de longo prazo η : velocidade de reversão σ : volailidade Os ermos da equação 19 possuem e a seguine inerpreação: os dois primeiros represenam o drif cujos pesos são o valor inicial e a média de longo prazo, e o quaro ermo represena o ermo esocásico (Fone: hp:// A simulação do preço real usando a equação acima será feia por amosragem de um modelo de disribuição normal N (0.1). A parir daí obêm-se os valores correspondenes de P. Para calcular os parâmeros primeiro calculam-se os parâmeros da regressão: Ln(P ) Ln (P ) a + b Ln (P ) + e. Em seguida calcula-se cada um 1 1 deles conforme as equações: aˆ P. ˆ η log(1 + bˆ ) e bˆ σˆ log(1 + bˆ) σˆ e,onde (1+ bˆ) 1 σˆ e é o desvio-padrão da regressão. O primeiro cálculo dos parâmeros foi feio uilizando uma série anual do preço do Bren, em U$/barril, do período compreendido enre o ano de 198 e 009 (ao odo 8 anos).

15 Preço Bren (U$/bbl) 008; 96, ; 1,76 Série Nominal Figura 6.4: Preço do Bren (U$/bbl) _ 198/009 Fone: hp:// Pela análise do gráfico pode-se verificar que o maior preço do peróleo ocorreu no ano de 008, chegando a aingir o valor de U$ 96,94/ bbl, endo o menor valor, U$ 1,76/ bbl, ocorrido no ano de Foi feia uma análise do amanho e da freqüência dos jumps que ocorreram no período considerado. O maior jump ocorreu do ano de 1999 para o ano de 000, onde o preço aumenou cerca de 38%, e o menor jump ocorreu do ano de 1985 para o ano de 1986, onde o preço caiu cerda de 93%. A probabilidade de um jump maior ou igual a 10% ocorrer, no período em esudo, é de 44%, e a probabilidade de um jump maior ou igual a -10% ocorrer é de 6%. Para que os parâmeros não refliam o efeio da inflação (no caso a série pode apresenar uma endência de crescimeno devida à inflação) esa foi deflacionada com o Producer Price Indice (PPI). A Figura 6.5 conem a série nominal e a série real do Bren, para o período de 198/009.

16 Preço Bren (U$/bbl) Série Nominal Série real Figura 6.5: Série real e nominal do Bren _ 198/009 Fone: elaboração própria Aravés da análise da série real o maior valor que o Bren aingiu foi U$ 88,41/bbl no ano de 008, e o menor valor foi U$ 17,31/bbl no ano de Em relação aos jumps o maior ocorreu mais uma vez do ano 1999 para o ano 000, o mudando somene a sua inensidade, que agora foi de 34%, e o menor jump foi 87%, mais uma vez do ano de 1985 para o ano de A axa de descono uilizada para cálculo do valor presene líquido do projeo é de 9,18 % ao ano, é a axa que reflee o risco das indusrias de peróleo (Fone: hp://pages.sern.nyu.edu/~adamodar/). Primeiro os dados foram calculados uilizando a série real do período compreendido enre 198/009 (8 anos), os parâmeros dos processos esocásicos obidos foram: MGB MRM Drif 3,31% Media de longo prazo U$ 38,0/bbl Volailidade 3,88% Velocidade de reversão 17,7 % Volailidade 17,35 % Meia vida Tabela 6.1: Parâmeros dos processos esocásicos (Série Bren: 198/009) Fone: Elaboração própria Em orno de 4 anos. Em seguida os parâmeros foram calculados novamene, porém com uma série menor, agora a série usada compreende o período que vai de 1990 aé 009 (19 anos).

17 70 MGB MRM Drif 5,33% Media de longo prazo U$ 54,36 /bbl Volailidade 1,87% Velocidade de reversão 8,3 % Volailidade 15,48 % Meia vida Em orno de 8 anos. Tabela 6.: Parâmeros dos processos esocásicos (Série Bren: 1900/009) Fone: Elaboração própria Em relação aos parâmeros de MGB pode-se verificar uma mudança significaiva no drif que de 3,31% vai para 5,33 % quando se considera uma série do Bren de 1990/009. No caso no MRM odos os parâmeros sofrem grandes mudanças, a média de longo-prazo vai de U$ 38,0/bbl para U$ 54,36 /bbl e a meia vida dobra, passa para cerca de oio anos. Nese rabalho opou-se por usar os dados obidos aravés da série real do Bren compreendida enre 1990 e 009, pois represenam de forma mais significaiva o preço do peróleo e sua volailidade nos úlimos anos. Como o foco do rabalho é calcular o VPL do projeo, os riscos dos agenes nos dois regimes e como a renda é disribuída, opou-se por fazer uma análise de sensibilidade em relação ao impaco que a variação no valor da média de longo prazo em sobre essas variáveis (será que em um cenário de preço do peróleo mais alo os riscos mudam?). Para a escolha dese valor uilizou-se o preço de negociação do Peróleo Bren no mercado fuuro. Ese é negociado em duas bolsas, a New York Mercanile Exchange (NYMEX) e na Inerconinenal Exchange (ICE). Os preços de negociação nessas bolsas enconram-se nas abelas abaixo. Conrac Open High Low Las Mar 011 (E) Jun 011 (E) Jul 011 (E) Oc 01 (E) Nov 01 (E) Dec 01 (E) Oc 013 (E) Nov 013 (E)

18 71 Dec 013 (E) Dec 014 (E) Dec 015 (E) Dec 017 (E) Tabela 6.3: Valores de negociação do Bren no mercado Fuuro na NYMEX Fone: hp://quoes.ino.com/exchanges/conracs.hml?rnymex_bb O valor de negociação no mês de fevereiro de 011 foi de U$ 93,53 bbl e como pode ser analisado na abela 6.3 o valor de fechameno não varia muio, ficando próximo de U$ 93,00 bbl. na ICE. A abela 6.4 coném os valores de negociação do Bren no mercado fuuro Monh Price (U$/bbl) Dec ,51 Dec 01 94,65 Dec ,81 Tabela 6.4: Valores de negociação do Bren no mercado Fuuro na ICE Fone: hps:// Uma análise dos valores de negociação de Bren no mercado fuuro indica que os preços não variam muio de uma bolsa para oura. Todas as variáveis esudadas são calculadas considerando-se dois cenários para a média de longo. No primeiro cenário o cálculo é feio com a média obida aravés do modelo (U$ 54,36 /bbl), no segundo cenário a média de longo prazo escolhida é U$ 95,00 bbl (que represena uma média dos valores de negociação do Bren no mercado fuuro). É imporane desacar que o valor da média de longo prazo usada no segundo cenário, em uma análise mais rigorosa, deve considerar um prêmio de risco sobre esse valor. Uma vez que as negociações feias no mercado fuuro são livres de risco, pois os valores são previamene definidos.