4 Análise de Sensibilidade

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1 4 Análise de Sensibilidade 4.1 Considerações Gerais Conforme viso no Capíulo 2, os algorimos uilizados nese rabalho necessiam das derivadas da função objeivo e das resrições em relação às variáveis de projeo para deerminar a direção de busca do processo de oimização. De forma geral, os gradienes da função objeivo e das resrições são calculados a parir dos gradienes das resposas da esruura deerminadas na eapa de análise. Dependendo do problema, as resposas de ineresse podem ser deslocamenos, ensões, freqüências naurais e cargas críicas. Oura grandeza de ineresse, muio uilizada como função objeivo, é o peso (volume) da esruura. A análise de sensibilidade, ambém chamada de gradienes das resposas da esruura, desempenha um papel cenral no processo de oimização pois é avaliada a cada passo do algorimo. Nese capíulo, são desenvolvidas analiicamene as sensibilidades dos deslocamenos e a sensibilidade da carga limie para o elemeno de pórico com comporameno geomericamene não-linear, bem como uma aproximação uilizada nese rabalho a fim de se adapar as caracerísicas da análise não-linear visa no capíulo anerior. É apresenado ambém o méodo das diferenças finias a fim de se validar as formulações analíicas. Por fim são analisados alguns exemplos para validar as implemenações. 4.2 Méodo Analíico O méodo analíico consise na diferenciação direa das equações de equilíbrio lineares e não-lineares. Para faciliar o desenvolvimeno das equações para o cálculo da sensibilidade, considera-se uma esruura descria por uma única variável de projeo x.

2 Análise de Sensibilidade Sensibilidade dos Deslocamenos A equação de equilíbrio na análise linear é dada por: K( x) u ( x) =P ( x) (4.1) derivando-se (4.1) em relação a variável de projeo x, obém-se dk u( x) + K du = dp (4.2) Reorganizando (4.2) emos du dp dk K = u ( x) (4.3) onde du dx represena a sensibilidade dos deslocamenos com relação às variáveis de projeo x. Para calcular du dx, os seguines passos devem ser seguidos: (i) resolver a equação (4.1) para u, (ii) compuar o lado direio da equação (4.3) (chamado de pseudo-forças), (iii) resolver a equação (4.3) para du dx usando a já decomposa mariz de rigidez, realizando somene rerosubsiuições com o veor de pseudoforças. Na análise não-linear, a equação de equilíbrio incremenal é dada da seguine forma: R( F( x), u( x); x) = P( x) - F( F( x), u ( x); x) = 0 (4.4) onde P é suposo, no caso geral, dependene das variáveis de projeo. Derivando-se (4.4) em relação a variável de projeo x d P F d F F d u F = 0 dx F dx u dx x (4.5)

3 Análise de Sensibilidade 66 Reorganizando os ermos de (4.5) e fazendo uso da seguine relação K + ( T) F = (4.6) u em-se d u d P F d F F dx dx F dx x + ( T) K = (4.7) onde d u dx represena a sensibilidade dos incremenos de deslocamenos com relação às variáveis de projeo x. A equação (4.7) pode ser escria usando a seguine noação K + ( T) + d d d d u R P F = = dx u u( x) u u( x) (4.8) onde o lado direio de (4.7) é diferenciado de forma oal desconsiderando-se a dependência implícia de u sobre x. Observa-se agora que, devido a formulação uilizar o RLA, em-se um problema dependene do caminho (pah-dependen), ou seja, a sensibilidade das forças inernas d F dx compuada na eapa anerior enra no lado direio da equação (4.7), e sua aualização para o próximo passo é dada da seguine forma: + d d + ( T) d F F u = + K (4.9) u u( x) A equação (4.8) é a equação básica para a solução da sensibilidade incremenal dos deslocamenos e algumas observações podem ser feias ao seu respeio: A mariz do lado esquerdo da equação (4.8) é a mesma mariz de rigidez angene obida após a convergência para um pono de equilíbrio. Na eapa de erência, o lado direio da equação (4.8) é conhecido.

4 Análise de Sensibilidade 67 A equação de sensibilidade em (4.8) é linear em d u dx. Assim nenhuma ieração é necessária para resolvê-la. A sensibilidade é compuada de forma incremenal no final do passo, uma vez conhecida a sensibilidade de d F dx no início do passo. Conseqüenemene as sensibilidades incremenais êm que ser compuadas no final do passo, aualizadas e armazenadas para serem usadas no próximo passo Méodo Analíico Aproximado (MAA) A equação (4.8), descria acima, necessia de um grande esforço compuacional para o cálculo das sensibilidades incremenais. Em cada passo de carga é necessário avaliar a sensibilidade dos deslocamenos incremenais, o que envolve a resolução de um sisema de equações lineares para cada variável de projeo x. A deerminação dos ponos críicos feia no presene rabalho (seção 3.5) gera, com a diminuição do GSP, muios incremenos de carga anes do pono críico, o que ornaria o processo de oimização basane leno se para cada pono de equilíbrio fossem aualizadas as sensibilidades incremenais. Para adapar a análise de sensibilidade ao presene rabalho, foram feias algumas considerações apresenadas a seguir. A sensibilidade dos deslocamenos incremenais pode ser escria da seguine forma: + d u d u d u = - (4.10) Pré-muliplicando (4.10) por em-se + ( T) K e subsiuindo o resulado em (4.8), d u d P d F d u K = + K (4.11) dx + + ( T) + ( T) u u( x) Tomando-se derivada de x da relação de equilíbrio no passo anerior dada abaixo

5 Análise de Sensibilidade 68 d d P ( T) d u F ( ( x); x) = = 0 dx P-F u K (4.12) dx dx x e somando-se (4.12) a (4.11), em-se a seguine relação d u d P F d F d u K K - K ) (4.13) dx dx x dx dx ( T) + ( T) ( T) = + ( u u( x) onde + d d d P P P = + (4.14) Conforme viso na seção 3.44, as esraégias de incremeno auomáico de carga êm como objeivo gerar pequenos incremenos quando a resposa da esruura for foremene não-linear e produzir grandes incremenos quando a resposa da esruura for aproximadamene linear, o que faz com que a variação da rigidez da esruura no inervalo [, + ] seja pequena, enão K - K 0 (4.15) + ( T) ( T) e o ermo d u dx é eliminado de (4.13). Finalmene, quando as forças exernas P independem de x, d u F d F K F (4.16) + + ( T) + = = dx x dx u u( x) onde + F seria o veor de pseudo-forças. A equação (4.16) é uma equação aproximada para o cálculo da sensibilidade oal dos deslocamenos e algumas observações podem ser feias a seu respeio: A mariz do lado esquerdo da equação (4.16) é a mesma mariz de rigidez angene obida após a convergência para equilíbrio em +. Na eapa de erência, o lado direio da equação (4.16) é conhecido.

6 Análise de Sensibilidade 69 A equação de sensibilidade em (4.16) é linear em d + u dx. Assim nenhuma ieração é necessária para resolvê-la. A sensibilidade d + u dx é compuada a qualquer insane desejado, uma vez conhecida a sensibilidade de F x. Conseqüenemene, somene a sensibilidade da força inerna em que ser compuada no final do passo, aualizada e armazenada para ser usada no próximo passo Sensibilidade da Carga Limie Para se calcular a sensibilidade da carga limie basa considerar o faor de carga λ como dependene impliciamene de x, ou seja, o veor de carregameno exerno fica definido como : P= λ( x) P ( x) = λ( x) P ( x) + λp ( x) (4.17) + + onde P é um veor de erência de magniude arbirária. Derivando-se (4.17) em relação a x, em-se: + + d P d λ + dp = P + λ (4.18) Assim a equação (4.13) fica da seguine forma d u d λ dp K P F (4.19) ( T) + + = + λ No nível da carga críica ( + λ = λ * ), um aserisco é adicionado nos ermos de (4.19) para idenificar o pono onde eles esão sendo avaliados. Enão se escreve * * ( T )* du dλ * dp K = P + λ * F (4.20)

7 Análise de Sensibilidade 70 A mariz de rigidez angene ( T )* K é singular e ϕ ϕ ( T)* T ( T)* K = K = 0, onde ϕ é o auoveor associado com o auovalor nulo da mariz K ( T )*. Prémuliplicando a equação anerior por ϕ T, em-se * * T ( T )* du T dλ T * dp T * ϕ K = ϕ P + ϕ λ ϕ F (4.21) Eliminando os ermos nulos ϕ ϕ ( T)* T ( T)* K = K = 0 e isolando o ermo com * dλ dx, em-se * T dλ T * T * dp = ϕ P ϕ F ϕ λ (4.22) dx dx Finalmene, em-se a expressão para o cálculo da sensibilidade do pono limie: dp * ϕ λ dλ F dx = T dx ϕ P T * * (4.23) ou, quando as forças exernas P independem de x * dλ dx ϕ F = T ϕ T * P (4.24) A equação (4.24) é uma equação aproximada para o cálculo da sensibilidade da carga críica e algumas observações podem ser feias a seu respeio: A sensibilidade é calculada de maneira direa, uma vez que o veor das pseudo-forças é calculado de maneira incremenal e conhecido no pono críico. O auoveor associado com o auovalor nulo da mariz é calculado aravés do méodo das inversas generalizadas para a mariz ( T )* K.

8 Análise de Sensibilidade Méodo das Diferenças Finias (MDF) A mais simples écnica para cálculo da sensibilidade com respeio a variável de projeo é a aproximação por diferenças finias. Esa écnica é geralmene cara compuacionalmene, mas é de fácil implemenação e por iso muio usada. A mais simples aproximação por diferenças finias é a de primeira ordem, chamada de diferença a frene. Seja a função f ( x ), onde x é a variável de projeo. A aproximação de primeira ordem, f x, para a derivada, df dx, é dada por: onde f f( x+ x) f( x) = (4.25) x x x é uma perurbação absolua, pequena o suficiene para produzir resulados saisfaórios. Geralmene essa perurbação é definida aravés da seguine expressão: x = ηx (4.26) onde η é o valor da perurbação relaiva. A maior dificuldade no MDF é selecionar o valor da perurbação η, se for selecionada uma pequena perurbação, para reduzir o erro de runcameno (pois a derivada só é exaa quando x ende a zero), pode-se er um excessivo erro de arredondameno causado pela forma como os números reais são represenados nos compuadores. Perurbações relaivas enre 10-4 a 10-8 geralmene levam a bons resulados, o suficiene para aplicações práicas. 4.4 Exemplos Nesa seção são apresenados exemplos de análise de sensibilidade de esruuras geomericamene não-lineares. Os exemplos raam ano da sensibilidade dos deslocamenos nodais como da sensibilidade das cargas críicas das esruuras. Os objeivos são verificar a validade das expressões apresenadas nese capíulo, esar a implemenação compuacional e comparar a precisão dos méodos discuidos aneriormene.

9 Análise de Sensibilidade 72 As esruuras foram analisadas aravés do MEF uilizando a esraégia de ieração comprimeno de arco cilíndrico junamene com o méodo de Newon- Raphson Padrão, com incremeno auomáico do comprimeno de arco 0 conrolando o valor inicial do parâmero de carga, λ. No início do processo adoou-se: 0 λ 1 = Para conrolar a convergência foi adoado ζ 3 = 10. A malha menos inada possui 20 elemenos e a malha mais inada 100 elemenos sendo as mesmas uilizadas na seção 3.6. O MDF foi uilizado para verificar a consisência das sensibilidades calculadas pelo MAA, uilizou-se η variando de 10-4 a 10-8, sendo considerado como válido o que melhor represena a endência dos resulados. Geralmene a perurbação de 10-5 apresenou bons resulados Pórico de Lee A geomeria do pórico é mosrada na figura 4.1. O comporameno desa esruura foi esudado no capíulo anerior. Os valores numéricos empregados são L = 120, H = 120, Lp = 24 e P = 1. A seção ransversal do pórico é reangular de dimensões b = 3 e h 1 = h 2 = 2 e o maerial uilizado apresena E = 720. As variáveis de projeo são as aluras das barras (h). Lp P θ w u h2 H h1 L Figura 4.1. Pórico de Lee. O deslocameno verical (w) do pono de aplicação da carga e a sua sensibilidade calculada pelos MAA e MDF, para diversos faores de carga, são apresenados nas abelas 4.1 e 4.2.

10 Análise de Sensibilidade 73 TABELA 4.1 Pórico de Lee deslocamenos e sensibilidades para h 1 n º de dw/dh λ w 1 Elemenos MAA MDF , , , TABELA 4.2 Pórico de Lee deslocamenos e sensibilidades para h 2 n º de dw/dh λ w 2 Elemenos MAA MDF , , , A carga críica e a sua sensibilidade calculada pelos MAA e MDF são mosradas na abela 4.3. TABELA 4.3 Pórico de Lee cargas críicas e sensibilidades n º de d λ cr /dh 1 dλ cr /dh λ 2 elemenos cr MAA MDF MAA MDF Pórico de Williams A geomeria do pórico é mosrada na figura 4.2. O comporameno desa esruura foi esudado no capíulo anerior. Os valores numéricos empregados são P H h1 L θ w u h2 Figura 4.2. Pórico de Williams.

11 Análise de Sensibilidade 74 L = , H = 0.386, e P = 1. A seção ransversal do pórico é reangular de dimensões b = e h 1 = h 2 = e o módulo de elasicidade é 1.03 x As variáveis de projeo são as aluras das barras (h). TABELA 4.4 Pórico de Williams deslocamenos e sensibilidades para h 1 n º de dw/dh λ W 1 elemenos MAA MDF x x x x x x O deslocameno verical (w) do pono de aplicação da carga e a sua sensibilidade calculada pelos MAA e MDF, para diversos faores de carga, são apresenados na abela 4.4. A carga críica e a sua sensibilidade calculada pelos MAA e MDF são mosradas na abela 4.5. TABELA 4.5 Pórico de Williams cargas críicas e sensibilidades d λ /dh 1 n º de elemenos λ cr MAA MDF cr