ANÁLISE DE ESTABILIDADE ESTÁTICA

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1 31 APÍTULO 5 ANÁLISE DE ESTABILIDADE ESTÁTIA Inrodução A análise de esabilidade represena um dos ponos mais complexos do projeo de uma aeronave, pois geralmene envolve uma série de equações algébricas difíceis de serem solucionadas e que em muias vezes só podem ser resolvidas com o auxílio compuacional. No presene livro apenas são raados os aspecos da esabilidade esáica, fundamenos e aplicações de esabilidade dinâmica de aeronaves podem ser enconrados com uma grande riqueza de dealhes na obra de Nelson [5.4]. Ese capíulo possui a finalidade principal de propiciar ao esudane a capacidade de enender e aplicar os conceios necessários para se garanir a esabilidade esáica de uma aeronave a uilizá-los no projeo de uma aeronave desinada a paricipar da compeição SAE- AeroDesign. Assim, são apresenados ópicos como a deerminação da posição do cenro de gravidade, criérios necessários para se garanir a esabilidade longiudinal esáica com a deerminação do pono neuro, da margem esáica e do ângulo de rimagem da aeronave e os criérios necessários para se garanir as esabilidades direcional e laeral da aeronave. Anes de se iniciar qualquer esudo sobre esabilidade, é muio imporane uma recordação dos eixos de coordenadas de uma aeronave e seus respecivos movimenos de roação ao redor desses eixos, definindo assim os graus de liberdade do avião. A Figura 5.1 mosra um avião com suas principais superfícies de conrole e o sisema de coordenadas com os respecivos possíveis movimenos. Figura 5.1 Eixos de coordenadas e superfícies de comando. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

2 311 Os movimenos de roação são realizados mediane a aplicação dos comandos de profundor, leme e ailerons. om a aeronave em movimeno, a auação de qualquer uma dessas superfícies de comando pode provocar uma condição de aé seis graus de liberdade, como comenado no apíulo 1 do presene livro. Nas próximas seções dese capíulo são apresenados em dealhes odo o equacionameno necessário para o esudo dos criérios de esabilidade esáica com a aplicação dos ópicos esudados em uma aeronave desinada a paricipar do AeroDesign. Os exemplos numéricos são conduzidos de forma que após cada seção apresenada uma aplicação seja realizada. Espera-se que ao final do esudo dese capíulo, o esudane eseja apo a deerminar e calcular os criérios necessários para se garanir a esabilidade esáica de uma aeronave desinada a paricipar do AeroDesign. 5. Definição de esabilidade Pode-se enender por esabilidade a endência de um objeo reornar a sua posição de equilíbrio após qualquer perurbação sofrida. Para o caso de um avião, a garania da esabilidade esá direamene relacionada ao conforo, conrolabilidade e segurança do vôo. Basicamene exisem dois ipos de esabilidade, a esáica e a dinâmica e como ciado, no presene livro apenas são apresenados os conceios fundamenais para se garanir a esabilidade esáica, pois normalmene cálculos dinâmicos de esabilidade envolvem uma álgebra complexa e são esudados em cursos de pós-graduação. Os conceios apresenados nese capíulo êm como objeivo principal a sua aplicação em aeronaves desinadas a paricipar da compeição AeroDesign e fornecem resposas confiáveis e muio úeis para se garanir o projeo de uma aeronave esável e conrolável. Embora no presene livro apenas sejam raados os conceios da esabilidade esáica, a seguir são apresenadas as definições básicas para os dois ipos de esabilidade ciados. Esabilidade esáica: é definida como a endência de um corpo volar a sua posição de equilíbrio após qualquer disúrbio sofrido, ou seja, se após uma perurbação sofrida exisirem forças e momenos que endem a razer o corpo de vola a sua posição inicial, ese é considerado esaicamene esável. Um exemplo da esabilidade esáica pode ser viso na Figura 5. apresenada a seguir. Figura 5. Esabilidade esáica. Na Figura 5. (a), pode-se perceber que após um disúrbio sofrido, a esfera em a endência naural de reornar a sua posição de equilíbrio, indicando claramene uma condição de esabilidade esáica, para a Figura 5. (b), noa-se que após qualquer disúrbio sofrido, a esfera possui a endência de se afasar cada vez mais de sua posição de equilíbrio, indicando assim uma condição de insabilidade esáica e para a Figura 5. (c), a esfera após qualquer disúrbio sofrido ainge uma nova posição de equilíbrio e ali permanece indicando um sisema esaicamene neuro. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

3 31 Para o caso de um avião, é fácil observar a parir dos comenários realizados que necessariamene ese deve possuir esabilidade esáica, garanindo que após qualquer disúrbio quer seja provocado pela ação dos comandos ou enão por uma rajada de veno, a aeronave possua a endência de reornar a sua posição de equilíbrio original. A esabilidade de uma aeronave pode ser maior ou menor dependendo da aplicação desejada para o projeo. Aviões muio esáveis demoram mais para responder a um comando aplicado pelo piloo e aviões menos esáveis respondem mais rápido a qualquer comando ou disúrbio ocorrido. Geralmene, maior esabilidade é enconrada em aviões cargueiros e menor esabilidade é enconrada em caças supersônicos, nos quais pelo próprio objeivo da missão devem possuir uma capacidade de manobra elevada e rápida. Esabilidade dinâmica: o criério para se ober uma esabilidade dinâmica esá direamene relacionado ao inervalo de empo decorrido após uma perurbação ocorrida a parir da posição de equilíbrio da aeronave. Para ilusrar essa siuação, considere um avião que devido a uma rajada de veno saiu de sua posição de equilíbrio com o seu nariz deslocado para cima. aso ese avião seja esaicamene esável, ele erá a endência de reornar para a sua posição inicial, porém ese reorno não ocorre de forma imediaa, aé que a posição de equilíbrio seja novamene obida, decorre cero inervalo de empo. Normalmene o reorno ocorre aravés de dois processos disinos de movimeno, o aperiódico ou o oscilaório. A Figura 5.3 mosra esses dois casos que garanem a esabilidade dinâmica de uma aeronave e a Figura 5.4 mosra um caso de esabilidade dinâmica com movimeno oscilaório de uma aeronave. Figura 5.3 Exemplos de esabilidade dinâmica. Figura 5.4 Esabilidade dinâmica de uma aeronave com movimeno oscilaório. Dessa forma, pode-se dizer que um corpo é dinamicamene esável quando após uma perurbação sofrida reornar a sua posição de equilíbrio após um deerminado inervalo de empo e lá permanecer. Ainda considerando o mesmo exemplo, caso após ocorrer a endência inicial da aeronave reornar a sua posição de equilíbrio devido a sua esabilidade esáica, o avião passe a oscilar com aumeno de ampliude, a sua posição de equilíbrio não será mais aingida, resulando em um caso de insabilidade dinâmica, como mosram as Figura 5.5 e 5.6. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

4 313 Figura 5.5 Exemplo de insabilidade dinâmica com movimeno oscilaório. Figura 5.6 Insabilidade dinâmica de uma aeronave com movimeno oscilaório. aso após ocorrer a endência inicial da aeronave reornar a sua posição de equilíbrio devido a sua esabilidade esáica, o avião passe a oscilar com a manuenção da ampliude inicial, a sua posição de equilíbrio não será mais aingida, resulando em um caso de insabilidade dinâmica neura, como mosram as Figura 5.7 e 5.8. Figura 5.7 Esabilidade dinâmica neura. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

5 314 Figura 5.8 Esabilidade dinâmica neura de uma aeronave. Pela análise realizada, é muio imporane observar que um avião pode ser esaicamene esável, porém dinamicamene insável, e assim, uma análise pura de esabilidade esáica não garane a esabilidade dinâmica da aeronave. Dessa forma, um avião esaicamene esável pode não ser dinamicamene esável, mas com cereza um avião dinamicamene esável será esaicamene esável. Uma redução da perurbação em função do empo indica que exise resisência ao movimeno do corpo e conseqüenemene energia esá sendo dissipada. Quando ocorrer dissipação de energia, o movimeno é caracerizado por um amorecimeno posiivo e quando mais energia for adicionada ao sisema (aumeno de ampliude), o amorecimeno é considerado negaivo. Paricularmene um pono muio imporane para o projeo de um avião é a definição do grau de esabilidade dinâmica, que geralmene é represenado pelo empo necessário para que o disúrbio sofrido seja compleamene amorecido. Para o propósio da compeição AeroDesign, uma análise bem feia dos criérios de esabilidade esáica garanem excelenes resulados operacionais para a aeronave. omo o esudo da esabilidade (esáica e dinâmica) envolve uma álgebra mais pesada, é aconselhável que as equipes inicianes na compeição esejam aenas apenas aos criérios de esabilidade esáica, deixando a pesquisa mais avançada de esabilidade dinâmica para as equipes que já possuem experiência no projeo. 5.3 Deerminação da posição do cenro de gravidade Para se iniciar os esudos de esabilidade, peso e balanceameno de uma aeronave é muio imporane a deerminação prévia da posição do cenro de gravidade da aeronave e o passeio do mesmo para condições de peso mínimo e máximo. Nesa seção do presene capíulo é apresenado um modelo analíico que permie realizar o cálculo da posição do G de um avião. O G de uma aeronave pode ser definido aravés do cálculo analíico das condições de balanceameno de momenos, ou seja, considere um pono imaginário no qual a soma dos momenos no nariz da aeronave (senido ani-horário negaivo) em relação ao G possuem a mesma inensidade da soma dos momenos de cauda (senido horário posiivo). Nessas condições, pode-se dizer que a aeronave esá em equilíbrio quando suspensa pelo G, ou seja, não exise nenhuma endência de roação em qualquer direção, quer seja nariz para cima ou nariz para baixo, e, porano, em uma siuação práica pode-se considerar que odo o peso da aeronave esá concenrado no cenro de gravidade. Normalmene a posição do G de uma aeronave é apresenada na lieraura aeronáuica com relação à porcenagem da corda e sua localização é obida com a aplicação da Equação (5.1) que relaciona os momenos gerados por cada componene da aeronave com o peso oal da mesma. W d x G (5.1) W apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

6 315 Para a aplicação da Equação (5.1), é necessário adoar uma linha de referência onde a parir desa é possível ober as disâncias caracerísicas da localização de cada componene da aeronave permiindo assim a deerminação dos momenos gerados por cada um desses componenes em relação a esa linha de referência. Uma vez enconrados os momenos individuais, realiza-se a somaória de odos esses momenos e enão divide-se o resulado obido pelo peso oal da aeronave. No presene livro, a linha de referência é adoada no nariz da aeronave como mosra a Figura 5.9. Figura 5.9 Deerminação da posição do cenro de gravidade de uma aeronave. É imporane ciar que a Figura 5.9 ilusra apenas alguns componenes mais imporanes da aeronave. Para de se ober um cálculo mais preciso da posição do G é ineressane que se uilize o maior número de componenes possíveis. Uma vez deerminada a posição do cenro de gravidade, ese pode ser represenado em função da corda na raiz da asa aplicando-se a Equação (5.) apresenada a seguir. ( xg x ) G% c 1% (5.) c A Equação (5.) relaciona a diferença enre as disancias da posição do G e do bordo de aaque da asa em relação a linha de referência com a corda na raiz da asa, resulando na posição do G em uma porcenagem da corda. A Figura 5.1 ilusra ese conceio. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

7 Fundamenos da Engenharia Aeronáuica - Aplicações ao Projeo SAE-AeroDesign 316 Figura posição do G em função de uma porcenagem da corda na raiz da asa. Para aeronaves convencionais que paricipam da compeição AeroDesign, normalmene com o G localizado enre % e 35% da corda é possível ober boas qualidades de esabilidade e conrole. A Figura 5.11 mosra a medição do G da aeronave da equipe Taperá do Insiuo Federal de Educação, iência e Tecnologia de São Paulo para a compeição de 9. Figura 5.11 Medição do G da aeronave da equipe Taperá. Exemplo 5.1 Deerminação da posição do cenro de gravidade. onsidere que uma aeronave desinada a paricipar do AeroDesign possui as caracerísicas de peso e disância de seus componenes em relação a uma linha de referência siuada no nariz da aeronave apresenada na abela a seguir. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

8 317 omponene Peso (N) Braço (m) Momeno (Nm) Moor, hélice 6,3765,118,649 Trem do nariz, 4,414,448,99 anque de combusível e servos Asa e fuselagem 14,715,5456 8,8 Trem principal,943,5657 1,664 Boom e leme 1,96 1,7893,117 Profundor,943 1,4765 4,1 Toal 33, ,649 om base nos dados da abela, deermine de forma aproximada a posição do cenro de gravidade desa aeronave em relação à linha de referência e ambém como porcenagem da corda. onsidere c,37m. Solução: A posição do cenro de gravidade para a aeronave vazia pode ser calculada com a aplicação da Equação (5.1) apresenada a seguir. x G W d W A parir dos dados fornecidos na abela, em-se que: x G xg 17,649 33,3535,59 m apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

9 318 om relação a corda média aerodinâmica, a Equação (5.) pode ser aplicada, e de acordo com a figura mosrada a seguir é possível verificar posição do bordo de aaque da asa em relação a linha de referência. Porano, em-se que: ( xg x ) G% c 1% c (,537,37318) G % c 1%,45 G % c 35% da cma 5.4 Momenos em uma aeronave Para se avaliar as qualidades de esabilidade de uma aeronave, o pono fundamenal é a análise dos momenos auanes ao redor do G. omo forma de ilusrar esa siuação, a Figura 5.1 mosra a visa laeral de uma aeronave e as principais forças uilizadas para a deerminação dos criérios de esabilidade longiudinal esáica. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

10 319 Figura 5.1 Forças e momenos auanes em uma aeronave durane o vôo. Aravés da Figura 5.1 é possível calcular o momeno resulane ao redor do G da aeronave da seguine forma: m + G T d1 + L d + D d3 L d 4 mac (5.3) É imporane observar na Equação (5.3) que conforme ciado no apíulo, momenos no senido horário são considerados negaivos e momenos no senido ani-horário são considerados posiivos. Nesa equação esão presenes os momenos provocados pelas forças de susenação e arraso da asa, pela força de susenação da superfície horizonal da empenagem, pela ração do moor e pelo momeno ao redor do cenro aerodinâmico do perfil, a força de arraso da empenagem foi negligenciada, pois sua conribuição geralmene é muio pequena devido ao seu baixo valor e ao seu pequeno braço de momeno e o peso da aeronave aua direamene sobre o G e, porano, não provoca momeno na aeronave. Normalmene nos cálculos de esabilidade uilizam-se equações fundamenadas em coeficienes adimensionais, e assim, é conveniene se rabalhar com o coeficiene de momeno ao redor do G, e ese pode ser obido com a aplicação da Equação (5.4). mg mg q S c (5.4) onde, q represena a pressão dinâmica, S é a área da asa e c a corda média aerodinâmica. É imporane ressalar que uma aeronave somene esá em equilíbrio quando o momeno ao redor do G for igual a zero, porano, como será apresenado a seguir, um avião somene esará rimado quando o coeficiene de momeno ao redor do G for nulo, assim: m (5.5) G mg apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

11 3 5.5 Esabilidade longiudinal esáica Para que uma aeronave possua esabilidade longiudinal esáica é necessário a exisência de um momeno resaurador que possui a endência de razer a mesma novamene para sua posição de equilíbrio após qualquer perurbação sofrida. omo forma de se ilusrar ese criério, considere dois aviões e suas respecivas curvas caracerísicas do coeficiene de momeno ao redor do G em função do ângulo de aaque como mosra a Figura onsidere inicialmene que ambas aeronaves esão voando no ângulo de aaque de rimagem represenado pela posição B, ou seja, mg. Supondo-se que repeninamene essas aeronaves sejam deslocadas de sua posição de equilíbrio por uma rajada de veno que aumena o ângulo de aaque para a posição (nariz para cima), o avião 1 apresenará um momeno negaivo (senido ani-horário) que enderá a roacionar o nariz da aeronave para baixo, razendo a mesma novamene para sua posição de equilíbrio, já o avião apresenará um momeno posiivo que (senido horário) que enderá a roacionar o nariz da aeronave para cima afasando-a cada vez mais da sua posição de equilíbrio. Analogamene, se a perurbação provocada pela mesma rajada de veno reduzir o ângulo de aaque para a posição A (nariz para baixo), o avião 1 apresenará um momeno posiivo (senido horário) que enderá a roacionar o nariz da aeronave para cima, razendo-a de vola a sua posição de equilíbrio e o avião apresenará um momeno negaivo (senido ani-horário) endendo a roacionar o nariz da aeronave para baixo, afasando-a cada vez mais da sua posição de equilíbrio. Figura 5.13 oeficiene de momeno ao redor do G em função do ângulo de aaque. Dessa forma, pode-se concluir a parir da análise da Figura 5.13 e das considerações apresenadas que um dos criérios necessários para se garanir a esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave é relacionado ao coeficiene angular da curva do coeficiene de momeno ao redor do G em função do ângulo de aaque que obrigaoriamene deve ser negaivo, resulando, porano em uma curva decrescene, assim. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

12 31 d d m m < (5.6) A Figura 5.14 mosra o processo para a deerminação do coeficiene angular da curva m versus para se garanir a esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave. Figura 5.14 Deerminação do coeficiene angular da curva do coeficiene de momeno ao redor do G em função do ângulo de aaque. Pela análise da Figura 5.14, pode-se escrever que: d d m m m m1 1 < (5.7) O ouro criério imporane para a caracerização da esabilidade longiudinal esáica esá relacionado ao ângulo de rimagem, que necessariamene deve posiivo, pois assim a aeronave em esudo possuirá as qualidades esáveis do avião 1 represenado na Figura 5.13, e, porano, pode-se concluir que o coeficiene de momeno ao redor do G para uma condição de ângulo de aaque igual a zero m deve ser posiivo, dessa forma, uma condição de esabilidade longiudinal esáica somene será obida quando os seguines criérios forem respeiados. d d m m < (5.8) e m > (5.9) Na discussão apresenada, os requisios necessários para se ober a esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave são fundamenados na curva de momeno de arfagem do avião compleo, porém é imporane a realização de uma análise independene de cada componene da aeronave, pois assim é possível visualizar quais pares conribuem de maneira posiiva e quais conribuem de maneira negaiva para a esabilidade da aeronave. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

13 3 Geralmene os rês componenes que são analisados para a obenção dos criérios de esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave são a asa, a fuselagem e a superfície horizonal da empenagem onribuição da asa na esabilidade longiudinal esáica Para se avaliar a conribuição da asa na esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave é necessário o cálculo dos momenos gerados ao redor do G da aeronave devido às forças de susenação e arraso além de se considerar o momeno ao redor do cenro aerodinâmico da asa. A Figura 5.15 serve como referência para a realização dese cálculo e nese pono é imporane ciar que a mesma esá represenada em uma escala conveniene que permie visualizar as forças e os braços de momeno em relação ao G. Figura 5.15 onribuição da asa na esabilidade longiudinal esáica. Nesa figura é possível observar a presença do momeno caracerísico ao redor do cenro aerodinâmico M ac e as forças de susenação L e arraso D respecivamene perpendicular e paralela à direção do veno relaivo, dessa forma, os momenos auanes ao redor do cenro de gravidade são obidos do seguine modo: M G M ac + L cos ( hg hac ) + L sen Z G + D sen ( hg hac ) D cos Z (5.1) G omo forma de simplificar a análise, as seguines simplificações são válidas: cos 1 (5.11) sen (5.1) L >> D (5.13) Essas aproximações são válidas, pois geralmene o ângulo é muio pequeno e a força de susenação é bem maior que a força de arraso, e como para a maioria dos aviões a posição Z G do cenro de gravidade possui um braço de momeno muio pequeno, a Equação (5.1) pode ser reescria em sua forma simplificada desprezando-se a conribuição da força de arraso e do braço de momeno Z G do seguine modo: M G M + L 1 ( h h ) + L Z + D ( h h ) D 1 Z (5.14) ac G ac G G ac G apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

14 33 Que resula em: M G M + L h h ) (5.15) ac ( G ac A Equação (5.15) pode ser reescria na forma de coeficienes aravés da divisão de odos os ermos pela relação q S c, porano: q M G S c M ac q S c L ( h + q G h S c ac ) (5.16) Que resula em: hg hac + (5.17) MG Mac L c c A variação do coeficiene de susenação em função do ângulo de aaque da asa é calculada pela Equação (5.18) apresenada a seguir. L + a (5.18) L Onde L represena o coeficiene de susenação para ângulo de aaque nulo ( ) e a represena o coeficiene angular da curva L versus da asa. Subsiuindo a Equação (5.18) na Equação (5.17), em-se que: hg hac MG Mac + ( L + a ) (5.19) c c Aplicando-se as condições necessárias para se garanir a esabilidade longiudinal esáica é possível observar que o coeficiene de momeno para uma condição de ângulo de aaque é: hg hac + (5.) Mac L c c M por: E o coeficiene angular da curva de momenos gerados pela asa ao redor do G é dado d M d M h a c G h c ac (5.1) Analisando a Equação (5.1) é possível observar que para o coeficiene angular ser negaivo e, porano, conribuir posiivamene para a esabilidade longiudinal esáica da aeronave, é necessário que o cenro de gravidade eseja localizado a frene do cenro aerodinâmico, porém, geralmene, em aeronaves convencionais não é iso que ocorre e, porano, a asa isolada se caraceriza por um componene desesabilizane na aeronave, e daí a imporância da presença da superfície horizonal da empenagem. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

15 34 O exemplo apresenado a seguir mosra a aplicação dos criérios de esabilidade longiudinal esáica para a asa de uma aeronave desinada a paricipar da compeição AeroDesign. Exemplo 5. onribuição da asa na esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave. onsidere que asa da aeronave represenada na figura a seguir uiliza o perfil Eppler 43 cujas curvas caracerísicas c l x e c m x esão represenadas nos gráficos mosrados. Deermine o coeficiene de momeno para, o coeficiene angular da curva c m x e race o gráfico do coeficiene de momeno em função do ângulo de aaque dessa asa. Realize comenários sobre os resulados obidos na análise. Dados: AR 6,7, e,98, c,37 m, h G,1587m, h ac,15m. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

16 35 Perfil Eppler 43 - cl x alfa - Re 38,5 Perfil Eppler 43 - cm x alfa - Re 38,3 oeficiene de susenação 1,5 1, Ângulo de aaque coeficiene de momeno,, , 1 -, -,3 Ângulo de aaque a a Solução: O coeficiene angular da curva c l x do perfil é dado por: dcl cl cl1 d dcl 1,73 1,5 d a,766 /grau Para a asa finia em-se que: a a 1 + (57,3 a / π e AR),766 a 1 + (57,3,766 / π,98 6,7) a,631grau -1 Assim, o valor de L da asa finia pode ser obido considerando um ângulo de aaque para susenação nula de aproximadamene -1 para o perfil Eppler 43, da seguine forma: L L a ( L,631 ( ( 1)) ) apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

17 36 L,631 O valor do coeficiene de momeno ao redor do cenro aerodinâmico para e obido direamene da leiura do gráfico c m x e corresponde a -,4. Pela aplicação da Equação (5.) obém-se o valor de M do seguine modo: + M Mac L h c G h c ac M,1587,15,4 +,631,37,37 M,178 E o coeficiene angular da curva de momenos gerados pela asa ao redor do G é obido com a aplicação da Equação (5.1) da seguine forma: d M d M h a c G h c ac d M d d M d M M,1587,15,631,37,37,617 /grau Porano, a equação que define a variação do coeficiene de momeno em função do ângulo de aaque é: mg + m m mg,178 +, 617 apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

18 37 A abela de ponos e o gráfico resulane da análise são mosrados a seguir: (graus) mg -, , , , , , , , , , ,1163 onribuição da asa na esabilidade longiudinal esáica,,15 oeficiene de momeno,1,5 -,5 -,1 -,15 -, ângulo de aaque (graus) omo ciado aneriormene é possível observar que a asa isoladamene possui um efeio desesabilizane na aeronave, pois nenhum dos dois criérios necessários são aendidos, ou seja, o primeiro pono da curva é negaivo e o coeficiene angular é posiivo conribuindo de maneira negaiva para a esabilidade da aeronave. Dessa forma, se faz necessário a adição da superfície horizonal da empenagem para garanir a esabilidade da aeronave. Na próxima seção será apresenada e desenvolvida a formulação maemáica para se avaliar a conribuição da empenagem na esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

19 onribuição da superfície horizonal da empenagem na esabilidade longiudinal esáica De maneira análoga ao esudo realizado para a deerminação da conribuição da asa para a esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave, será apresenado nesa seção o modelo analíico para a deerminação da conribuição da superfície horizonal da empenagem nos criérios de esabilidade longiudinal esáica. Em uma siuação real é obvio que ano a asa quano a superfície horizonal da empenagem esão acopladas à fuselagem e ao avião como um odo, porém didaicamene orna-se mais simples a realização de uma análise isolada de cada componene e poseriormene uma análise complea da aeronave aravés da adição de cada uma das conribuições esudadas, assim, nesa seção apenas será abordado a conribuição isolada da superfície horizonal da empenagem e na seção do presene capíulo será abordado o criério para a obenção da esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave complea. Para aeronaves que paricipam da compeição AeroDesign, a configuração convencional com a empenagem localizada na cauda do avião se mosra muio mais eficiene que a configuração canard (dados hisóricos dos resulados de compeições já realizadas), dessa forma, apenas será raado no escopo dese livro a configuração convencional, ou seja, com a empenagem localizada na cauda da aeronave arás da asa e do cenro de gravidade da aeronave. omo a superfície horizonal da empenagem esá monada na aeronave em uma posição arás da asa, é imporane se observar alguns criérios imporanes para se garanir o conrole da aeronave, pois nessa condição de monagem, a empenagem esá sujeia a dois principais efeios de inerferência que afeam direamene a aerodinâmica da mesma. Esses efeios são: a) Devido ao escoameno induzido na asa, o veno relaivo que aua na superfície horizonal da empenagem não possui a mesma direção do veno relaivo que aua na asa. b) Devido ao ario de superfície e ao arraso de pressão auanes sobre a asa, o escoameno que ainge a empenagem possui uma velocidade menor que o escoameno que aua sobre a asa e, porano, a pressão dinâmica na empenagem é menor que a pressão dinâmica auane na asa. Uma forma de se minimizar esses efeios é posicionar a empenagem fora da região da eseira de vórices da asa, isso pode ser feio aravés de um ensaio simples e qualiaivo em um únel de veno com um modelo em escala da aeronave em projeo. Geralmene com a empenagem localizada em um ângulo compreendido enre 7 e 1 acima do bordo de fuga da asa praicamene não exise influência da eseira de vórices sobre a empenagem para uma condição de vôo reo e nivelado. Nese pono é imporane ciar que mesmo com esse posicionameno da empenagem, em uma condição de elevado ângulo de aaque a eseira de vórices gerada pela asa aingirá a empenagem em uma condição de escoameno urbuleno pois a aeronave geralmene esá em uma condição próxima do esol. A Figura 5.16 mosra um ensaio qualiaivo realizado em únel de veno com um modelo em escala e pode-se observar que em uma condição de vôo reo e nivelado a eseira de vórices passa abaixo da empenagem permiindo um escoameno livre nas superfícies de comando conribuindo de maneira significaiva para a conrolabilidade e esabilidade da aeronave minimizando os efeios de inerferência ciados no inicio dessa seção. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

20 Fundamenos da Engenharia Aeronáuica - Aplicações ao Projeo SAE-AeroDesign 39 Figura 5.16 Influência da eseira de vórices na empenagem em uma condição de vôo reo e nivelado ensaio qualiaivo realizado em únel de veno com um modelo em escala 1:3 da aeronave real. Já para uma condição de elevado ângulo de aaque, é possível observar na Figura 5.17 que a eseira urbulena inerfere sobre a empenagem reduzindo a conrolabilidade e a esabilidade da aeronave. Figura 5.17 Influência da eseira de vórices na empenagem em uma condição de vôo com elevado ângulo de aaque ensaio qualiaivo realizado em únel de veno com um modelo em escala 1:3 da aeronave real. Em função das considerações apresenadas, a conribuição da superfície horizonal da empenagem deve ser calculada de maneira precisa para se garanir o correo balanceameno da aeronave durane o vôo, o cálculo pode ser realizado aravés da deerminação dos momenos gerados ao redor do cenro de gravidade da aeronave e um modelo maemáico apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

21 33 para esa análise pode ser obido a parir do diagrama de corpo livre da aeronave mosrado na Figura Figura 5.18 onribuição da empenagem horizonal na esabilidade longiudinal esáica. Aravés do esudo dealhado da Figura 5.18, é possível observar que a soma dos momenos da superfície horizonal da empenagem em relação ao G da aeronave pode ser escrio maemaicamene da seguine forma: M + z G M D ac cos l [ L cos( b ε ) + D sen( b ε )] z L sen( b ε ) ( ε ) b (5.) Pela análise da Equação (5.) é possível verificar que o ermo l L cos( b ε ) é o que possui a maior inensidade e, porano, represena o elemeno predominane nesa equação e assim, algumas hipóeses simplificadoras podem ser realizadas para faciliar a solução desa equação. As hipóeses de simplificação são as seguines: a) O braço de momeno z é muio menor que o braço de momeno L, porano z pode ser considerado praicamene nulo durane a realização do cálculo. b) A força de arraso D da superfície horizonal da empenagem é muio menor que a força de susenação L, porano ambém pode ser considerada nula durane a realização do cálculo. c) O ângulo ( b ε ) geralmene é muio pequeno, porano são válidas as seguines aproximações: sen ( b ε ) e cos( b ε ) 1. d) O momeno ao redor do cenro aerodinâmico do perfil da empenagem M ac geralmene em um valor muio pequeno e ambém pode ser considerado nulo durane a realização do cálculo. A parir das considerações apresenadas, a Equação (5.) pode ser reescria da seguine forma: [ L 1 + D ] z L + z D 1 M l (5.a) G M G l L + z D (5.b) omo D <<< L e z <<< l o primeiro ermo do lado direio da Equação (5.b) é predominane, e assim pode-se escrever que: apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

22 331 M G l L (5.3) Assim, percebe-se que a conribuição da superfície horizonal da empenagem com relação ao momeno de equilíbrio ao redor do G da aeronave é uma função simplificada dependene apenas do comprimeno l e da força de susenação L gerada na empenagem horizonal. Na forma de coeficienes adimensionais, a Equação (5.3) pode ser reescria em função do coeficiene de momeno da superfície horizonal da empenagem ao redor do G da aeronave e do coeficiene de susenação L gerado na empenagem. O coeficiene de susenação na empenagem horizonal L é obido a parir da equação geral da força de susenação do seguine modo: L 1 ρ v S L (5.4) Na forma de coeficiene de susenação, a Equação (5.4) é reescria a seguir. L L q S (5.5) Nesa equação é imporane lembrar que q represena a pressão dinâmica auane 1 dada pela relação q ρ v. Subsiuindo a Equação (5.4) na Equação (5.3), em-se que: M G 1 ρ S L (5.6) l v S L l q Adimensionalizando-se o momeno ao redor do G aravés das condições de escoameno na asa, em-se que: q M G S c l q q S S c L (5.7) Que resula em: l S MG L η (5.8) S c Na Equação (5.8) é imporane noar a presença da variável η chamada de eficiência de cauda que é oriunda da relação enre a pressão dinâmica da asa e a pressão dinâmica auane na superfície da empenagem, que como foi comenado no inicio dessa seção represena o efeio provocado pela condição de inerferência da eseira de vórices da asa sobre a empenagem onde a pressão dinâmica auane na empenagem é menor que a pressão apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

23 33 dinâmica da asa devido a redução de velocidade no escoameno que ainge a empenagem. Segundo Nelson [5.4], geralmene a eficiência de cauda corresponde a um valor compreendido enre 8% e 95% dependendo da localização da empenagem em relação a asa, porano: 1 q ρ v η (5.9) 1 q ρ v Também é imporane observar que o ermo presene no lado direio da Equação (5.8), a relação l S represena um volume caracerísico da dimensão e da posição da cauda e o ermo c S represena um volume caracerísico da dimensão da asa. A razão enre esses dois volumes represena o conceio de volume de cauda horizonal esudado para o dimensionameno aerodinâmico da empenagem no capíulo, porano: V H l S (5.3) S c Desse modo, a Equação (5.8) pode ser reescria da seguine forma: V η (5.31) MG H L Porano, percebe-se que a conribuição da superfície horizonal da empenagem com relação ao G da aeronave para se garanir a esabilidade longiudinal esáica depende direamene do volume de cauda adoado e do coeficiene de susenação gerado no esabilizador horizonal. omo os criérios de esabilidade são calculados e represenados em um gráfico do coeficiene de momeno ao redor do G em função do ângulo de aaque, é conveniene que a Equação (5.31) seja expressa em ermos do ângulo de aaque, pois assim se orna mais simples para se realizar uma análise de esabilidade em diferenes ângulos de aaque da aeronave e facilia a obenção do coeficiene angular da curva permiindo um raçado rápido do gráfico MG x. Para se quanificar a Equação (5.31) em função do ângulo de aaque, é essencial o esudo da Figura 5.18, na qual pode-se observar que: i ε + i (5.3) O coeficiene de susenação do esabilizador horizonal pode ser escrio de acordo com a eoria esudada no capíulo de aerodinâmica da seguine forma: L d L L a (5.33) d ( i i ) a ε + (5.33a) i apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

24 333 Por quesões de nomenclaura, o coeficiene angular a será represenado na simbologia das equações subseqüenes por L, porano: a (5.34) L O ângulo provocado pelo escoameno induzido ε é muio complicado de ser deerminado analiicamene e normalmene é deerminado em experimenos, segundo Anderson [5.1], uma expressão que permie a deerminação de ε pode ser escria do seguine modo: dε ε ε + (5.35) d O ângulo de aaque induzido ε e seu correspondene ε para uma condição de ângulo de aaque zero pode ser calculado a parir da eoria da asa finia para uma disribuição elípica de susenação pela aplicação das Equações (5.36) e (5.37): 57,3 ε π AR L (5.36) ε 57,3 π AR L (5.37) A relação de mudança do ângulo de aaque induzido em função do ângulo de aaque d ε é deerminada a parir da derivada da Equação (5.36), porano: d d dε 57,3 d π AR L d 57,3 π AR L (5.38) que: Assim, subsiuindo-se as Equações (5.34), (5.35) e (5.38) na Equação (5.33a) em-se L dε i + ii ε + (5.39) d L L dε L L i + L ii L ε L (5.39a) d Que resula em: dε L L 1 L ( i ii + ε ) (5.39b) d apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

25 334 Subsiuindo a Equação (5.39b) na equação (5.31) em-se: dε MG VH η L 1 L ( i ii + ε ) (5.4) d Aplicando-se a propriedade disribuiva, a Equação (5.4) pode ser reescria do seguine modo: dε MG VH η L 1 + VH η L ( i ii + ε ) (5.4a) d A Equação (5.4a) pode ser expressa em ermos de uma equação linear que permie a deerminação do coeficiene de momeno ao redor do G da aeronave em função do ângulo de aaque do seguine modo: + MG M M (5.41) omparando-se a Equação (5.4a) com a Equação (5.41), é possível observar que: e ( i i ) η + (5.4) M VH L i ε dε M VH η L 1 (5.43) d A adição da empenagem na aeronave conribui significaivamene para a obenção de um coeficiene de momeno M resulane da aeronave posiivo, esa condição pode ser obida aravés do ajuse do ângulo de incidência do esabilizador horizonal i. Para o caso de uma asa que possui arqueameno posiivo em seu perfil aerodinâmico, a conribuição do M é negaiva como foi apresenado no Exemplo 5., e, assim, é muio imporane observar que quando o esabilizador é monado com um ângulo negaivo em relação a linha de referência da fuselagem, ese conribui de maneira posiiva para a obenção de um M posiivo para a aeronave e um M negaivo o que garane a esabilidade longiudinal esáica. Dessa forma, percebe-se que a conribuição do esabilizador horizonal para se ober uma condição de esabilidade longiudinal esáica pode ser conrolada pela correa seleção do volume de cauda V H e do coeficiene angular L. O coeficiene angular da curva de momeno será cada vez mais negaivo se forem aumenados os valores do braço de momeno l, da área do esabilizador horizonal S e do coeficiene angular L da curva L x do esabilizador horizonal, porano, o projeisa pode ajusar qualquer um desses faores como forma de se aingir a condição de esabilidade desejada. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

26 335 Exemplo 5.3 onribuição da superfície horizonal da empenagem na esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave. Para a aeronave do Exemplo 5., considere a adição do esabilizador horizonal, deermine a equação de conribuição para esabilidade longiudinal esáica e race o gráfico mosrando a influência que o esabilizador horizonal possui em relação a sua conribuição na curva do coeficiene de momeno ao redor do G da aeronave em função do ângulo de aaque. onsidere: S,9m², S,169m², i 5º, i º, η,95, V H,45, L,6, L,631 (Exemplo 5.) AR 6,7, A R 3,15 e a curva do coeficiene de susenação em função do ângulo de aaque do perfil Eppler 169 uilizado no esabilizador horizonal represenada na figura a seguir. Solução: O coeficiene angular da curva c l x do perfil Eppler 169 uilizado no esabilizador horizonal é dado por: dcl cl cl1 a d 1 a dcl,6, d 5 a,133 /grau orrigindo para as dimensões finias do esabilizador em-se que: a a 1 + (57,3 a / π e AR),133 a 1 + (57,3,133 / π 1 3,15) a,751grau -1 apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

27 336 a L,751 grau -1 A equação para a esabilidade longiudinal esáica devido a conribuição do esabilizador horizonal pode ser deerminada a parir do cálculo das Equações (5.4) e (5.43) que definem os valores de M e M. om a aplicação da Equação (5.4) em-se que: ( i i ) η + M VH L i ε O valor de ε é calculado pela Equação (5.37) da seguine forma: ε ε 57,3 π AR L 57,3,6 π 6,7 ε 3,37º Porano: M ( 5º º 3,37º ),45,95,751 + M,68 om a aplicação da Equação (5.43) em-se que: dε VH η L d M 1 com o valor de dε deerminado pela aplicação da Equação (5.38) d d dε 57,3 d π AR L dε 57,3,631 d π 6,7 d 57,3 π AR L apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

28 337 dε,343 d Porano: M M,45,95,751,11 ( 1,343) Assim, a equação de esabilidade longiudinal esáica do esabilizador horizonal pode ser escria da seguine forma: MG + M M MG,68, 11 A abela de ponos e o gráfico resulane da análise são mosrados a seguir: mg (graus),68 1,469,58 3,47 4,1836 5,165 6,1414 7,13 8,99 9,781 1,57 apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

29 338 onribuição do esabilizador horizonal na esabilidade longiudinal esáica,3 oeficiene de momeno,,1 -, , Ângulo de aaque (graus) Aravés da análise realizada é possível verificar que o esabilizador horizonal possui conribuição posiiva para se garanir a esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave, pois nos resulados obidos em-se M, 68 e M, 11, ou seja, os dois criérios necessários são aingidos onribuição da fuselagem na esabilidade longiudinal esáica Aé o presene foram apresenadas as conribuições isoladas da asa e da empenagem nos criérios necessários para a obenção da esabilidade lobgiudinal esáica de uma aeronave, porém, além desses dois componenes, a fuselagem ambém possui sua influência na esabilidade de um avião. A função principal da fuselagem em uma aeronave que paricipa da compeição AeroDesign é possuir as mínimas dimensões exigidas pelo regulameno da compeição com a capacidade de armazenar a carga úil e os componenes elerônicos embarcados na aeronave. É muio imporane que se projee uma fuselagem para uma aeronave desinada a paricipar da compeição AeroDesign com as menores dimensões possíveis, pois desse modo é possível se reduzir o arraso parasia do avião e ambém o peso esruural. A parir da eoria aerodinâmica, o melhor modelo para uma fuselagem é aquele no qual o comprimeno é maior que a largura ou alura. Munk, realizou esudos considerando um escoameno de fluido ideal e a parir da equação da quanidade de movimeno e considerações de energia verificou que a variação do coeficiene de momeno em função do ângulo de aaque para corpos compridos com seção ransversal circular (modelos de fuselagem empregados na indúsria aeronáuica) é proporcional ao volume do corpo e à pressão dinâmica auane. Um esudo mais avançado foi realizado por Mulhopp, no qual o referido auor esendeu a análise realizada por Munk e avaliou a influência do escoameno induzido ao longo da fuselagem na presença da asa com diversos modelos de seção ransversal. Um apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

30 339 resumo das equações uilizadas e dos resulados obidos por Mulhopp são apresenados a seguir para a deerminação dos valores de M f e M f. Para a deerminação do coeficiene de momeno da fuselagem na condição de ângulo de aaque nulo pode-se uilizar a Equação (5.44) apresenada a seguir. M f ( k k ) l 1 f f ( + i f )dx S c (5.44) 36,5 A qual pode ser aproximada pela somaória apresenada a seguir. M f ( k k ) 36,5 S 1 c x l f x f ( + i ) x (5.45) f Na Equação (5.45), a relação (k k 1 ) represena faores de correção que esão relacionados com a forma da fuselagem e dependem da razão enre o comprimeno l f e a máxima largura d máx da fuselagem, S é a área da asa, c a corda média aerodinâmica da asa, f a largura média da fuselagem em cada seção analisada, represena o ângulo para susenação nula da asa em relação à linha de referência da fuselagem, i f é o ângulo de incidência da fuselagem em relação à uma linha de referência no cenro de cada seção avaliada e x é o incremeno de comprimeno que define cada seção avaliada ao longo da fuselagem. Os valores para a relação (k k 1 ) são mosrados na Figura 5.19 apresenada na obra de Nelson [5.4]. Figura 5.19 Deerminação da relação (k k 1 ) em função da relação l d. Para a deerminação do coeficiene angular da curva de momenos ao redor do G em função do ângulo de aaque da fuselagem Mf, o méodo uilizado por Mulhopp sugere que: f máx Mf 1 l f u f dx S c ε 36,5 (5.46) A qual pode ser aproximada pela seguine somaória. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

31 34 1 ε u M f f x (5.47) 36,5 S c x l f x ε A relação u presene na Equação (5.47) represena a variação do ângulo do escoameno local em função do ângulo de aaque, essa relação varia ao longo da fuselagem e segundo Nelson [5.4], pode ser esimada de acordo com as curvas apresenadas na Figura 5.. Figura 5. Deerminação da relação ε u. A aplicação das Equações (5.45) e (5.47) são mais simples de serem compreendidas a parir da análise da Figura 5.1 que mosra como a fuselagem de uma aeronave pode ser dividida em vários segmenos para a avaliação de sua conribuição na esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave. Figura 5.1 Represenação dos segmenos da fuselagem para a deerminação de Mf e Mf. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

32 341 Na análise da Figura 5.1, para os segmenos de 1 aé 3 que anecedem a asa, a relação ε u é esimada pela Figura 5.a, para o segmeno 4 a relação ε u é esimada pela Figura 5.b, para a região localizada enre o bordo de aaque e o bordo de fuga da asa ε assume-se que não exise influência do escoameno gerado pela asa e porano u e para os segmenos de 5 aé 13 a relação ε u é esimada pela Equação (5.48) apresenada a seguir. ε u x l i h ε 1 (5.48) omo forma de compreender a aplicação das equações proposas nesa seção e deerminar os coeficienes Mf e Mf, a seguir é apresenado um exemplo de cálculo para uma aeronave desinada a paricipar da compeição AeroDesign Esabilidade longiudinal esáica da aeronave complea Nas seções aneriores, esudou-se a conribuição de cada elemeno da aeronave isoladamene (asa, esabilizador horizonal e fuselagem), porém para se avaliar os criérios de esabilidade longiudinal esáica deve-se realizar uma análise da aeronave como um odo. omo forma de se deerminar os criérios que garanem a esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave, é imporane que o esudane enha em mene a equação fundamenal do momeno de arfagem ao redor do G da aeronave reescria a seguir. MGa + (5.49) M a Ma a O subscrio a uilizado na Equação (5.49) represena uma análise realizada para a aeronave complea, nese pono enende-se por aeronave complea a junção da asa e da empenagem na fuselagem, e, dessa forma, o cálculo da conribuição oal para a esabilidade longiudinal esáica pode ser realizado a parir da soma das conribuições de cada elemeno isoladamene, assim, a Equação (5.49) pode ser desmembrada e o cálculo de Ma e Ma podem ser deerminados da seguine forma: e M a M + M f + M (5.5) M a M + Mf + (5.51) M Desse modo, uma vez conhecidos os valores de M e M para cada um dos componenes isolados da aeronave cujas equações esão apresenadas nas seções 5.5.1, 5.5. e do presene capíulo, orna-se imediao o cálculo e a deerminação da curva do coeficiene de momeno ao redor do G da aeronave em função do ângulo de aaque para a aeronave complea. O resumo das equações que permiem a deerminação da conribuição de cada um dos componenes de uma aeronave para a deerminação dos criérios de esabilidade longiudinal esáica esá apresenado a seguir: apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

33 34 a) Asa ( h h ) M Mac + L G ac (5.5) e M L ( h h ) (5.53) G ac Nas Equações (5.5) e (5.53) é imporane ciar que as variáveis hg e h ac foram uilizadas para simplificar a noação usada nas Equações (5.) e (5.1), porano, considere que: e b) Esabilizador horizonal h h G G c (5.54) hac hac (5.55) c ( i i ) η + (5.56) M VH L ε e dε M VH η L 1 (5.57) d c) Fuselagem M f ( k k ) 36,5 S c 1 x l f x f ( + i ) x (5.58) f e x l f x 1 ε u M f f x (5.59) 36,5 S c A parir da aplicação da Equação (5.49), é possível consruir o gráfico que mosra a variação do coeficiene de momeno para a aeronave complea em função do ângulo de apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

34 343 aaque, um modelo dese gráfico esá apresenado na Figura 5. e é similar ao gráfico da Figura Figura 5. Análise da esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave complea. A análise da Figura 5. permie comenar que o ângulo de aaque necessário para a rimagem da aeronave rim, represena o ângulo necessário para se maner a aeronave em condições de equilíbrio esáico ( M G ) quando livre de qualquer perurbação, quer seja exerna ou enão por movimenação de comando. A deerminação do ângulo de rimagem esá direamene envolvida com o conrole da aeronave e por ser algo de exrema imporância para o vôo esável de uma aeronave esse conceio será discuido em maiores dealhes na seção desinada ao conrole longiudinal da aeronave. A parir dos conceios apresenados, as equações compleas para o cálculo de Ma e Ma podem ser escrias do seguine modo: M a ( k k ) + 36,5 S Mac c 1 + x l f x L f ( h h ) + V η ( i i + ε ) G ( + i ) ac f H x L (5.6) e M x ( ) l dε 1 hg hac VH η L 1 + d 36,5 S c f ε u a L f x (5.61) x A seguir é apresenado um exemplo de cálculo para o raçado da curva do coeficiene de momeno ao redor do G da aeronave em função do ângulo de aaque além da deerminação do ângulo de rimagem da aeronave. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

35 Pono neuro e margem esáica Pono neuro: O pono neuro de uma aeronave pode ser definido como a localização mais poserior do G com a qual a superfície horizonal da empenagem ainda consegue exercer conrole sobre a aeronave e garanir a esabilidade longiudinal esáica, ou seja, represena a condição para a qual a aeronave possui esabilidade longiudinal esáica neura. om o G da aeronave localizado no pono neuro, o coeficiene angular da curva MG x é igual a zero, ou seja, M, e como viso nos criérios de esabilidade, uma aeronave somene possui esabilidade longiudinal esáica quando M <, porano, o pono neuro define a condição mais criica para a garania da esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave. O conceio do pono neuro pode ser uilizado como um processo alernaivo para se verificar a esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave, pois de acordo com a posição do G em relação à posição do pono neuro, o coeficiene angular da curva MG x pode ser negaivo, nulo ou posiivo como pode ser observado na Figura 5.3. Figura 5.3 Represenação do coeficiene angular para o pono neuro. Tano a medida da posição do G ( h G ) quano do pono neuro ( h PN ) são referenciadas como porcenagem da corda média aerodinâmica e medidas a parir do bordo de aaque da asa, dessa forma, a condição de coeficiene angular negaivo para a curva MG x somene será obido quando h G < hpn, ou seja, uma aeronave possuirá esabilidade longiudinal esáica enquano o cenro de gravidade esiver localizado anes da posição do pono neuro. As noações h G e h PN são uilizadas para indicar a posição em relação à corda média aerodinâmica, assim, considere a parir desse pono da análise que: e hg hg (5.6) c hpn hpn (5.63) c apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

36 apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica 345 A Figura 5.4 mosra as posições do G e do pono neuro de uma aeronave necessárias para se garanir a esabilidade longiudinal esáica. Figura 5.4 Localização do G e do pono neuro de uma aeronave. Maemaicamene a posição do pono neuro pode ser obida fazendo-se Ma na Equação (5.61), e assim, em-se que: ( ) + ε η d d V h h L H f M ac G L 1 (5.64) Nesa equação é possível observar que a posição do pono neuro depende da posição do cenro de gravidade e das caracerísicas aerodinâmicas da aeronave, dessa forma, considerando que o cenro de gravidade esá exaamene sobre o pono neuro PN G h h, a Equação (5.64) pode ser solucionada de acordo com a dedução apresenada a seguir. + ε η d d V h h L H f M L ac L G 1 (5.64a) omo PN G h h, em-se que: + ε η d d V h h L H f M L ac L PN 1 (5.64b) + ε η d d V h h L L H L f M L L ac PN 1 (5.64c) Que resula em: + ε η d d V h h L L H L f M ac PN 1 (5.64d)

37 346 Na equação (5.64d) é imporane ciar que não se realizou nenhum processo de correção no volume de cauda horizonal V H devido a movimenação do G. Esa movimenação provoca uma mudança imediaa no comprimeno de cauda l h, porém como esa diferença geralmene é muio pequena, o seu efeio pode ser desprezado no cálculo fornecendo ainda assim resulados confiáveis. A localização do pono neuro obida com a solução da Equação (5.64d) é chamada de pono neuro de manche fixo, essa nomenclaura é uilizada para aeronaves que possuem superfícies de comando que podem ser fixadas em qualquer ângulo de deflexão desejado, ou seja, quando o piloo realiza uma movimenação nos comandos da aeronave, a superfície de conrole acionada se desloca para a posição desejada e lá permanece aé que um novo comando seja aplicado. Ainda em relação à Equação (5.58d), o resulado obido será um valor que referencia a porcenagem da corda média aerodinâmica e é medido como ciado aneriormene a parir do bordo de aaque da asa além de represenar a posição mais raseira do G para o qual ainda é possível se garanir a esabilidade longiudinal esáica, porano, orna-se claro e inuiivo observar que enquano o G da aeronave esiver localizado anes do pono neuro a aeronave será longiudinalmene esaicamene esável e porano Ma <, quando o G coincidir com o pono neuro a aeronave possuirá esabilidade longiudinal esáica neura e porano Ma e quando o G esiver localizado após o pono neuro a aeronave possuirá insabilidade longiudinal esáica e porano Ma >. De acordo com a análise da Figura 5.3, é possível observar que quando o G coincidir com o pono neuro, o coeficiene de momeno MG em função do ângulo de aaque é consane, pois Ma, e, dessa forma, fazendo-se uma analogia com o cenro aerodinâmico de uma asa, que represena o pono sobre o perfil no qual o momeno é consane e independe do ângulo de aaque, o pono neuro pode ser considerado como o cenro aerodinâmico do avião compleo. As aeronaves são projeadas para uma posição fixa do G, quando o mesmo é deslocado para rás da posição de projeo, o coeficiene angular Ma orna-se cada vez mais posiivo e a aeronave orna-se menos esável, na posição específica em que Ma significa dizer que o G da aeronave aingiu o pono neuro e porano em-se uma condição de esabilidade longiudinal esáica neura. Margem esáica: represena um elemeno imporane para se definir o grau de esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave, a margem esáica ME represena a disância enre o pono neuro e o G da aeronave e pode ser deerminada analiicamene a parir da aplicação da Equação (5.65). ME h PN h G (5.65) A Figura 5.5 mosra a relação de margem esáica de uma aeronave. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

38 Fundamenos da Engenharia Aeronáuica - Aplicações ao Projeo SAE-AeroDesign 347 Figura 5.5 Represenação da margem esáica de uma aeronave. Pela análise da figura é possível observar que a margem esáica represena uma medida direa da esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave e como forma de se aender os criérios Ma > e Ma <, a margem esáica dever ser sempre posiiva, indicando que o G esá posicionado anes do pono neuro. Para aeronaves que paricipam da compeição AeroDesign uma margem esáica compreendida enre 1% e % raz bons resulados quano à esabilidade e manobrabilidade da aeronave. omo a margem esáica indica a caracerísica de esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave, pode-se concluir que quano menor for o seu valor menor será a disância enre o G e o pono neuro e consequenemene menor será a esabilidade esáica da aeronave. A Figura 5.6 mosra a influência da posição do G e por conseqüência da margem esáica com relação ao pono neuro e aos criérios necessários para a esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave. Figura 5.6 Influência do G e da margem esáica na esabilidade longiudinal esáica de uma aeronave. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

39 348 Pela análise da Figura 5.6 é possível observar que o aumeno da margem esáica proporciona um coeficiene angular Ma cada vez mais negaivo conribuindo para o aumeno da esabilidade esáica, pois nese pono é muio imporane comenar que o deslocameno excessivo do G para frene pode razer complicações de conrolabilidade e manobrabilidade da aeronave como será discuido na próxima seção do presene capíulo. Para exemplificar os conceios de pono neuro e margem esáica, é apresenado a seguir um exemplo de cálculo para a deerminação dessas duas quanidades para uma aeronave desinada a paricipar da compeição AeroDesign onceios fundamenais sobre o conrole longiudinal O conrole de uma aeronave pode ser realizado mediane a deflexão das superfícies susenadoras da mesma, a deflexão de qualquer uma das superfícies de conrole cria um incremeno na força de susenação que produz ao redor do G da aeronave um momeno que modifica a aiude de vôo. O conrole longiudinal ou conrole de arfagem é obido pela mudança da força de susenação originada no esabilizador horizonal da aeronave, para os aviões que paricipam da compeição AeroDesign, a superfície horizonal da empenagem pode ser compleamene móvel ou parcialmene móvel como mosram os modelos apresenadas na Figura 5.7. Figura 5.7 Modelos de superfícies horizonais da empenagem em aviões que paricipam da compeição AeroDesign. Tano em um caso como em ouro, a mudança do ângulo de aaque do profundor ou enão a deflexão da superfície móvel do esabilizador horizonal provoca um momeno ao redor do G da aeronave devido ao aumeno da força de susenação na superfície horizonal da empenagem. Os principais faores que afeam direamene a qualidade do conrole longiudinal esáico de uma aeronave são: a eficiência de conrole, os momenos de ariculação e o balanceameno aerodinâmico e de massa da aeronave. A eficiência de conrole represena a medida de quão eficiene é a deflexão do conrole para se ober o momeno necessário para se balancear a aeronave, os momenos de ariculação definem a inensidade da força necessária para a aplicação do comando, ou seja, em uma aeronave que paricipa do AeroDesign represenam um faor de exrema imporância para a correa seleção dos servo-comandos que serão uilizados, pois permiem definir a força angencial que movimenará a superfície de conrole, o balanceameno aerodinâmico e de massa da aeronave permie definir uma faixa de valores aceiáveis para não se exigir demasiadamene de forças para a deflexão dos comandos. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

40 349 omo pono inicial para a avaliação das condições necessárias para se garanir o conrole longiudinal esáico de uma aeronave em uma condição de vôo reo e nivelado considere a aeronave rimada em um deerminado ângulo de aaque rim como mosra a Figura 5.8. Figura 5.8 Ângulo de rimagem de uma aeronave. Pela análise da Figura 5.8, é inuiivo observar que o ângulo de aaque para rimagem rim mosrado corresponde a um deerminado coeficiene de susenação Lrim definido para a condição de vôo do insane mosrado, ou seja, a aeronave esá voando com uma deerminada velocidade em um ângulo de aaque fixo rim, e, pela equação fundamenal da força de susenação pode-se escrever que: W 1 L ρ vrim S Lrim (5.66) Resolvendo a Equação (5.66) para v rim, em-se que: v rim W ρ S Lrim (5.67) Assim, pela solução da Equação (5.67) é possível deerminar a velocidade na qual a aeronave se enconra rimada (balanceada ao redor do G) em um deerminado ângulo de aaque. Porém, como comenado, o ângulo de rimagem mosrado na Figura 5.7 define uma condição de balanceameno apenas para um deerminado Lrim e uma deerminada velocidade de rimagem v rim, caso o piloo deseje reduzir ou aumenar a velocidade da aeronave um novo ângulo de rimagem será obido, pois no caso de uma redução na velocidade de vôo será necessário o aumeno do ângulo de aaque para se maner o vôo reo e nivelado da aeronave e, porano, consequenemene um desbalanceameno será criado ao redor do G necessiando uma deflexão da superfície de comando como forma de se criar um incremeno na força de apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

41 35 susenação que fará com que a aeronave se orne balanceada novamene, garanindo o conrole longiudinal da mesma. Do mesmo modo, um aumeno da velocidade provoca uma redução do ângulo de aaque e novamene um desbalanceameno será criado ao redor do G fazendo com que a aeronave saia de sua condição de equilíbrio, porano, em ambos os casos, se não houver uma deflexão da superfície de comando o avião não poderá ser rimado em qualquer ouro ângulo diferene de rim nem em qualquer oura velocidade diferene de v rim. Em uma siuação de vôo é obvio que iso represena uma condição indesejável, pois uma aeronave deve ser capaz de voar balanceada em qualquer condição que se deseje, quer seja para baixas ou para alas velocidades, porano, em função das considerações apresenadas, para que uma aeronave possa ser rimada em diferenes condições de vôo é necessário que ocorra uma deflexão da superfície de comando criando um incremeno na força de susenação capaz de gerar o momeno de equilíbrio ao redor do G para balancear a aeronave em um novo ângulo de aaque. omo em aeronaves que paricipam da compeição AeroDesign o G é um pono fixo resulane do projeo desenvolvido e a margem esáica é fechada em um deerminado valor, a única forma de se criar um momeno de conrole ao redor do G e balancear a aeronave em um novo ângulo de aaque é ober o incremeno na força de susenação a parir da variação de Ma, manendo o coeficiene angular Ma da curva MG x consane pois como mosrado na Figura 5.8, a mudança de inclinação do coeficiene angular Ma somene é possível com deslocameno do G para uma posição diferene da posição original de projeo, o que proporciona uma mudança na margem esáica afeando direamene os criérios de esabilidade da aeronave. Para se compreender o mecanismo de variação de Ma a seguir é apresenado o equacionameno uilizado para se deerminar o incremeno da força de susenação, ano para o profundor oalmene móvel como para a condição de superfície composa por esabilizador e profundor ariculado a formulação e o princípio de conrole são os mesmos, assim, para modelar maemaicamene a siuação exposa, considere o profundor oalmene ariculado em uma deerminada posição inicial como mosra a Figura 5.9. Figura 5.9 Profundor oalmene móvel. Na Figura 5.9 é possível idenificar o ângulo de aaque absoluo do profundor definido aneriormene pela Equação (5.3) reescria a seguir. ( i + i ) ε (5.68) apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

42 351 omo o perfil aerodinâmico geralmene uilizado para o profundor é simérico em-se que para º, L, e, porano, a curva caracerísica do coeficiene de susenação em função do ângulo de aaque absoluo do profundor pode ser represenada pelo modelo mosrado na Figura 5.3. Figura 5.3 urva caracerísica L x para um perfil simérico. O subscrio i é uilizado para indicar a posição inicial do profundor, e assim, nesa condição o ângulo i proporciona a obenção de um deerminado coeficiene de susenação Li. aso se deseje alerar a condição de rimagem da aeronave para um novo ângulo de aaque em uma nova velocidade de vôo, será necessário a deflexão do profundor em uma quanidade angular δ como pode-se observar na Figura Figura 5.31 Deflexão do profundor. Para esa nova siuação, o ângulo de aaque absoluo do profundor passa a ser dado por i + δ, e, porano: ( ε + i δ ) i + (5.69) apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

43 35 Na Equação (5.69) é possível perceber que a deflexão δ do profundor provoca o aumeno de e consequenemene um incremeno no coeficiene de susenação L é criado e assim a Figura 5.3 pode ser reapresenada do seguine modo: Figura 5.3 Represenação do incremeno do coeficiene de susenação devido a uma deflexão do profundor. Porano, pode-se noar que a deflexão do profundor pode ser uilizada como forma de se criar o incremeno na força de susenação necessário para a rimagem da aeronave em uma nova condição de vôo e o coeficiene de susenação do profundor considerando a deflexão δ pode agora ser escrio da seguine forma: L + (5.7) L L Onde d L L δ Lδ δ (5.71) dδ Que resula em: + δ (5.7) L L Lδ omo na siuação o profundor é oalmene móvel, em-se que L Lδ, e, porano, a Equação (5.7) pode ser reescria da seguine forma: ( δ ) (5.73) L L + A parir da subsiuição das Equações (5.17) e (5.31) na Equação (5.51), pode-se escrever que: apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

44 353 MGa + ( h h ) + V η (5.74) Mac L G ac MGf H L Subsiuindo a Equação (5.73) na Equação (5.74) em-se que: ( δ ) + ( h h ) + V η + (5.75) MGa Mac L G ac MGf H L Onde a parir das quais é possível observar que a deflexão do profundor por um ângulo δ proporciona uma mudança em MGa porém maném o mesmo coeficiene angular da curva uma vez que não houve mudança da posição do cenro de gravidade da aeronave, dessa forma, com a deflexão do profundor é possível imar a aeronave em diferenes condições de vôo como mosra a Figura Figura 5.33 Efeio da deflexão do profundor na rimagem da aeronave. Por convenção, seguindo o sisema de coordenadas uilizado na indúsria aeronáuica, considera-se que uma deflexão do profundor no senido horário é considerada posiiva e uma deflexão no senido ani-horário é considerada negaiva, porano, a relação ( + δ) pode ser posiiva ou negaiva dependendo do senido de deflexão uilizado, assim, a variação de MGa calculada pela Equação (5.75) ano pode ser para mais ou para menos, ransladando a curva MGa x a ou para cima ou para baixo dependendo exclusivamene da roação uilizada no profundor. A convenção de sinais adoada esá apresenada a seguir na Figura Figura 5.34 onvenção de sinais para o ângulo de deflexão do profundor. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

45 354 Para se garanir a capacidade de conrole longiudinal de uma aeronave, esa deve possuir condições de ser balanceada em qualquer ângulo de aaque desejado compreendido enre uma condição de velocidade mínima de esol aé a velocidade máxima. Esa condição pode ser obida aravés da deerminação do ângulo de deflexão do profundor necessário para a rimagem da aeronave nas condições desejadas, ese ângulo é referenciado no presene livro por δ rim e quando deerminado para as condições exremas (velocidades de esol e máxima) idenifica a faixa de deflexão posiiva e negaiva necessária para o profundor, nese pono é imporane ciar que deflexões excessivas da superfície de conrole pode ocasionar esol no esabilizador horizonal acarreando em perda se susenação dessa superfície e a conseqüene perda de conrole da aeronave, pois cria-se uma condição de insabilidade longiudinal esáica na aeronave. omo forma de exemplificar as siuações exremas comenadas, é apresenado a seguir o conceio para a deerminação do ângulo de rimagem da aeronave. A principio considere que o piloo deseje voar em uma condição próximo à velocidade de esol, nessa siuação o ângulo de aaque é elevado e o coeficiene de susenação equivale a lmáx, como a conribuição asa + fuselagem fornece um coeficiene de momeno ao redor do G negaivo (senido ani-horário) será necessário a criação de um momeno posiivo (senido horário) para balancear a aeronave ao redor do G e se maner o vôo da mesma na condição desejada, e, assim, a única maneira de se ober essa condição é uma deflexão do profundor no senido anihorário (δ negaivo) para o qual o incremeno no coeficiene de susenação criado pela deflexão do comando cria ao redor do G da aeronave um momeno posiivo que desloca o nariz da aeronave para cima aumenando o ângulo de aaque e balanceando os momenos ao redor do G para a condição de velocidade de esol e assim um novo ângulo de rimagem rim é obido. A siuação comenada esá ilusrada na Figura 5.35 mosrada a seguir. Figura 5.35 Deflexão do profundor necessária para a rimagem da aeronave na velocidade de esol. A segunda condição exrema é referene a deflexão do comando para se rimar a aeronave em uma siuação de vôo com velocidade máxima, para ese caso, é necessário um baixo ângulo de aaque e consequenemene um pequeno L é necessário pois a susenação é quase que em sua oalidade produzida pela elevada velocidade da aeronave, como forma de se reduzir o ângulo de aaque da aeronave é necessário uma deflexão posiiva (senido horário) do profundor criando ao redor do G um momeno negaivo (senido ani-horário) apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

46 355 que propicia o balanceameno da aeronave para uma condição de velocidade máxima. Esa siuação esá apresenada a seguir na Figura Figura 5.36 Deflexão do profundor necessária para a rimagem da aeronave na velocidade máxima. A consideração apresenada para velocidade máxima possui um aspeco muio ineressane quando se avalia o projeo e concepção de uma aeronave desinada a paricipar da compeição AeroDesign, pois nessas aeronaves, geralmene o perfil aerodinâmico uilizado pela asa possui um arqueameno muio grande e o G esá localizado após o cenro aerodinâmico do perfil o que propicia um coeficiene de momeno negaivo (senido anihorário) basane elevado para os padrões dos perfis geralmene uilizados em aeronaves comerciais e, assim, praicamene em odas as análises realizadas, o ângulo de deflexão do profundor necessário para a rimagem de uma aeronave desinada a paricipar da compeição AeroDesign em uma condição de velocidade máxima possui um valor posiivo muio pequeno ou ainda em alguns casos é negaivo, ou seja, mesmo nesa siuação, o balanceameno de momenos ao redor do G é obido com uma deflexão do profundor no senido ani-horário. A parir dos conceios apresenados, é possível ober uma equação algébrica que permie a deerminação do ângulo de deflexão do profundor necessário para balancear a aeronave em qualquer condição de vôo desejada compreendida enre a velocidade de esol e a velocidade máxima da aeronave. Para se realizar esa análise considere um avião que possui esabilidade longiudinal esáica cuja curva do coeficiene de momeno ao redor do G em função do ângulo de aaque esá apresenada a seguir na Figura Figura 5.37 ondição de rimagem para uma aeronave que possui esabilidade longiudinal esáica. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

47 356 Pela análise da Figura 5.37 é possível observar que em uma condição de deflexão nula do profundor δ p a aeronave se enconra balanceada em um ângulo de aaque 1 que corresponde a uma deerminada velocidade e coeficiene de susenação. Nesa siuação, o ângulo de deflexão do profundor necessário para a rimagem da aeronave pode ser obido analiicamene a parir da equação de equilíbrio de momenos ao redor do G da aeronave obida previamene quando do esudo dos criérios necessários para a deerminação da esabilidade longiudinal esáica, assim, considere a equação fundamenal que garane a esabilidade longiudinal esáica reescria a seguir. + (5.76) MGa M a M a Para se rimar a aeronave em um novo ângulo de aaque, será necessário a realização de uma deflexão do profundor por um ângulo δ p que propiciará um incremeno no coeficiene de susenação do profundor L capaz de criar uma variação no coeficiene de momeno ao redor do G da aeronave deslocando a curva mosrada na Figura 5.37 para cima ou para baixo de acordo com o senido da deflexão realizada. O efeio provocado pela deflexão do profundor na curva do coeficiene de momeno ao redor do G em função do ângulo de aaque pode ser observado na Figura Figura 5.38 Efeio da deflexão do profundor no coeficiene de momeno ao redor do G de uma aeronave. Pela análise do gráfico da Figura 5.38 é possível observar que uma deflexão posiiva no profudor (senido horário) permie que a aeronave seja balanceada em um novo ângulo de aaque < 1, caso a deflexão seja negaiva (senido ani-horário), a aeronave ambém será balanceada porém com um ângulo > 1. Essa mudança no ângulo de rimagem é obida pelo incremeno do coeficiene de momeno devido a deflexão da superfície de comando, dessa forma, considere que a deflexão do profundor ocasiona uma variação no coeficiene de apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

48 357 momeno ao redor do G definido por MGa, a Equação (5.76) pode ser escria do seguine modo: MGa + + (5.77) M a Ma MGa O valor de MGa é calculado pela aplicação da Equação (5.77) que resula em: MGa + V η δ (5.78) M a Ma H L p Relacionando a Equação (5.78) com o gráfico da Figura 5.38, é possível deerminar o coeficiene de momeno ao redor do G para qualquer ângulo de aaque desejado, porém, nesa seção, o pono de ineresse é deerminar o ângulo de deflexão do profundor para o qual o coeficiene de momeno ao redor do G é nulo, ou seja, aeronave rimada (balanceada), dessa forma, a Equação (5.78) pode ser solucionada para δ p δ rim fazendo-se MGa, e assim em-se que: + V η δ (5.79) M a Ma H L p Que resula em: V H η δ + (5.8) L p M a Ma a Isolando-se δ p δ rim, em-se que: δ rim V M a H + Ma η L (5.81) E, porano, a Equação (5.81) fornece o ângulo de deflexão do profundor necessário para se rimar a aeronave em qualquer ângulo de aaque a compreendido enre a velocidade de esol e a velocidade máxima da aeronave. Esa análise é imporane para a deerminação dos baenes máximos posiivo e negaivo para a deflexão do profundor necessária para a rimagem da aeronave. Em relação ao projeo Aerodesign, esa análise é de grande valia para se deerminar o curso de comando necessário ao profundor durane a fase de monagem final da aeronave, e como forma de exemplificar esa siuação, é apresenado a seguir um modelo de cálculo uilizado para se deerminar o ângulo de deflexão do profundor necessário para rimar uma aeronave desinada a paricipar do Aerodesign em qualquer ângulo de aaque desejado compreendido enre a velocidade de esol e a velocidade máxima da aeronave. 5.6 Esabilidade direcional esáica A esabilidade direcional de uma aeronave esá direamene relacionada com os momenos gerados ao redor do eixo verical da mesma, al como ocorre nos criérios de esabilidade longiudinal, é muio imporane que a aeronave possua a endência de reornar a sua posição de equilíbrio após sofrer uma perurbação que mude a sua direção de vôo. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

49 358 Para possuir esabilidade direcional esáica, a aeronave deve ser capaz de criar um momeno que sempre a direcione para o veno relaivo. Geralmene os criérios de esabilidade direcional de um avião são deerminados aravés da soma dos momenos provenienes da combinação asa-fuselagem e da superfície verical da empenagem em relação ao cenro de gravidade da aeronave. Normalmene o conjuno asa-fuselagem possui um efeio desesabilizane na aeronave e a superfície verical da empenagem é responsável por produzir o momeno resaurador, e, porano, orna-se muio imporane o seu correo dimensionameno e resisência esruural. Tal como foi apresenado na análise de esabilidade longiudinal esáica, a formulação maemáica para a avaliação dos criérios necessários para se garanir a esabilidade direcional esáica será apresenada de forma adimensional, sendo um faor de grande imporância para a avaliação desse ipo de esabilidade a deerminação do coeficiene angular da curva de momenos de guinada da aeronave complea nβ em função do ângulo de derrapagem imposo pela perurbação sofrida, que pode ser proveniene de um comando mal aplicado, por uma rajada de veno, ou enão pela manuenção de um vôo deslocado da direção do veno relaivo. Maemaicamene o criério necessário para se garanir a esabilidade direcional esáica é a obenção de um coeficiene angular nβ posiivo e que devido as condições de simeria da aeronave a rea gerada por esse coeficiene angular inercepa o sisema de coordenadas na origem. A Figura 5.39 mosra graficamene o criério necessário para uma condição de esabilidade direcional esáica. Figura 5.39 riério necessário para se garanir a esabilidade direcional esáica. A análise da figura permie observar que no caso do avião 1, se ocorrer uma perurbação na qual o veno relaivo passe a auar de sua posição de equilíbrio (β ) para uma condição (β> ) (roação no senido horário), insananeamene será criado um momeno resaurador posiivo endendo novamene a alinhar a aeronave para a direção do veno relaivo. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

50 onribuição do conjuno asa-fuselagem na esabilidade direcional esáica O conjuno asa-fuselagem é responsável por um efeio desesabilizane e conribui de forma negaiva para aender os criérios de esabilidade direcional de uma aeronave. Geralmene a maior conribuição é proporcionada pela geomeria da fuselagem, sendo a asa um componene de menor imporância no conjuno. Maemaicamene a conribuição do conjuno asa-fuselagem pode ser deerminada a parir de uma equação empírica proposa por Nelson [5.4]. S F lf n β f K n K RL (5.8) S b Nesa equação, nβf represena o coeficiene angular da curva de momeno direcional ao redor do eixo verical da aeronave, K n represena um faor empírico de inerferência asafuselagem e é uma função direa da geomeria da fuselagem. Segundo Nelson [5.4], ese faor pode variar em uma faixa compreendida enre,1 K n,5. A variável K RL ambém represena um faor empírico que é uma função direa do número de Reynolds da fuselagem, Nelson [5.4] sugere a seguine faixa para os valores de K RL : 1 K R L,; geralmene para o número de Reynolds enconrado nas aeronaves que paricipam da compeição AeroDesign pode ser uilizado com boa margem de confiabilidade um valor de K RL da ordem de 1. As variáveis S F, l F, S e b represenam respecivamene a área projeada laeral da fuselagem, o comprimeno da fuselagem, a área da asa e a envergadura da asa. omo o resulado obido com a solução da Equação (5.8) sempre é um coeficiene angular negaivo, o conjuno asa-fuselagem produz um efeio desesabilizane na esabilidade direcional esáica da aeronave, e, dessa forma, a superfície verical da empenagem passa a ser de fundamenal imporância para se garanir a resauração da aeronave a sua condição de equilíbrio direcional onribuição da superfície verical da empenagem na esabilidade direcional esáica A Figura 5.4 mosra como a superfície verical da empenagem conribui fisicamene de maneira posiiva para a esabilidade direcional da aeronave. Figura 5.4 onribuição da superfície verical da empenagem para a esabilidade direcional esáica de uma aeronave. Pela análise da Figura 5.4, é possível observar que se a aeronave sofrer uma perurbação que modifique sua direção de vôo, a superfície verical da empenagem esará apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

51 36 submeida a um aumeno de ângulo de aaque em relação a direção do veno relaivo e uma força laeral será criada endendo a razer o avião de vola a sua posição de equilíbrio. Assim, é possível verificar a necessidade da uilização de uma superfície aerodinâmica simérica na superfície verical da empenagem, o que garane que em uma siuação de equilíbrio nenhuma força laeral desesabilizane seja criada. Maemaicamene a força laeral na superfície verical da empenagem quando a aeronave se enconra em uma condição de vôo com ângulo de derrapagem posiivo pode ser calculada da seguine forma: F v 1 ρ vv Sv Lv (5.83) O sinal negaivo presene na Equação (5.83) indica que a força laeral gerada aua no senido negaivo do eixo laeral da aeronave (eixo y). Ainda com relação à Equação (5.83), o coeficiene de susenação Lv pode ser deerminado em função do coeficiene angular Lv e do ângulo de aaque da superfície verical da empenagem v em relação ao veno relaivo, dessa forma, pode-se escrever que: F v 1 vv ρ S v L v v (5.84) O ângulo de aaque v da superfície verical da empenagem pode ser expresso em função do ângulo β que represena a direção do veno relaivo e do ângulo de aaque induzido laeral σ (sideash) do seguine modo: v β + σ (5.85) O ângulo de aaque induzido laeral σ (sideash) é similar ao ângulo de aaque induzido longiudinal (donash) e fisicamene é provocado pelo desvio dos vórices de pona de asa. A parir das Equações (5.84) e (5.85) é possível escrever a equação que define o momeno resaurador da seguine forma: N v F l (5.86) v v onde l v represena o braço de momeno do pono de aplicação da força laeral aé o G da aeronave. Na Equação (5.86) é possível observar que o momeno resaurador provocado por uma força laeral negaiva é um valor posiivo, porano, subsiuindo as Equações (5.84) e (5.85) na Equação (5.86) em-se: N v 1 ρ vv Sv Lv σ ( β + ) lv (5.87) apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

52 361 Nesse pono é imporane relembrar que a relação 1 ρ vv represena a pressão dinâmica q v na superfície verical da empenagem, assim, a Equação (5.87) pode ser reescria do seguine modo. N v ( β + ) lv qv Sv L v σ (5.88) A Equação (5.88) pode ser adimensionalizada com relação à pressão dinâmica, área e envergadura da asa resulando em: As relações q v /q e N q S l (5.89) ( β σ ) v v v v n L + q v S b q S b S l v v S b represenam respecivamene a eficiência da superfície verical da empenagem η v e o volume de cauda verical V V, porano, pode-se escrever que: ( β σ ) η V + (5.9) n v v L v A parir da Equação (5.9), fazendo-se sua derivada em relação a β, é possível enconrar o coeficiene angular da curva de momeno de guinada em relação ao ângulo de derrapagem β, e assim, ober a conribuição da superfície verical da empenagem na esabilidade direcional da aeronave. A relação η ( σ dβ ) dσ nβ v ηv Vv Lv 1 + (5.91) dβ v 1 + d pode ser esimada segundo manual de esabilidade e conrole da força aérea dos Esados Unidos da América, USAF [5.5] pela Equação (5.9) mosrada a seguir. d Sv S Z v σ η 1 +,74 + 3,6 +,4 +, 9 AR (5.9) dβ 1+ cos Λ( c / 4) d F Na Equação (5.9), S represena a área da asa, S v a área da superfície verical da empenagem, AR o alongameno da asa, Z é a disância paralela ao eixo z medida a parir da posição 5% da corda na raiz da asa aé a linha de cenro da fuselagem, d represena a profundidade máxima da fuselagem e a relação Λ (c / 4) é o enflechameno da asa medido a parir da posição 5% da corda, a Figura 5.41 apresenada a seguir mosra as dimensões Z e d. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

53 36 Figura 5.41 dimensões Z e d para aplicação na Equação (5.9). A seguir é apresenado um modelo para o cálculo de deerminação dos criérios necessários para se garanir a esabilidade direcional esáica de uma aeronave onrole direcional O conrole direcional de uma aeronave é obido aravés da deflexão de uma superfície de comando denominada leme de direção, essa superfície se enconra localizada no bordo de fuga da superfície verical da empenagem como pode ser observado na Figura 5.4 mosrada a seguir. A deflexão do leme de direção produz uma força laeral na aeronave que provoca um momeno de guinada ao redor do eixo verical da aeronave permiindo desse modo o deslocameno do nariz da aeronave para a proa desejada. Figura 5.4 Exemplo do leme de direção. A deflexão do leme de direção pode ser posiiva ou negaiva, e esse sinal é definido de acordo com o senido de roação aplicado na superfície de comando, por exemplo, uma deflexão do leme de direção no senido horário é definida como uma roação posiiva e uma deflexão no senido ani-horário como uma roação negaiva, a Figura 5.43 mosra a convenção de sinais adoada para a deflexão do leme de direção. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

54 Fundamenos da Engenharia Aeronáuica - Aplicações ao Projeo SAE-AeroDesign 363 Figura 5.43 onvenção de sinais para a deflexão do leme de direção. A deflexão do leme de direção em qualquer senido produz uma força laeral que quando muliplicada pelo braço de momeno em relação ao G da aeronave provoca o momeno de guinada necessário para a mudança de aiude da aeronave. A inensidade do momeno de guinada provocado pela deflexão do leme de direção depende compleamene da força de susenação (força laeral) gerada, para uma deflexão posiiva do leme de direção, uma força laeral posiiva é criada e conseqüenemene um momeno de guinada negaivo é gerado, para uma deflexão negaiva do leme de direção, será criada uma força laeral negaiva e um momeno de guinada posiivo é gerado. A compreensão dessa regra de sinais pode ser facilmene visualizada a parir da análise dealhada das Figuras 5.44 e Pela análise da figura 5.44 é possível observar que uma deflexão posiiva do leme de direção provoca um arqueameno no perfil simérico da superfície verical da empenagem acarreando em uma força de susenação direcionada no senido posiivo do eixo laeral da aeronave (eixo y), porano, essa força assume um sinal posiivo e quando muliplicada pela disância aé o G da aeronave provocará um momeno no senido ani-horário em relação ao eixo verical (eixo z) que quando avaliado pela aplicação da regra da mão direia percebe-se que se raduz em um momeno de guinada negaivo uma vez que o senido do momeno gerado é oposo ao senido posiivo do eixo verical, e assim, provoca um deslocameno do nariz da aeronave para a esquerda. Figura 5.44 Análise de sinais para uma deflexão posiiva do leme de direção. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

55 364 Maemaicamene essa siuação pode ser expressa aravés da aplicação do conceio de momeno, e como ciado, uma força laeral posiiva produz um momeno de guinada negaivo, porano, pode-se escrever que: N F v l v (5.93) onde a força laeral na superfície verical da empenagem é dada por: F v 1 ρ vv Sv Lv (5.94) e o momeno de guinada gerado é dado por: 1 N ρ v S b n (5.95) Reescrevendo a Equação (5.95) em relação ao coeficiene de momeno de guinada da aeronave, em-se que: n N 1 v ρ S b (5.96) Subsiuindo-se as Equações (5.93) e (5.94) na Equação (5.96), pode-se escrever que: n Fv lv 1 ρ v S b (5.97) n 1 ρ v 1 v ρ v S v S l v b Lv (5.98) Nese pono é imporane relembrar que a relação 1 ρ v represena a pressão dinâmica q, porano, pode-se reescrever a Equação (5.98) da seguine forma: n q S l v v v Lv (5.99) q S b O coeficiene de susenação Lv pode ser represenado em função da deflexão do leme de direção da seguine forma: d Lv Lv δ r dδ (5.1) r Porano, a Equação (5.99) pode ser reescria do seguine modo: apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

56 365 n q S l d v v v Lv δ r q S b dδ (5.11) r As relações q v /q e S l v v S b represenam respecivamene a eficiência da superfície verical da empenagem η v e o volume de cauda verical V V, porano, pode-se escrever que: n d Lv η v VV δ r (5.1) dδ r A eficiência de conrole do leme de direção pode ser represenada aravés da axa de variação do momeno de guinada da aeronave com relação ao ângulo de deflexão do leme, assim, a Equação (5.1) pode ser reescria do seguine modo: Que resula em, d (5.13) Lv n n δ δ r η v V r V δ r dδ r n δ r d Lv η v VV (5.13a) dδ r Onde a relação dlv dδ r pode ser expressa da seguine forma: dlv dlv d v L τ v dδ d dδ r v r (5.14) No qual o faor τ que represena o faor de eficiência de deflexão do leme pode ser obido segundo Nelson [5.4] a parir do gráfico mosrado na Figura Figura 5.45 Deerminação do faor de eficiência de deflexão do leme de direção. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

57 Fundamenos da Engenharia Aeronáuica - Aplicações ao Projeo SAE-AeroDesign 366 Para o caso de uma deflexão negaiva do leme de direção, o processo analíico é exaamene o mesmo, a Figura 5.46 apresenada a seguir mosra a análise de sinais para esa condição. Figura 5.46 Análise de sinais para uma deflexão negaiva do leme de direção. A seguir é apresenado um modelo para o cálculo de deerminação dos criérios necessários para se garanir a esabilidade direcional esáica de uma aeronave. 5.7 Esabilidade laeral esáica Uma aeronave possui esabilidade laeral esáica quando um momeno resaurador for criado sempre que suas asas saiam de uma condição nivelada. Também para os criérios de esabilidade laeral, são empregados coeficienes adimensionais onde se avalia a variação do coeficiene de momeno l ao redor do eixo longiudinal da aeronave em função do ângulo β de inclinação das asas provocado pela perurbação sofrida. Para que uma aeronave seja laeralmene esável é necessário que o coeficiene angular da curva de momeno laeral em função do ângulo de inclinação das asas seja levemene negaivo, assim, em-se que: d l lβ < dβ (5.15) A Figura 5.47 apresenada a seguir mosra graficamene a condição necessária para se ober a esabilidade laeral esáica de uma aeronave. Figura 5.47 riério necessário para se garanir a esabilidade laeral esáica. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

58 367 Basicamene o momeno de rolameno originado em uma aeronave quando em uma siuação de desequilíbrio de alinhameno nas asas depende de alguns faores como o ângulo de diedro, o enflechameno da asa, da posição da asa em relação à fuselagem (ala, média ou baixa) e da superfície verical da empenagem. Denre esses faores, a maior conribuição para a esabilidade laeral esáica advém do ângulo de diedro, que represena o ângulo formado enre o plano da asa e um plano horizonal, caso a pona da asa eseja em uma posição acima da raiz o ângulo de diedro é considerado posiivo, e, caso a pona da asa se enconre abaixo da raiz o diedro é considerado negaivo. A Figura 5.48 mosra a configuração de diedro posiivo e negaivo. Figura 5.48 Ângulo de diedro (posiivo e negaivo). Normalmene em aeronaves de asa baixa ou média é uilizado o ângulo de diedro posiivo, pois o mesmo conribui sensivelmene para aumenar a esabilidade laeral da aeronave. Aeronaves de asa ala ambém podem possuir diedro, porém em muios casos não é necessário, pois como o G da aeronave se enconra localizado abaixo da asa, a própria configuração de fixação na fuselagem já proporciona esabilidade à aeronave. Ângulos de diedro negaivo são uilizados em poucos casos e geralmene em aeronaves de asa ala quando a mesma é muio esável como forma de melhorar a conrolabilidade da mesma. Não se aconselha o uso de diedro negaivo em aeronaves de asa baixa, pois pode ocasionar em uma perda de esabilidade laeral da mesma. onribuição do efeio de inerferência fuselagem-asa na esabilidade laeral: quando uma aeronave sofre uma perurbação que desloque suas asas de uma posição de equilíbrio nivelado, uma componene do veno relaivo passa a auar ao longo do eixo laeral da mesma (eixo y), ou seja, devido ao deslocameno laeral da aeronave, cria-se uma componene de velocidade auando na superfície laeral da aeronave. Essa componene flui aravés da fuselagem e das asas, provocando uma mudança na força de susenação gerada em cada asa. O resulado da variação da força de susenação nas asas da aeronave é a criação de um momeno de rolameno na aeronave que ende a razer a mesma novamene para sua posição de equilíbrio com asas niveladas ou enão afasá-la cada vez mais da posição de equilíbrio. Devido ao escoameno laeral sobre a aeronave, no caso de um avião de asa ala, a asa pela qual o escoameno passa primeiro experimena um escoameno induzido para cima (upash) que ende a aumenar a força de susenação, a asa pela qual se dá a fuga do escoameno fica submeida a um escoameno induzido para baixo (donash) e, assim, uma menor força de susenação é criada, provocando desse modo um momeno de rolameno devido ao desbalanceameno da força de susenação enre as duas asas, esse momeno possui a endência esabilizadora na aeronave. Para o caso de uma aeronave de asa baixa, o processo é o inverso e, assim, a asa pela qual o escoameno passa primeiro experimena um escoameno induzido para baixo (donash) que ende a reduzir a força de susenação, a asa pela qual se dá a fuga do escoameno fica submeida a um escoameno induzido para cima (upash) e, assim, uma maior força de susenação é criada, provocando desse modo um momeno de rolameno devido ao desbalanceameno da força de susenação enre as duas asas, esse momeno possui a endência desesabilizadora na aeronave, e, desse modo, o ângulo de diedro posiivo é fundamenal para se er esabilidade laeral na aeronave. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

59 Fundamenos da Engenharia Aeronáuica - Aplicações ao Projeo SAE-AeroDesign 368 A Figura 5.49 apresenada a seguir mosra a siuação comenada para os casos de asa ala e baixa. Figura 5.49 Efeio do escoameno laeral sobre a aeronave. onribuição do ângulo de diedro na esabilidade laeral: a meodologia para se esimar o valor de lβ pode ser obida em maiores dealhes na obra de Pamadi, na qual o referido auor cia que para aeronaves com asas rapezoidais ou elípicas com perfil consane ao longo de oda sua envergadura, o valor de lβ pode ser obido de acordo com a solução da Equação (5.16) apresenada a seguir. lβ Γ a b c( y ) y dy S b (5.16) Para o caso de asas reangulares com perfil aerodinâmico consane ao longo da envergadura, a Equação (5.16) se reduz a: lβ Γa 4 (5.17) Nas Equações (5.16) e (5.17), Γ represena o ângulo de diedro da asa, a é o coeficiene angular da curva L x da asa, S é a área da asa, b é a envergadura da asa, c(y) represena a corda do perfil na esação desejada ao longo da envergadura e y é a variável que indica a posição ao longo da envergadura da asa que esá sendo avaliada onrole laeral Na grande maioria das aeronaves, o disposiivo uilizado para o conrole de rolameno é o aileron, esse mecanismo é caracerizado por superfícies similares a um flape localizados apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

60 369 geralmene no bordo de fuga e próximo das ponas das asas como pode ser observado na Figura 5.5. Figura 5.5 Represenação do posicionameno dos ailerons em uma asa. Os ailerons são defleidos em senidos oposos um ao ouro como forma de se produzir o momeno de rolameno na aeronave, ou seja, caso o aileron da asa direia seja defleido para baixo, o aileron da asa esquerda será defleido para cima e vice-versa. Em uma condição de vôo com ângulo de aaque posiivo, a asa na qual o aileron é defleido para baixo sofre um aumeno do arqueameno do perfil e consequenemene um acréscimo na força de susenação local é criado na região de deflexão do aileron, já para a asa cujo aileron é defleido para cima ocorre uma redução da força de susenação local, e, devido a esse desbalanceameno de forças enre as asas, um momeno de rolameno é gerado ao redor do eixo longiudinal da aeronave. O efeio da deflexão dos ailerons na força de susenação das asas é mosrado na Figura Figura 5.51 Efeio da deflexão dos ailerons na disribuição de susenação. A eficiência de aplicação dos ailerons no conrole laeral da aeronave pode ser modelada a parir do incremeno do coeficiene de momeno de rolameno gerado pela deflexão do comando. Em forma de coeficiene de momeno de rolameno, pode-se escrever que: l L q S b L q c( y) y dy q S b L c( y) y dy S b (5.18) apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

61 37 Onde o incremeno do coeficiene de susenação local devido à aplicação do aileron é dada por: L d L δ a L τ δ a (5.19) dδ a Subsiuindo a Equação (5.19) na Equação (5.18), em-se que: l L τ δ a c( y) y dy S b (5.11) Inegrando sobre a região na qual o aileron se faz presene pode-se escrever que: l L τ δ a c( y) y dy (5.111) S b y1 y Na Equação (5.111), o muliplicador foi inserido devido a presença e influencia do par de ailerons que auam sempre em conjuno. Provocando o efeio de binário no rolameno da aeronave. Para se compreender melhor a aplicação da Equação (5.111), a Figura 5.5 mosra a geomeria caracerísica da semi-envergadura de uma asa rapezoidal. Figura 5.5 Geomeria da asa para deerminação do conrole laeral. O coeficiene angular do momeno de rolameno da aeronave pode ser obido aravés da derivada da Equação (5.111) em relação à deflexão do conrole de aileron δ a, assim, em-se que: y L τ l δ a c( y) y dy (5.11) S b y1 apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

62 371 Na análise da equação (5.11) é imporane ciar que a corda para uma asa com forma geomérica diferene da reangular é variável ao longo da envergadura, e, no caso de uma asa rapezoidal em-se que: λ 1 c( y) c + r 1 y b (5.113) Assim, a Equação (5.11) pode ser escria do seguine modo: l L τ δ a S b y λ 1 c 1 + y y dy b r y1 (5.114) A seguir é apresenado um exemplo de cálculo que permie ober as caracerísicas de esabilidade e conrole laeral de uma aeronave desinada a paricipar da compeição AeroDesign. 5.8 Dicas para a análise de esabilidade esáica Nesa seção são ciados alguns ponos que são de fundamenal imporância para uma análise adequada das caracerísicas de esabilidade de uma aeronave desinada a paricipar da compeição AeroDesign. A seguir é apresenada a seqüência necessária para se realizar a avaliação de esabilidade da aeronave em projeo. 1) O primeiro e mais imporane pono na análise de esabilidade é a deerminação da posição do cenro de gravidade da aeronave, pois praicamene odos os conceios necessários para a deerminação das qualidades de esabilidade de uma aeronave dependem direamene da posição do G. ) Deerminar e raçar o gráfico da variação do coeficiene de momeno longiudinal em função do ângulo de aaque para a asa isoladamene. 3) Deerminar e raçar o gráfico da variação do coeficiene de momeno longiudinal em função do ângulo de aaque para a fuselagem isoladamene. 4) Deerminar e raçar o gráfico da variação do coeficiene de momeno longiudinal em função do ângulo de aaque para a superfície horizonal da empenagem isoladamene. 5) Deerminar e raçar o gráfico da variação do coeficiene de momeno longiudinal em função do ângulo de aaque para a aeronave complea. 6) alcular a posição do pono neuro e deerminar qual a margem esáica da aeronave. 7) Deerminar os baenes posiivo e negaivo para a deflexão do profundor, responsáveis pelo conrole longiudinal da aeronave. 8) Deerminar e raçar o gráfico da variação do coeficiene de momeno direcional em função do ângulo de derrapagem para a aeronave complea. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica

63 37 9) Avaliar a derivada de conrole direcional da aeronave. 1) Deerminar e raçar o gráfico da variação do coeficiene de momeno laeral em função do ângulo de derrapagem para a aeronave complea. 11) Avaliar a derivada de conrole laeral da aeronave. A Figura 5.53 apresenada a seguir mosra a aeronave da equipe Taperá do Insiuo Federal de Educação, iência e Tecnologia de São Paulo para a compeição SAE-AeroDesign 9 com suas respecivas caracerísicas de esabilidade e conrole. Aeronave Taperá 9 aracerísicas de Esabilidade Posição do G - 3,14% cma Pono neuro - 5,1 % cma Margem esáica - % Derivadas de esabilidade nβ,9567grau ¹ Lβ -,5grau ¹ Deflexão do profundor + - 1º Deflexão do leme + - 1º Deflexão dos ailerons + - 1º Figura 5.53 aracerísicas de esabilidade da aeronave Taperá 9. Nese pono é finalizado o capíulo da análise de esabilidade esáica da aeronave, no qual foram apresenados os principais ponos que devem ser avaliados para se ober uma aeronave compeiiva e com excelenes qualidades de vôo. Nesse pono vale ressalar que o assuno esabilidade é muio exenso e muios dealhes mais específicos podem ser enconrados na vasa lieraura exisene, o objeivo principal dese capíulo foi apresenar os conceios fundamenais que permiem esimar de forma confiável as qualidades de esabilidade de uma aeronave desinada a paricipar da compeição AeroDesign. Referências bibliográficas dese capíulo [5.1] ANDERSON, JOHN, D. Aircraf performance and design, McGra-Hill, Ne York, [5.] McORMIK, BARNES, W. Aerodynamics, aeronauics and fligh mechanics, Wiley, Ne York, [5.3] Ly, Ui-Loi. Sabiliy and onrol of Fligh Vehicle, Universiy of Washingon. Seale [5.4] NELSON, ROBERT.., Fligh Sabiliy an Auomaic onrol, ª Ed, McGra-Hill, Inc. Ne York [5.5] USAF., Sabiliy and onrol Dacom, Fligh onrol Division, Air Force Dynamics Laboraory, Wrigh Paerson Air Force Base, Fairborn, OH. apíulo 5 Análise de Esabilidade Esáica