Capítulo Cálculo com funções vetoriais

Transcrição

1 Cálculo - Capíulo 6 - Cálculo com funções veoriais - versão 0/009 Capíulo 6 - Cálculo com funções veoriais 6 - Limies 63 - Significado geomérico da derivada 6 - Derivadas 64 - Regras de derivação Uiliaremos agora o ferramenal aprendido no curso de Cálculo para definir limies e derivadas para funções veoriais de uma variável real 6 - Limies A noção de limie para uma função F,, é semelhane à de funções de uma variável real simples Por isso, vamos primeiro nos lembrar da noção aprendida de limies para uma função f : R R Um limie lim f L significa que, conforme a variável se aproima de a, não impora se pela esquerda a ou pela direia, a função f se aproima cada ve mais de L Iso é ilusrado no eemplo a seguir Eemplo : calcule lim Solução: queremos calcular o limie da função f quando Para isso, consideremos números bem próimos de, dados nas abelas a seguir Conforme vamos nos aproimando de, seja pela esquerda números menores que, seja pela direia números maiores que, o valor de f vai se aproimando de f f 0 0 0, 5 0, 5 0, 75 0, 565 0, 9 0, 8 0, 99 0, 980 0, 999 0, f 4, 5, 5, 5, 565,,, 0, 00, 00, 0000 Se pudéssemos faer uma aproimação infinia, eríamos o resulado f Porano, podemos escrever lim As duas figuras a seguir mosram duas formas diferenes de visualiarmos o processo do limie dese eemplo Eemplo : dada a função f Solução: por aproimações sucessivas, emos { +, < 4, > 4, calcule lim f, se ese eisir 4 3, 9 3, 99 3, 999 3, 9999 f 5, 9 5, 99 5, 999 5, 9999 de modo que não eise o limie lim 4 f e 4, 4, 0 4, 00 4, 00 f,, 0, 00, 000,

2 Cálculo - Capíulo 6 - Cálculo com funções veoriais - versão 0/009 Para funções veoriais, a regra do limie é basane simples: como uma função veorial F,,, n pode ser visa como uma n-upla ordenada de funções escalares, o limie de uma função veorial quando ende a um valor 0 será o limie das funções que a compõe, iso é, lim F lim, lim,, lim n Eemplo 3: calcule lim 5, Solução: lim 5, 4, Eemplo 4: calcule lim 4,,/ Solução: lim 4,, /,, 0 Observe que o limie de uma função veorial F, será um elemeno do R Podemos ainda pensar nesse ipo de limie como sendo um processo segundo o qual esabelecemos inervalos cada ve menores em orno de 0 e, como consequência, emos inervalos cada ve menores em orno do limie, o que é represenado na figura ao lado Iso significa que, se esiver denro de um inervalo abero ] 0 δ, 0 + δ[, enão F esará denro de um círculo sem a borda, que chamaremos bola abera, em orno de L 0, 0 Esa é a noção mais próima do verdadeiro conceio de limie, que será esudado mais arde no coneo de funções de diversas variáveis sen Eemplo 5: calcule lim,, 0 Solução: esa é uma siuação em que podemos aplicar o eorema de L Hôpial no limie do primeiro elemeno da erna ordenada mas não aos ouros dois: sen lim,, cos lim 0 0,, 0 cos0, 0,, 0, 0 L f Derivadas Lembremo-nos da definição de derivada para funções de uma variável real a uma variável real, f : R R, como sendo o limie da aa de variação de uma função quando a variação da variável independene ende a ero: f df d lim f 0 lim f + f 0 Graficamene, ela coorresponde ao coeficiene angular da rea que passa pelos ponos,f e +,f + quando ende a ero, como é mosrado nas figuras a seguir f + f f + f f + f + + +

3 Cálculo - Capíulo 6 - Cálculo com funções veoriais - versão 0/009 3 Vimos durane o curso de Cálculo que eisem diversas fórmulas e écnicas que ornam possível derivar funções sem a necessidade de uiliar a definição de derivada Veremos agora como adapar essa definição a funções veoriais Começamos escrevendo a variação de uma função veorial com relação ao seu parâmero quando ese varia em h: F + h F + h, + h, + h, + h A aa de variação fica + h, + h h Pela definição de derivada como o limie de h 0, ficamos, enão, com F df d lim h 0 lim + h, + h + h lim, h 0 h h 0 h + h h De acordo com a definição de limies de funções veoriais visa na seção anerior e com a definição de derivada de uma função escalar, ficamos com F + h + h lim, lim, h 0 h h 0 h Porano, a derivada de uma função veorial F, é simplesmene o par ordenado formado pelas derivadas de suas funções componenes A generaliação para uma função de R em R n, é basane imediaa: F,,, n, F,,, n Eemplo : calcule a derivada de F, sen Solução: F, cos Eemplo : calcule a derivada de F e,,ln Solução: F e, ln, O próimo eemplo uilia a regra da derivada do produo de duas funções, uv u v + uv Eemplo 3: calcule a derivada de F cos, ln, e sen Solução: uiliando a derivada do produo, F cos + sen, ln +, e sen + e cos cos sen, ln +, e sen + e cos A regra da cadeia, df d df dg Eemplo 4: calcule a derivada de F Solução: F dg, é uiliada nos próimos dois eemplos d cos, e, sen, e, sen, e, Eemplo 5: calcule a derivada de F sen,,ln sen Solução: começamos escrevendo F sen, /, ln sen A derivada dessa função fica F sen + cos, /, sen + cos, /, cos sen sen cos

4 Cálculo - Capíulo 6 - Cálculo com funções veoriais - versão 0/009 4 Um úlimo eemplo uilia a regra da derivada do quociene de duas funções, Eemplo 5: calcule a derivada de F, g Solução: começamos escrevendo F F, sen A derivada dessa função fica cos cos cos sen sen, cos + +, cos, sec, u v u v uv v +, cos + sen cos onde uiliamos a relação rigonomérica fundamenal sen + cos e a definição da secane 63 - Significado geomérico da derivada Veremos agora qual é a inerpreação geomérica da derivada de uma função veorial Consideremos a primeira figura abaio, que ilusra a imagem de uma função F,, Nessa figura esão desacados dois ponos, F 0 e F 0 + h, represenados em forma veorial F 0 + h F 0 F 0 + h F 0 A diferença enre os dois veores é dada por F 0 +h F 0, de modo que F 0 + F 0 +h Como F 0 + h é a soma dos veores F 0 e, podemos represenar o veor como sendo o veor que vai de F 0 a F 0 + h, como ilusrado na segunda figura acima Como a derivada é o limie de uma aa de variação, ela erá a mesma direção de quando h ende h a ero O próimo eemplo calcula várias aproimações da derivada de uma função veorial e ilusra o que aconece graficamene Eemplo : calcule aproimações sucessivas da derivada da função F cos 3, sen 3, + Solução: a abela a seguir mosra os valores da função para,, 0,, e, 5 usando quaro casas decimais de precisão, , 8, , 7, 0,, , 355,, 5 0, 46, 955, 5 Esses valores são uiliados para calcular as aas de variação a seguir As respecivas aas de variação, epressas como veores parindo de F, são represenadas graficamene ao lado de cada cálculo

5 Cálculo - Capíulo 6 - Cálculo com funções veoriais - versão 0/009 5 Enre e, 5: h F, 5 F, 5 0, 46,, 955,, 5, 9800, 0, 8, 0, 5, 5584,, 373, 0, 5 3, 68, 4, 4746, 0, 5 F, 5 F Enre e, : h F, F,, 9750, 0, 355,,, 9800, 0, 8, 0, 0, 0050, 0, 5977, 0, 0, 050, 5, 9773, 0, F, F Enre e, 0: h F, 0 F, 0, 9876, 0, 7,, 0, 9800, 0, 8, 0, 0 0, 0076, 0, 0595, 0, 0 0, 7575, 5, 958, 0, 0 F, 0 F Dos números e das figuras, deve-se observar que, primeiro, ao conrário do veor diferença,, o módulo do veor derivada não diminui necessariamene conforme h diminui Em segundo lugar, pode-se observar das figuras que o veor derivada F 0 é angene ao veor F Regras de derivação Como vimos no capíulo anerior, podemos somar duas funções veoriais, muliplicar uma função veorial por um escalar e calcular o produo inerno enre duas funções veoriais Veremos agora como funcionam as regras de derivação para essas operações a Derivada da soma Considerando que, dadas F,,, n e G,,, n, a sua soma fica a derivada dessa soma fica F + G +, +,, n + n, [F + G] +, +,, n + n,,, n +,,, n F + G Porano, emos a seguine regra para a derivada da soma de duas funções veoriais: ou seja, a derivada da soma é a soma das derivadas [F + G] F + G,

6 Cálculo - Capíulo 6 - Cálculo com funções veoriais - versão 0/009 6 Eemplo : calcule [F + G], onde F 5,, 3 e G,, Solução: [F + G] F + G 0,, 3 +,,,, 3 + b Derivada do produo por um escalar Dada uma função veorial F,,, n, o seu produo por um escalar α R fica αf α,α,,α n A derivada dessa operação fica [αf] α,α,,α n α,,, n αf Porano, emos a seguine regra para a derivada do produo de uma função veorial por um escalar: [αf] αf Eemplo : calcule [3F], onde F sen, e, Solução: [3F] 3F 3cos, e, 3 cos, 3 e, 3 c Derivada do produo inerno Dadas F,,, n e G,,, n, o produo inerno enre elas fica F,G n n, de modo que a derivada fica F,G n n + n n n n n n F,G + F,G Porano, emos a seguine regra para a derivada do produo inerno enre duas funções veoriais: F,G F,G + F,G Eemplo : calcule F,G, onde F,, e G, +, Solução: F + G F, G + F, G 0,,,, +, +,,,,, Observação: geralmene, é mais fácil faer primeiro o produo inerno enre duas funções veoriais e depois derivas o resulado em ve de uiliar a fórmula aqui deduida

7 Cálculo - Capíulo 6 - Cálculo com funções veoriais - versão 0/009 7 Resumo Limie de uma função veorial lim F lim, lim,, lim n Derivada de uma função veorial F,,, n Significado geomérico da derivada O veor derivada de uma função para um valor 0, F 0, é perpendicular ao veor F 0 Derivada da soma [F + G] F + G Derivada do produo por um escalar [αf] αf, α R Derivada do produo inerno F,G F,G + F,G

8 Cálculo - Capíulo 6 - Cálculo com funções veoriais - versão 0/009 8 Eercícios - Capíulo 6 Nível Limie de uma função veorial Eemplo : calcule lim Solução: lim lim + lim +, E Calcule os seguines limies: + a lim 0 4, d lim, b lim Derivadas de funções veoriais + 4, cos, c lim 0 Eemplo : calcule a derivada de F cos,ln3, Solução: F cos sen, 3 3, / cos sen,,,, sen E Calcule as derivadas das seguines funções: a F +,, b F sen, e,ln c F 3cos,3,log,3 d F ln5, cos e F 4, 4, e 3 f F h F sen ln 3,3 8 g F cos, ln, 3 sen 3 4,ln,e ln sen i F +, + sen Derivadas de operações com funções veoriais Eemplo 3: dadas F +, e G,, calcule [F G] e [ F,G ] Solução: [F G] F G,,, e [ F, G ] F, G + + F, G,,, + +,,, E3 Dadas as funções F,,, G +,, e H 0,,, calcule: a [F + G] b [3G] c [F + G H] d [ F,H ]

9 Cálculo - Capíulo 6 - Cálculo com funções veoriais - versão 0/009 9 Nível { g E Verifique se F, 0, 0 é conínua em 0 E Dada a função F cos, sen, mosre que F é orogonal a F para odo R E3 Calcule um veor angene a F, +, em que enha módulo E4 Definindo F como a derivada segunda de F, ou seja, F [F ], calcule a derivada segunda de F cos w + ϕ, sen w + ϕ, onde w e ϕ são consanes, e mosre que F w F E5 Mosre que as curvas dadas pelas imagens de F e, e,e 3 e G sen, + cos,3 sen se cruam no pono,, Nível 3 E Dada uma função F derivável aé pelo menos a primeira ordem: a prove que G F em norma F b prove que G é orogonal a G para odo DG c prove que F F G + F G E Calcule o ângulo enre os veores angenes a F, +, 3 e G cos, sen,sen no pono onde as imagens dessas curvas se cruam E3 Mosre que a norma da projeção da derivada da função F sen r, cos r, sen r sobre a função G cos r, sen r,0 é consane Resposas Nível E a 4, b E a F,, b F d F, 0, c 0,, d Não eise o limie, sen cos, e, c F 3 sen, 3 ln 3, e F, 4 3 f F 3 cos ln 3, 3 3 3/ g F cos sen, ln +, 3 sen 3 cos h F , ln i F +, / + sen lncos + sen 4, 6 e 3 E3 a, +, b 3, 6, 3 c 3, +, d, e sen + e sen + e cos ln, 0

10 Cálculo - Capíulo 6 - Cálculo com funções veoriais - versão 0/009 0 Nível E Ela é conínua em 0 E F sen, cos, de modo que F, F cos, sen, sen, cos sen cos + sencos 0, de modo que F e F são orogonais F E3 F 3, 3, Oura solução seria o veor inverso a ese: F 3 F 3, 3, 3 E4 F w cosw + ϕ, w sen w + ϕ w F E5 F0 Gπ/ Nível 3 E a G F F F F F F b Como a norma de G é, enão sua derivada é nula, o que significa que d G d G, G 0 G, G / [ G, G ] 0 0 d d G, G [ G, G + G, G ] 0 G, G 0 G, G 0 c Dado que G F, enão F F G Derivando essa epressão, emos F [ ] F [ F ] G + F G F, F G + F G [ F, F ] / G + F G F G + F G E As curvas se cruam em,, 0 e o ângulo pedido é θ arccos 5 6 o E3 A derivada de F é F r cosr, r senr, r senrcos r e a sua projeção sobre a curva G fica P G F r cos, r sen r, 0, de modo que P G F r, que é consane