4 O Fenômeno da Estabilidade de Tensão [6]

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1 4 O Fenômeno da Esabilidade de Tensão [6] 4.1. Inrodução Esabilidade de ensão é a capacidade de um sisema elérico em maner ensões aceiáveis em odas as barras da rede sob condições normais e após ser submeido a disúrbios. A perda da esabilidade de ensão ocorre em um sisema quando uma perurbação, um aumeno na demanda de carga ou ouro ipo de aleração nas suas condições provoque um declínio progressivo e inconrolável na ensão. Problemas de esabilidade de ensão na operação de sisemas eléricos são originados pelo uso de linhas de ransmissão pero de sua capacidade máxima, o que foi possível a parir do uso exensivo de compensação de poência reaiva. O fenômeno de esabilidade de ensão em redes eléricas esá associado às condições nodais do sisema, relacionando o máximo fluxo de poência aiva e reaiva ransmiida dos geradores para as cargas e ações de conrole de ensão endo o efeio oposo ao esperado. 4.. Caracerização do Fenômeno de Esabilidade de Tensão Para a compreensão do fenômeno de esabilidade de ensão será esudado o comporameno esáico de um sisema elérico com duas barras, conforme mosrado na Figura 4.1, composo por um gerador com capacidade infinia de geração, uma carga modelada por poência consane e uma linha de ransmissão sem limie érmico. Os valores das admiâncias shun da linha de ransmissão serão desprezados sem perda da generalidade.

2 58 Figura 4.1: Circuio de Duas Barras A caracerização do fenômeno foi desenvolvida considerando: 1 pu o. pu 7 P Q o (4.1) A análise se inicia a parir das equações de fluxo de poência aiva e reaiva saindo da barra de carga. A poência aparene saindo da barra de carga é: S P jq I (4.) * * Onde I 1 11 (4.3) * (4.4) Subsiuindo-se (4.3) e (4.4) em (4.):

3 59 1 cos( ) 1 cos( 1 ) 1 sen( ) 1 sen( 1 ) j S * 1 (4.5) Comparando-se (4.5) e (4.), e separando as pares real e imaginária: P 1 cos( ) 1 cos( 1 ) P 1 1 (4.6) Q 1 sen( ) 1 sen( 1 ) Q 1 1 (4.7) A angene do ângulo do faor de poência na carga é: an( ) 1 sen( ) 1 sen( 1 ) Q1 P1 1 cos( ) 1 cos( 1 ) (4.7) Em (4.6) e (4.7) a poência na barra de carga é função de duas variáveis: o módulo e o ângulo de sua ensão. Na Figura 4. [6] é mosrado o gráfico para a poência aiva dada por (4.6).

4 6 Figura 4.: Curvas no R 3 de P1 como Função m Analisando-se as curvas da Figura 4., pode-se observar que há uma máxima poência para cada valor de módulo de ensão. ariando-se θ1 em (4.6) e manendo 1 consane, pode-se calcular P1 e, porano, raçar a curva para 1 consane no plano P1θ1. Na Figura 4.3, em-se as curvas para cinco valores de 1. erifica-se que são as projeções das curvas da Figura 4. no plano θp. ale lembrar que para 1 consane no valor desejado necessia-se de cero supore de poência reaiva pela insalação de capaciores shun que são composos com carga Q1 para cada variação de P1.

5 61 Figura 4.3: Curvas de 1 Consane no Plano θ1p1 Pode-se consaar que há uma carga maximum maximorum P1 que pode ser alimenada pela rede. Ese resulado vale mesmo com a capacidade ilimiada de compensação de poência reaiva na barra de carga. Além disso, consaa-se que o máximo ocorre quando o ângulo de ensão na carga é igual ao negaivo do ângulo da impedância da linha de ransmissão, θ1 = - α. erifica-se ese resulado pela simples análise da primeira derivada ( P1/ θ1) = e a segunda derivada P1/ θ1 < no pono de máximo. O valor de 1 no qual P1 é a carga maximum maximorum é calculado pelas derivadas ( P1/ 1) = e P1/ θ1 < fazendo-se θ1= - α. Ese resulado é imporane e será discuido com mais profundidade.

6 Da mesma forma como foram raçadas curvas no plano θ1p1, pode-se raçar curvas no pano θ11. Fazendo-se P1 consane e variando θ1 em (4.6), pode-se calcular 1 e, porano, raçar a curva P1 consane no plano θ11. Analogamene, variando-se θ1 em (4.7), pode-se calcular 1 e, porano a curva Q1 consane no plano θ11. Na Figura 4.4 são apresenadas as curvas de nível para quaro valores de P1 e Q1 consanes. 6 Figura 4.4: P1 e Q1 Consanes no Plano θ11 para Diferenes alores de P1 e Q1 Observa-se novamene a exisência de uma máxima carga que pode ser aendida - maximum maximorum mesmo com compensação ilimiada de poência reaiva. Há uma correspondência enre as curvas das Figuras 4., 4.3 e 4.4, odas indicam uma máxima poência que pode ser ransmiida para uma carga. Os ponos de operação formados por pares θ11 com θ1 = -α formam uma rea chamada Limie de Esabilidade Esáica Angular - LEEA. Pode-se ober o

7 LEEA fazendo 1 consane (é necessário supore de poência reaiva) e calculando o pono de máximo de (4.6) aravés de ( P1/ θ1) = para θ1 = -α. Por ouro lado, a parir da análise das curvas da Figura 4.4, verifica-se que para uma carga P1 + jq1 podem-se er duas soluções de ensão 1 A e 1 B (com módulo de valor real posiivo, por definição). Aumenando-se a carga P1 + jq1 (Q1 mais induivo) com faor de poência consane, as soluções 1 A e 1 B se aproximam aé coincidirem em um único pono 1 A 1 B. Se P1 e Q1 coninuarem aumenando, as curvas P1 consane no plano θ11 e Q1 consane no plano θ11 não mais se cruzam, ou seja, não há solução de ensão. Desa forma, para cero faor de poência ϕ, há uma máxima carga aiva e reaiva que pode ser alimenada. Porano, pôde-se verificar a exisência de duas, uma ou nenhuma solução para a ensão ao aumenar o carregameno do sisema. Quando há duas soluções para a ensão em uma barra do sisema, uma delas perencerá à região normal de operação e a oura à região anormal de operação, onde ações de conrole de ensão podem er efeio oposo ao esperado. Como exemplo numérico, considerando os dados da rede da Figura 4.1, as equações (4.6) e (4.7) podem ser reescrias: 63 cos( ) cos( 1 ) 1 1 P1 sen( ) sen( 1 ) 1 1 Q1 (4.8) (4.9) 1 sen( ) an( )cos( ) 1 1 sen( ) an( )cos( ) (4.1) Uilizando-se (4.8), (4.9) e (4.1), as curvas no plano θ11 para diferenes valores de P, Q e ϕ consanes podem ser raçadas. A curva ϕ consane no plano θ11 é raçada variando-se θ1 em (4.1) e calculando 1.

8 Na Figura 4.5 são mosradas as curvas para faor de poência na carga ϕ=41,18 induivo. Esão represenados rês níveis de poência aiva e reaiva na carga. Para P1 =,8 pu e Q1 =,7 pu, duas soluções para a ensão na carga se apresenam em 1 A =,741 pu e 1 B =,87 pu (curva P1 consane e Q1 consane se cruzam em dois ponos). À medida que P1 e Q1 crescem, manendo ϕ consane, as duas soluções se aproximam aé que em P = 1, pu e Q =,875 pu a solução é única em 1 C =,516 pu (curva P consane e Q consane se ocam em um único pono). Para cargas maiores, por exemplo, P3 = 1, pu e Q3 = 1,5 pu não exise solução para ensão (curva P3 e Q3 consanes não se ocam em nenhum pono). Conclui-se graficamene que exise um limie máximo para cada faor de poência na carga. 64 Figura 4.5: Soluções de Tensão na Carga com o Mesmo Faor de Poência Em complemeno aos gráficos apresenados, a curva da Figura 4.6 é consruída aumenando-se o valor do carregameno do sisema e manendo ϕ=41,18 consane na carga. Deve-se noar que o pono de máximo carregameno

9 de P1 assinalado na Figura 4.6 corresponde às curvas P = 1, pu e Q =,875 pu da Figura 4.5 que se ocam em um único pono. 65 Figura 4.6: Curva para ϕ Consane no Plano S Impedância de Carga no Máximo Carregameno A máxima poência que pode ser ransmiida para uma carga, para cada faor de poência, esá esreiamene relacionada ao valor de sua impedância equivalene. Ese pono de máximo saisfaz a condição de que a impedância da carga é igual à impedância da linha de ransmissão, a ser viso. Uiliza-se o mesmo circuio da Figura 4.1, mas com oura represenação, como mosrado na Figura 4.7.

10 66 Figura 4.7: Circuio com as Impedâncias da Transmissão e da Carga A correne que flui da barra para a barra 1 pela linha de ransmissão da Figura 4.7 é: I 1 (4.11) c I 1 ( cos( ) cos( )) ( sen( ) sen( )) c c (4.1) A poência aiva que flui a parir da barra de carga, que é igual ao negaivo da poência consumida na carga, é: P P I c cos( ) (4.13) Subsiuindo-se (4.1) em (4.13), calcula-se a poência elérica injeada na barra erminal 1: cos( ) c 1 P1 c c P cos( ) (4.14)

11 De (4.14) enconra-se p valor de c que maximiza a poência aiva na carga aravés de P1/ c =. 67 P1 c cos( ) c c cos( ) c c cos( ) c cos( ) c cos( ) c c cos( ) c (4.15) Operando (4.15): cos( ) cos( ) c c (4.16) máximo: Calcula-se P1/ c para conferir se o valor enconrado é efeivamene um P 1 C (C ) (4.17) De (4.16) e (4.17), conclui-se que P1 é máximo quando a impedância da linha de ransmissão, é igual à impedância da carga c. C (4.18) 4.4. Limie de Esabilidade de Tensão A parir do desenvolvimeno anerior chega-se a uma relação analíica que idenifica se o pono de operação em análise esá no máximo carregameno para o

12 sisema de duas barras em esudo. O conjuno dos ponos que saisfazem esa relação faz pare de um lugar geomérico chamado Limie de Esabilidade de Tensão LET. Como viso, para o pono de máximo carregameno, o módulo da impedância da carga é igual ao módulo da impedância da linha de ransmissão. Percebe-se que P1 é mínimo quando P1 é máximo. Subsiuindo-se (4.18) em (4.14), em-se: 68 cos( ) cos( ) min c 1 c[1 cos( )] 4c cos ( ) P que é reduzido à: cos( ) max 1 4c cos ( ) P (4.19) (4.) Para P1 max e uma dada impedância de carga c com faor de poência ϕ: I 1 c 1 1 (1 cos( )) c (4.1) 1 Criico cos (4.) De (4.18), sabe-se que c=, enão: I 1 c 1 (4.3) 11 c (4.4) c

13 69 Considerando só a pare real: c 1 cos( ) 1 (4.5) Igualando-se (4.) e (4.5): cos( 1) cos (4.6) E de (4.6) calcula-se o ângulo críico na barra erminal: c 1 (4.7) O LET é o lugar geomérico das ensões em módulo e ângulo (1 c e θ1 c ), onde o módulo da impedância equivalene da carga é igual ao módulo da impedância da linha de ransmissão série. O LET represena os ponos da máxima ransmissão de poência à carga, uma para cada faor de poência (o que depende de evenual compensação reaiva da carga). Em ouras palavras, variando-se ϕ e uilizando-se (4.5) e (4.7) raça-se o LET sobre as curvas de ϕ consane no plano S. Na Figura 4.8 é mosrado um exemplo onde esão represenadas diferenes curvas, uma para cada faor de poência. O LET passa pelas ponas de odas as curvas para ϕ consane no plano S, iso é, une odos os ponos de máximo carregameno. Além disso, o LET separa as duas regiões de operação: a região superior da curva para ϕ consane, e a pare onde se em conrole sobre a ensão, e a região inferior da curva para ϕ consane, é onde as ações de conrole de ensão podem er efeio oposo ao esperado.

14 7 Figura 4.8: LET sobre as Curvas ϕ Consane no Plano S 4.5. Capacior em Paralelo na Barra de Carga Considere um capacior na barra de carga do sisema de duas barras apresenado na Figura 4.1, conforme na Figura 4.9, e as equações de poência aiva e reaiva injeadas na barra erminal. Figura 4.9: Sisema de Duas Barras com Capacior na Barra Terminal

15 O sisema represenado na Figura 4.9 pode ser usado para ilusrar que a adição de capaciores em paralelo com a carga pode aumenar a capacidade de ransmissão. O capacior adicionado compõe com a poência reaiva da carga e, enão, o faor de poência do conjuno fica menos induivo (ou mais capaciivo). Porém, o efeio benéfico da adição de capaciores é resrio a uma deerminada região de operação. Deve-se deixar claro que sua adição ao sisema pode reduzir a ensão ou reduzir a capacidade de ransmissão, como será viso. Com base na Figura 4.9 pode-se escrever: 71 S P jq (I I ) * * 1c 1c 1c 1c 1c 1T (4.8) I 1 c 1c 1c (4.9) I 1 T jx 1c 1c c (4.3) * 1c 1c 1c (4.31) Subsiuindo-se (4.9), (4.3) e (4.31) em (4.8): S cos( ) cos( ) * 1c 1c 1c 1c j sen( ) sen( ) 1c 1c 1c (4.3) injeada: Separando-se em (4.3) a pare real e a pare imaginária da poência aparene

16 7 P 1 c cos( ) 1 c cos( 1 c ) P 1c 1c (4.33) sen( ) 1 1c sen( 1 c ) Q1 c Q1 c 1 c X c (4.34) Subsiuindo-se (4.33) e (4.34) em (4.7) e colocando-se em evidência a ensão na barra erminal: X cos( ) an( ) sen( ) 1c c 1c 1c X sen( ) X an( )cos( ) c c (4.35) Em (4.35) mosra-se como calcular o módulo da ensão na barra de carga em um sisema de duas barras com capacior em função do ângulo do faor de poência na carga. Para cada ϕ consane, variando-se θ1c em (4.35), pode-se calcular 1c e, porano, raçar a curva para ϕ consane no plano S. Assim como foi feio na Seção 4. pode-se raçar a curva ϕ consane no plano θ. Fazendo-se variar θ1c em (4.33) calcula-se 1c para cada valor de P1c consane. Da mesma forma, para Q1c consane, variando-se θ1c em (4.34), pode-se calcular 1c e, porano, raçar a curva para ϕ consane no plano θ. Na Figura 4.1 êm-se as curvas para ϕ consane no plano S11 sem e com a insalação de um capacior. Consaa-se que, se o pono de operação perence à região superior da curva, chamada região normal de operação, a compensação reaiva faz com que a ensão aumene. Se esiver operando na região inferior da curva, chamada de região anormal de operação, onde ações de conrole podem er efeio oposo ao esperado, a insalação do capacior faz a ensão diminuir.

17 73 Figura 4.1: Aumeno e Diminuição da Tensão Devido à Inrodução de um Capacior Esa análise supôs que as poências aiva e reaiva consumidas na carga independem da ensão (modelo de poência consane). Se as poências aiva e reaiva consumidas na carga variam com o quadrado da ensão (modelo de impedância consane), só há uma solução de ensão. Porano, a ensão irá subir com a insalação do capacior esando o pono de operação na pare superior ou inferior da curva para ϕ consane no plano S, como se mosra na Figura Para cargas misas, iso é, uma parcela do consumo de poência aiva e reaiva independe da ensão e oura variável com o quadrado da ensão, a insalação do capacior poderá diminuir a ensão caso o pono de operação eseja na pare inferior da curva para ϕ consane no plano S. Em odos os casos aneriores, a insalação de capaciores aumenou a capacidade de ransmissão. No enano, isso deixa de aconecer a parir de cero valor de capacior.

18 74 Figura 4.11: ϕ e c Consanes no Plano S com e sem Capacior O pono de máximo carregameno maximum maximorum esá no cruzameno do LET com o LEEA. Porano, ao se passar para a região insável do pono de visa angular, limiada pelo LEEA, esá se reduzindo a capacidade de ransmissão mesmo com mais injeção de poência reaiva aravés de capaciores. Conforme a Figura 4.1 para cera carga aiva P 1 consane e pono de operação na pare superior da curva para ϕ consane no plano S, a insalação de capaciores aumena a ensão na carga quando θ1 > -α e diminui a ensão na carga quando θ1 < -α. Para o pono de operação na pare inferior da curva para ϕ consane no plano S, a insalação de capaciores diminui a ensão na carga quando θ1 > -α e aumena a ensão na carga quando θ1 < -α.

19 75 Figura 4.1: Ângulo de Tensão Barra 1 (graus) 4.6. Sumário do Capíulo Nese capíulo foi apresenado o fenômeno da esabilidade de ensão, que esá associado às condições nodais do sisema, relacionando o máximo fluxo de poência aiva e reaiva ransmiida dos geradores para as cargas e ações de conrole de ensão endo o efeio oposo ao esperado. A caracerização do fenômeno foi desenvolvida a parir de um circuio de duas barras, observando-se que exise uma máxima poência para cada valor de módulo de ensão. Mesmo com a capacidade ilimiada de compensação de poência reaiva na barra de carga, pode-se consaar que há uma carga máxima que pode ser alimenada pela rede. O limie de esabilidade esáica angular foi definido como o ângulo da ensão para o qual a poência é máxima. Observou-se que para um faor de poência consane, podem exisir duas, uma ou nenhuma solução para a ensão ao aumenar o carregameno do sisema. Havendo duas, uma delas perencerá à região normal de operação e a oura à região anormal de operação, onde ações de conrole de ensão podem er efeio oposo ao

20 esperado, caso a carga se compore como o modelo de poência consane. Desa forma foi definida a curva para ϕ consane no plano S. O limie de esabilidade de ensão é represenando pelos ponos de máxima ransmissão de poência à carga no plano S. Com a insalação de um capacior na barra de carga do sisema de duas barras foi possível consaar que, se o pono de operação perence à região superior da curva, chamada região normal de operação, a compensação reaiva faz com que a ensão aumene. Caso o pono de operação perença à região inferior da curva, chamada de região anormal de operação, a insalação do capacior faz a ensão diminuir. 76