3 Análise Não-Linear Geométrica

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1 3 Análise Não-inear Geomérica 3.1 Comenários Iniciais Ese capíulo começa com uma breve discussão sobre o comporameno não linear, o objeivo da análise não linear, e o seu lugar na engenharia esruural. As fones de não linearidade mais imporanes no projeo de póricos são lisadas e a formulação do problema será definida, onde são apresenados os referenciais agrangianos. Esraégias para a solução numérica de equações não lineares são mosradas, bem como as esraégias de incremeno de carga, as esraégias de ieração e os criérios de convergência. O capíulo ermina mosrando soluções clássicas exisenes de alguns problemas elemenares. 3. Comporameno Não-inear, Análise e Projeo O objeivo da análise esruural é deerminar o comporameno da esruura quando submeida a ações exernas, ou seja, ober ensões, deformações e deslocamenos. É imporane noar que, a cada passo do processo de oimização, é necessário se deerminar a resposa da esruura de forma a verificar se as resrições de projeo são aendidas. Conseqüenemene, o processo de análise deve ser o mais eficiene possível. A maioria das esruuras de engenharia exibem um comporameno linear elásico sob cargas de serviços. Exisem exceções como arcos e edifícios alos, e esruuras sujeias a um escoameno localizado premauro ou fissuração, por exemplo, que apresenam um comporameno não-linear. Anes de alcançar o seu limie de resisência, quase odas essas esruuras vão apresenar uma resposa não-linear significane. Na análise não-linear ena-se melhorar a simulação do comporameno de uma esruura em alguns aspecos. O objeivo fundamenal é se ober para fins de projeo uma previsão segura do comporameno do sisema. Como conseqüência,

2 Análise Não-inear Geomérica 35 em-se um aumeno da complexidade do problema e conseqüene aumeno do cuso compuacional Fones de Não-inearidade O comporameno não-linear de uma esruura, sob ação de um carregameno qualquer, pode ser classificado de acordo com seus efeios. Denre as várias fones de não linearidade, desacam-se: Não-linearidade Física. Decorre do fao do maerial não apresenar uma relação ensão-deformação linear (não segue a lei de Hooke), iso é, o comporameno do maerial não é elásico linear. Os efeios não lineares são descrios por formas mais complexas de equações consiuivas (marizes consiuivas não-lineares e/ou equações consiuivas em ermos de axas ou incremenos ). Pode-se er ambém não linearidade física nas relações momeno-roação de conexões semirígidas ou flexíveis, ou de róulas inelásicas oriundas de mecanismos de colapso localizados (flambagem, plasificação ou fissuração localizadas em componenes esruurais). Não-inearidade Geomérica. Uma esruura pode er um comporameno nãolinear, ainda que consiuída de um maerial que obedeça à lei de Hooke. Para valores relaivamene grandes de deslocamenos, a deflexão laeral de um membro pode razer como conseqüência, o aparecimeno de momenos fleores adicionais (denominadas de segunda ordem), em virude da presença de um esforço normal. A esse ipo de comporameno não-linear, dá-se o nome de não-linearidade geomérica. Nese caso os efeios não lineares esão associados às equações de equilíbrio, que consideram a configuração deformada, e as relações deformaçãodeslocameno. No presene rabalho será considerada somene a não-linearidade geomérica.

3 Análise Não-inear Geomérica Formulação para a Análise Não-inear Geomérica de Esruuras Reiculadas A formulação para a análise não-linear geomérica de esruuras em seus fundamenos eóricos na eria da elasicidade não-linear, que faz pare da mecânica dos sólidos. A não-linearidade geomérica aparece, na eoria da elasicidade ano nas equações de equilíbrio, que são escrias uilizando-se as configurações deformadas do corpo, quano nas relações deformaçãodeslocameno, que incluem ermos não lineares nos deslocamenos e suas derivadas Descrição do Problema Nese rabalho, um procedimeno incremenal-ieraivo será uilizado para raçar o caminho de equilíbrio da esruura ao longo do empo. O problema fundamenal é ilusrado na figura 3.1 onde se examina a resposa de um membro ípico de pórico (figura 3.1a), o ramo ab da esruura. Sua configuração inicial, H V a b V H + (a) (b) y + y' p + b + + x' y' y' a a + p b b x' x' Configuração + Configuração a p Configuração (c) x Figura 3.1. Deformações do elemeno.

4 Análise Não-inear Geomérica 37 descarregada, indeformada (configuração ), pode ser definida em ermos do sisema de coordenadas global fixo, x, y, ou em ermos do sisema de coordenadas locais, x, y, no qual x corresponde ao eixo da barra, no senido a, b (figura 3.1c). Considerando-se que, após a aplicação gradual do carregameno o sisema muda da configuração para a configuração e que odas as variáveis do problema já enham sido deerminadas nesa úlima configuração, esando o sisema em equilíbrio. Pode-se agora omar como referência o elemeno ab na configuração ou no sisema de coordenadas globais ou no novo sisema local aualizado, x, y, com x deerminado pelos exremos do elemeno na nova configuração. O elemeno erá mudado a sua forma e dimensão nese processo, mas as equações de equilíbrio formuladas desa forma esão saisfeias e a posição de qualquer pono maerial, na posição inicial, p, pode ser mapeada na nova posição p. endo-se por base um esado de equilíbrio conhecido, em uma configuração, os procedimenos incremenais ieraivos procuram deerminar o próximo esado de equilíbrio, em uma nova configuração +. As equações incremenais de equilíbrio são obidas a parir de aproximações lineares para os incremenos de deslocamenos e deformações. Porano, o equilíbrio em + não é saisfeio exaamene e é necessário uilizar um procedimeno ieraivo em cada passo de carga. Eses procedimenos serão esudados poseriormene. A relação correa enre carga-deslocameno esá indicada na figura. 3.1b. Exisem duas formas de descrição do movimeno de um pono maerial, p, a descrição agrangiana e a Euleriana (McGuire, ). Para a análise de esruuras a formulação agrangiana é mais naural, sendo aqui empregada. Na formulação agrangiana usa-se as coordenadas de ponos maeriais referidas à esruura indeformada (configuração ) ou a uma esruura de referência emporária (configuração ). No referencial agrangiano oal (R), odas as variáveis esáicas e cinemáicas no empo + são referidas à configuração inicial (indeformada) da esruura, ou seja, o membro ab é referido a x, y. Por ouro lado, no referencial agrangiano Aualizado (RA), odas as variáveis esáicas e cinemáicas são referidas à úlima configuração de equilíbrio da esruura, ou seja, o membro ab é referido a x, y.

5 Análise Não-inear Geomérica 38 Comumene, as formulações R e RA êm sido usadas na análise incremenal não-linear de póricos. Quando desenvolvidas consisenemene, as duas formulações geram marizes de rigidez global e veor de forças idênicos. Ao longo dese rabalho, o RA será adoado por sua eficiência compuacional em resolver problemas do ipo viga (Bahe, 1996) Principio dos Deslocamenos Viruais O princípio dos deslocamenos viruais para corpos deformáveis é dado por δw in = δw, para o equilíbrio em +, nós emos ex V δ ε dv = R ij ij (3.1) onde ij é o ensor de ensões Piola-Kirchhoff II, ε ij é o ensor de deformações de Green-agrange e + R é o rabalho virual das forças exernas. Aqui, o sobrescrio + refere-se à configuração final e o subscrio à configuração de referência. As ensões + podem ser decomposas em ij = + = + (3.) + ij ij ij ij ij onde, ensões Piola-Kirchhoff II na configuração, são idênicas às ensões de ij Cauchy,, na mesma configuração, e é o incremeno das ensões de Piola- ij Kirchhoff II enre [, + ]. ij Para as deformações de Green-agrange e os incremenos de deslocameno expressos em ermos da configuração de referência, + ε = ε, em-se, ij ij ε = ij i, j j, i k, i k, j ( ) u u u u (3.3) Decompondo (3.3) em parcelas lineares e não-lineares, ε ij = e ij + η ij, emse

6 Análise Não-inear Geomérica 39 = 1 + ij i, j j, i ( ) 1 e u u e η = ( ) ij uk, i u k, j (3.4) Subsiuindo (3.) e (3.4) em (3.1), obém-se δ ε dv + δ e dv + δ η dv = R + ij ij ij ij ij ij V V V (3.5) A solução para a equação (3.5) não pode ser obida direamene, uma vez que ela é não-linear nos incremenos dos deslocamenos. Para casos onde o incremeno de deformação ε ij denro de cada passo da análise incremenal pode ser considerado pequeno, as seguines suposições podem ser feias (Yang & Kuo 1994) = C e e δ εij δ eij ij ijrs rs = (3.6) onde C ijrs é o ensor da relação incremenal de ensão-deformação. O resulado é a equação linearizada + C e δ e dv + δ e dv + δ η dv = R ijrs rs ij ij ij ij ij V V V (3.7) onde a segunda inegral do lado esquerdo é igual ao rabalho virual das forças exernas auando no elemeno na configuração de equilíbrio R ijδ eijdv V = (3.8) Enão (3.7) se orna C e δ e dv + δ η dv = R R (3.9) + ijrs rs ij ij ij V V Na lieraura, esa equação ou sua forma equivalene em ermos de energia são geralmene adoadas como base para o desenvolvimeno de equações de

7 Análise Não-inear Geomérica 4 elemenos finios para análise não-linear de elemenos do ipo barra (reliça, pórico), placas e sólidos. Com a discreização do campo de deslocamenos pelo méodo dos elemenos finios, os ermos da equação (3.9) podem ser represenados por produos de marizes e veores como se segue: e ijrs rs ij V { δ } [ ]{ } C e δ e dv = u ke u (3.1) V { u} k { u} ijδη ijdv = δ g (3.11) k é a mariz de rigidez elásica, k g é a mariz de rigidez geomérica, u são os incremenos de deslocameno gerados durane o inervalo [, + ]. onde [ ] e Assumindo que somene cargas concenradas nodais são aplicadas nos elemenos, em-se que: e { δ } { } R = u f (3.1) { δ } { } R = u f (3.13) + + onde { f } são as forças auando no elemeno em e { } no elemeno em +. + f são as forças auando Subsiuindo (3.1)-(3.13) em (3.9) e omando um campo de deslocameno arbirário { δ u}, em-se { } { } { + } k + e kg u + f = f (3.14) que represena o incremeno de forças no inervalo [, ] +. Uma inerpreação física de (3.14) pode ser dada como se segue : o incremeno de forças { + } { } f f será resisido não somene palas ações elásicas geradas por [ ] k, e

8 Análise Não-inear Geomérica 41 mas ambém pelas forças devidas à mudança da geomeria represenadas pela mariz k g Aplicação a Elemenos de Pórico Plano Em elemenos de pórico plano exisem dois componenes de ensões independenes associados com dois componenes de deformação. Sejam as ensões de Cauchy τ xx e τ xy e o veor de deformações incremenais de Green de ε xx e ε xy, onde as deformações são decomposas em parcelas lineares e nãolineares da seguine forma: ε = e + η e ε xy = exy + ηxy (3.15) xx xx xx Subsiuindo (3.15) em (3.9) em-se ( 4 ) ( ) + Ee xxδexx + Gexyδexy dv + τxxδηxx + τxyδηxy dv = R R (3.16) V V onde os faores 4 e, foram adicionados para se levar em cona a simeria das ensões cisalhanes e deformações, e o subscrio direio para V e o subscrio esquerdo para e ij, η ij, C ijrs foram omiidos para melhor visualização. em-se enão que odas as variáveis da equação esão referidas à configuração. As deformações em um pono arbirário da seção x podem ser relacionadas com os aos deslocamenos longiudinais e ransversais, u x e u y, por e xx 1 = ux, x e e ( ) xy = ux, y + uy, x (3.17) 1 η = + e η ( ) xy = ux, yux, x + uy, yuy, x (3.18) 1 ( ) xx ux, x uy, x Com base nas hipóeses de Euler-Bernouli, onde as seções ransversais inicialmene planas de uma viga permanecem planas e normais ao eixo da viga após a deformação, os deslocamenos u x e u y em um pono arbirário podem ser referenciados aos deslocamenos u e v do eixo da viga da seguine forma

9 Análise Não-inear Geomérica 4 ux = u yv e uy = v (3.19) onde ( ) denoa a diferenciação em relação a x. Subsiuindo (3.19) em (3.17), em-se os ermos lineares: exx = u yv e e xy = (3.) e os não-lineares 1 η ( ) xx = u + v + y v yuv 1 e η ( ) xy = uv + yvv (3.1) As forças inicias são obidas aravés de inegrações das ensões de Cauchy τ xx e τ xy, ou seja: P = τ xx da; Q τ xy A A = da; e M = τ xx yda (3.) A onde P são as forças axiais, Q o cisalhameno ransversal, M o momeno fleor e A é a área de seção ransversal da viga. Subsiuindo as equações (3.) - (3.) em (3.16), em-se 1 I EAu u EI v v dx P ( u v ) P ( v ) dx A z ( δ + δ ) + δ + + δ z + { } { } + Mδ( uv ) Qδ( uv ) dx= δu f f (3.3) O elemeno de viga-coluna adoado é o esquemaizado na figura 3.. raase de um segmeno reo, limiado pelos nós 1 e, que se deforma no plano de definição da esruura. As funções que relacionam os deslocamenos em um pono qualquer do elemeno com os deslocamenos nodais são u = { N }{ u} e v { }{ v} 1 = N (3.4) 3

10 Análise Não-inear Geomérica 43 y y',v M,θ z1 z1 F,u x1 1 F,v y1 1 1 β M,θ z z F,v y F,u x x',u x Figura 3.. Elemeno de pórico. onde N 1 e N 3 são funções de inerpolação lineares dadas por 1 1 x x N = (3.5) x x x x 3x x x x N3 = 1 + x (3.6) e os veores de deslocamenos { u } e { v } são definidos como = { } e v { v θ v θ } u u u 1 = (3.7) 1 1 O primeiro ermo de (3.3), de acordo com (3.1), represena a mariz de rigidez elásica. Fazendo uso de (3.4) ele pode ser escrio como 1 1 z 3 3 { δu} EA{ }{ } dx{ u} + { δv} EI { }{ } dx{ v} N N N N (3.8) Fazendo uso das funções de forma dadas em (3.5) e (3.6), inegrando e combinando-se os ermos, a mariz elásica fica da seguine forma

11 Análise Não-inear Geomérica 44 k e EA EA 1EI z 6EI z 1EI z 6EI z 3 3 4EI z 6EI z EI z = EA 1EI z 6EI z 3 4EI z Simérica (3.9) Os componenes do segundo ermo de (3.3), relacionados com a deformação longiudinal e a ineração enre a força axial e flexão, podem ser escrios da seguine maneira { δu} P{ N }{ N } dx{ u} + { δv} P{ N }{ N } dx{ v} I A z { δ v} P { N }{ N } dx{ v} (3.3) De acordo com a figura 3.3 e considerando a força cisalhane consane ao longo do elemeno, M e Q podem ser obidos por + M1+ M M = M + x e Q = - (3.31) M1 M 1 M M 1 P P Figura 3.3. Elemeno de pórico. O úlimo ermo de (3.3) represena as fones de ineração enre a flexão e a deformação longiudinal. Fazendo uso de (3.4) e (3.31) em-se

12 Análise Não-inear Geomérica 45 M + M { δ v} M + x { N }{ N } dx{ u} + + M + M { δ u} M x { N }{ N } dx{ v} M + M + N N 1 { δ v} { }{ } dx{ u} 3 1 M + M + N N 1 { δ u} { }{ } dx{ v} 1 3 (3.3) Fazendo uso das funções de forma dadas em (3.5) e (3.6), inegrando e combinando os ermos das equações (3.3) e (3.3), a mariz geomérica fica da seguine forma k g k k g 1 g = kg kg 3 (3.33) onde P M 1 6 P 1I z P P 6Iz P k g = A 1 A P 4I z P Simérica + 15 A (3.34) P M 6 P 1I z P P 6Iz P k g = A 1 A M1 P 6Iz P P 6Iz P 1 A 1 A (3.35)

13 Análise Não-inear Geomérica 46 P M 6 P 1I z P P Iz P k g = A 3 A P 4I z P Simérica + 15 A (3.36) Monagem das Equações da Esruura No referencial agrangiano Aualizado, a úlima configuração calculada é omada como referência para descrever o movimeno da esruura no passo incremenal de para +. Com base nesa formulação, foi desenvolvida a equação incremenal de equilíbrio, equação (3.14). Nos méodos uilizados nese rabalho a mariz k= k + e k g é chamada de mariz de rigidez angene. Uma vez que a equação incremenal de equilíbrio foi desenvolvida para cada elemeno, o próximo passo é ransformar essa relação para a esruura em esudo. Desa forma a equação (3.14) fica da seguine forma + K u = P- P (3.37) onde P é o veor das forças exernas e K é a mariz de rigidez da esruura, ou de maneira equivalene F=K u= P (3.38) onde P é o incremeno das forças exernas e F é o incremeno das forças inernas. O veor de forças inernas e os deslocamenos oais da esruura são obidos de maneira incremenal, ou seja, a cada passo de carga o acréscimo nas forças inernas e deslocamenos devem ser calculados. Para isso consideram-se válidas as seguines relações F = F+ F (3.39) + u = u+ u (3.4) +

14 Análise Não-inear Geomérica 47 O problema esruural não-linear a ser resolvido pode ser expresso da seguine forma: R = P- F = (3.41) onde R é o veor de forças residuais e o sobrescrio à esquerda represena a configuração considerada. Pode-se ainda expressar P da seguine forma P= P (3.4) + + λ ref onde λ é o parâmero de carga, P ref é o veor de forças nodais omado como referência. O veor de forças inernas é obido no sisema local e ransformado para o sisema global aravés de uma mariz de roação da seguine forma ne F= f (3.43) i= 1 com + f dado pela equação (3.14). Da mesma maneira, a mariz de rigidez global da esruura é obida a parir das marizes de rigidez do elemeno, (3.9) e (3.33), e ransformada para o sisema global aravés de uma mariz de roação da seguine forma. ne e g i= 1 K = k + k (3.44) 3.4 Esraégias de Solução para Problemas Não-ineares No esquema radicional do méodo de Newon-Raphson, o parâmero de carga λ é manido consane durane os ciclos ieraivos, funcionando bem na pare ascendene do caminho de equilíbrio (recho OA), figura 3.4, mas falha ao descrever esa curva após o primeiro pono limie (pona A), o que levaria a uma incorrea avaliação da capacidade pois o equilíbrio será aingido no pono C.

15 Análise Não-inear Geomérica 48 Para se raçar à curva carga-deslocameno complea (recho OABC), com possíveis passagens pelos ponos limies, é necessário que seja permiida a variação de λ a cada ieração. λ A C B O u Figura 3.4. Curva carga-deslocameno. Basicamene, as dificuldades para o raçado da curva complea se devem ao mau condicionameno da mariz de rigidez angene nos ponos limies, onde ela é singular,e o algorimo apresenará um erro de over-flow na faorização da mariz. Felizmene esse não é um problema muio sério, pois é praicamene impossível chegar precisamene em um pono críico Análise Incremenal-Ieraiva Considerando um insane +, que represena as diferenes eapas de aplicação do carregameno e as correspondenes configurações de equilíbrio da esruura, em-se que o veor de forças residuais ( R ), =,1,..., compuado + w w após a w-ésima ieração de Newon-Raphson é dado por: e R = λ P - F = (3.45) + ( w) + ( w) + ( w) ref F =F( F, u (3.46) + ( w) ( w ) ) A fim de se ober o próximo pono de equilíbrio (w+1), as esraégias incremenais para o raameno de efeios não-lineares consideram que em orno de uma configuração deformada + u, o problema é localmene linear. Desa forma é feia uma expansão em série de aylor da equação (3.45), sendo esa

16 Análise Não-inear Geomérica 49 aproximada por ermos lineares obidos a parir do runcameno dos ermos de ordem superior da série: R u + ( w) + ( w) + ( w+ 1) + ( w) ( w+ 1) ( w+ 1) R R + δu + δλ ( w) + ( w) R λ (3.47) onde + ( w) + ( w) R F = = ( w) ( w) u u K + ( )( w) (3.48) sendo ( ) K a mariz de rigidez angene, e R λ + ( w) + ( w) = P (3.49) Subsiuindo as equações (3.48) e (3.49) em (3.47) e reorganizando os ermos se obém a equação de equilíbrio K δu =P δλ + R (3.5) + ( )( w) ( w + 1) ( w + 1) + ( w) onde δλ e δu são as correções do parâmero de carga e dos deslocamenos nodais obidas durane o processo ieraivo. De (3.5) em-se que os deslocamenos nodais ieraivos (δu) podem ser decomposos em duas parcelas: δu = δu + δλ δu (3.51) ( w+ 1) ( w+ 1) ( w+ 1) ( w+ 1) g r onde: K δu = R (3.5) + ( )( w) ( w+ 1) + ( w) g K δ u = P (3.53) + ( )( w) ( w+ 1) r A correção do parâmero de carga, ( w 1) δλ +, única incógnia da equação (3.51), é deerminada seguindo uma das esraégias de ieração fornecidas a

17 Análise Não-inear Geomérica 5 seguir, onde será inroduzida uma equação de resrição que deve ser respeiada a cada ieração. Para se considerar esses méodos de ieração em-se inicialmene que se supor que, para w=, λ enha um valor prescrio dado pelo usuário ou calculado auomaicamene como será viso na seção Após a seleção de λ, deermina-se o incremeno inicial dos deslocamenos nodais u. As aproximações λ e u caracerizam a chamada solução incremenal predia. O primeiro passo para a obenção da solução incremenal inicial angene λ ( e u ) consise na monagem, usando informações da úlima configuração de equilíbrio da esruura, da mariz de rigidez angene K. Após a definição de K, resolve-se o sisema de equações: K u P (3.54) ( ) δ = para deerminar os deslocamenos nodais angene, δu. Com a definição de λ e δu em-se: u = λ δu (3.55) Nesse eságio o parâmero de carga e os deslocamenos nodais oais são aualizados, ou seja: + λ = λ+ λ (3.56) = + + u u u (3.57) onde λ e u caracerizam o pono de equilíbrio obido no úlimo passo de carga. A Figura 3.5 fornece um esquema de solução incremenal-ieraiva para sisemas com um grau de liberdade, onde os parâmeros de carga e o deslocameno são aualizados seguindo a resrição de comprimeno de arco cilíndrico (Crisfield, 1991).

18 Análise Não-inear Geomérica 51 λ solução predia δλ 1 λ λ 1 λ δλ l resrição δu 1 δu λ u u u 1 u u Figura 3.5. Solução incremenal-ieraiva: sisema com um grau de liberdade. Com a obenção da solução ieraiva u ( w+ 1) ( w+ 1) ( δλ eδ ), faz-se a aualização das variáveis incremenais do problema: ( w+ 1) ( w) ( w+ 1) λ = λ + δλ (3.58) = + δ ( w+ 1) ( w) ( w+ 1) u u u (3.59) Para o parâmero de carga e os deslocamenos nodais oais em-se que: λ = λ+ λ (3.6) + ( w+ 1) ( w+ 1) u = u+ u (3.61) + ( w+ 1) ( w+ 1) Os procedimenos descrios nessa seção são repeidos aé que um dado criério de convergência seja aendido (veja a seção 3.4.3).

19 Análise Não-inear Geomérica Esraégias de Ieração A deerminação do parâmero de carga ieraivo, δλ (w+1) é função de uma dada esraégia de ieração, ou equação de resrição imposa ao problema, que em a função de oimizar a convergência do processo ieraivo. A seguir são apresenadas duas esraégias basane eficienes que serão uilizadas nos capíulos seguines Carga Consane Essa esraégia de ieração caraceriza o méodo radicional de conrole de carga consane, no qual o parâmero de carga é manido consane durane o ciclo ieraivo. Para esse caso, em-se que a equação de resrição se reduz à expressão rivial: ( w 1) δλ + = w (3.6) Dessa forma a Equação (3.51) é reduzida aos deslocamenos fornecidos pelo méodo convencional de Newon-Raphson Comprimeno de Arco Cilíndrico Segundo Crisfield (1981), a cada ieração, a seguine equação de resrição deve ser saisfeia: u u = l (3.63) Subsiuindo (3.51) em (3.59) e o resulado desa operação em (3.63), chegase a uma equação quadráica em δλ, a saber: Aδλ + Bδλ + C= (3.64) onde, os coeficienes A, B e C êm a seguine forma:

20 Análise Não-inear Geomérica 53 ( w + 1) ( w + 1) = ur u r A δ δ ( w+ 1) ( ) ( 1) w w+ r ( g ) B = δu u + δu (3.65) C = ( u + δu ) ( u + δu ) l ( ) ( + 1) ( ) ( + 1) g g Com a resolução de (3.64), chega-se aos dois valores δλ 1 e δλ, de forma que se deve escolher enre as soluções: u = u + δu + δλ δu ( w) ( w+ 1) ( w+ 1) 1 g 1 r u = u + δu + δλ δu ( w) ( w+ 1) ( w+ 1) g r (3.66) aquela que mais se aproxima da solução incremenal da ieração anerior, u (w). Essa escolha deve prevenir um possível reorno, o que faria a solução regredir ao longo do caminho já calculado. Um procedimeno uilizado, consise em se achar o menor ângulo enre u (w+1) e u (w). Iso equivale a achar o máximo co-seno do ângulo: cosθ + ( δ g ) ( ) w ( w) ( w 1) ( w) ( w+ 1) ( w) ( w+ 1) u u + u δ r 1, = = + δλ 1, u u u u (3.67) l l l Como (3.64) é uma equação quadráica, ela poderá er raízes imaginárias se for menor que zero. Essa siuação pode exisir quando o incremeno ( B 4 AC) inicial do parâmero de carga for muio grande, ou se a esruura exibir múliplos caminhos de equilíbrio em orno de um pono Criérios de Convergência O processo ieraivo descrio ermina indicando uma nova posição de equilíbrio para a esruura em análise quando um dos dois, ou os dois criérios de convergência apresenados abaixo forem aendidos: (1) o primeiro criério de convergência é baseado em relações de forças e é calculado no início da ieração correne uilizando parâmeros da ieração anerior. Ele é definido como segue:

21 Análise Não-inear Geomérica 54 ( w) R ζ1 = ζ ( w) λ P (3.68) onde ( w) R é igual à norma euclidiana do veor das forças desequilibradas, que é calculada usando-se o parâmero de carga e os deslocamenos nodais oais da ieração anerior, ( w) λ P é a norma euclidiana do veor de incremeno de carregameno exerno e ζ é um faor de olerância fornecido pelo usuário do programa como dado de enrada. () o segundo criério de convergência obedece a relações de deslocamenos e é sempre verificado no final da ieração correne. Ele é definido por: δ u ζ = ζ ( w+ 1) u (3.69) onde δu é a norma euclidiana dos deslocamenos ieraivos (residuais), ( w+ 1) u é a norma Euclidiana dos deslocamenos incremenais, que são obidos após a correção do processo ieraivo, e ζ segue a mesma definição do criério anerior. (3) o erceiro criério de convergência consise em obedecer a ambas as relações (forças e deslocamenos) dadas em (3.68) e (3.69), assim ese criério é verificado se: ζ1 ζ e ζ ζ (3.7) onde ζ, ζ1 e ζ são definidos nos iens (1) e ().

22 Análise Não-inear Geomérica Incremeno Auomáico de Carga A obenção da solução incremenal inicial em como passo fundamenal a definição do parâmero de carga inicial λ. A seleção auomáica do amanho do incremeno desse parâmero é imporane, e deve refleir o grau de não-linearidade correne do sisema esruural em esudo. Em ouras palavras, uma esraégia eficiene de incremeno auomáico de carga deve saisfazer basicamene os seguines requisios: (i) produzir grandes incremenos quando a resposa da esruura for aproximadamene linear; (ii) gerar pequenos incremenos quando a resposa da esruura for foremene não-linear; (iii) ser capaz de escolher o sinal correo para o incremeno, inroduzindo medidas capazes de deecar quando os ponos limies são ulrapassados. A seguir são apresenadas algumas esraégias de incremeno de carga que saisfazem esses requerimenos Incremeno do Comprimeno de Arco Como proposo por Crisfield (1991), o incremeno do comprimeno de arco a ser adoado como parâmero de conrole no passo de carga correne pode ser definido como: 1/ Nd l = l N (3.71) onde l e l represenam os incremenos do comprimeno de arco no passos de carga anerior (valor conhecido) e no passo de carga correne (incógnia), respecivamene; N d é o numero de ierações desejadas para o processo ieraivo correne, especificado pelo usuário, e N é o numero de ierações que foram necessárias para convergir no passo de carga anerior. Aravés da Equação (3.71) e da condição de resrição escria para a solução incremenal inicial: u u (3.7) = l

23 Análise Não-inear Geomérica 56 chega-se facilmene, usando-se (3.55) e (3.7), à expressão do incremeno inicial do parâmero de carga: λ =± l δ u δu (3.73) O criério uilizado para escolher o sinal correo na expressão (3.73) é o sugerido por Yang e Kuo (1994), baseando-se no sinal do parâmero GSP, que será apresenado na seção seguine. No programa desenvolvido nesse rabalho, o usuário deve especificar dado de enrada, sendo ese valor usado em seguida para calcular λ 1 como u 1 aravés de (3.55). Subsiuindo-se u na Equação (3.7), chega-se a l 1. Para os passos de carga seguines, calcula-se auomaicamene l aravés de (3.71) Incremeno Baseado no Parâmero GSP Uma esraégia baseada na inrodução de um parâmero de rigidez generalizado foi adoada por Yang e Kuo (1994) para limiar o incremeno inicial do parâmero de carga. O méodo de solução é denominado de esraégia de conrole de deslocameno generalizado. Yang e Kuo (1994) propuseram a seguine equação para avaliar o parâmero de carga: δ δ λ = ± u u (3.74) u δ u 1 1 λ1 δ considerando-se o parâmero de rigidez generalizado (GSP) do sisema como se segue: GSP δ u δ u (3.75) u u 1 1 = δ δ Pode-se, porano, reescrever (3.74) da seguine forma:

24 Análise Não-inear Geomérica 57 λ =± λ 1 GSP (3.76) Observa-se que o sinal do incremeno inicial de carga pode ser posiivo ou negaivo. A escolha do sinal correo é de suma imporância na definição de seqüências de soluções (u, λ) que permiam um avanço conínuo na resposa carga-deslocameno. De acordo com Yang e Kuo (1994), o sinal do parâmero de rigidez correne depende exclusivamene dos veores δu (passo de carga anerior) e δ u (passo de carga correne), conforme (3.75). λ ê û - û û ê ê + + û = δur ê = δur ê û + + û ê u û - ê Figura 3.6. Variação do sinal do parâmero de rigidez generalizado (GSP). O GSP orna-se negaivo somene para o passo imediaamene após o pono limie, para os demais passos ese permanecerá sempre posiivo, o que pode ser viso na figura Deerminação dos Ponos Críicos Os ponos críicos são aqueles em que um caminho de equilíbrio ainge um valor exremo ou aqueles onde diferenes caminhos de equilíbrio se enconram. Na figura 3.7 podem ser observados rês ponos críicos (A,B e C), onde os ponos (B e C) são chamados de ponos limie e o pono (A) pono de bifurcação. No presene rabalho serão considerados somene ponos limie. Caso a esruura

25 Análise Não-inear Geomérica 58 apresene pono de bifurcação, uma pequena imperfeição será considerada para se eliminar a bifurcação. Maemaicamene, um pono de equilíbrio é um pono críico se a mariz de rigidez do modelo de elemenos finios for singular ( ) de K =. Além disso, sabe-se que o equilíbrio é esável quando odos os auovalores são posiivos o que leva a ( ) de K > e orna-se insável quando o menor auovalor se orna negaivo e, porano, K. ( ) de < λ A B D E C Figura 3.7. Ponos críicos de uma esruura. u Conforme viso na seção acima, as esraégias de incremeno auomáico de carga êm como objeivo gerar pequenos incremenos quando a resposa da esruura for foremene não-linear além de deecar ponos limies. A deerminação dos ponos críicos se faz de forma aproximada, aravés do sinal do GSP, que conrola os incremenos de carga, ou seja, a medida que o problema se aproxima de um pono limie, os incremeno de carga dados pela equação (3.76) se ornam muio pequenos, sendo omado como pono limie o valor imediaamene após a inversão de sinal do GSP. 3.6 Exemplos Nesa seção são apresenadas as soluções de alguns problemas esruurais enconrados freqüenemene na lieraura em função da acenuada não-linearidade da relação carga-deslocameno. Preende-se, assim, verificar a eficiência da formulação de elemenos finios não-linear aqui apresenada, bem como deerminar a melhor malha a ser uilizada no processo de oimização. As esruuras escolhidas apresenam grandes deslocamenos e ponos limie.

26 Análise Não-inear Geomérica 59 Dealhes adicionais e ouros problemas podem ser enconrados nas referências ao longo do exo Pórico de ee Nese exemplo é feia a análise do chamado Pórico de ee. Esa esruura é ineressane porque apresena insabilidade por pono limie depois de sofrer grandes deslocamenos e roações. É usada freqüenemene por pesquisadores para validar esraégias de solução não-linear (Galvão, ; Parene, ). A geomeria do pórico é mosrada na figura 3.8. Os valores numéricos empregados são = 1, H = 1, p = 4 e P = 1. A seção ransversal do pórico é reangular de dimensões b = 3 e h = e o módulo de elasicidade do maerial é 7. p P θ w u H A h b Figura 3.8. Pórico de ee. A esruura foi analisada uilizando-se 5 malhas disinas, sendo 3 delas ilusradas na figura 3.9. As malhas são formadas por elemenos de pórico. As malhas com e 1 elemenos, não mosradas na figura, são subdivisões dos modelos de 1 elemenos elem. 8 elem. 1 elem. Figura 3.9. Pórico de ee malhas uilizadas. Adoou-se a esraégia de ieração comprimeno de arco cilíndrico junamene com o méodo de Newon-Raphson, com incremeno auomáico do

27 Análise Não-inear Geomérica 6 comprimeno de arco conrolando o valor inicial do parâmero de carga, λ. No início do processo adoou-se: λ 1 =.1. Para conrolar a convergência foi 3 adoado ζ = 1. Foram efeuadas análises para modelos esruurais com: 6, 8, 1 e elemenos finios, mosradas na figura 3.1. A análise considerando um modelo com 1 elemenos foi feia para servir de referência e avaliar a precisão dos resulados analisados. 1 faor de carga -1 6 elemenos 8 elemenos 1 elemenos elemenos 1 elemenos deslocameno w Figura 3.1. Pórico de ee curvas de equilíbrio. 1 Figura Pórico de ee configuração deformada. Uilizando os resulados apresenados na figura 3.1, pode-se verificar que a esruura apresena dois ponos limie. Eses ponos, enconrados ao longo da curva, foram deecados aravés da mudança de sinal do parâmero GSP.

28 Análise Não-inear Geomérica 61 ABEA 3.1 Pórico de ee cargas críicas Elemenos da malha 1 1 erro (%) - erro (%) A configuração deformada correspondene a cada um dos dois ponos limie (1 e ) é ilusrada na figura Pode-se verificar que esses ponos ocorrem depois da esruura sofrer grandes deslocamenos e roações. O valor do faor de carga críica para as cinco malhas é mosrado na abela 3.1. Eses resulados mosram que o faor de carga em 1, obido para a malha com elemenos, é praicamene o mesmo que para a malha de 1. Porano, como o ineresse na oimização é o ramo ascendene, uilizando-se apenas elemenos ao longo das barras, o comporameno do pórico é modelado com a precisão desejada. Os valores obidos para 1 e concordam com os valores enconrados na lieraura: λ = e λ =.998 (Parene, ), respecivamene. c c 3.6. Pórico de Williams Nese exemplo é feia a análise não-linear do Pórico de Williams. Ese problema possui resulados analíicos e experimenais apresenados por (Williams,1964), sendo freqüenemene uilizados para validar modelos numéricos (Yang e Kuo, 1994). Esa esruura apresena um caminho de equilíbrio acenuadamene P H θ w u A h Figura 3.1. Pórico de Williams. b não linear com perda de esabilidade por pono limie. A geomeria do pórico é mosrada na figura 3.1. Os valores numéricos empregados são = 1.943, H =

29 Análise Não-inear Geomérica 6.386, e P = 1. A seção ransversal do pórico é reangular de dimensões b =.753 e h =.43 e o módulo de elasicidade é 1.3 x1 7. A esruura foi analisada uilizando 5 malhas disinas formadas por 6, 8, 1, e 1 elemenos, sendo a subdivisão feia de forma uniforme para cada barra. Adoou-se a esraégia de ieração com comprimeno de arco cilíndrico junamene com o méodo de Newon-Raphson Padrão, com incremeno auomáico do comprimeno de arco conrolando o valor inicial do parâmero de carga, λ. No início do processo adoou-se: 3 convergência foi adoado ζ = 1. λ 1 =.1. Para conrolar a Os resulados das análises para as malhas selecionadas são apresenados na figura A análise considerando um modelo com 1 elemenos foi feia para servir de referência e avaliar a precisão dos resulados obidos faor de carga elemenos 8 elemenos 1 elemenos elemenos 1 elemenos,,15,3,45,6,75 deslocameno w Figura Pórico de Williams curvas de equilíbrio. Analisando as curvas da figura 3.13, pode-se verificar que a esruura apresena dois ponos limie. Eses ponos foram deecados aravés da mudança de sinal do parâmero GSP. O valor do faor de carga críica para as cinco malhas é mosrado na abela 3.. Eses resulados mosram que o faor de carga em 1 obido para a malha com elemenos é praicamene o mesmo que o obido com a malha de 1. Porano,

30 Análise Não-inear Geomérica 63 ABEA 3. Pórico de Williams cargas críicas Elemenos 1 erro erro 1 da malha (%) (%) como o ineresse na oimização é apenas ramo ascendene, uilizando-se apenas elemenos ao longo das barras, o comporameno do pórico é modelado com a precisão desejada.