EXAME DE ESTATÍSTICA AMBIENTAL Ano lectivo 2015/16-1ª Época (V1) 18 de Janeiro de 2016

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1 Nome: Aluno nº: Duração: h:30 m MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA DO AMBIENTE EXAME DE ESTATÍSTICA AMBIENTAL Ano lecivo 05/6 - ª Época (V) 8 de Janeiro de 06 I (7 valores) No quadro de dados seguine (Tabela ) esão represenadas 0 amosras (disposas em coluna) colhidas em solos de uma região da Beira Inerior.Em cada amosra foram medidos os valores de 4 variáveis quaniaivas (V, V, V3 e V4) e uma qualiaiva (Q). As duas úlimas colunas conêm a média (m) e o desvio padrão (dp) de cada variável quaniaiva. Tabela Amosras m dp V V V V Q A A B B B B A A B A A mariz de correlação que cruza as 4 variáveis quaniaivas enconra-se na Tabela. Tabela V V V3 V4 V.000 X V X V Y V Y.000 Na Tabela 3 apresena-se os valores das coordenadas das variáveis nos eixos facoriais resulanes de uma Análise em Componenes Principais, na variane normada. Tabela 3 CP CP CP 3 V V V A V B Val. Prop Responda às pergunas seguines, jusificando as resposas (cada resposa errada descona ¼ da respeciva coação).

2 a) Qual é o 4º valor próprio da mariz de inércia, Jusifique. ( valor) b) Qual o valordo coeficiene de correlação enre as variáveis V e V. Jusifique. ( valor) c) Qual é o valor do coeficiene de correlação enre as variáveis V3 e V4. Jusifique. ( valor) d) Qual é o valor da covariância enre as variáveis V3 e V4. Jusifique. ( valor)

3 e) Sabendo que o seu valor é negaivo, calcule a coordenada da variável V3 no º eixo facorial. Jusifique. ( valor) f) Sabendo que o seu valor é posiivo, calcule o valor do coeficiene de correlação enre V4 e a componene principal CP3. Jusifique. ( valor) g) Se ivesse sido uilizada a variane não normada da ACP, qual seria o elemeno (4,4) da marix de inércia correspondene. Jusifique ( valor)

4 II (7 valores) Responda às pergunas seguines, jusificando as resposas (cada resposa errada descona ¼ da respeciva coação) a) Na abela apresena-se os valores que uma variável qualiaiva oma em 0 amosras de solos, disanciadas de um mero. Esa variável foi ransformada numa variável indicariz I(x). Qual é valor da variância desa variável? (.5 valor) b) Qual é o valor do variograma experimenal para h=? (.5 valor) Seja uma variável regionalizada Z(x) com anisoropia geomérica cujo variograma é de ipo esférico com efeio de pepia. Os valores dos parâmeros do modelo são: ampliude na direcção Nore-Sul (a N )=60 m, ampliude na direcção Ese-Oese (a E )=50m, efeio de pepia (c 0 )=0.00%, paamar do variograma esférico (c )=.40%. c) Sejam os ponos P e P com coordenadas, respecivamene, (x =40; y =-40) e (x =40; y =60). Qual é o valor do coeficiene de correlação enre Z(P ) e Z(P )? (.0 valor)

5 d) Suponha que o valor da variável regionalizada no pono P 0 de coordenadas (x 0 =0; y 0 =0) é esimado por krigagem a parir dos valores da variável observados nos ponos P com coordenadas (x =40; y =-40) e P com coordenadas (x =40; y =60), cujos valores são respecivamene 4.3% e 3.6%. Qual é o valor do peso a aribuir à segunda desas amosras? (3.0 valores) e) Suponha a mesma siuação referida na alínea d). Qual é o valor da variância de krigagem? (.0 valor):

6 (6 valores) III - O cronograma da Figura represena graficamene 00 observações de série emporal original, X, correspondene à evolução, no empo, de variável conínua arbirária. Figura Cronograma da série original X com exensão N = 00. ( valor) alínea a) Caracerizar qualiaivamene a série emporal, X, e concluir se esa pode ser visa como uma realização de processo esocásico esacionário aé à ª ordem. Jusificar, sucinamene, a resposa. Na Figura apresena-se o cronograma da série emporal diferenciada, Z, iso é, a série obida por aplicação do operador, B, de diferenciação simples, à série original X. O símbolo B represena o operador araso. Figura Cronograma da série diferenciada Z ( Z X B X,,3,... ) 6

7 Os correlogramas (oal) (FAC esimada) e parcial (FACP esimada) da série diferenciada, que aparena ser esacionária aé à ª ordem, são apresenados na Figura 3. Figura 3- Correlogramas (oal) (FAC esimada) e parcial (FACP esimada) da série Z ( valor) alínea b) Com base nos correlogramas oal (FAC esimada) e parcial (FACP esimada), esar, para um nível de significância 0.05 Z ser uma realização possível de uma, a hipóese nula, H 0, de a série diferenciada sequência de variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas (i.i.d.). Fundamenar, sucinamene, a conclusão do ese/ensaio de hipóeses. (0.5 valor) alínea c) Da análise do comporameno dos correlogramas oal (FAC esimada) e parcial (FACP esimada), não é, em geral, fácil especificar valores opimais ou quase opimais, observando o princípio da parcimónia, para as ordens p e q dos polinómios auoregressivo e de média móvel, respecivamene, de modelo linear ARMA(p, q): com B B B B B Z B W, W ~ i. i. d. N 0, w, p p o polinómio/operador auoregressivo, B B B B q q o polinómio/operador média móvel, e W sequência ruído branco de média 0 e variância finia consane Nesses casos, a especificaçao dos melhores valores das ordens p e q de modelo ARMA(p, q) pode ser apoiada na idenificação de combinação de valores das ordens p e q que opimizam criério baseado na eoria da informação. Apresena-se no Quadro I resumo da variação do criério AICc (Akaike's Informaion Crierion, Bias correced) com as ordens p e q dos modelos ARMA ajusados e aceiáveis (causais e inveríveis). w. Quadro I Variação do criério AICc com as ordens p e q dos modelos ARMA ajusados Ordem q FAC Função de AuoCorrelação FACP Função de AuoCorrelação Parcial 7

8 Ordem p 0 0 NaN Inerprear o criério AICc e seleccionar, jusificando sucinamene, o melhor modelo ARMA(p,q). (.0 valores) alínea d) Para p = e q =, os resulados do exercício de esimação dos parâmeros,, e (variância finia da sequência ruído branco W ), do modelo ARMA(, ), pelo méodo de máxima verosimilhança, são resumidos no Quadro II abaixo. Quadro II Resumo do exercício de esimação Parâmeros Esimadores/ Desvio padrão dos esimaivas 4 esimadores Esaísica 5 ˆ s ˆ = ˆ s ˆ = w s w = Avaliar a qualidade do modelo ajusado no que concerne à significância dos parâmeros ajusados e às condição de esacionaridade e causalidade e de inveribilidade do modelo ajusado. Avaliar a qualidade do ajusameno, mediane a análise da série residual, W, com cronograma na Figura 4, suporada nos respecivos correlogramas oal (FAC esimada) e parcial (FACP esimada) consanes da Figuras 5. w 3 NaN (No a Number) significa que o criério AICc não foi calculado para p = 0 e q = 0, pois um modelo ARMA(0, 0) é equivalene a Z W, W ~ i. i. d. N 0, w. 4 Os esimadores, e respecivas esimaivas (realizações possíveis), dos parâmeros e são idenificados por ˆ,,,..., e ˆ i p, j,,..., q. Os esimadores, e respecivas esimaivas, das variâncias,, são designados i por s. j i j ˆ 5 Esaísica ese é o rácio com ˆ designando o esimador do parâmero ou do parâmero s ˆ 8

9 Figura 4- Cronograma da série residual W Figura 5- Correlogramas (oal) (FAC esimada) e parcial (FACP esimada) da sériew (.5 valores) alínea e) Prever, em = 00 (unidades de empo), o valor esperado da série original X dois passos adiane (h=), e esimar a variância do erro de previsão. Os rês úlimos valores observados da série X são os seguines: X 4.9, X.7 e X Os valores calculados dos erros de previsão um passo adiane para os empos =98 a =00, são: w 4.66, w 6.77 e w

10 Os rês primeiros valores dos pesos da represenação MA( ) do modelo da série original são: 0 =.000, =-.98 e = (.0 valores) alínea d) Para p = e q =, os resulados do exercício de esimação dos parâmeros,, e W (variância finia da sequência ruído branco ), do modelo ARMA(, ), pelo méodo de máxima w verosimilhança, são resumidos no Quadro II abaixo. Quadro II Resumo do exercício de esimação Parâmeros Esimadores/ Desvio padrão dos esimaivas 6 Esaísica 7 esimadores ˆ s = -0.5 ˆ = ˆ s = ˆ = w s w = Avaliar a qualidade do modelo ajusado no que concerne à significância dos parâmeros ajusados e às condição de esacionaridade e causalidade e de inveribilidade do modelo ajusado. 6 Os esimadores, e respecivas esimaivas (realizações possíveis), dos parâmeros e são idenificados por ˆ,,,..., e ˆ i p, j,,..., q. Os esimadores, e respecivas esimaivas, das variâncias,, são designados i por s. j i j ˆ 7 Esaísica ese é o rácio com ˆ designando o esimador do parâmero ou do parâmero s ˆ 0

11 W Avaliar a qualidade do ajusameno, mediane a análise da série residual,, com cronograma na Figura 4, suporada nos respecivos correlogramas oal (FAC esimada) e parcial (FACP esimada) consanes da Figuras 5. Figura 4- Cronograma da série residual W W Figura 5- Correlogramas (oal) (FAC esimada) e parcial (FACP esimada) da série X (.5 valores) alínea e) Prever, em = 00 (unidades de empo), o valor esperado da série original passos adiane (h=), e esimar a variância do erro de previsão. dois Os rês úlimos valores observados da série X são os seguines:

12 X 4.9, X.7 e X Os valores calculados dos erros de previsão um passo adiane para os empos =98 a =00, são: w 4.66, w 6.77 e w Os rês primeiros valores dos pesos da represenação MA( ) do modelo da série original são: 0 =.000, =-.98 e =0.664.

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