Definição 0.1. Define se a derivada direcional de f : R n R em um ponto X 0 na direção do vetor unitário u como sendo: df 0) = lim t 0 t (1)

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1 Cálculo II - B profs.: Heloisa Bauzer Medeiros e Denise de Oliveira Pino 1 2 o semesre de 2017 Aulas 11/12 derivadas de ordem superior/regra da cadeia gradiene e derivada direcional Derivadas direcionais Dado um pono X 0 no domínio de uma função f : R n R podemos pensar em calcular a a variação de f em alguma direção. Iso é, imagine se parado em X 0 e suponha que você decida dar um passo na direção de um veor uniário ( norma igual a 1) u. Se o seu passo em amanho, a variação será dada por f(x 0 + u) f(x 0 ). O problema com essa expressão é que ela depende do amanho do passo. Ou seja, passos grandes endem a indicar uma variação grande e passos pequenos endem a indicar uma variação próxima de zero se a função for conínua (por quê?). Suponha, enreano, que você quer responder a seguine perguna: dando passos de amanhos diferenes em várias direções, em qual delas a variação de f será maior (ou menor)?. A medida correa para a variação f(x, será enão: 0 +u) f(x 0 ). Se quisermos er uma noção de como f varia para passos muio pequenos (pequena variação no domínio), chegaremos a expressão: f(x 0 + u) f(x 0 ) lim 0 e ese valor, quando exise, é chamado derivada direcional de f em X 0 na direção de u. A noação mais comum para derivada direcional é df (X du 0). Formalmene definimos: Definição 0.1. Define se a derivada direcional de f : R n R em um pono X 0 na direção do veor uniário u como sendo: quando o limie exise e é finio df du (X f(x 0 + u) f(x 0 ) 0) = lim 0 (1) Exercício 1. Dada f : R n R e um pono X 0, mosre que se u é o veor cuja i ésima coordenada vale 1 e as ouras valem 0, enão df (X du 0) = f x i (X 0 ). 1 o coneúdo dessas aulas foi reirado, quase que inegralmene, da aposila escria em conjuno com Maria Lucia Menezes. 1

2 A expressão (1) é pouco operacional e vamos enar reescrevê la. Pela definição de derivada, sabemos que se f é diferenciável em X 0 enão, para valores pequenos de escrevemos: Subsiuindo em (1) emos: f(x 0 + u) = f(x 0 ) + f(x 0 ).u + reso(u) (2) Segue que: df du (X f(x 0 ) + f(x 0 ).u + reso(u) f(x 0 ) 0) = lim 0 df (X f(x du 0) = lim 0 ).u+reso(u) 0 reso(u) = lim 0 f(x 0 ).u + lim 0 = f(x 0 ).u = (3) (4) e concluímos que se f é diferenciável a derivada direcional de f na direção de u é dada por f(x 0 ).u. Exercício 2. Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada direcional na direção do veor v no pono X 0. (Obs: Lembre -se de calcular o veor uniário!!!!!) a) f(x, y, z) = (x 2 3y + z 3 ), X 0 = (1, 2, 1), v = (1, 1, 1) b) f(x, y) = sen(xy 2 ), X 0 = (π, 3/2), v = ( 1, 2) c) f(x, y, z) = acg(x y + z), X 0 = (3, 2, 1), v = (1, 0, 1) Suponha que γ() = (x 1 (), x 2 (),, x n ()) é uma curva paramerizada no domínio de uma função f : R n R. É naural nos pergunarmos qual seria a variação de f ao longo da curva. Como γ () é o veor angene à curva, em cada pono, o veor uniário na direção da curva em cada pono pode ser omado como γ () desde que γ () γ () (0, 0, 0, 0,...)..Nese caso, a variação da função ao longo da curva será dada por f(γ()). γ (). γ () Exercício 3. Sejam f e γ como no parágrafo anerior. Observe que a função f γ() é uma função real, de variável real, que consise na resrição da função f à curva γ. Calcule a axa de variação desa função pela regra da cadeia. Compare com a axa de variação obida aneriormene. 2

3 Seja f como no exercício anerior e seja C um conjuno de nível de f. Seja γ() uma curva conida em C. É claro que f γ(), é função real de variável real. Além disso, f γ() é uma função consane pois a curva esá conida em um conjuno de nível de f. Assim, pela eoria de cálculo de uma variável d f γ() 0. Mas d γ() f γ() 0 f.γ() = 0 f(γ()) 0. d d γ () Esa equação em as seguines inerpreações óbvias: primeiro, f não varia na direção de γ o que é naural pois γ esá conida em um conjuno de nível de f; segundo, o gradiene de f é orogonal à γ o que ambém já sabemos. Considere uma função f : R n R diferenciável e fixe X 0 no domínio de f. Suponha que f(x 0 ) (0, 0, 0). Seja u um veor uniário. Sabemos que o produo f(x 0 ).u mede a axa de variação de f na direção de u. Gosaríamos de nos pergunar em que direção esa axa é máxima. Sabemos que f(x 0 ).u = f u cosθ onde θ é o ângulo formado pelos veores gradiene e u. A variação será máxima, porano, quando cos(θ) for igual à 1. Exercício 4. Mosre que o gradiene de uma função apona no senido de crescimeno máximo da função. Qual o senido de decrescimeno máximo? exercícios diversos Exercício 5. Seja w = x 2 + y 2 z 2 onde x = ρsenϕcosθ, y = ρsenϕsenθ e z = ρcosϕ. Calcule w, w e w ϕ ρ θ Exercício 6. Sejam x = 2u + 3v e y = u + e 4v. Considere uma função F de duas variáveis e defina F (u, v) = f(x, y) onde f(6, 4) = 3, f 1 (6, 4) = 4 e f 2 (6, 4) = 5. Calcule F u (3, 0) e F v (3, 0). Exercício 7. Seja H(x, y, z) = L(x, y, z) onde L(0, 0, 0) = 9, L x (0, 0, 0) = 5, L y (0, 0, 0) = 4 e L z (0, 0, 0) = 3. Calcule H x, H y e H z em (0, 0, 0). Exercício 8. Seja F a função que mede a disância enre dois ponos de R n. Calcule a derivada de F. Exercício 9. Seja f(x, y, z) = z e x sen(y) e P = (ln(3), 3π/2, 3). Ache: a) f(p ), b) a rea normal à superfície de nível que coném P, c) O plano angene à esa superfície em P. 3

4 Exercício 10. Uma função f(x, y) é dia harmônica se saisfaz a equação de Laplace: f = f x x + f y y = 0. Mosre que as funções a seguir são harmônicas. a) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) b) f(x, y) = e x sen(y) + e y cos(x) c) f(x, y) = arcg(y/x) Exercício 11. Mosre que U(x, ) = f(x a)+g(x+a) onde a é consane e f e g são duas vezes diferenciáveis é solução da equação : 2 U a 2 2 U = 0. 2 x 2 Exercício 12. Seja u(x, ) uma função que saisfaz o problema: { u + 9u x = 0 u(x, 0) = x Calcule u(x, ) em um pono (x, ) qualquer. Exercício 13. Seja g(u, v) = f(u + v, uv), f diferenciável, x = u + v, y = uv. Calcule f g (1, 1) e (1, 1), sabendo que: f u u v x(2, 1) = 3, f y (2, 1) = 3, f xx (2, 1) = 0, f xy (2, 1) = f yx (2, 1) = 1 ef yy (2, 1) = 2 Exercício 14. Verifique se a função f(x, y, z) = 1 x 2 +y 2 +z 2 saisfaz a equação de Laplace em 3 dimensões: f = f x x + f y y + f z z = 0. Exercício 15. Se a, b, c e k são consanes mosre que w = (acos(cx) + bsen(cx))e kc2 é uma solução da equação do calor: w = kw xx. Exercício 16. Se u e v são funções de x e y e saisfazem as equações de Cauchy Riemann, iso é, u = v e u = v mosre que u x y y x xx + u y y = 0, se odas as derivadas parciais exisirem e forem conínuas. Exercício 17. Suponha que f(x, ) saisfaz a equação 2 f = c 2 f onde 2 x 2 c 0 é uma consane. Deermine consanes m, n, p e q para que g(u, v) = f(x, ) onde x = mu + nv e = pu + qv, saisfaça a equação : 2 u u v Exercício 18. Suponha que x = u + v 2, y = 3u v 2, e seja g(u, v) = f(x, y). Calcule 2 g/ v 2 ( 1, 2) sabendo que : f x ( 1, 2) = 1 f y ( 1, 2) = e f xx ( 1, 2) = 2 f yy ( 1, 2) = 0 f xy ( 1, 2) = 3 f x ( 3, 7) = 5 f y ( 3, 7) = π f xx ( 3, 7) = 3 f yy ( 3, 7) = 4 f x,y ( 3, 7) = 1. 4

5 Exercício 19. Pedrinho esudou cuidadosamene uma função f(x, y) e concluiu que: a) Os conjunos de nível k de f são os círculos x 2 + y 2 = k; b) f(1, 0) = ( 2, 0) Criique as conclusões de Pedrinho. Exercício 20. Pedrinho reesudou a função e concluiu: a) Os conjunos de nível k de f são os círculos x 2 + y 2 = k; b) f(1, 0) = (2, 3) Será que Pedrinho en razão? Exercício 21. Considere z = z(x, y), x = e u cos(v) e y = e u sen(v). Suponha que z = 0. Calcule 2 z + 2 z v 2 u 2 Exercício 22. Sendo f(x, y, z) = x 2 y 2 +z 2, calcule a derivada direcional de f no pono (1, 2, 1) na direção de u = (4, 2, 4). Exercício 23. Uma função diferenciável f(x, y) em no pono (1, 1) derivada direcional igual a 3 na direção do veor (3, 4) e igual a 1 na direção de (4, 3). Calcule f(1, 1). Exercício 24. Pedrinho fez as afirmações a seguir. Criique. A derivada de uma função é sempre angene à função. Se uma função parameriza uma curva enão γ é normal à curva. O plano angene ao gráfico de uma fc é gerado pelas colunas de Df. Se C é conjuno de nível de f enão em odo pono de C a derivada de f é angene. As derivadas parciais de f sempre medem a direção da rea angene ao gráfico de f. Sejam S 1 e S 2 superfícies de nível de, respecivamene, f 1 (x, y, z) e f 2 (x, y, z). Suponha que S 1 S 2, define uma curva. Enão f 1 e f 2 são angenes à curva em cada pono. 5

6 Considere duas superfícies como no íem anerior. f 1 f 2 é angene a curva. Se f em derivada direcional em qualquer direção, enão f é diferenciável. Seja S o gráfico de uma função z = f(x, y). Fixe X 0 em S. O veor (f x, f y )(X 0 ) é angene a alguma curva conida em S. Exise uma ransformação linear T : U V, onde U e V são espaços veoriais de dimensão finia al que T não é diferenciável na origem. Se T : R n R n e L : R n R n são ransformações lineares cuja mariz na base canônica é dada respecivamene por M T e M L, a derivada de T L é M T.M L onde. denoa o produo usual de marizes. 6