Sinais e Sistemas. Caderno de Exercícios de Casa (Horas não presenciais) (Compilação de exercícios de exames)

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1 Sinais e Sisemas Caderno de Exercícios de Casa (Horas não presenciais) (Compilação de exercícios de exames)

2 Capíulo - Sinais. Escreva as linhas de código em Malab para criar e represenar os seguines sinais: a) Sinal sinusoidal conínuo com ampliude A=0, frequência w=3rad/s, fase f=pi. Considere o empo de -0 a 0 s, com espaços de 0.00s. b) x()=3 (-,5). Considere o empo de -0 a 0 s, com espaços de 0.00s. c) x(n)=4u(n+5)-4u(n-4). Considere n enre -0 e 0.. Considere os seguines sinais conínuos x () e x (), e represene: x () x () a) w()=x()+x(-). b) w()=0.5x()-x(). c) w3()=x()+x(-). d) Escreva a expressão maemáica de x() e x() à cusa de degraus. e) Decomponha o sinal x() nas suas componenes par e ímpar. 3. Considere os seguines sinais: a) Represene x(n) e z(n). b) Represene g(n)=x(n)+z(n). c) Represene v(n)=z(-n). d) Represene f(n)=z(n). x( n) ( n ) ( n) 3 ( n ) 3 ( n ) z( n) u( n ) u( n ) u( n 3) e) Escreva as linhas de código em Malab para criar e represenar z(n). Considere n enre -0 e 0.

3 4. Considerando o sinal x() realize as seguines operações: x() a) a()=3x(0.5). b) b()=x(0.5+). c) Componene par de x(). d) Componene ímpar de x(). 5. Considere o seguine sinal x() e realize as seguines operações: x() a) Desenhe os sinal a()=x(--). b) Desenhe o sinal b()=-x(-). c) Desenhe o sinal c()=x()+a(). d) Escreva a expressão analíica para o sinal x(). 6. Represene os seguines sinais: a) a()= (+)+ (-0.5)-3 (-.5)+ (-3). b) b()=u()+u(-)+u(-)-4u(-.5). c) c(n)= (n+)- (n+)+ (n-)- (n-). d) d(n)=u(n+)+u(n-)-u(n-3). 3

4 7. Considere o seguine sinal conínuo x(). x() a) Escreva a expressão analíica do sinal. b) Deermine as componenes par e ímpar do sinal. c) Escreva as expressões analíicas para as componenes par e ímpar do sinal x(). 8. Considere o sinal conínuo: x( ) u( ) u( ) u( ) u( ) u( 3) a) Represene graficamene o sinal x(). b) Represene c) Represene g( ) x( ) v( ) x( ). d) Deermine e represene a componene par de x(). e) Deermine e represene a componene ímpar de x(). 9. Represene os seguines sinais: a) a()=u(+)-u()+u(-) b) b()=(+).[u(+)-u(+)]-.[u(+)-u(-)]+(-)[u(-)-u(-)] c) c()=3.a(-) d) d()=a()+b() e) Diga quais dos sinais represenados são pares ou ímpares. 4

5 0. Considere o seguine sinal x() x() 4 5 a) Represene a()=x(-+) b) Represene b()=-x() c) Represene c()=x()+u()-u(-5) d) Escreva x() usando uma única expressão maemáica 5

6 Capíulo - Sisemas. Considere os seguines sisemas cujas relações funcionais são dadas pelas seguines equações: i) y(n)=cos(n) ii) y()=x()cos(+) iii) y()=x()u(-)+x(-)u() iv) y(n)=log(x(n-)) a) Verifique se y(n) da alínea (i) é periódico. b) Verifique se os sisemas das alíneas (ii), (iii) e (iv) são lineares, invarianes no empo, causais, insanâneos e esáveis.. Diga, jusificando, se o seguine sisema é linear, invariane no empo, causal e esável: y( ) x(sin( )). 3. Diga, jusificando, se o seguine sisema é linear, invariane no empo, causal, insanâneo e esável: y () x () 4. Diga, jusificando, se o seguine sisema é linear, invariane no empo, causal, insanâneo e esável: y( ) an x( ) 5. Considere um sisema dado pela seguine equação às diferenças: y( ) x( ) a) Diga, jusificando, se o sisema é com memória? b) Diga, jusificando, se o sisema é causal? c) Diga, jusificando, se o sisema é invariane no empo? d) Diga, jusificando, se o sisema é linear? e) Diga, jusificando, se o sisema é esável? 6

7 6. Um sisema linear H em os pares de enrada saída definidos na figura. Deermine o seguine, jusificando as resposas. x () y () H x () y () H x 3 () - y 3 () H a) O sisema é causal? b) Ese sisema é invariane no empo? c) Ese sisema é sem memória? d) Enconre a saída para a enrada seguine x() Considere um sisema LIT conínuo dado pela sua resposa impulsional: a) Diga, jusificando, se o sisema é causal. b) Diga, jusificando, se o sisema é esável. c) Diga, jusificando, se o sisema é insanâneo. d) Faça o esboço dos seguines sinais obidos por ransformação de h(): i. 7

8 ii. iii. 8. Considere um sisema discreo invariane no empo, represenado pelos seguines pares de enrada e saída: x (n) y (n) 0 n 0 n x (n) y (n) 4 0 n 0 3 n x 3 (n) y 3 (n) n 0 n a) Diga, jusificando, se sisema é linear? b) Diga, jusificando, se sisema é causal? c) Diga, jusificando, se sisema é sem memória? d) Qual a saída do sisema ao sinal de enrada (n)? Jusifique a resposa. 9. Um sisema conínuo, linear e invariane no empo possui a seguine resposa impulsional: h()=cos(π){u(+)-u(-)} a) Represene a resposa impulsional h(). b) Diga, jusificando, se o sisema é causal, esável e insanâneo. c) Faça o esboço dos seguines sinais obidos por ransformação de h(): i. x()=h() ii. iii. x()=h(-) x()=h(){δ(-0.5)+δ(+0.5)} 8

9 0. Um sisema conínuo, H, em os 3 seguines pares de enrada saída: x () y () H x () y () H x 3 () - y 3 () H a) Diga, jusificando com um exemplo concreo, se o sisema é invariane no empo. b) Diga, jusificando com um exemplo concreo, se o sisema é linear. c) Diga, jusificando com um exemplo concreo, se o sisema é insanâneo. d) Diga, jusificando com um exemplo concreo, se o sisema é causal. e) Diga, jusificando, se poderia deerminar a resposa dese sisema à seguine enrada: x() 0 3 9

10 Capíulo 3- Sisemas Lineares e Invarianes no Tempo (LIT). Um sisema conínuo no empo, linear e invariane possui uma resposa impulsional h()={u(+)-u(-)}. Calcule a resposa dese sisema a uma enrada x()= u(+)-u(-).. Calcule a resposa ao degrau uniário u () de um sisema linear e invariane no empo com resposa impulsional Porquê? h( ) e u( ). Na sua opinião o sisema é causal e esável? 3. Calcule a resposa ao degrau uniário u () de um sisema linear e invariane no empo com resposa impulsional h( ) log ( ) u( ). Na sua opinião o sisema é causal e esável? Porquê? e 4. Calcule a resposa ao sinal x( ) u( ) de um sisema linear e invariane no empo com resposa impulsional h( ) u( ). Na sua opinião o sisema é causal e esável? Porquê? 5. Calcule a resposa ao degrau uniário u( a), a de um sisema linear e invariane no empo com resposa impulsional h( ) e u( ). Na sua opinião o sisema é causal e esável? Porquê? 6. O sisema discreo apresenado é linear e invariane no empo. Suponha que a saída devido a uma enrada x( n) ( n) seja a apresenada na figura. y(n) n 0

11 a) Enconre a saída devido a uma enrada x ( n) ( n ). b) Enconre a saída devido a uma enrada x ( n) ( n) ( n ). c) Enconre a saída devido à enrada da figura. x 3 (n) n 7. Calcule a resposa ao sinal x()= (+)+ (-) de um sisema, linear e invariane no empo com resposa impulsional h()=e - u(). Na sua opinião o sisema é causal e esável? Porquê? 8. Calcule a resposa ao sinal x(n)= (n)+ (n-) de um sisema, linear e invariane no empo, com resposa impulsional h(n)=u(n)-u(n-4). Na sua opinião o sisema é causal e esável? Porquê? 9. Considere um sisema discreo LIT com resposa impulsional h(n)=u(n)-u(n-4). Deermine a resposa do sisema à enrada x(n)=3 (n)+ (n-)+ (n-). x(n) h(n) y(n) 0. Considere um sisema discreo LIT com resposa impulsional h()=u(+)-u(-3). Deermine a resposa do sisema à enrada x()=3 ()+ (-)+ (-).

12 Capíulo 4- Série de Fourier. Considere o seguine sinal conínuo no empo e periódico: x()=0.3 cos(0.π)+0. sin(0.3π+π/5) a) Qual o período fundamenal do sinal? b) Deermine os coeficienes da série exponencial de Fourier.. Considere o seguine sinal conínuo no empo e periódico: x()=cos(π/3)+sin(π/)+ a) Qual o período fundamenal do sinal? b) Deermine os coeficienes da série exponencial de Fourier. c) Aendendo às propriedades das séries de Fourier deermine os coeficienes da série dx(-0.5)/d. 3. Considere o seguine sinal periódico e conínuo no empo: 3 x( ) 3 cos sin a) Mosre que a frequência fundamenal do sinal é de 0.05 rad/s. b) Calcule os coeficienes associados à expansão em série exponencial de Fourier de x(). c) Escreva um pequeno scrip para MaLab capaz de ilusrar graficamene o módulo e fase dos coeficienes calculados aneriormene. 4. Considere o seguine sinal periódico e conínuo no empo: x( ) 3cos sin 3 cos 4 a) Mosre que a frequência fundamenal do sinal é igual a rad/segundo. b) Calcule os coeficienes associados à expansão em série exponencial de Fourier de x(). c) Escreva um pequeno scrip para MaLab capaz de ilusrar graficamene o módulo e fase dos coeficienes calculados aneriormene.

13 5. Considere o seguine sinal com simeria ímpar. -T0/4 x() -T0/ 0 T0/4 - T0/ T0 a) Deermine os coeficienes da série rigonomérica de Fourier. b) Escreva a equação do sinal na forma rigonomérica de Fourier. c) Deermine os coeficienes da série exponencial de Fourier (a parir da alínea a) e escreva a equação do sinal nessa forma. 6. Considere o sinal x(). x() a) Deermine os coeficienes da forma exponencial da série de Fourier. b) Represene um esboço do especro de frequências do sinal apresenado. Mosre o valor da componene DC e dos 3 primeiros harmónicos. 7. Considere o seguine sinal periódico, com w 0 =: x( ) cos( ) 3sin(3 ) cos(4 ) a) Deermine os coeficienes da série de Fourier na forma exponencial. b) Represene o especro de ampliudes do sinal. c) Escreva em pequeno scrip para Malab capaz de ilusrar graficamene o módulo e fase dos coeficienes calculados aneriormene. 8. Considere o seguine sinal periódico: x()=3-cos(,5)+cos(5+ /)-sen(7,5) 3

14 a) Deermine os coeficienes da forma exponencial da série de Fourier. b) Represene o sinal na forma exponencial da série de Fourier. c) Represene o especro de ampliudes e de fases do sinal. 9. Considere o seguine sinal conínuo no empo e periódico: x()=0.3 cos(0.π)+0. sin(0.3π+π/5) a) Qual o período fundamenal do sinal? b) Deermine os coeficienes da série exponencial de Fourier. c) Represene o sinal x() como uma série de Fourier na forma exponencial. 0. Considere o seguine sinal periódico: a) Qual o período w 0? b) Deermine os coeficienes da forma exponencial da série de Fourier. c) Represene o especro de ampliudes e de fases do sinal. d) Escreva as linhas de código em Malab para gerar e represenar o sinal x, com enre -0 e 0 segundos e espaçameno de ms. 4

15 Capíulo 5- Transformada de Fourier. Considere o seguine sisema: i() R u () L u () Sabendo que: di( ) di( ) u( ) Ri( ) L e u ( ) L d d a) Sendo i( ) F I( jw ), deermine a função de ransferência do sisema, H(jw). b) Indique como procederia para medir experimenalmene a função de ransferência do sisema.. Suponha um sisema LIT que à enrada () responde com o sinal 3 e u( ). a) Deermina a resposa em frequência, H(jw), do sisema. b) Se o sisema iver na enrada o sinal x( ) 3 u( ) qual será a saída Y(jw)? c) A parir da alínea anerior, deermina a resposa do sisema à enrada x ( ) x( 4). 3. Considere o diagrama de polos e zeros da figura, correspondene à função de ransferência Hs () s 5

16 jw plano s x Re a) Indique, jusificando, a quanos sisemas disinos pode corresponder a função H(s)? b) Indique, jusificando, qual ou quais dos sisemas da alínea anerior êm Transformada de Fourier. c) Para a função de ransferência H(s) correspondene a um sisema causal, deermine a resposa impulsional h(). 4. Considere o sinal y()=x()z() em que x()=cos(0) z()=cos(00) a) Deermine a Transformada de Fourier (TF) dos sinais x() e z(). b) Recorrendo à propriedade da convolução da TF, deermine a TF de y() e represene o especro de frequências. 5. Suponha um sisema LIT que à enrada () responde com o sinal 3 e u( ). a) Diga, jusificando, se o sisema é causal. b) Deermine a resposa em frequência, H(jw), do sisema. c) Se o sisema iver na enrada o sinal 00 x() e j qual será a saída Y(jw)? d) A parir da alínea anerior, deermine a resposa do sisema à enrada x ( ) x( 4). 6. Considere o sisema LIT que à enrada () responde com o sinal 4 e u( ) a) Diga, jusificando, se o sisema é causal. b) Deermine a Transformada de Fourier do sisema, H(jw). 6

17 c) Se o sisema iver na enrada o sinal x( ) 3cos(5 ), qual será a saída Y(jw)? d) A parir da alínea anerior, e usando as propriedades da Transformada de Fourier, deermine a resposa do sisema à enrada ( ) ( ). j x x e 7. Considere o problema descrio na figura. O sinal conínuo s(), emiido num dado pono da Terra, e reransmiido no saélie, é recebido nouro pono (recepor) arasado ( ) e aenuado (a). Iso é, o sinal à enrada do recepor é y()=a.s(- ). saélie s() y() Emissor Recepor a) Sendo S(jw) o especro de frequência do sinal emiido, s(), qual o especro de frequência Y(jw), do sinal recebido y()? Jusifique a resposa. b) No recepor, o sinal recebido y() é processado por um filro com resposa em frequência H(jw) de forma a recuperar o sinal emiido s(). Sabe-se que, enre os ponos emissor e recepor, se em: i. araso de propagação = 5 segundos; ii. aenuação: a = 0.5. Deermine e esboce a resposa em frequência, H(jw), do filro. Jusifique a resposa. 8. Considere o sinal y()=x().z(), em que: x( ) 3cos( ) z( ) 4cos(5 ) a) Deermine a Transformada de Fourier dos sinais x() e z(). b) Recorrendo à propriedade da convolução da Transformada de Fourier, deermine a Transformada de Fourier de y(), e represene o seu especro de frequências. 9. Na figura, o sinal conínuo s() é emiido num dado pono da Terra. Num ouro pono (recepor) é recebido a sobreposição do sinal s() com uma sua réplica arasada de, iso é, o sinal à enrada do recepor y()=s()+s(- ). 7

18 Saélie s() y()=s()+s(- ) Emissor Recepor a) Sendo S(jw) o especro de frequência do sinal emiido, s(), qual o especro de frequência Y(jw), do sinal recebido y()? b) No recepor, o sinal recebido y() é processado por um filro com resposa em frequência H(jw) de forma a recuperar o sinal emiido s(). Sabe-se que, enre os ponos emissor e recepor, se em um araso de propagação = 3 segundos. Deermine a resposa em frequência, H(jw), do filro. 0. Considere um sisema LIT com 3 h( ) e u( ). a) Diga, jusificando, se o sisema é causal. b) Deermine a reposa em frequência, H(jw), do sisema. c) Deermine o sinal de enrada x() que origina uma resposa do sisema y(), com a Transformada de Fourier Y( jw) 8 3 jw 3 8

19 Capíulo 6- Transformada de Laplace. Considere o sisema definido pela equação: y( ) x( ) x( 3) Sendo: x ( ) 3 e u( ) e x ( ) e u( ) 4 5 a) Deermine as Transformadas de Laplace de x () e x (). b) Deermine Y(s) aplicando as propriedades da Transformada de Laplace. c) Represene o diagrama de polos e zeros e a ROC. d) Diga, jusificando e sem efecuar cálculos, se y() em Transformada de Fourier.. Considere o seguine diagrama de polos e zeros da função de ransferência Hs () s s. jw plano s x - x Re a) Indique, jusificando, a quanos sisemas disinos pode corresponder a função H(s)? b) Indique, jusificando, qual ou quais dos sisemas da alínea anerior êm Transformada de Fourier. c) Para a função de ransferência H(s) correspondene a um sisema causal, deermine a resposa impulsional h(). 9

20 3. Considere o sisema LIT com enrada x( ) e u( ) e resposa impulsional h e u ( ) ( ) a) Deermine a Transformada de Laplace de x() e de h(). b) Usando a propriedade da convolução, deermine a Transforma de Laplace, Y(s), da saída y(). c) Deermine y() a parir de Y(s). (Se não deerminou a alínea anerior considere que Ys () s 3s ). d) Verifique o resulado da alínea anerior usando expliciamene a convolução. 4. Sendo y() a resposa de um sisema linear e invariane no empo à enrada x(), em que: y e u e u ( ) ( ) ( ) x e u ( ) ( ) 4 ( ) a) Deermine a função de ransferência, H(s), e a região de convergência do sisema. b) Deermine a resposa impulsional, h(). Se não resolveu a) suponha que 3s Hs ( ) >- ( s )( s ) c) Diga, jusificando, se o sisema em Transformada de Fourier. 5. Use os modelos de circuio na forma de Transformada de Laplace para deerminar a correne y() no circuio da figura. R=W x() y() L=½ H A ensão aplicada x() é da forma: x( ) e u( ) a) Deermine a Transformada de Laplace X(s) da ensão da fone. b) Sabendo que a queda de ensão numa resisência é R.i() e que a queda de ensão numa bobine é L.di()/d, expresse a ensão x() em função da correne y() e deermine a Transformada de Laplace da correne no circuio Y(s). 0

21 c) Deermine a expressão da correne y(). 6. Considere o sisema: y( ) x( )* x( 3) sendo que: x ( ) 6 7 ( ) e u e x e u ( ) 4 ( ) a) Deermine as Transformadas de Laplace e respecivas ROC de x () e x (). b) Deermine Y(s) aplicando as propriedades da Transformada de Laplace. c) Represene o diagrama de polos e zeros e a ROC. d) Deermine y(). Se não resolveu a alínea b), suponha que s 4e Ys ( ) 7 ( s 7)( s ) 7. Considere o seguine diagrama de polos e zeros da função de ransferência Hs () s 3s. jw plano s x x Re a) Idenifique, jusificando, a quanos sisemas disinos pode corresponder a função H(s)? b) Indique, jusificando, qual ou quais dos sisemas da alínea anerior êm Transformada de Fourier. c) Para a função de ransferência H(s) correspondene a um sisema causal, deermine a resposa impulsional h(). 8. Considere o sinal y() dado por: () y( ) x( )* dg d e que:

22 x( ) 4 e u( ) g e u 3 ( ) ( ) a) Deermine a Transformada de Laplace de x() e de g(). b) Deermine a Transformada de Laplace de y(), aplicando as propriedades desa ransformada. c) Deermine y() pela Transformada inversa de Laplace. (Se não resolveu a alínea 8s anerior, considere que Ys () s s 6 ) 9. Considere o sisema com resposa em frequência H( s) s s 0, com a ROC = odo o plano s O sisema em na enrada o sinal x e u e u ( ) ( ) cos(3 ) ( ) a) Deermine X(s). b) Deermine a saída do sisema Y(s). c) Diga, jusificando se a saída y() em Transformada de Fourier. d) Se a saída em Transformada de Fourier, indique Y(jw), se não em, diga o que faria para deerminar Y(jw), caso ivesse. 0. Dado o par de ransformadas de Laplace: L cos( ) u( ) X ( s) deermine os sinais no empo correspondenes às seguines ransformadas de Laplace: a) sx(s)- b) X(s) c) X(s+)