Comportamento Assimptótico dos Mínimos Quadrados. Questão: Será que a estimativa de mínimos quadrados converge para o valor verdadeiro dos parâmetros?
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- Isabella Custódio Santana
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1 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial 4-Idenificação Paramérica 36 Comporameno Assimpóico dos Mínimos Quadrados Quesão: Será que a esimaiva de mínimos quadrados converge para o valor verdadeiro dos parâmeros? Modelo verdadeiro : y 0 + v A esimaiva dos mínimos quadrados é ' y J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo
2 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial 4-Idenificação Paramérica J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo 37 0 v y + y ' + v 0 ' ' ou seja + v 0 ' A esimaiva é igual ao valor verdadeiro adicionado de uma polarização. Em que condições é que a polarização é zero?
3 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial 4-Idenificação Paramérica 38 Para que a esimaiva de mínimos quadrados seja cenrada, iso é para que: em de ser [ ] E[ ] E 0 E v Em geral, iso aconece se v fôr incorrelacionado com y,, y n, ou seja: v em de ser incorrelacionado com v, v, 0 Para que a esimaiva de mínimos quadrados seja cenrada o ruído em de ser branco. J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo
4 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial 4-Idenificação Paramérica 39 Exercício Considere o processo descrio pelo modelo ARMAX y + ay bu + e + ce em que u e e são sinais brancos e independenes, com média nula e variância uniária. Deermine os valores explícios das esimaivas de mínimos quadrados a e b em função de a, b e c. Sugesão: Tenha em cona que, para grande ' E [ ' ] y E [ y ] J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo
5 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial 4-Idenificação Paramérica 40 Esimação em presença de Ruído colorido Como se viu, em presença de ruído colorido, os mínimos quadrados fornecem uma esimaiva polarizada. Quer dizer, ao fazer muias observações a esimaiva não se aproxima do valor verdadeiro dos parâmeros. Méodos que permiem resolver ese problema: Variáveis Insrumenais IV Minimização do Erro de Predição PEM Máxima Verosimilhança Maximum Likelihood Deses a Máxima Verosimilhança é o mais geral e poderoso, embora o que seja compuacionalmene mais pesado. J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo
6 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial 4-Idenificação Paramérica Em presença de ruído colorido, usar os mínimos quadrados depende do objecivo: Se se preende consruir um modelo do sisema para esudar as suas caracerísicas e/ou projecar um conrolador, devem esimar-se os polinómios A q, B q e C q adequados.. Os mínimos quadrados não são Se se preende combinar a idenificação com uma lei de conrolo por forma a ober uma lei de conrolo adapaiva, os mínimos quadrados são os adequados porque, com ceras leis de conrolo variância mínima, há um * erro por se omar C q que compensa a polarização das esimaivas. É niso que consise a propriedade de auo-sinonização self-uning. 4 J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo
7 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial 4-Idenificação Paramérica J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo 4 Variáveis Insrumenais Modelo: ' v y o + Esimador de mínimos quadrados LS y ' Esimador de variáveis insrumenais IV y '
8 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial 4-Idenificação Paramérica 43 IV ' y A variável, denominada insrumeno, deve ser al que: e v são incorrelacionadas e são correlacionadas, por forma a que a mariz ' seja inverível. J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo
9 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial 4-Idenificação Paramérica J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo 44 Comporameno Assimpóico das Variáveis Insrumenais IV y ' + o IV v ' ' + o IV v ' Sendo e v incorrelacionadas, 0 v e o IV
10 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial 4-Idenificação Paramérica 45 Escolha das Variáveis Insrumenais IV ' y e v são incorrelacionadas y ' o + v e são correlacionadas, por forma a que a mariz ' seja inverível. Uma possibilidade é ym ' IV [ y y n + u u n ] ' M M J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo
11 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial 4-Idenificação Paramérica 46 Variáveis Insrumenais em bach Com esa escolha das variáveis insrumenais, em-se o seguine algorimo:. Comece com uma escolha a priori da esimaiva. Calcule as variáveis insrumenais por y M ' [ y y n + u u n ] ' M M 3. Corrija a esimaiva por ' y 4. Vole a. J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo
12 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial 4-Idenificação Paramérica 47 Minimização do Erro de Predição Generalização do funcional de cuso quadráico a processos ARMAX: Modelo Armax: A q y B q u + C q e Polinómios cujos parameros se preendem esimar [ a a b b c c ] n 0 m n e é ruído branco de variância desconhecida J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo
13 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial Modelo Inverso 4-Idenificação Paramérica 48 n n n e y + a y i b u i c e i, n... i i i i i i Admia-se que, num dado insane se conhecem esimaivas ε,, ε n de e,, e n Dada uma esimaiva dos parâmeros, esima-se o erro de predição: n n n i i i i i i ε y + a y i b u i c ε i J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo
14 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial O funcional a opimizar é: 4-Idenificação Paramérica 49 Solução: J ε n arg min J J ε 0 ε 0 n ão em solução em forma fechada. Uilizam-se méodos ieraivos. J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo
15 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial Minimização de funções pelo méodo de ewon 4-Idenificação Paramérica 50 Seja J uma função escalar de variável vecorial a minimizar. Um algorimo acualiza uma esimaiva k do mínimo, para consruir uma nova esimaiva k. De acordo com o méodo de ewon: k T J J k. k k J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo
16 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial Exemplo de aplicação do Méodo de ewon 4-Idenificação Paramérica 5 Preende-se minimizar a função quadráica Tem-se T T J A + b A A T > 0 J T A + b T J A k T J J k. k k k k A. A k + b A b Ainje o mínimo em um passo, parindo de qualquer pono! J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo
17 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial 4-Idenificação Paramérica 5 Volando ao nosso caso emos: J n ε ε J ε ε n Onde se desprezaram ermos envolvendo segundas derivadas do erro. J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo
18 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial Aendendo ao modelo inverso: Derivadas parciais do erro 4-Idenificação Paramérica 53 n n n i i i i i i ε y + a y i b u i c ε i Temos: ε n ε j y i c j a a i j ε n ε j u i c j b b i j ε n ε j ε i c j a c i j i i i J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo
19 Modelação, Idenificação e Conrolo Digial 4-Idenificação Paramérica Forma equivalene ε ε ε C q y i, C q u i, C q e i a b a i i i 54 As derivadas parciais do erro são obidas por filragem linear. Aproximação de Asrom do gradiene e da mariz hessiana: ψ y y n u u m ε ε n C q T J T ψ ε J T ψ ψ J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sisemas e Conrolo
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