ENGF93 Análise de Processos e Sistemas I

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1 ENGF93 Análise de Processos e Sisemas I Prof a. Karen Pones Revisão: 3 de agoso 4

2 Sinais e Sisemas

3 Tamanho do sinal Ampliude do sinal varia com o empo, logo a medida de seu amanho deve considerar ampliude e duração Da elericidade Energia Poência P Vi E Pd para carga resisiva, i V / R, logo: para carga normalizada, R Ω : V P R Ri E V d Ri d R Energia E d Generalizando para números compleos: E d

4 Tamanho do sinal Energia deve ser finia Ampliude do sinal quando E d Caso conrário, poência é medida do amanho do sinal Energia média em um inervalo de empo P lim T T T / T / d Generalizando para números compleos: P lim T T T / T / d Sinal periódico: P T T T / / d Rampa: P infinia, não é sinal de poência Degrau: não é periódico mas em poência finia

5 Eemplo Deermine as medidas adequadas dos sinais e /

6 Eemplo C Mosre que P se C cos w θ, w π T Idenidades úeis cos cos ad sin a cos a

7 Eemplo Calcule a poência de com w w C cos w θ C cos w θ Idenidade úil cos cos cos cos [ ] Noe que: a inegral de uma senóide em um período é Solução geral Cn cos wn θn P C n n n Deermine a poência de 5 cos π / 3

8 Operações com sinais Deslocameno Avanço Araso Escalonameno Compressão Epansão Inversão ou reversão Operações combinadas

9 Deslocameno E: araso por ranspore T ou Tin d Araso no empo deslocameno para direia φ Avanço no empo deslocameno para esquerda φ

10 Deslocameno Traçar quando a - b < < < caso conrário 3 3

11 Escalonameno Para fazer a epansão ou compressão, basa muliplicar ou dividir, respecivamene, o empo pelo faor a, manendo a ordenada. Compressão φ a Epansão φ a

12 Escalonameno Compressão por um faor φ φ T T T a Para raçar φ :, 4, φ φ 4 4 Noa:, origem permanece pono fio porque φ a

13 Escalonameno Epansão por um faor φ φ a T T T a Para raçar φ :, φ /, φ / Noa:, origem permanece pono fio porque φ / a

14 Eemplo Deermine e / para os sinais < < caso conrário < < caso conrário

15 Reversão emporal Roação de 8º em relação ao eio verical φ < caso conrário 5 / e < < caso conrário 5 5 / e

16 Operações combinadas φ a b.5 φ 6 φ???

17 Operações combinadas Opção a Deslocameno emporal: b Escalonameno emporal: b b a b

18 Operações combinadas Opção a Escalonameno emporal: b Deslocameno emporal por b/a:.5 a b / a b a a

19 Eemplo.???. Rascunhe 3 < < caso conrário

20 Eemplo Mosre que a energia do sinal a-b é E /a E a b d Mudança de variável E ' d' a d' ' a b a d d d' a E E a

21 Classificação de sinais Conínuos e discreos Analógicos e digiais Periódicos e não-periódicos Energia e poência Deerminísicos e aleaórios probabilísicos Causais, não-causais e ani-causais

22 Sinais conínuos e discreos no empo Conínuos especificado para valores conínuos de empo Discreos especificado apenas para valores discreos de empo Discreo Conínuo

23 Sinais analógicos e digiais O conceio do empo conínuo é geralmene confundido com o conceio de analógico. Os dois conceios são diferenes. O mesmo é válido para conceios de empo discreo e digial Conínuo Analógico Discreo Digial Analógico Digial Analógico: ampliude pode assumir qualquer valor em uma faia conínua, podendo ser infinia Digial: ampliude pode assumir apenas alguns números finios de valores Analógico Digial Ampliude eio verical Conínuo Discreo Tempo eio horizonal

24 Sinais Analógicos Digiais Sinais Conínuos Discreos Analógico Digial: eio verical Conínuo Discreo: eio horizonal Analógico Conínuo Digial Conínuo Analógico Discreo Digial Discreo

25 Sinais periódicos e não-periódicos Periódico: T para odo Não-periódico: caso conrário Período fundamenal Sinal periódico, por definição, é infinio, caso conrário não vale a condição T E: <, T

26 Sinais periódicos e não-periódicos v v T v v mt periódicos! e m ineiros v v v É periódico?? v v v Se... v T v T v mt T T m v T v T v T v mt T T e T mt T mt é número racional! T T ou T mt

27 Sinais senoidais Asin ω Φ A ampliude do sinal ω frequência angular Ω πf f frequência em Herz f /T Φ fase em radianos sen T - pi *pi

28 Sinais senoidais sin cos É periódico?? w w w πf rad/s π / T T π rad/s π / T T π T T π π m É racional! Logo, é periódico com T T π π

29 Sinais senoidais - Eercício 3 4 cos cosπ.5cos cos sin3π. Qual o período dos rês primeiros sinais?. A soma dos dois primeiros sinais é periódica? 3. A soma dos dois úlimos sinais é periódica? 4. A soma do primeiro e do úlimo sinais é periódica? 5. Trace odos os sinais 3

30 Sinais senoidais - Eercício. Qual o período dos rês primeiros sinais? ϖ ϖ ϖ 3 π / 3 com com com T T T π rad/s rad/s 3π rad/s. A soma dos dois primeiros sinais é periódica? T π e T π T T NÃO!

31 Sinais senoidais - Eercício 3. A soma dos dois úlimos sinais é periódica? 4. A soma do primeiro e do úlimo sinais é periódica? com 3 com : 3 com b b a a T w T w w T w π π π π b a T T NÃO PERIÓDICO! π b a T T NÃO PERIÓDICO!

32 Sinais senoidais - Eercício *cos* cos*pi* empo s empo s.5 3 /*cos/3* 5 4 *cos*sin3*pi* empo s empo s

33 Sinais senoidais - Eercício z empo s z empo s 5 z empo s

34 Sinais periódicos e não-periódicos Propriedade úil Área sob um período de duração T é sempre a mesma usamos esa propriedade ao calcular a poência de um sinal T b b T a a d d T d

35 Sinais de energia e de poência Sinais de energia Energia finia e não nula sinais finios Sinais de poência Poência finia e não nula sinais infinios Observações: um sinal não pode ser de poência e energia ao mesmo empo há sinais que não são nem de poência nem de energia e: rampa pois E e P são infinias em geral, sinais periódicos são de poência. Enreano, nem odo sinal de poência é periódico. Há sinais periódicos com ampliude infinia e: angene logo não são de poência. O degrau, apesar de não periódico, é de poência

36 Sinais deerminísicos e aleaórios Deerminísico: descrição física compleamene conhecida, seja na forma maemáica ou gráfica Probabilísico ou aleaório: valores não podem ser predios precisamene e: ruídos de medição

37 Causais e não-causais Causal: inicia em, < Não-causal: começa anes de sinais com duração infinia Obs: sinal não-causal não necessariamene é infinio Ani-causal:,

38 Modelos úeis de sinais Degrau uniário Impluso Eponencial

39 Degrau uniário Definição u < causal Úil para descrever, em uma única epressão, funções com descrições maemáicas diferenes a cada inervalo de empo

40 Degrau uniário u u 4 - < caso conrário u u u u u u u u u u u

41 Degrau uniário ] [ u u 4 u u 4 4 ] [ u u u u u u u

42 Impulso uniário Definição δ δ d δ é o dela de Dirac porano δ em odo empo eceo Geomericamene: pulso reangular com largura ε ε, alura / ε e A A oal / ε ε

43 Impulso uniário Ouras funções podem ser usadas para definir o impulso. Imporane é que a área permaneça uniária quando a sua duração largura efeiva ende a zero. αe α d α e α α Área uniária

44 Impulso uniário Noe que δ δ d δ função impulso de área

45 Impulso uniário - Propriedades Como impulso é não nulo apenas em, φ função conínua φ δ φ δ Generalizando para T φ δ T φ T δ T Impulso localizado em T Força do impulso em T

46 Impulso uniário - Propriedades Amosragem Vimos que Inegrando φ δ φ δ φ δ d φ δ d φ φ δ d φ Propriedade da Amosragem Logo, a área sob o produo de uma função com o impulso é igual ao valor da função no insane em que o impulso esá localizado Generalizando φ δ T d φ T

47 Impulso uniário- Eemplo Simplifique as epressões a 3 3 δ b w w δ w 9 c π [ ] sin δ 4

48 Impulso uniário- Eemplo Calcule as inegrais áreas a δ e jw d b π δ cos d 4 c e δ d

49 Impulso - Propriedades < δ τ dτ u Degrau é a inegral do impulso

50 Eercício. Escreva o sinal da figura em ermos de sinal degrau. Qual a derivada dese sinal?

51 Eercício Solução. Escreva o sinal da figura em ermos de sinal degrau 5[ u u ] 6[ u u ] 5 [ u u 3]

52 Eercício Solução. Qual a derivada dese sinal? 3] [ 5 ] 6[ ] [ 5 u u u u u u 3 3] [5 ] 6 [ ] [5 u u u u d d δ δ δ δ δ δ δ δ u u u u d d δ δ δ Rearrumando: d/d

53 Eercício Solução. Qual a derivada dese sinal? 3] [ 5 ] 6[ ] [ 5 u u u u u u 3 3] [5 ] 6 [ ] [5 u u u u d d δ δ δ δ δ δ δ δ u u u u d d δ δ δ Rearrumando:

54 Eponencial Complea Definição: e s onde s σ jw Frequência complea Podemos mosrar que e σ s s* e e cos w Demonsração: e s e σ jw e σ jw Vimos que idenidade de Euler: e ± e jw cos w ± j sin w Logo, e s e σ cos w j sin w Analogamene, para e s* e s* e e σ jw σ cos w j sin w

55 Eponencial Complea Somando e e e e e s s* e s s σ e σ cos w j sin w e σ cos w j sin w e e s* s* e σ e σ cos w j sin w e cos w j sin w σ cos w s s* e e cos w cqd Sabemos da fórmula de Euler que cos w jw jw e e Logo, e s é a generalização de e jw onde a variável frequência jw é a generalização para frequência complea s σ jw

56 Funções represenadas em função de e s a Consane s e s e e σ b Eponencial monoônica s σ jw s σ e w e e e σ c Senóide cos w s ± jw e σ e s e σ jw e ± jw cos w ± j sin w d Senóide com ampliude variando eponencialmene s σ ± jw e s e σ e e ± jw σ cos w ± j sin w σ e cos w

57 Graficamene Consane e σ cos w σ e cos w σ e cos w Logo, w : frequência angular, frequência de oscilação de e s s: frequência neperiana, aa de crescimeno ou decaimeno da ampliude de e s Represenação da frequência complea em um plano

58 Plano de frequência complea SPE Im jw SPD Re σ s no eio Re sinal não oscila s no eio Im sinal oscila com ampliude consane s na origem sinal consane SPE pare real < ampliude decrescene SPD pare real > ampliude crescene

59 Plano de frequência complea E: e cos5 senóide com ampliude eponencialmene crescene j5 j5 cos5 e e e j5 j5 j5 j5 e cos5 e e e e Logo, e cos5 é a combinação linear das eponenciais com frequências compleas j5 e - j5

60 Plano de frequência complea Eemplo: localize no plano compleo a frequência das seguines senóides a e cos5 SPE Im jw SPD b e cos5 Re σ c e

61 Sisemas Definição: enidade que manipula sinais para modificá-los ou erair informação adicional Sisema físico ou modelo do sisema e: reaor, circuio, sofware, equações do modelo Relação enrada/saída: v R vc R τ dτ C τ dτ v C Condição inicial v C R τ dτ C

62 Sisemas E: Tanque conínuo h F in F ou h dm min mou d dv ρ ρfin ρfou d dh A Fin h d dh Fin h d A A F: vazão volumérica Condição inicial h h ss

63 Classificação de sisemas Lineares e não-lineares Varianes e invarianes no empo Sem memória insanâneo e com memória dinâmicos Causais e não-causais Conínuos e discreos no empo Analógicos e digiais Inversíveis e não inversíveis Esáveis e insáveis

64 Sisemas lineares Um sisema é linear se ele verifica o princípio da superposição, ou seja, ele é simulaneamene adiivo e homogêneo Para um sisema linear SL: enão e enão adiividade homogeneidade enão e Combinando: princípio da superposição

65 Sisemas lineares Um sisema linear permie que cada enrada seja considerada separadamene. O efeio resulane é a soma dos resulados de odas as enradas S S

66 Propriedade da decomposição Para o circuio RC, v C R τ dτ C resposa da enrada nula resposa do esado nulo Cada uma das resposas ambém obedece o princípio da superposição c

67 Propriedade da decomposição Eemplo: mosre que o sisema descrio pela seguine equação é linear Somando as resposas individuais Logo, vale o princípio da superposição 3 d d 3 3 : : 3 3 : : d d d d d d d d 3 d d Se sisema

68 Generalizando Se coeficienes a i e b i são consanes ou funções da variável independene, empo, o sisema é linear E: a i e b i função do empo b d d b d d b a d d a d d a N N M M M N N N N N N 3 3 : 3 3 : d d d d d d d d 3 d d 3 d d Somando: 3 Se sisema d d

69 Generalizando E: a i e b i função do empo con. Logo, vale o princípio da superposição e o sisema é linear 3 d d Somando: 3 Se sisema d d

70 Generalizando E: a i e b i função da variável dependene Somando Obs: sisemas não-lineares podem ser linearizados para aplicação da eoria de sisemas lineares 3 d d 3 : 3 : d d d d 3 d d d d d d Sisema não-linear

71 Represenação de sinais em ermos de componenes de impulso e degrau pode ser represenado por uma soma ponderada de impulsos ou degrau quando resposa será soma ponderada das resposas aos impulsos a a a a a a m m m m

72 Sisemas invarianes e varianes no empo Sisemas com parâmeros consanes no empo N N M d d d d a a... a b... b b N N M N N M N N d d d d a i e b i são consanes Eemplos d d 3 Sisema variane no empo d d 5 Sisema invariane no empo

73 Sisemas invarianes e varianes no empo S araso araso Se sisema S e araso são comuaivos Invariane no empo S S Araso T -T Araso T -T S -T

74 Sisemas invarianes e varianes no empo Eemplo a b c e T e T T T e T e S T T T S Variane no empo a

75 Sisemas invarianes e varianes no empo Para um sisema LIT com enrada e saída e as duas condições iniciais q e q, as seguines observações forma realizadas q q - e - u e - 3u u - - u Deermine quando as duas condições iniciais são zero e a enrada é como mosra a figura:

76 Sisemas insanâneos e dinâmicos Insanâneos sem memória Saída em depende apenas da enrada em Dinâmicos com memória Saída em depende da enrada não apenas em, mas em ouros valores passados ou fuuros a a a Sisemas de memória finia Saída em compleamene deerminada pela enrada nos T segundos passados Sisemas de memória infinia Saída em depende de odo o hisórico da enrada -,

77 Sisemas causais e não causais Causal Saída em depende da enrada para Resposa depende apenas do passado, não conhece o fuuro Não-causal Saída depende de valores fuuros da enrada Qualquer sisema no empo real deve ser causal Eceção: enradas gravadas que aceiam araso S araso ˆ 4

78 Sisemas causais e não causais Eemplo T ou Tin d -

79 Sisemas em empo conínuo e em empo discreo Sisemas conínuos Enradas e saídas são sinais conínuos Sisemas discreos Enradas [n] e saídas [n] são sinais discreos onde n é ineiro Na práica, sinais discreos são oriundos da amosragem de sinais conínuos. Se o empo de amosragem é uniforme: para odo T ineiro

80 Sisemas em empo conínuo e em empo discreo Filragem digial Sisemas conínuos processados por sisemas em empo discreo e: compuador

81 Sisemas analógicos e digiais Analógicos Sinais de enrada e saída são analógicos ampliude conínua Digial Sinais de enrada e saída são digiais E: compuador é sisema digial e discreo no empo

82 Sisemas esáveis e insáveis Esabilidade eerna inerna enrada limiada saída limiada BIBO Bounded Inpu Bounded Oupu veremos adiane no curso

83 Sisemas esáveis e insáveis Eemplo d d a Esável BIBO? E: onda quadrada b Linear? c Sem memória? d Causal: e Invariane no empo?

84 Sisemas lineares diferenciáveis Sisema diferenciável LIT Usando operador diferencial b d d b d d b a d d a d d N N M M M N N N N N N e D d d D d d b D b D b D b a D a D a D N N M M N M M N N N N N N N M M N M M N N N N N b D b D b D b D P a D a D a D D Q D P D Q nem sempre é uniário enreano, D D D D d d d D d τ τ τ τ Obs:

85 Sisemas lineares diferenciáveis Eemplo enrada: ensão de enrada saída: correne d d d 3 d d d Usando o operador D: D 3D D M, N Q D P D D D 3D Se M > N, o sisema aua como um diferenciador BIBO insável d d

86 Sisemas lineares diferenciáveis Eemplo con. enrada: ensão de enrada saída: v L d v L D d Do circuio, D 3D D Diferenciando, 3 D 3D D D Logo, D 3D vl D