Escola Secundária da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo de 2003/04 Funções exponencial e logarítmica

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1 Escola Secundária da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Maemáica Ano Lecivo de 003/04 Funções eponencial e logarímica - º Ano Nome: Nº: Turma: 4 A função P( ) = 500, 0, é usada para deerminar o valor de um carro (em euros) anos depois da 3 sua compra a) Qual é o cuso inicial do carro? b) Deermine o cuso do carro um ano e meio depois da compra c) Quano desvaloriza o carro ao ano? Um psicólogo desenvolveu uma fórmula que relaciona o número n de símbolos que uma pessoa pode memorizar no empo, em minuos 3 A fórmula é: f ( ) = 30 ( e ) a) Calcule, de acordo com a função f e com aproimação às unidades, quanos símbolos uma pessoa pode memorizar em 4 minuos b) Uma pessoa memorizou 6 símbolos Quano empo precisou, aproimadamene, para realizar al arefa? 3 a) Para modelar o crescimeno de uma culura de bacérias, um biólogo enconrou a seguine função: P ( ) = 50 (,8 ) onde represena o empo em horas, a conar desde o início da observação, no momeno em que havia 50 bacérias Escreva P () na forma k P( ) = 50 e, com k aproimado às cenésimas b) Durane um período de 0 horas, um biólogo observou uma culura de bacérias e efecuou os seguines regisos: T (em horas) Número de bacérias (P) Sabendo que o comporameno do crescimeno das bacérias pode ser modelado por uma epressão do ipo b P( ) = k e, deermine P () ( em horas) 4 Considere um produo que acualmene em o valor de 3000 Admia que o produo vai aumenar de valor nos próimos 6 anos em 0% ao ano e nos seis anos seguines vai diminuir de valor 0% ao ano Deermine o valor do produo, com aproimação às unidades, no final dos anos referidos 5 Escreva a epressão ln ln ln log5 3 5 e e, ( > 0, > 0 ), sem usar logarimos

2 6 Um arquieco resolveu usar a função logarímica para fazer o arco de uma pora, como mosra a figura O arco AB é pare da função = ln O arco BC é simérico do arco AB relaivamene à reca BD B a) Defina uma função por ramos de modo que represene o arco AB e o arco BC b) Deermine a alura do arco ( BD ) A D C 6 7 A inensidade I, em decibéis (db), de um som audível, pode ser dada por: I = 70 0log0 onde P é o valor da poência, em cera unidade, do som emiido a) Sabe-se que um som com inensidade superior ou igual a 00 db é prejudicial à saúde Conclua daí, a parir de que poência é que devem ser uilizados meios de proecção audiiva P b) Dois sons de poências P e P são emiidos por uma mesma fone Sabendo que a inensidade do primeiro é dupla da do segundo ( I = I ), mosre que P ( P ) = 0 7 c) Sendo I : 70 0log P uma função real de variável real, caracerize I, função inversa de I P 0 8 Considere a função f ( ) = ln a) Deermine o domínio da função b) Deermine m de modo que f ( m) = 9 Seja a função: f ( ) = ln a) Deermine o domínio da função b) Para esudar a paridade da função, resolva as quesões pela ordem apresenada: b) Calcule f ( 3), f ( ), f () e f (3) ; (valores eacos, como é óbvio!) b) Jusifique que f não é uma função par; b3) Mosre que f ( 3) = f (3) e f ( ) = f () A função poderá ser uma função ímpar? b4) Mosre que f é uma função ímpar c) Deermine de modo que f ( ) 0 Sugesão: Recorde que a a a, para a > 0 d) Verifique a resolução desa quesão uilizando o Graphmaica ou a calculadora gráfica 0 Considere a função real de variável real ( ) = Deermine o seu domínio e os seus zeros Verifique a resolução desa quesão uilizando o Graphmaica ou a calculadora gráfica

3 Deermine, de modo que f ( ) < g( ), sendo: a) f ( ) = ln ( ) e g ( ) = ln (3) b) f ( ) = e g( ) = 3 Deermine os zeros e caracerize a função inversa de cada uma das seguines funções: a) f ( ) = 6 b) f ( ) = log ( 3) c) f: R R, al que f ( ) = ln 3 Considere a função real de variável real, assim definida: ( ) = log ( ) a) Deermine o domínio e os zeros da função b) Jusifique que a função não admie função inversa c) Resolva a condição ( ) < 0 d) Considere as funções, reais de variável real, assim definidas: f ( ) = g( ) = log e h ( ) = Tendo em consideração que ( ) = ( f o ( g o h))( ) e ainda odo o esudo feio sobre as funções f, g e h, deermine o conradomínio da função Eplique o seu raciocínio e) Mosre que a epressão algébrica da correspondência (não função) inversa da função é comprove o conjuno indicado na alínea anerior f) Caracerize j, função inversa da função resria a ], [ = ± 0 e g) Verifique na sua calculadora gráfica o represenado a seguir: h) Como eplica o observado confronando-o com as resposas às alíneas c) e d)? i) Agora, uilize o Graphmaica para verificar a resolução dese eercício 4 O número de células de cero ipo é dado em função do empo (em segundos), pela igualdade k N( ) = N0, com k e N 0 números reais posiivos a) Calcule N () para = 0 e = k e deduza qual o significado das consanes N 0 e k b) Suponha agora que N 0 = 00 e k = 00 Calcule o insane em que o número de células se orna 6 vezes maior do que no insane inicial 3

4 5 Numa grande cidade surgiu uma epidemia de gripe asiáica A evolução da doença foi dada pela fórmula 0,5 5 P =, onde P represena a percenagem de pessoas infecadas e o empo em dias após a declaração da epidemia pelo Serviço Nacional de Saúde (SNS) a) Deermine, analiicamene, o período de empo (em horas) em que a percenagem de pessoas infecadas foi superior ou igual à eisene no momeno da declaração da epidemia b) Quando da declaração da epidemia, o SNS sossegou a população da cidade informando que a siuação não era de preocupar, pois inham sido omadas odas as medidas recomendadas e que a epidemia seria erradicada em menos de uma semana Numa pequena composição, comene o eor das declarações do SNS, endo em cona que: a epidemia considera-se erradicada quando a percenagem de pessoas infecadas for inferior a %; por quesões de saúde pública e de acordo com a Organização Mundial de Saúde, ese ipo de epidemia configura uma siuação muio grave quando afeca uma população em mais de 60% por um período superior a 4 horas Noa: Na resolução desa quesão, deve uilizar as capacidades gráficas da sua calculadora e enriquecer a sua composição com o raçado de um ou mais gráficos Não é obrigaório a deerminação analíica de valores que considere indispensáveis, desde que os apresene com uma aproimação razoável e indique o processo que uilizou recorrendo à calculadora 6 A figura represena um reservaório com rês meros de alura Considere que, inicialmene, o reservaório esá cheio de água e que, num cero insane, se abre uma válvula e o reservaório começa a ser esvaziado O reservaório fica vazio ao fim de caorze horas Admia que a alura, em meros, da água no reservaório, horas após ese er começado a ser esvaziado, é dada por [ 0,4] h ( ) = log( a b),, onde a e b são consanes reais posiivas a) Mosre que a = 8 e que b = 6 é 0, Inerpree ese valor no coneo da siuação descria b) Prove que a aa de variação média de h no inervalo [,] Noa: A uilização da calculadora não será permiida para a resolução desa quesão c) Caracerize, função inversa de h 7 Uilizando uma calculadora gráfica a Ana descobriu que a equação log = log3 inha duas soluções, que eram 3 e 3 De seguida, resolveu algebricamene a equação seguindo os seguines passos: log = log 3 log = log 3 log = log 3 = 3 Onde esá o erro? Jusifique 8 Sabendo que >, enão 3 ( ) > ( 4 8 ) Na inequação que se segue, a > : log ( ) log ( 3 ) log ( ) 3log ( a > ) 3 a > a a > Onde esá o erro? Jusifique 4

5 9 Num Insiuo de Pesquisa Ecológica esudou-se a relação enre o oigénio consumido por pequenos animais e o respecivo peso Enconrou-se a fórmula aproimada log = log 6 0,9 log onde é o volume de oigénio em microliros por hora e o peso da colónia em gramas a) Eprima em função de b) Sendo o oigénio correspondene ao peso = 00, calcule e inerpree o resulado 0 Ao ser lançado, um fogueão é impulsionado pela epulsão dos gases resulanes da queima de combusível numa câmara Desde o arranque aé se esgoar o combusível, a velocidade do fogueão, em quilómeros por segundo, é dada por: v( ) = 3log( 0,005 ) 0, 0 A variável designa o empo, em segundos após o arranque a) A massa inicial do fogueão é de 50 oneladas, das quais 80% correspondem à massa do combusível Sabendo que o combusível é consumido à aa de 0,75 oneladas por segundo, jusifique que 0, 60 [ ] b) Prove que a aa de variação média de v no inervalo [, 50] 00 é 0,05 Inerpree ese valor no coneo da siuação descria SOLUÇÕES a) 500 b) Aproimadamene 464 c) 5% 6 ln 6 a) f ( ) = ln ( ) 6 < b),79 u c aproimadamene 3 a) símbolos b) 6 minuos a) b) 0,59 P( ) = 50 e, ( cd) 0,66 P( ) = 3 e, ( cd) aproimadamene) a) A parir de poências superiores ou iguais a 7 0 db devem ser uilizados meios de proecção audiiva 7 ( I 00 P 0 ) b) c) P I 7 = I = 0 ( P ) I : IR IR I 70 I 0 0 5

6 8 a) ], [ b) m = 6 c) : [ 0,3] [ 0,4] h 6 h 9 a) R \ {, } c) R \ {} 0 0 D = R ; apenas em um zero: = 3 a) ], [ b) ], 0 [ a) Não em zeros f : b) = 97 f : c) = f : IR IR log IR 6 ] 3, [ 3 0 IR R e a) = ], [ ], [ c) f) D ; 0 =, 0 0 = 0 0 0,, 0 0 j : ], [ IR 0 7 A condição dada em domínio R \ {0} e a condição log = log3 em domínio R Porano, a primeira equivalência que esabeleceu apenas é válida em R e não no domínio da equação que preendia resolver Daí não er deerminado a solução negaiva 8 Como a >, enão loga < 0 O erro ocorreu na úlima passagem, pois dividimos os dois membros da inequação por um número negaivo ( log a ), pelo que o sinal da desigualdade deveria er sido rocado 9 0 a) = 6 0,9 b) = 00 0, 9 63, O resulado obido pode ser inerpreado da seguine maneira: Quando o peso duma colónia deses animais aumena 00 vezes, o volume de oigénio consumido aumena (apenas) cerca de 63 vezes a) A massa de combusível é 0,8 50 = 0 oneladas Como é consumido à aa de 0, 75 /s, o combusível dura 0 0,75 = 60 segundos Como v esá definida desde o arranque do fogueão aé se esgoar o combusível, 0, 60 conclui-se que [ ] O Professor 4 5 a) N ( 0) = N0 e N ( k) = N0 b) O número de células orna-se 6 vezes maior do que no insane inicial decorridos 6 minuos e 40 segundos após esse insane a) Há 3% de pessoas infecadas no momeno da declaração da epidemia, pois P (0) = 5 = 3 A percenagem de pessoas infecadas foi superior ou igual à eisene no momeno da declaração da epidemia durane as primeiras 4 4 = 96 horas após essa declaração P ( ) 3 0, 4 ) ( [ ] 6