Interpolação e Extrapolação das ETTJ no Brasil

Transcrição

1 Inerpolação e Exrapolação das ETTJ no Brasil Coordenação Geral de Moniorameno de Solvência Coordenação de Moniorameno de Risco CORIS Sergio Luis Franklin Junior Thiago Baraa Duare César da Rocha Neves Eduardo Fraga

2 Paua Moivação Inrodução Bases de dados Modelos de ETTJ Esimação dos parâmeros Análise de resulados Conclusões

3 Moivação Tese de Adequação de Passivos Risco de Subscrição de Vida Individual e Previdência Risco de Mercado Objeivo da divulgação do esudo: - Princípio da proporcionalidade - Conribuir para que o mercado segurador brasileiro mensure suas obrigações, desconando seus fluxos de caixa, de maneira consisene e coerene

4 Paua Moivação Inrodução Bases de dados Modelos de ETTJ Esimação dos parâmeros Análise de resulados Conclusões

5 Inrodução Alguns conceios e relações imporanes Taxas à visa (spo) Taxas a ermo (forward) Taxas conínuas (1 e 1 R, ) (1 FRk (1)) e. y ( ) k 1 0 FRc k 0 k (1) Taxas discreas y ( ) ln(1 R, ) R exp( y (, )) 1

6 Inrodução A ETTJ pode ser descria por rês ipos de curvas - odas relacionadas enre si Curva de descono P ( ) exp{. y ( )} exp{ 0 f ( u) du} Curva de axas a ermo f 1 ( ). P ( ) y ( ). y ( P ( ) ) Curva de axas à visa y ( ) 1. 0 f ( u) du 1.ln P ( )

7 Inrodução A ETTJ livre de riscos deve ser consruída a parir de íulos isenos de risco de crédio e liquidez Os insrumenos de renda fixa, em geral, sujeiam os seus deenores a rês ipos de risco financeiro: risco de crédio risco de liquidez risco de mercado Nesse conexo, o risco de mercado incide somene sobre invesimenos com horizones de carregameno diferenes dos prazos dos íulos

8 Inrodução A ETTJ livre de riscos é ambém chamada de curva base para um dado emissor

9 Bases de dados Os insrumenos financeiros considerados isenos de riscos de crédio Tíulos de renda fixa emiidos pelo governo LTN, NTN-F, NTN-B, NTN-C, ec. Insrumenos financeiros derivaivos: Fuuro de DI1, FRA de cupom (FRC), ec.

10 Bases de dados As curvas de juros baseadas em derivaivos e em íulos públicos federais 14% ETTJ pré-fixada baseada em íulos públicos e ETTJ baseada em derivaivos (30/12/2010) 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% Spo (Tiulos - LTN e NTNF) Spo (Derivaivos)

11 Paua Inrodução Bases de dados Modelos de ETTJ Esimação dos parâmeros Análise de resulados Conclusões

12 Bases de dados O que influenciou na escolha da base de dados de cada curva de juros Insrumeno financeiro livre de riscos de maior liquidez no mercado Número de vérices proporcionados por cada insrumeno Prazo do úlimo pono líquido de cada curva de juros

13 Bases de dados Bases de dados usadas nese rabalho Curva de cupom IPCA Preços uniários das Noas do Tesouro xx Nacional Série B (NTN-B) Curva de axas pré Taxas Referencias DI x PRÉ da BM&F (+ 500 conraos) Curva de cupom cambial Taxas Referencias cupom limpo da BM&F (+ 500 conraos) Curva de cupom de IGPM Taxas Referencias DI x IGPM da BM&F Curva de cupom de TR Taxas Referencias DI x TR da BM&F

14 Paua Inrodução Bases de dados Modelos de ETTJ Esimação dos parâmeros Análise de resulados Conclusões

15 Modelos de ETTJ A ETTJ não é direamene observável, e precisa ser esimada a parir de dados de mercado O procedimeno mais comum é impor uma forma funcional com K parâmeros para a função descono, para a axa à visa ou para a axa a ermo: polinômios, splines, funções exponenciais, ou uma combinação desas ou ouras funções. Em um segundo momeno, os K parâmeros são esimados ou calculados. Os méodos mais proeminenes e amplamene usados por diversos bancos cenrais são os proposos por Nelson e Siegel (1987) e Svensson (1994).

16 Modelos de ETTJ O modelo de Svensson Forma funcional simples para descrever oda a esruura a ermo com apenas 6 parâmeros Curva de axas a ermo: f 0, 1,. 1, 1,. 2, ( ). e... e.. e 2, 1,. 3, 2,. Curva de axas à visa:... 1 e 1 e 1 e y e e... 1, 1, 2, 1,. 2,. ( ).( ).( ).( ) 0, 1, 2, 3, 1, 1, 2,

17 Modelos de ETTJ Caracerísicas do modelo de Svensson Inerpreação dos faores da esruura a ermo Faor de nível (ou longo prazo): 0, Faor de inclinação (ou curo prazo): 1, Faores de curvauras (ou médio prazo): e 2, 3, Velocidades de decaimeno dos componenes de médio prazo: e 1, 2, Para que faça senido econômico, os parâmeros devem saisfazer as resrições: 0 ; 2, 0; 0, 0; 0, 1, 1, 0

18 Cargas dos faores Modelos de ETTJ Uma escolha apropriada dos parâmeros do modelo, pode resular em uma variedade de curvas de axas a ermo com formas monoônicas e arqueadas longo prazo curo prazo m ( e ) médio prazo m ( m.e ) Mauridade

19 Paua Inrodução Bases de dados Modelos de ETTJ Esimação dos parâmeros Análise de resulados Conclusões

20 Esimação dos parâmeros da ETTJ Primeiro, é necessário definir a função objeivo que se quer minimizar... Para a curva de juros de cupom de IPCA: N ki 2 : { i.( NTN B, i [ j, i. ( j, i )]. j, i ) } i 1 j 1 FOBJ Min w P exp y F Para as curvas de axas pré, cupom cambial, cupom de IGPM e cupom de TR: FOBJ Min M 2 : { (TxRef ( i) y ( i)) } i 1 Sujeio às seguines resrições: 1, 0; 2, 0; 0, 0; 0, 1, 0

21 Esimação dos parâmeros da ETTJ... para depois, definir o melhor méodo de esimação Combinação de algorimo genéico (AG) com um algorimo radicional de oimização não-linear Quasi-Newon (QN) Méodo radicional de oimização Quasi-Newon Risco de falsa convergência Bom para enconrar o mínimo local Algorimos genéicos Bons para varrer o espaço em busca da solução óima Dificuldades para fazer o ajuse fino local

22 Esimação dos parâmeros da ETTJ Um AG foi especificamene desenvolvido para esimar os parâmeros do modelo de Svensson O objeivo é explorar a informação acumulada em cada ieração para orienar as buscas subseqüenes do algorimo Tomou como base o rabalho de Gimeno e Nave (2006) do Banco Cenral da Espanha Inroduziu um novo operador de muação e novos parâmeros de inicialização Desenvolvido em Splus v.8.1 Algorimo genéico

23 Esimação dos parâmeros da ETTJ Os AG são algorimos de busca baseados em mecanismos de seleção naural e genéica Inicialização da população usando N cromossomos Algorimo genéico Avaliação dos cromossomos Ordenameno para adapação Seleção dos progeniores para a reprodução Operadores genéicos: cruzameno e muação Sim Tese de parada Nova geração? Não O melhor cromossomo

24 Esimação dos parâmeros da ETTJ A represenação cromossomial Algorimo genéico Codificação real: cada cromossomo ( candidao solução do problema de oimização 6 ) represena um A população consise de N cromossomos A k-ésima geração da população é represenada por k k k k k k k i 0, i 1, i 2, i 3, i 1, i 2, i ( i 1,..., N) ( k 1, 2,...) T Parâmeros do modelo de Svensson

25 Esimação dos parâmeros da ETTJ A inicialização da população... Algorimo genéico Cromossomo gerador: * * * * * * * A primeira geração de N indivíduos: Veor aleaório: T i 0, i 1, i 2, i 3, i 4, i 5, i N ( i 1,..., N) 1 0 j i j, ~ (0, ) T 1 * 1 i i ( i 1,..., N) ou * 0 * 1 0, i 0, i 1, i 1, i 1 1 * 1 2, i 2, i 1 * 1 3 3, i 3, i 1 * 1 1 1, i 4, i * , i 5, i 2 Calibragem de

26 Esimação dos parâmeros da ETTJ Medida de qualidade de um cromossomo Algorimo genéico Para a curva juros de cupom de IPCA N ki 2 { i.( NTN B, i [ j, i. ( j, i )]. j, i ) } i 1 j 1 IM w P exp y F Para as curvas de axas pré, cupom cambial, cupom de IGPM e cupom de TR M IM Tx f y 2 { ( Re ( i ) ( i)) } i 1

27 Esimação dos parâmeros da ETTJ Seleção Algorimo genéico O AG cria uma lisa de cromossomos, ordenando-os conforme o valor do IM e seleciona um número M N. de cromossomos sobrevivenes, onde é o percenual de cromossomos que deve sobreviver em cada geração/ieração do algorimo Calibragem de

28 Esimação dos parâmeros da ETTJ O operador de recombinação enra em ação selecionando os cromossomos reproduores... Seleciona os cromossomos reproduores ( r e s ) da geração k Aribui maior 1 probabilidade de seleção 3 aos melhores cromossomos 6 Algorimo genéico 6 (menor IM ) Para 3 isso, gera uma amosra 3 aleaória i, i 1, 2,..., 3 2. N.(1 ) de uma variável aleaória com disribuição Bea(1, ), e deermina o índice 0.0 de 0.2 ordenameno dos 0.0 cromossomos reproduores: Calibragem de r s i. N j ( i j). N

29 Esimação dos parâmeros da ETTJ... e adiciona N.(1 ) novos cromossomos à geração k 1 Cada gene do cromossomo filho ( ) é gerado por uma combinação linear dos respecivos genes dos dois cromossomos progeniores: k q 1 Algorimo genéico D. ( D ). k 1 k k q 6x6 r 6 6x6 s Onde D é uma mariz diagonal com, 6x6 é um veor coluna formado por v.a s i.i.d. em [0, 1] d i j i, se 0, c.c. i j 6 é a mariz idenidade

30 Esimação dos parâmeros da ETTJ O operador de muação em por objeo eviar que a solução evolua para um óimo local Inroduz variações aleaórias nos genes dos cromossomos e esa a qualidade dos cromossomos muanes Cada gene de cada cromossomo pode sofrer uma muação com probabilidade Algorimo genéico Quando ela aconece, uma variável aleaória adicionada ao gene do cromossomo k, ~ N(0, j ) k j i é A ocorrência de muação em diferenes genes de um mesmo cromossomo são evenos esaisicamene independenes Calibragem de

31 Esimação dos parâmeros da ETTJ Algorimo genéico Criério de parada do AG e o ajuse fino local O AG repee ieraivamene os processos de seleção, recombinação e muação aé aingir um eságio esacionário para a evolução da espécie, alcançando o pono (ou região) de óimo global. Após aingir o esado esacionário, o pono óimo do AG é usado como valor inicial do algorimo Quasi-Newon, que faz o ajuse fino local aé aingir o pono de mínimo global.

32 Paua Inrodução Bases de dados Modelos de ETTJ Esimação dos parâmeros Análise de resulados Conclusões

33 Análise de resulados Período de esimação A curva de cupom de IPCA foi esimada para o úlimo dia úil de cada mês, enre os meses de janeiro de 2006 aé dezembro de 2010 (num oal de 60 meses). Para cada um desses dias (daas de pregão, ), os parâmeros do modelo de Svensson foram esimados por meio de combinações de algorimos genéicos (AG) e Quasi-Newon (QN), obendo-se os esimadores de mínimos quadrados: ˆ, ˆ, ˆ, 0, 1, 2, 3, 1, 2, ˆ, ˆ e ˆ

34 Análise de resulados Equações de esimação A esimaiva da axa à visa anual composa coninuamene em para o prazo, pode ser obida a parir da equação: yˆ ( ) ˆ 0, ˆ 1, 1.( e ˆ 1,. 1,. ) ˆ 2, 1.( e ˆ 1,. ˆ 1,. e ˆ 1,. ) ˆ 3, 1.( e ˆ 2, ˆ. 2,. e ˆ 2,. ) A axa à visa discrea composa anualmene é obida a parir da equação: ˆ, R exp( yˆ ( )) 1

35 Análise de resulados Resulados para 30/12/2010 Para a daa de 30/12/2010, os esimadores dos parâmeros do modelo de Svensson obidos pela combinação dos méodos de algorimo genéico e Quasi-Newon para a curva de cupom de IPCA foram os seguines: ˆ0 ˆ1 0, ,03660 ˆ1 1, ˆ2 0,07895 ˆ2 0,19271 ˆ3 0,02163

36 Análise de resulados Resulados para 30/12/2010 Inerpolação das ETTJ geradas por cada méodo de esimação e as axas à visa observadas para cada prazo de mauridade (para a daa de pregão de 30/12/2010)

37 Análise de resulados Resulados para 30/12/2010 A aplicação do AG permie melhorar o ajuse da curva de juros aos dados de mercado. A ponderação do erro quadráico de cada íulo pelo inverso da duraion ornou os resíduos das axas à visa homocedásicos.

38 Análise de resulados Comparação do somaório do erro quadráico ponderado Ao empregar o AG como um pré-processador para a busca inicial do pono (região) de óimo global e, poseriormene, o méodo Quasi-Newon para a busca do óimo local, obém-se uma melhor esimação da curva de juros (eviando salos enre mínimos locais) e um melhor ajuse da curva aos dados de mercado. Mês de Calibragem

39 Análise de resulados Análise de volailidade das axas Evolução hisórica e a volailidade das axas à visa discreas para os prazos de 6 meses, 5 anos, 10 anos e 50 anos (para ese úlimo prazo, axas exrapoladas ). Tempo 0.5 ano 5 anos 10 anos 50 anos Volailidade

40 Análise de resulados Análise de volailidade das axas Há um pico em odas essas axas no período enre seembro de 2008 e janeiro de 2009, período em aconeceu a crise dos subprimes. Tempo 0.5 ano 5 anos 10 anos 50 anos Volailidade

41 Análise de resulados Exrapolação da ETTJ Modelos comumene usados para inerpolação da esruura a ermo não permiem fazer uma exrapolação razoável, porque evenualmene levam a axas indefinidamene crescenes ou negaivas Os modelos de suavização de axas a ermo (Nelson-Siegel e Svensson) e fla forward podem ser usados para exrapolação

42 Análise de resulados Exrapolação da ETTJ A lieraura inernacional sugere ainda ouros méodos de inerpolação e exrapolação de ETTJ, com especial desaque para os méodos proposos por Barrie e Hibber (2008) e Smih-Wilson (2001). Eses méodos dependem da especificação de uma axa a ermo de longíssimo prazo (ou ulimae forward rae (UFR)), e premissas sobre inflação e axa de juros real esperadas no longo prazo. A adoção de premissas sobre essas expecaivas no Brasil, para um fuuro ão disane, pode ser basane conroversa. O modelo de Svensson se mosrou apropriado para inerpolação e exrapolação.

43 Análise de resulados Exrapolação da ETTJ de cupom de IPCA Exrapolação das ETTJ geradas por cada méodo de esimação e as axas à visa observadas para cada prazo de mauridade (para a daa de pregão de 30/12/2010) Exrapolação

44 Análise de resulados Curva de cupom de IGPM (para a daa de pregão de 30/12/2010)

45 Análise de resulados Curva de axas pré (para a daa de pregão de 30/12/2010)

46 Paua Inrodução Bases de dados Modelos de ETTJ Esimação dos parâmeros Análise de resulados Conclusões

47 Conclusões Propomos o modelo de Svensson (1994) para a inerpolação e exrapolação das ETTJ livre de riscos e o uso de algorimos genéicos, em complemeno aos algorimos radicionais de oimização não-linear, para a esimação dos parâmeros, o que permie reduzir o risco de falsa convergência e gerar parâmeros com séries emporais mais esáveis. A análise dos resulados mosra que, para a exrapolação considerada nese esudo, o modelo de Svensson é apropriado.

48 Conclusões Com a divulgação dese rabalho, esperamos conribuir para que o mercado segurador brasileiro consrua esimaivas dos valores desconados dos seus fluxos de caixa de maneira consisene e coerene, a fim de miigar os riscos, para os segurados e acionisas, decorrenes de uma má esimação de valores.

49 FIM Pergunas?

50 FIM Obrigado! Sergio Luis Franklin Júnior SUSEP//CORIS Tel Thiago Baraa Duare SUSEP//CORIS Tel