LISTA 1 FUNÇÕES VETORIAIS CONCEITOS BÁSICOS CÁLCULO III

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1 LISTA FUNÇÕES VETORIAIS CONCEITOS BÁSICOS CÁLCULO III. Faça a represenação gráfica dos campos veoriais gerados por: a) V [, y] x b) V y i x j c) V [ x, y ]. Deermine o lugar no espaço onde os veores, do exercício anerior, em inensidade consane igual a e faça a represenação gráfica.. Deermine o domínio e o valor da função veorial em a. r( ), ; o b. r( ) cos( ) i ln( ) j k ; o o.. Faça o gráfico para os raios veores a. r( ) cos( ) i sen( ) j b. r( ) i cos j sen k c. r( ),, 5. a. Deermine a inclinação da rea no espaço R que esá represenada por r( ) ( ) i ( ) j. b. Deermine as coordenadas do pono onde a rea r( ),, inercepa o plano xz. 6. a. Deermine o inercepo y da rea no espaço -D que esá represenada por r( ) ( ) i 5 j b. Deermine o pono onde a rea r( ) i ( ) j k inerseca o plano x y z. 7. Considere duas parículas P e P viajando segundo as rajeórias: r r,, 6. As parículas colidem? Onde? Qual insane?,, e 8. Deermine a equação da curva de inerseção enre as superfícies. x cosy y ln z 0 x cosy 0

2 9. Consrua a função veorial para a linha gerada pelo enconro das superfícies y y x ; z 0. Para adapação de um ubo de diâmero 60cm a uma superfície curva, há necessidade de um core especial. Ese core, no ubo, será feio por um equipameno que permie a programação dos seus movimenos. Sabendo ( y 0) que a equação da superfície é: z 80 (cm) e o eixo do ubo 5 coincide com o eixo Z. Desenvolva a equação veorial para viabilizar o core no ubo, considerando que o equipameno apresena giro de 0,5 RPM (freqüência).. Dados os ponos P(,,5), Q(,0, ) e R(, 5,), deermine: a. A equação veorial para o segmeno PR ; b. A equação veorial para o segmeno QM, sendo M o pono médio enre P e R.. Considere a esruura meálica projeada endo como base um cubo de lado m. Deermine a função veorial para cada caminho do cordão de solda definido por: AB, BC, CD sabendo que a velocidade fixada é de 0cm/min. Defina o domínio para cada caminho.. Considere o segmeno de cone inverido de raio 5cm e alura 8cm com eixo apoiado em z. Deermine as funções veoriais para descrever as rajeórias AB e BO, sabendo que a roação em orno do eixo z se dá a 0,6 RPM e no rajeo reo, a velocidade é de 5 cm/min. Dê os domínios.

3 . Deermine d d r a. r( ) i cos j b. r( ) arcan i cos j k para as funções veoriais abaixo: 5. Dadas as funções, deermine o veor a. r( ), ; 0 no R r'( ) b. r( ) sen i j cos k ; 0 no R c. r( ) cos, sen, ; 0 no R Deermine os comprimenos das rajeórias abaixo para o inervalo especificado: a. r( ) i j k ; 0 b. r( ),, ln ; e 7. Dadas as funções v a. d ( v ( ) d w ( ) ) b. d ( ( ) d w ( ) ) ( ) [,, ] e w( ) [, cos, sen] deermine: 8. Faça um esboço que mosre a elipse r( ) cos i sen j para 0 e os veores angene e normal uniários nos ponos,, e Deermine ut () e u () ( uniários: angene e normal) para as funções no pono dado. a. r( ) i j ; b. r( ) 5cos, 5sen ; c. r( ) ln i j ; e N 0. Considere uma parícula envolvida na rajeória r( ) [,, ] ( m ). Deermine para o insane s, os veores: a. Posição ; b. Velocidade; c. Aceleração; d. Aceleração angencial ( Dica: at ( a ut ) ut ); e. Aceleração cenrípea ( Dica: a ( a u ) u ); N N N

4 . Numa simulação na engenharia, é comum o uso do mapa de velocidades (campo veorial) para o enendimeno qualiaivo do escoameno em quesão. Olhando o mapa de velocidades e com base no enendimeno de funções veoriais, idenifique qual a alernaiva que represena a função relacionada com o gráfico abaixo a) b) c) v x y y x v x y x y v y x x y d) v [ x y, y x ] e) v x y x y. Um dos conceios mais imporanes e de grande uilidade na cinemáica e dinâmica dos corpos é o esudo de rajeórias do pono de visa veorial. A função escalar abaixo represena o relevo de uma monanha, onde a alura é definida por z. 0,000 x z e 0, 00 y 0, 5y Considere a rajeória de um corpo dada por r [ 6,, 60 ] ( m) e em segundos. Assinale a alernaiva que melhor represena o insane de colisão do corpo com a monanha. a) Não haverá colisão. b) 0 s c),6 s d),5 s e) 8 s. As funções veoriais represenam um excelene recurso para deerminação de rajeórias obidas por inerseção de superfícies. Com base no conhecimeno de funções veoriais paramerizadas, indique qual a função que melhor descreve o enconro enre as superfícies: ( z ). y, z 0 e y 0, x 0 x e ln ( ) a) r [,, ] b) r [,, e ] c) r [ ln( ),, ] d) e) r [,, ] ln() ln( ) r [,, ]

5 Resposas:. a. b. c.. a. b. c. y x x y x y k k k a. D [, [ ( ) r b. [, [ D r ( ) [0, 0, ] a. b. c. 5a. y x arcg( ) 0,98rad ( 56,) 5b. 5 P (, 0, ) 6a. 5 (0, ) P 6b. 5 9 P(,, ) 7. Sim P (, 9, ) s 8. r( ) [,, e ] cos 9. r ( ) [,, ] 5 0. r( ) [ 0cos( ), 0s en( ), (0s en( ) 0) 80 ] cm 0 min. a. PR [, 8, 5 ] b. QM [,, 5 ]

6 . r AB [ 50, 50, 0 ] cm 0 min rbc [ 50, 50, 0 ] cm 0 min rcd [ 5 50, 5, 90 ] cm 0 min r AB [ 5.cos, 5. sen, 8 ] cm , 7 min. rbo [ 0,5 ; 8 ; 8,5 ] cm 0 0,8 min. d b. [, cos sen, ] d a. [ 0, sen( )] 5a. [, ] [, ] 5b. d d [ cos, 0, sen] [ 0, 0, ] d d 5c. [ sen, cos, ] [,, ] d d 6a. / 6 9 6b. 6 0 L d e L d e 7a. ( )cos sen 7b. [ ( ) sen cos, cos, 6 sen ] 8. 9a. 9b. u u T T un [, ] [, ] un [, ] e e 9c. ut, un [, ] e e e e 0. a. r() [,, ] m b. v() [,, ] m / s c. a() [0,, ] m / s 5 d. at() [,, ] m / s d. a () [,, ] m / s N