Movimento unidimensional 25 MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL

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1 Movimeno unidimensional 5 MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL. Inrodução Denre os vários movimenos que iremos esudar, o movimeno unidimensional é o mais simples, já que odas as grandezas veoriais que descrevem o movimeno são paralelas. Como o movimeno ocorre em apenas uma dimensão, é necessária apenas uma coordenada para especificar a posição de um corpo em cada insane de empo. Consideremos um corpo que no insane enconra-se na posição x. Após um inervalo de empo, o corpo esará na posição x no insane de empo. Definimos o deslocameno como sendo x x x e a velocidade média do corpo nese inervalo de empo como: v x x x O senido do deslocameno do corpo é dado pelo sinal do próprio deslocameno ou da velocidade média (são proporcionais). Geomericamene, a velocidade média enre os ponos x e x corresponde à inclinação da rea quer passa por eses ponos, conforme mosra a Fig... x α x gα v x / Fig.. - Posição de um corpo com função do empo. S. C. Zilio e V. S. Bagnao Mecânica, calor e ondas

2 6 Movimeno unidimensional Quano menor for o inervalo de empo considerado, iso é, quano mais próximos esiverem os ponos x e x, mais fielmene v represenará a velocidade real do corpo naquele inervalo de empo. Logo, a velocidade insanânea (real) é definida como: ( ) v lim x que nada mais é do que a derivada da posição com relação ao empo. Geomericamene, se ivermos um gráfico de posição conra empo, a velocidade insanânea corresponde à inclinação da rea angene à curva num dx d deerminado insane de empo, como ilusra a Fig... x α α gα v( ) gα v( ) Fig.. - Inerpreação geomérica da velocidade insanânea. Quando a velocidade insanânea é consane num deerminado inervalo de empo, dizemos que o movimeno é uniforme e que v () v. Por ouro lado, quando a velocidade não é consane no empo, o movimeno é chamado de acelerado. Nese caso, a variação da velocidade com o empo é caracerizada por uma grandeza denominada aceleração. Se a velocidade do corpo no insane é v e no insane é v, a aceleração média é definida como: v a v v e no gráfico de velocidade conra empo ela corresponde à inclinação da rea que passa pelos ponos v e v. Quando consideramos o limie em que ende S. C. Zilio e V. S. Bagnao Física Básica Mecânica, calor e ondas

3 Movimeno unidimensional 7 a zero, surge a idéia de aceleração insanânea, grandeza esa que caraceriza localmene a variação da velocidade do corpo. Logo: ( ) a lim v dv d Geomericamene, a aceleração é a inclinação da rea angene à curva no gráfico de velocidade, como mosra a Fig..3. v() gα a() α Fig..3 Inerpreação geomérica da aceleração insanânea. O movimeno do corpo pode ser classificado de acordo com a maneira em que a aceleração se compora no empo. Quando a aceleração é consane, o movimeno é chamado de uniformemene acelerado e se consiui numa classe imporane de siuações que analisaremos. Anes de prosseguirmos, vamos mosrar alguns exemplos dos conceios que acabamos de ver. Exemplo : Seja um corpo deslocando-se de al forma que sua posição é dada por x() 4, com dado em s e x em cm. Na Fig..4(a) vemos o gráfico desa função. A velocidade do corpo em cada insane de empo pode ser enconrada omando-se a derivada de x() e assim, x() (cm) v() (cm/s) (s) 3 4 (s) Fig..4 - Posição (a) e velocidade (b) de um corpo como função do empo S. C. Zilio e V. S. Bagnao Mecânica, calor e ondas

4 8 Movimeno unidimensional dx v ( ) 8 (em cm/s) d que é a equação da linha rea mosrada na Fig..4(b). Se quisermos calcular a aceleração como função do empo, devemos omar a derivada de v() que é obviamene uma consane. dv a d ( ) 8 cm/s A velocidade média do corpo enre os insanes s e 3s pode ser calculada aravés da expressão: ( 3) x( ) x x 36 4 v 6 cm/s 3 Ese mesmo resulado poderia ser obido da seguine forma: ( 3) + v( ) v v 6 cm/s ou seja: A velocidade média é a média das velocidades nos insanes considerados. Ese é um resulado que só vale para um movimeno cuja aceleração é consane. Exemplo : O movimeno de um corpo é descrio por x() , sendo esa função mosrada na Fig..5. A posição inicial do corpo é x cm e pelo gráfico vemos que nos insanes iniciais do movimeno, o deslocameno se dá no senido posiivo do eixo x, aé aingir um pono máximo a parir do qual o movimeno se invere, ocorrendo a parir daí no senido negaivo do eixo x. Queremos responder à seguine perguna: quano empo o corpo leva para volar à posição inicial? Para iso fazemos x(), iso é, (-3 + 4) de onde iramos que o corpo esá na posição x nos insanes (posição inicial) é 4/3 s, que corresponde ao empo necessário para a parícula volar à posição inicial. S. C. Zilio e V. S. Bagnao Física Básica Mecânica, calor e ondas

5 Movimeno unidimensional 9 x(cm) (s) - - Fig..5 - Posição de um corpo como função do empo. A velocidade é dada por v() dx/d (cm/s), que esá mosrada na Fig..6. Noamos que: v > para < /3 s, v para /3 s e v < para > /3 s. O gráfico da velocidade do corpo corresponde à uma rea com coeficiene angular negaivo. O empo /3 s define o pono de reorno. A aceleração é dada por: a dv d 6 cm / e é no senido oposo ao da velocidade na fase inicial ( < /3 s). v (cm/s) 4 s /3 /3 (s) - -4 Fig..6 - Velocidade de um corpo como função do empo. S. C. Zilio e V. S. Bagnao Mecânica, calor e ondas

6 3 Movimeno unidimensional. Classificação dos movimenos unidimensionais O movimeno unidimensional é classificado de acordo com as variações da posição, velocidade e aceleração com o decorrer do empo. Assim, emos os seguines ipos de movimenos: Progressivo: Rerógrado: Acelerado: Reardado: x() aumena com o empo; x() diminui com o empo; v() e a () em o mesmo senido; v() e a() em senidos oposos. No exemplo anerior (Exemplo ), a classificação do movimeno é: < /3s movimeno progressivo e reardado e > /3x movimeno rerógrado e acelerado..3 Deerminação de x() a parir de v() e de v() a parir de a() Como vimos aneriormene, o conhecimeno de x() permie o cálculo de v() aravés de uma derivação e ambém a() aravés de oura derivação. O problema inverso consise na deerminação de x() a parir de v() ou a(). Para iso, emos que realizar uma inegração, pois esamos procurando a função cuja derivada é conhecida. Assim, x ( ) x + ( ) d x + v( ) dx d Conhecendo-se a velocidade do corpo, deerminamos sua posição como função do empo aravés de uma inegração simples. Lembre-se que o que esamos fazendo nada mais é do que dividir o inervalo de empo oal em pequenos inervalos d nos quais a velocidade é considerada consane. O produo vd fornece a pequena disância percorrida (ou deslocameno sofrido) em d e a soma deles, que é a operação de inegração, fornece o deslocameno oal do corpo. Num gráfico de v() conra, o deslocameno do corpo é a área sob a curva, como mosrado na Fig..7. Noe que área negaiva indica deslocameno no senido negaivo do eixo x. d S. C. Zilio e V. S. Bagnao Física Básica Mecânica, calor e ondas

7 Movimeno unidimensional 3 v() área x() Fig..7 - Cálculo da posição a parir da velocidade de um corpo. Exemplo : A velocidade de um corpo é dada por: v() e sabemos que para ele localiza-se em x. Vamos calcular x(). Assim, 3 x( ) + ( 3 + 4) d Exemplo : Dado a() 3, calcular v() e x() v( ) v + 3 d v + 3 Vemos que para conhecer v() precisamos saber a velocidade inicial. Para achar x() fazemos: x + ( ) ( ) ( ) 3 x + v d x + v + d x + v Dese exemplo podemos concluir que para a deerminação de v() a parir de a() é necessário o conhecimeno do valor inicial v da velocidade. A deerminação precisa de x() a parir de v() implica no conhecimeno da posição x inicial. x e v são denominados de condições iniciais do movimeno. 3 S. C. Zilio e V. S. Bagnao Mecânica, calor e ondas

8 3 Movimeno unidimensional.4 Aceleração consane Ese caso envolve um número grande de problemas e, assim, devemos raa-lo em paricular. Sendo a aceleração consane, podemos calcular a velocidade como: + v( ) v + a d v + a d v a e o deslocameno aravés de oura inegração: e subsiuílo na segunda: x( ) x + v( ) d x + ( v + a) d x + v + a Podemos eliminar da primeira equação: ( v v )/ a a x ( ) x + ( v v ) v a + a ( v v ) ( x x ) v v v + ( v + v vv ) Logo: v v + a( x x ) a v, que é conhecida como equação de Torricelli, válida apenas quando a aceleração é consane. Um caso especial do movimeno uniformemene acelerado ocorre para a 9.8 m/s g, que corresponde ao movimeno verical de corpos sujeios ao campo graviacional da Terra, próximos à superfície. Nese caso, é comum raar o deslocameno como alura (h) e adoar o senido posiivo de h como sendo oposo ao de g. Exemplo: Uma bola é lançada para cima, com velocidade inicial v como mosra a Fig..8. Assim, usando a equação de Torricelli emos: ( h) v gh v( h) ± v gh v Para um deerminado h, exisem duas soluções para v. A posiiva represena o corpo em ascensão e a negaiva o corpo esá na descendene. Vemos ambém que o pono de reorno (v ) ocorre para uma alura máxima v S. C. Zilio e V. S. Bagnao Física Básica Mecânica, calor e ondas

9 Movimeno unidimensional 33 h max v / g mosrada na Fig..9. Por ouro lado, a dependência emporal é dada por v() v g e h() ½ g g r v +h Fig..8 Lançameno verical de uma bola. Ao aingir o pono máximo da rajeória, v e max v /g. Logo: h max v / g como obido aneriormene. Para a obenção do empo oal da rajeória fazemos h( f ) (v - g ) que nos dá duas soluções: i (início do movimeno) e f v /g que é o dobro do empo gaso para que a bola ainja h max. v(h) v g h Fig..9 Dependência da velocidade com a alura no lançameno verical. S. C. Zilio e V. S. Bagnao Mecânica, calor e ondas

10 34 Movimeno unidimensional Exercícios O maquinisa de um rem movendo-se com velocidade v, vê, a uma disância d à sua frene, um rem cargueiro movendo-se no mesmo senido com velocidade v. Ele aciona os freios, ransmiindo ao rem uma aceleração -a. Mosre que se: d > (v - v ) /a não haverá colisão e se d < (v - v ) /a haverá colisão. Goas de água caem de um chuveiro sobre o piso siuado a m abaixo. As goas caem em inervalos regulares e quando a primeira ainge o chão, a quara esá começando a cair. Deermine a posição de odas as goas no insane em que uma inge o chão. 3 A posição de uma parícula que se desloca ao longo do eixo x depende do empo de acordo com a equação: x a b 3, x em cm, em s. a) em que pono x é máximo? b) qual é a velocidade e em que insane ela é nula? c) qual é a aceleração e em que insane ela é nula? 4 Um avião com velocidade v aerriza num pora-aviões com uma aceleração negaiva a A. Qual é o comprimeno mínimo da pisa? 5 Dois corpos localizam-se na origem do eixo x quando s. O corpo A em velocidade consane de m/s. O corpo B esá inicialmene em repouso mas sujeio a uma aceleração consane de m/s. a) represene esquemaicamene, num mesmo gráfico, as posições dos corpos A e B como função do empo. b) qual é o insane de empo em que ocorrerá a colisão? c) qual é a posição x em que iso ocorrerá? d) qual é a velocidade do corpo B no insane da colisão? e) em que insane de empo as velocidades dos dois corpos serão iguais? S. C. Zilio e V. S. Bagnao Física Básica Mecânica, calor e ondas